重点高中数学微积分公式大全

重点高中数学微积分公式大全

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2

微積分公式
D
x
sin x=cos x
cos x = -sin x
tan x = sec
2
x
cot x = -csc
2
x
sec x = sec x tan x
csc x = -csc x cot x
x
D
x
sin
-1
()=
a
?1
? sin x dx = -cos x + C
? cos x dx = sin x + C
? tan x dx = ln |sec x | + C
? cot x dx = ln |sin x | + C
? sec x dx = ln |sec x + tan x | + C
? csc x dx = ln |csc x – cot x | + C
sin
-1
(-x) = -sin
-1
x
cos
-1
(-x) = ? - cos
-1
x
tan
-1
(-x) = -tan
-1
x
cot
-1
(-x) = ? - cot
-1
x
sec
-1
(-x) = ? - sec
-1
x
csc
-1
(-x) = - csc
-1
x
? sin
-1
x dx = x sin
-1
x+
1?x
2
+C

22
a?x
? cos
-1
x dx = x cos
-1
x-
1?x
2
+C
x
cos
-1
()=
a
x
?a
tan
-1
()=
2

2
a
a?x
x
cot
-1
()=
a
sec
-1
(
-1
x
?a
)=
a
xx
2
?a
2
x
sinh
-1
()= ln (x+
a
2
?x
2
) x
?
R
a
x
cosh
-1
()=ln (x+
x
2
?a
2
) x≧1
a
? tan
-1
x dx = x tan
-1
x-?ln (1+x
2
)+C
1
a?x
-1
x
tanh ()=ln () |x| <1
-1-12
a2a
a?x
? cot x dx = x cot x+?ln (1+x)+C
1
x?a
-1
x
2
-1-1
coth ()=ln () |x| >1
? sec x dx = x sec x- ln |x+
x?1
|+C
a2a
x?a
? csc
-1
x dx = x csc
-1
x+ ln |x+
x
2
?1
|+C
2
x?1
1?x
sech
-1
()=ln(+)0≦x≦1
2
ax
x


x1
1?x
2
csch ()=ln(+) |x| >0
ax
x
2
-1
csc (xa)=
D
x
sinh x = cosh x
cosh x = sinh x
tanh x = sech
2
x
coth x = -csch
2
x
sech x = -sech x tanh x
csch x = -csch x coth x
? sinh x dx = cosh x + C
? cosh x dx = sinh x + C
? tanh x dx = ln | cosh x |+ C
? coth x dx = ln | sinh x | + C
? sech x dx = -2tan
-1
(e
-x
) + C
? csch x dx = 2 ln |
duv = udv + vdu

? duv = uv = ? udv + ? vdu
→? udv = uv - ? vdu
cos
2
θ-sin
2
θ=cos2θ
cos
2
θ+ sin
2
θ=1
cosh
2
θ-sinh
2
θ=1
cosh
2
θ+sinh
2
θ=cosh2θ

1?e
?x
1?e
?2x
| + C

x
D
x
sinh()=
a
- 1
1
a
2
?x
2
1
x?a
22
2
-1-1

? sinh x dx = x sinh x-
1?x
+ C
sin 3θ=3sinθ-4sin
3
θ
cos3θ=4cos
3
θ-3cosθ
x
cosh
-1
()=
a
? cosh
-1
x dx = x cosh
-1
x-
x
2
?1
+ C

? tanh
-1
x dx = x tanh
-1
x+ ? ln | 1-x
2
|+ C
→sin
3
θ= ? (3sinθ- sin3θ)

? coth
-1
x dx = x coth
-1
x- ? ln | 1-x
2
|+ C
→cos
3
θ=?(3cosθ+cos3θ)
? sech
-1
x dx = x sech
-1
x- sin
-1
x + C
? csch
-1
x dx = x csch
-1
x+ sinh
-1
x + C

γ


e
jx
?e
?jx
e
jx
? e
?jx
sin x = cos x =
2
2j
e
x
?e
?x
e
x
?e
?x
sinh x = cosh x =
22
x
?a
tanh
-1
()=
2

a
a?x
2
x
coth
-1
()=
a
sech
-1
(
?a
x
)=
a
xa
2
?x
2
csch
-1
(xa)=
?axa?x
22

a
b R
β
α
c
正弦定理:
bc
a
= ==2R
sin
?
sin
?
sin
?
餘弦定理: a
2
=b
2
+c
2
-2bc cosα
b
2
=a
2
+c
2
-2ac cosβ
c
2
=a
2
+b
2
-2ab cosγ


sin (α±β)=sin α cos β ± cos α sin β
cos (α±β)=cos α cos β
?
sin α sin β
2 sin α cos β = sin (α+β) + sin (α-β)
2 cos α sin β = sin (α+β) - sin (α-β)
2 cos α cos β = cos (α-β) + cos (α+β)
2 sin α sin β = cos (α-β) - cos (α+β)
sin α + sin β = 2 sin ?(α+β) cos ?(α-β)
sin α - sin β = 2 cos ?(α+β) sin ?(α-β)
cos α + cos β = 2 cos ?(α+β) cos ?(α-β)
cos α - cos β = -2 sin ?(α+β) sin ?(α-β)
tan (α±β)=
23n
x
x
x
ex
=1+x+++…++ …
2!
3!
n!
n
tan
?
?tan
?
?cot
?
cot
?
, cot (α±β)=
?tan
?
tan
?
cot
??cot
?
?
1
= n
i?1
n
x
3
x
5
x
7
(?1)
n
x
2n?1
sin x = x-+-+…++ …
3!5!
7!
(2n?1)!
x
2
x
4
x
6
(?1)
n
x
2n< br>cos x = 1-+-+…++ …
2!4!6!
(2n)!
?
i
= ?n (n+1)
i?1
n
?
i
2
=
i?1
1
n (n+1)(2n+1)
6

x
2
x
3
x
4
(?1)
n
x
n?1
ln (1+x) = x-+-+…++ …
2
3
4
(n?1)!
35 7
xx
x
(?1)
n
x
2n?1
-1
ta n x = x-+-+…++ …
35
7
(2n?1)
?
ii?1
n
3
= [?n (n+1)]
2

x-1-t2x-1
?t
tt
e dt = 2
??
e
dt =
00
1
??
2
Γ(x) =
?
?
0
1
(ln)
x-1
dt
t
(1+x)
r
=1+rx+
r(r?1)
2
r (r?1)(r?2)
3
x+x+… -12!
3!
β(m, n) =
?
x
0
m-1
(1-x) dx=2
?
2
sin
2m-1
x cos
2n-1
x dx
0
n-1
?
=

希臘字母 (Greek Alphabets)
大寫
Α
Β
Γ
Δ
Ε
Ζ
Η
Θ

倒數關係: sinθcscθ=1; tanθcotθ=1; cosθsecθ=1
商數關係: tanθ=
sin
?
cos
?
; cotθ=
cos
?< br>sin
?
?
?
0
x
m?1
dx
(1?x)
m?n
小寫 讀音
alpha
beta
gamma
delta
epsilon
zeta
eta
theta
大寫
Ι
Κ
Λ
Μ
Ν
Ξ
Ο
Π
小寫 讀音
iota
kappa
lambda
mu
nu
xi
omicron
pi
大寫
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
小寫 讀音
rho
sigma
tau
upsilon
phi
khi
psi
omega
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
θ
ι
κ
λ
μ
ν
ξ
ο
π
ρ
σ, ?
τ
υ
φ
χ
ψ
ω
平方關係: cos
2
θ+ sin
2
θ=1; tan
2
θ+ 1= sec
2
θ; 1+ cot
2
θ= csc
2
θ

順位高
; ? 順位高d 順位低
順位低
0*? =
1?
10
*? = = 0* =
00
??
順位一: 對數; 反三角(反雙曲)

0
0
=
e
0(??)

?
0
=
e
0??

1
?
=
e
0??

順位二: 多項函數; 冪函數
順位三: 指數; 三角(雙曲)

算術平均數(Arithmetic mean)
X?
X
1
?X
2
?...?X
n

n
中位數(Median)
眾數(Mode)
幾何平均數(Geometric mean)
調和平均數(Harmonic mean)
取排序後中間的那位數字
次數出現最多的數值
G?
n
X
1
?X
2
?...?X
n

H?
1
1111
(??...?)
nx
1
x
2
x
n< br>平均差(Average Deviatoin)

變異數(Variance)
?
|X
1
n
i
?X|
n

n?
(X
1
n
i
?X)
2
n
or
?
(X
1
i
?X)
2
n?1

標準差(Standard Deviation)
?
(X
1
n
i
?X)
2
n

分配
Discrete
Uniform
Continuous
Uniform
Bernoulli
Binomial
機率函數f(x)
1

n
or
?
(X
1
n
i
?X)
2

n?1
期望值E(x)
1
(n+1)
2
變異數V(x)
1
2
(n+1)
12
動差母函數
m(t)
1e
t
(1?e
nt
)

t
n
1?e
1

b?a
1
(a+b)
2
1
(b-a)
2

12
e
bt
?e
at

(b?a)t
p
x
q
1-x
(x=0, 1)
?
n
?
xn-x
?
?
x
?
?
pq< br>
??
p
np

pq
npq
q+pe
t

(q+ pe
t
)
n

Negative
Binomial
Multinomial
?
k?x?1
?
kx
??
??
pq

x
??
f(x
1
, x
2
, …, x
m-1
)=
n!
xxx
p
1
1
p2
2
...p
m
m

x
1
!x
2
!...x
m
!
kq

p
kq
p
2

p
k
(1?qe
t
)
k
三項

np
i

np
i
(1-p
i
)

(p
1
e
t1
+
p
2
e
t2
+ p
3
)
n

1

p
?
k
?
n
??

?
N
?
Geometric
pq
x-1

?
k
??
N?k
?
?
?
x
?
?
?
?
n?x
?
?
????

?
N
?
?
?
n
?
?
??
e
?
?
?
x

x!
q

p
2
?
N?n
??
k
?
??
n
??

N?1
??
?
N
?
pe
t

t
1?qe
Hypergeometric
Poisson
λ
μ
λ
σ
2

e
?
?
(e
t
?1)

Normal
1
2
??
e
1x?
?
2
? ()
2
?

e
?
?
?
?

?
t?
?
2
t
2
1
2

Beta
1
x
?
?1
(1?x)
?
?1

B(
?
,
?
)
??
(
?
?
??1)(
?
?
?
)
2


Gamma
?
(
?
x)
?
?1
e
?
?
x

?(
?
)
?

?
1

?
?

?
2
1
?
?
?
??

?
?
?t
?
?
?
Exponent
Chi-Squaredχ
2
=f(χ
2
)
?
e
1
?
n
?
?
??
2
?
2
?
n
2
?
?
x

?
2

?
?
?t

?
n
2
E(χ
2
)=n

(
?< br>)
2
n
?1
2
V(χ
2
)=2n

=
Weibull
e
?
?
2
2
(1?2t)



1
?

e
?
x?
?
?
?
?
2
??
1
?
?
?
1
?< br>?
?
?
?
?
?
?1
?
?
?
?
?
?
?1
?
??
2
?
?1?
?

?
?
?
?
?
?
??
?
?
?

1
2