高中数学 三角函数公式大全

一、任意角的三角函数
在角
?
的终边上任取一点
P(x,y)
，记：
r?
．．
正弦：
sin
?
?< br>正切：
tan
?
?
正割：
sec
?
?
y
r
y
x
r
x
x?y
22
，
余弦：
cos
?
?
余切：
cot
?
?
余割：
csc
?
?
x
r



x
y
r
y
注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图， 与
单位圆有关的有向线段
MP
、
OM
、
AT
分别叫 做角
?
的正弦线、余弦线、正
．．
切线。
二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：
sin
?
?c sc
?
?1
，
cos
?
?sec
?
?1< br>，
tan
?
?cot
?
?1
。
商数关系：
tan
?
?
sin
?
cos
?
，
cot
?
?
cos
?
sin
?
。
平方关 系：
sin
2
?
?cos
2
?
?1
，1?tan
2
?
?sec
2
?
，
1?cot< br>2
?
?csc
2
?
。
三、诱导公式
⑴
?
?2k
?
(k?Z)
、
?
?
、< br>?
?
?
、
?
?
?
、
2
?< br>?
?
的三角函数值，等于
?
的
同名函数值，前面加上一个把< br>?
看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名
．．
不变，符号看象限） ⑵
?
2
?
?
、
?
2
?
?、
3
?
2
?
?
、
3
?
2?
?
的三角函数值，等于
?
的异名函数值，
前面加上一个把?
看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看
．．
象限）

1

sin(
?
?
?
)?sin
?
?cos
?
?cos
?
?sin< br>?
sin(
?
?
?
)?sin
?
?cos< br>?
?cos
?
?sin
?
cos(
?
??
)?cos
?
?cos
?
?sin
?
?si n
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
?co s
?
?sin
?
?sin
?
tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
?tan
?
tan
?
?tan
?
1?tan
?
?tan
?






tan(
?
?
?
)?
五、二倍角公式
sin2
?
?2sin
?
cos
?
2
< br>222
cos2
?
?cos
?
?sin
?
? 2cos
?
?1?1?2sin
?
tan2
?
?
2 tan
?
1?tan
?
2
…
(?)


二倍角的余弦公式
(?)
有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）
1?cos2
?
?2cos
?
2

1?cos2
?
?2sin
2
?

2
1? sin2
?
?(sin
?
?cos
?
)
cos?
?
2

1?sin2
?
?(sin< br>?
?cos
?
)
2

1?sin2
?
2
1?cos2
?
2
，
sin
2
?
?< br>，
tan
?
?
1?cos2
?
sin2
?< br>?
sin2
?
1?cos2
?
。
六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）

sin2
?
?
2tan
?
1?tan
?
2
，
cos2
?
?
1?tan
?
1?tan
?
2
2
，< br>tan2
?
?
2tan
?
1?tan
?
2< br>。
万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切来表示。
．．
七、和差化积公式

sin
?
?sin
??2sin
?
?
?
2
cos
?
?
?< br>2
…⑴

2

sin
?< br>?sin
?
?2cos
?
?
?
2
sin?
?
?
2
…⑵
…⑶
…⑷
c os
?
?cos
?
?2cos
?
?
?
2< br>cos
?
?
?
2
cos
?
?cos
?
??2sin
?
?
?
2
sin
?
??
2
了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：
?
?< br>??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
sin
?
?sin
??cos?cossin
?
?sin
2
?
2222
?< br>2


?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?sin
?
?sin
?
?cos?cossin
?
?si n
2
?
2222
?
2
两式相加可得公式⑴，两式相减可得公 式⑵。
?
?
?
?
?
?
??
?
? ?
?
??
?
?
?
?
?
?
cos< br>?
?cos
?
?cos?sinsin
?
?cos
2
?
2222
?
2
?
?
?
?
??
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
cos
?
?cos
?
?cos?sinsi n
?
?cos
2
?
2222
?
2


两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。
八、积化和差公式

sin
?
?cos
?
?
1
2
1
2
1
2
?
sin(
?
?
sin(
?
?cos(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
)
?

?
?
)?sin(
?
?
?
)
?

?
?
)?cos(
?
?
?
)
?

?
?
)?cos(
?
?
?
)
?

cos
?
?sin
?
?
cos
?
?cos
?
?
sin
?
?sin
?
??
1
2
?
cos(
?
我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。
九、辅助角公式

3

asinx?bcosx?a?bsin(x?
?
)
（） < br>22
其中：角
?
的终边所在的象限与点
(a,b)
所在的象限 相同，
sin
?
?
b
a?b
22
，
co s
?
?
a
a?b
22
，
tan
?
?
b
a
。
十、正弦定理

a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2R
（
R为
?ABC
外接圆半径）
十一、余弦定理

a
2
?b
2
?c
2
?2bc?cosA


b
2
?a
2
?c
2
?2ac?cosB

c?a?b?2ab?cosC
222

十二、三角形的面积公式







sin
?
?cos
?

S
?ABC
?
1
2
1
2
?底?高

1
2
bcsinA?
1
2
casinBS
?ABC
?absinC?
（两边一夹角）
S
?ABC
?
abc< br>4R
（
R
为
?ABC
外接圆半径）
?rS
?ABC
?
a?b?c
2
（
r
为
?ABC
内切圆半径）
S
?ABC
?p(p?a)(p?b)(p?c)
y

…
海仑公式（其中
p
y

?
a?b?c
2
）
sin
?
?cos
?

sin
?
?cos
?
?0
o

sin
?
?cos
?

A(?2,2)
x

o

sin
?
?cos
?
?0
A(?2,2)

sin
?
?cos
?
?0

x

x?y?0
x?y?0

4

诱导公式

sin（2kπ+α）=sinα
cos（2kπ+α）=cosα
tan（2kπ+α）=tanα
cot（2kπ+α）=cotα
sec（2kπ+α）=secα
csc（2kπ+α）=cscα
sin（π+α）=－sinα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关
系
cos（π+α）=－cosα
tan（π+α）=tanα
cot（π+α）=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
sin（－α）=－sinα
cos（－α）=cosα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系
tan（－α）=－tanα
cot（－α）=－cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
sin（π－α）=sinα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π- α与α的三角函数值之间的关
系
cos（π－α）=-cosα
tan（π－α）=－tanα
cot（π－α）=－cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα
sin（α-π）=－sinα
cos（α-π）=－cosα
tan（α-π）=tanα
cot（α-π）=cotα
sec(α-π)=-secα
csc(α-π)=－cscα
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等
k是整数
公式五：
利用公式四和三角函数的奇偶性可以得到α-π与α的三角函数
值之间的关系
5

sin（2π－α）=－sinα

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的
关系
cos（2π－α）=cosα
tan（2π－α）=－tanα
cot（2π－α）=－cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
sin（π2+α）=cosα
cos（π2+α）=－sinα
tan（π2+α）=－cotα
cot（π2+α）=－tanα
sec(π2+α)=-cscα
csc(π2+α)=secα
sin（π2－α）=cosα
cos（π2－α）=sinα
tan（π2－α）=cotα
cot（π2－α）=tanα
sec(π2-α)=cscα
公式七：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系
csc(π2-α)=secα
sin（3π2+α）=－cosα
cos（3π2+α）=sinα
tan（3π2+α）=－cotα
cot（3π2+α）=－tanα
sec(3π2+α)=cscα
csc(3π2+α)=-secα
sin（3π2－α）=－cosα
cos（3π2－α）=－sinα
tan（3π2－α）=cotα
cot（3π2－α）=tanα
sec(3π2-α)=-cscα
csc(3π2-α)=-secα
下面的公式再记一次，大家：
四、和角公式和差角公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
?cos
?
?cos
?
?sin
?
sin(
?
?
?
)?sin
?
?cos
?
?cos
?
?sin
?
cos(
?< br>?
?
)?cos
?
?cos
?
?sin
?< br>?sin
?
6