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高考数学所有公式及结论总结大全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 00:47
tags:高中数学公式大全

高中数学136个知识-高中数学竞赛分数查询


高考数学常用公式及结论200条



集合

? 元素与集合的关系
x?A?x?C< br>U
A
,
x?C
U
A?x?A
.
? 德摩根公式
C
U
(AB)?C
U
AC
U
B;C
U
(AB)?C
U
AC
U
B
.
? 包含关系
AB?A?AB?B
?A?B?C
U
B?C
U
A

?AC
U
B???C
U
AB?R

? 容斥原理
card(AB)?cardA?cardB?card(AB)

card(ABC)?cardA?cardB?cardC?card(AB)

?card(AB)?card(BC)?card(CA)?card(ABC)
.
nnn
? 集合
{a
1
,a
2
,,a
n< br>}
的子集个数共有
2
个;真子集有
2
–1个;非空子集有
2
–1个;非空的
真子集有
2
n
–2个.
? 集合A中有M个元素,集合B中有N个元素,则可以构造M*N个从集合A到集合B的映射;



二次函数,二次方程

? 二次函数的解析式的三种形式
(1)一般式
f(x)?ax?bx?c(a?0)
;
(2)顶点式
f(x)?a(x?h)?k(a?0)
;
(3)零点式f(x)?a(x?x
1
)(x?x
2
)(a?0)
.
? 解连不等式
N?f(x)?M
常有以下转化形式
2
2
N?f(x)?M
?
[f(x)?M][f(x)?N]?0

f(x)?N
M?NM?N
?0

|?
?
|f(x )?
?
M?f(x)
22
11
?
.
?
f(x)?NM?N
? 方程
f(x)?0

(
k
1
,
k
2
)
上有且只有一个实根,与
f(k1
)f(k
2
)?0
不等价,前者是后者的一个必
2
要 而不是充分条件.特别地, 方程
ax?bx?c?0(a?0)
有且只有一个实根在
(k
1
,k
2
)
,等价于
k?k
2
k?k
2
bb
f(k
1
)f(k
2
)?0
,或< br>f(k
1
)?0

k
1
???
1
? ??k
2
. ,或
f(k
2
)?0

1
2a222a
? 闭区间上的二次函数的最值
二次函数
f(x)?ax?bx?c(a?0)
在闭区间
?
p,q
?
上的最值只能在
x??
2
b< br>处及区间的两端点处取
2a
得,具体如下:
(1)当a>0时,若
x ??
b
b
?
?
p,q
?
,则
f(x)min
?f(?),f(x)
max
?
max
?
f(p ),f(q)
?

2a
2a
x??
b
?
?
p,q
?

f(x)
max
?
max
?
f(p),f(q)
?

f(x)
min
?
min
?
f(p),f(q)
?
.
2a


(2)当 a<0时,若
x??
f(x)
max
bb
?
?
p, q
?
,则
f(x)
min
?min
?
f(p),f (q)
?
,若
x???
?
p,q
?
,则
2 a2a
?max
?
f(p),f(q)
?

f(x)
min
?min
?
f(p),f(q)
?
.
? 一元二次方程的实根分布
依据:若
f(m)f(n)?0
,则方程
f(x) ?0
在区间
(m,n)
至少有一个实根 .

f(x)?x
2
?px?q
,则
?
p
2
?4q?0
?
(1)方程
f(x)?0
在区间
(m,??)
有根的充要条件为
f(m)?0

?
p

?
? ?m
?2
?
f(m)?0
?
f(n)?0
?
?f(m)?0
?
2
(2)方程
f(x)?0
在区间
(m ,n)
有根的充要条件为
f(m)f(n)?0

?
p?4q?0< br>或
?

af(n)?0
?
?
p
?
m ???n
?
?2
?
f(n)?0

?
af(m) ?0
?
?
p
2
?4q?0
?
(3)方程
f (x)?0
在区间
(??,n)
有根的充要条件为
f(m)?0
或< br>?
p
.
?
??m
?2
? 定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据
(1)在给定区间
(??,??)
的 子区间
L
(形如
?
?
,
?
?

?
??,
?
?

?
?
,??
?
不同 )上含参数的二次不等式
f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)
min
?0(x?L)
.
(2)在给定区间
(??,??)
的子区间上含参数的二次不等式
f(x,t)?0
(
t
为参数)恒成立的充要条件是
f(x,t)
man
?0(x?L)
. ?
a?0
?
a?0
?
42
f(x)?ax?bx?c? 0
b?0
(3)恒成立的充要条件是
?

?
2
.
b?4ac?0
?
c?0
?
?



















简易逻辑



? 真值表
p q 非p p或q p且q
真 真 假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假

? 常见结论的否定形式

原结论 反设词 原结论
是 不是 至少有一个
都是 不都是 至多有一个
大于 不大于 至少有
n

小于 不小于 至多有
n

对所有
x
, 存在某
x

成立 不成立
p

q

对任何
x

不成立
存在某
x

成立
p

q

反设词
一个也没有
至少有两个
至多有(
n?1
)个
至少有(
n?1
)个

?p

?q


?p

?q





? 四种命题的相互关系

原命题 互逆 逆命题
若p则q 若q则p
互 互
互 为 为 互
否 否
逆 逆
否 否
否命题 逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p


? 充要条件
(1)充分条件:若
p?q
,则
p

q
充分条件.
(2)必要条件:若
q?p
,则
p

q
必要条件.
(3)充要条件:若
p?q
,且
q?p
,则
p
是< br>q
充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.






函数

? 函数的单调性
(1)设
x
1
?x
2
?
?
a,b
?
,x
1
?x
2
那么
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b?
上是增函数;
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0?f(x)在
?
a,b
?
上 是减函数.
(x
1
?x
2
)
?
f(x
1
)?f(x
2
)
?
?0?
x
1
?x
2
(2)设函数
y?f(x)
在某个区间可导,如果
f
?
(x)?0
,则
f(x)
为增函数;如果
f
?
(x)?0< br>,则
f(x)
(x
1
?x
2
)
?
f (x
1
)?f(x
2
)
?
?0
?
为减函数 .
? 如果函数
f(x)

g(x)
都是减函数,则在公共定义域 ,和函数
f(x)?g(x)
也是减函数; 如果函数
y?f(u)

u?g(x)
在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数
y?f[g(x)]
是增 函数.
? 奇偶函数的图象特征
奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称; 在对称区间上,奇函数的单调性相同,欧
函数相反;,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数 是奇函数;如果一个函数的图象关于y轴
对称,那么这个函数是偶函数,如果一个奇函数的定义域包括0 ,则必有f(0)=0;
? 若函数
y?f(x)
是偶函数,则
f(x?a )?f(?x?a)
;若函数
y?f(x?a)
是偶函数,则
f(x?a)? f(?x?a)
.
? 对于函数
y?f(x)
(
x?R
) ,
f(x?a)?f(b?x)
恒成立,则函数
f(x)
的对称轴是函数a?ba?b
;两个函数
y?f(x?a)

y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称.
x?
22
a
? 若
f (x)??f(?x?a)
,则函数
y?f(x)
的图象关于点
(
, 0)
对称; 若
f(x)??f(x?a)
,则函
2

y? f(x)
为周期为
2a
的周期函数.
nn?1
? 多项式函数P(x)?a
n
x?a
n?1
x??a
0
的奇偶性 < br>多项式函数
P(x)
是奇函数
?
P(x)
的偶次项(即奇数项 )的系数全为零.
多项式函数
P(x)
是偶函数
?
P(x)
的奇次项(即偶数项)的系数全为零.
? 函数
y?f(x)
的图象的对称性 < br>(1)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?a
对称
?f(a ?x)?f(a?x)

?f(2a?x)?f(x)
.
a?b
( 2)函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?
对称
?f(a?mx)? f(b?mx)

2
?f(a?b?mx)?f(mx)
.
? 两个函数图象的对称性
(1)函数
y?f(x)
与函数
y?f(?x)的图象关于直线
x?0
(即
y
轴)对称.
(2)函数
y?f(mx?a)
与函数
y?f(b?mx)
的图象关于直线
x?
(3)函数
y?f(x)

y?f
?1
a?b
对称.
2m
(x)
的图象关于直线y=x对称.


? 若将函数y?f(x)
的图象右移
a
、上移
b
个单位,得到函数
y?f(x?a)?b
的图象;若将曲线
f(x,y)?0
的图象右移
a、上移
b
个单位,得到曲线
f(x?a,y?b)?0
的图象.
? 互为反函数的两个函数的关系
f(a)?b?f
?1
(b)?a
.
? 若函数
y?f( kx?b)
存在反函数,则其反函数为
y?
而函数
y?[f
?11
?1
[
f
(
x
)
?b
]
, 并不是
y?[f
k
?1
(kx?b)
,
(kx?b)

y?
1
[f(x)?b]
的反函数.
k
? 几个常见的函数方程
(1)正比例函数
f(x)?cx
,
f(x? y)?f(x)?f(y),f(1)?c
.
(2)指数函数
f(x)?a
,
f(x?y)?f(x)f(y),f(1)?a?0
.
(3)对数函数
f(x)?log
a
x
,
f(xy)?f(x)?f(y),f(a)?1( a?0,a?1)
.
?
(4)幂函数
f(x)?x
,
f( xy)?f(x)f(y),f(1)?
?
.
'
x
(5)余弦函数
f(x)?cosx
,正弦函数
g(x)?sinx

f(x?y) ?f(x)f(y)?g(x)g(y)

f(0)?1,lim
x?0
g(x)
?1
.
x
? 几个函数方程的周期(约定a>0)
(1)
f(x)?f(x?a)
,则
f(x)
的周期T=a; (2)
f(x)?f(x?a)?0
,或
f(x?a)?

f( x?a)??
T=2a;
1
(f(x)?0)

f(x)
1
1
(f(x)?0)
,或
?
f(x)
2
f(x )?f
2
(x)?f(x?a),(f(x)?
?
0,1
?
)
,则
f(x)
的周期
1
(f(x)?0)
,则
f (x)
的周期T=3a;
f(x?a)
f(x
1
)?f(x
2
)
(4)
f(x
1
?x
2
)?
f(a)?1(f(x
1
)?f(x
2
)?1,0?|x
1?x
2
|?2a)
,则
f(x)
的周期
1?f(x1
)f(x
2
)
(3)
f(x)?1?
T=4a;
(5)
f(x)?f(x?a)?f(x?2a)f(x?3a)?f(x?4a)

?f(x)f(x?a)f(x?2a)f(x?3a)f(x?4a)
,则
f(x)
的周期T=5a;
(6)
f(x?a)?f(x)?f(x?a)
,则f(x)
的周期T=6a.



指数与对数



? 分数指数幂
(1)
a
m
n
?
1
n
a
m

a?0,m,n?N
,且
n? 1
).(2)
a
?
?
m
n
?
1
a
m
n

a?0,m,n?N
,且
n?1
).
?
? 根式的性质
n
n
n
(1)
(
n< br>a)?a
.(2)当
n
为奇数时,
n
a
n
? a
;当
n
为偶数时,
a?|a|?
?
?
a,a?0
.
?
?a,a?0
? 有理指数幂的运算性质
(1)
a?a?a
rsr?s
(a?0,r,s?Q)
.


(2)
(a)?a(a?0,r,s?Q)
.
(3)
(ab)?ab(a?0,b?0,r?Q)
.
注: 若a>0,p 是一个无理数,则a
p
表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理
数 指数幂都适用.
? 指数式与对数式的互化式

rs
r
rsrr
log
a
N?b?a
b
?N
(a?0,a?1,N ?0)
.

? 对数的换底公式
log
m
N
(
a?0
,且
a?1
,
m?0
,且
m?1
,

N?0
).
log
m
a
n
n
推论
log
a
m
b?log
a
b
(
a?0
,且
a?1
,
m,n?0
,且
m?1
,
n?1
,

N?0
).
m
log
a
N?
? 对数的四则运算法则
若a>0,a≠1,M>0,N>0,则
(1)
log
a
(MN)?log
a
M?log
a
N
;(2)
log
a
n
(3)
log
a
M?nlog
aM(n?R)
.
M
?log
a
M?log
a
N
;
N
2
2
? 设函数
f
(
x
)
?< br>log
m
(
ax?bx?c
)(
a?
0)
, 记
??b?4ac
.若
f(x)
的定义域为
R
,则
a?0


??0
;若
f(x)
的值域为
R
,则
a?0
,且
??0
.对于
a?0
的情形,需要单独检 验.
? 对数换底不等式及其推广
1
,则函数
y?log
ax
(bx)

a
11
(1)当
a?b
时,在
(0,)

(,??)

y?log
ax
(bx)
为增函数.
aa
11

(2)当
a?b
时,在
(0, )

(,??)

y?log
ax
(bx)
为减函 数.
aa

a?0
,
b?0
,
x?0
,
x?
推论:设
n?m?1

p?0

a ?0
,且
a?1
,则
2
(1)
log
m?p(n?p)?log
m
n
.(2)
log
a
mlog< br>a
n?log
a
m?n
.
2
x
? 平均增长率的问题
如果原来产值的基础数为N,平均增长率为
p
,则对于时间
x
的总产值
y
,有
y?N(1?p)
.
39.数列的同项公式与前n项的和的关系
n?1
?
s
1
,
a
n
?
?
( 数列
{a
n
}
的 前n项的和为
s
n
?a
1
?a
2
?
?s
n
?s
n?1
,n?2
数列


?a
n
).
*
? 等差数列的通项公式
a
n?a
1
?(n?1)d?dn?a
1
?d(n?N)

其前n项和公式为
s
n
?
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)d1
?na
1
?d?n
2
?(a
1
?d)n
.
2222


? 等比数列的通项公式
a
n
?a
1
q
其前n项的和公式为 < br>n?1
?
a
1
n
?q(n?N
*
)

q
?
a
1
(1?q
n
)
?
a
1
?a
n
q
,q?1
,q?1
?
?
s
n
?
?
1?q

s
n
?
?< br>1?q
.
?
na,q?1
?
na,q?1
?
1
?
1
? 等比差数列
?
a
n
?
:a
n?1
?qa
n
?d,a
1
?b(q?0)
的通项公式为
?
b?(n?1)d,q?1
?
a
n
??
bq
n
?(d?b)q
n?1
?d

,q?1
?
q?1
?
其前n项和公式为
?
nb? n(n?1)d,(q?1)
?
s
n
?
?
.
d1 ?q
n
d
(b?)?n,(q?1)
?
1?qq?11?q
?
? 分期付款(按揭贷款)
ab(1?b)
n
每次还款
x?< br>元(贷款
a
元,
n
次还清,每期利率为
b
).
(1?b)
n
?1

三角函数



? 常见三角不等式
)
,则
sinx?x?tanx
.(2) 若
x?(0,)
,则
1?sinx?cosx?2
.
22
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
(1)若
x?(0,
? 同角三角函数的基本关系式
??
sin
2
?
?cos
2
?
?1

tan
?
=
? 正弦、余弦的诱导公式
sin
?

tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
(n为偶数)

(n为奇数)
(n为偶数)

(n为奇数)
n?
n
?
?
(?1)
2
cos
?
,
cos(?
?
)?
?
n?1
2
?
( ?1)
2
sin
?
,
?
n
?
n
?
?
(?1)
2
sin
?
,
sin(?
?< br>)?
?

n?1
2
?
(?1)
2
c os
?
,
?

? 和角与差角公式
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
;
tan
?
?tan
?
tan(
?
?
?
)?
.
1tan
?
tan
?
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)?sin2
?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?
?sin
2
?
.


asin
?
?bcos
?
=
a
2
?b
2
sin(?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b)
的象限决定,
tan
?
?
? 半角正余切公式:
tan
? 二倍角公式
b
).
a
?
2
?
sin
?
sin
?
< br>,cot
?
?
1?cos
?
1?cos
?
2 tan
?
.
2
1?tan
?
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1 ?1?2sin
2
?
.
tan2
?
?
? 三倍角公式
sin3
?
?3sin
?
?4sin
3?
?4sin
?
sin(?
?
)sin(?
?
)
.
33
cos3
?
?4cos
3
?
? 3cos
?
?4cos
?
cos(?
?
)cos(?
?
)
33
3tan
?
?tan
3
???
tan3
?
??tan
?
tan(?
?
)tan(?
?
)
.
2
1?3tan
?
33
? 三角函数的周期公式
函数
y?sin(
?
x?
?
),x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
,x∈R(A ,ω,
?
为常数,且A≠0,ω>0)的周

T?
??
??
.
2
?
?
;函数
y?tan(
?
x??
)

x?k
?
?
?
2
,k?Z(A,ω,
?
为常数,且A≠0,ω>0)的周期
T?
?
.
?
? 正弦定理
? 余弦定理
abc
???
2
R
.
sinAsinBsinC
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c< br>2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
? 面积定理
111
ah
a
?bh
b
?ch
c

h
a
、h
b
、h
c
分别表示a、b、c边上的 高).
222
111
(2)
S?absinC?bcsinA?casin B
.
222
1
(3)
S
?OAB
?(|OA|? |OB|)
2
?(OA?OB)
2
.
2
(1)
S?
? 三角形角和定理
在△ABC中,有
A?B?C?
?
?C?
?
?(A?B)

?
C?
A?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222
? 在三角形中有下列恒等式:

sin(A?B)?sinC


tanA?tanB?tanC?

? 简单的三角方程的通解

sinx?a?x?k
?
? (?1)arcsina(k?Z,|a|?1)
.

cosx?a?x?2k
?
?arccosa(k?Z,|a|?1)
.
k
tanx?a?x?k
?
?arctana(k?Z,a?R)
.
特别地,有
sin
?
?sin
?
?
?
? k
?
?(?1)
k
?
(k?Z)
.
cos
?
?cos
?
?
?
?2k
?
?
?
(k?Z)
.
tan
?
?tan
?
?
?
?k
?
?
?
(k?Z)
.
? 最简单的三角不等式及其解集

sinx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?arcsina,2k
?
?
?
?arcsina),k?Z
.


sinx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?
??arcsina,2k
?
?arcsina),k?Z
.
< br>cosx?a(|a|?1)?x?(2k
?
?arccosa,2k
?
?arccosa),k?Z
.

cosx?a(|a|?1)?x?(2 k
?
?arccosa,2k
?
?2
?
?arccosa) ,k?Z
.

tanx?a(a?R)?x?(k
?
?ar ctana,k
?
?
?
2
),k?Z
.
tanx ?a(a?R)?x?(k
?
?,k
?
?arctana),k?Z
.
2
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
?
? 角的变形:
2
?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)

?
?(
?
?
?
)?
?



向量


? 实数与向量的积的运算律
设λ、μ为实数,那么
(1) 结合律:λ(μa)=(λμ)a;
(2)第一分配律:(λ+μ)a=λa+μa;(3)第二分配律:λ(a+b)=λa+λb.
? 向量的数量积的运算律:
(1)
a
·b= b·
a
(交换律);(2)(
?
a
)·b=
?

a
·b)=
?
a
·b=
a
·(
?
b);
(3)(
a
+b)·c=
a
·c +b·c.
? 平面向量基本定理
如果e
1
、e
2
是同一平面的两个不共线向量,那么对于这一平面的任一向量,有且只有一对实数λ
1

λ
2
,使得a=λ
1
e
1

2
e
2

不共线的向量e
1
、e
2
叫做表示这一平面所有向量的一组基底.
? 向量平行的坐标表示
设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,且b
?
0,则ab(b
?
0)
?x
1
y
2
? x
2
y
1
?0
.
?
a
与b的数量积(或积)
a
·b=|
a
||b|cosθ.
? a·b的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积.
? 平面向量的坐标运算
(1)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,则a+b=
(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
.
(2)设a=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
,则a-b=
(x
1
?x
2< br>,y
1
?y
2
)
.
(3)设A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
,则
AB?OB?OA?(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
)
.
(4)设a=
(x,y),
?
?R
,则
?
a=
(
?
x,
?
y)
.
(5)设a=
(x
1
,y
1
)
, b=
(x
2
,y
2
)
,则a·b=
(x
1
x
2
?y
1
y
2
)
.
? 两向量的夹角公式
cos
?
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
x?y?x?y
2
1
2
12
2
2
2
(
a
=
(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y
2
)
).
? 平面两点间的距离公式

d
A,B
=
|AB|?AB?AB

?(x
2?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
(A
(x
1
,y
1
)
,B
(x
2
,y
2
)
).
? 向量的平行与垂直
设a=(x
1
,y
1
)
,b=
(x
2
,y< br>2
)
,且b
?
0,则


A||b
?
b=λa
?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
.
a
?
b(a
?
0)
?
a
·b=0
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
.
? 线段的定比分公式

P
1
(x
1
,y
1
)

P
2
(x
2
,y
2
)

P(x,y)< br>是线段
P
1
P
2
的分点,
?
是实数,且PP
1
?
?
PP
2
,则
x
1
?
?
x
2
OP?
?
OP
2
1?
?

?
OP?
1
y
1
?
?
y2
1?
?
1?
?
1
().
t?
?( 1?t)OP
?
OP?tOP
12
1?
?
?
x?< br>?
?
?
?
y?
?
?
? 三角形的重心坐标公式
△ABC三个顶点的坐标分别为
A(x
1
,y1
)

B(x
2
,y
2
)

C(x
3
,y
3
)
,则△ABC的重心的坐标是
G(
x
1
?x
2
?x
3
y
1
?y
2
?y
3
,)
.
33
? 点的平移公式
''< br>??
?
x?x?h
?
x?x?h
''
?OP?OP? PP
?
?
.
?
''
??
?
y?y?k
?
y?y?k
注:图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形
F
上的对应点为
P(x,y)
,且
PP
的坐标为
(h,k)
.
? “按向量平移”的几个结论
(1)点
P(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得到点
P(x?h,y?k)
.
(2) 函数
y ?f(x)
的图象
C
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的函数解析式为
''
'
'
'''
'
y?f(x?h)?k
.
''
(3) 图象
C
按向量a =
(h,k)
平移后得到图象
C
,若
C
的解析式
y ?f(x)
,则
C
的函数解析式为
y?f(x?h)?k
.
(4)曲线
C
:
f(x,y)?0
按向量a=
(h,k)
平移后得到图象
C
,则
C
的方程为
f(x?h,y?k)?0
.
(5) 向量m=
(x,y)
按向量a=
(h,k)
平移后得 到的向量仍然为m=
(x,y)
.
? 三角形五“心”向量形式的充要条件

O

?ABC
所在平面上一点,角
A,B,C
所对边长 分别为
a,b,c
,则
(1)
O

?ABC
的外心
?OA?OB?OC
.
(2)
O

?ABC
的重心
?OA?OB?OC?0
.
(3)
O

?ABC
的垂心
?OA?OB?OB?O C?OC?OA
.
(4)
O

?ABC
的心
?a OA?bOB?cOC?0
.
(5)
O

?ABC
?A
的旁心
?aOA?bOB?cOC
.

不等式


? 常用不等式:
(1)
a,b?R
?
a?b?2ab
(当且仅当a=b时取“=”号).
22
222
''
a?b
?ab
(当且仅当a=b时取“=”号).
2
333
(3)
a? b?c?3abc(a?0,b?0,c?0).

(2)
a,b?R
?
?
(4)柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,a,b,c,d?R.


(5)
a?b?a?b?a?b
.
? 极值定理
已知
x,y
都是正数,则有
(1)若积
xy
是定值
p
,则当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p
; < br>(2)若和
x?y
是定值
s
,则当
x?y
时积
xy
有最大值
推广 已知
x,y?R
,则有
(x?y)?(x?y)?2xy

(1)若 积
xy
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|x?y|
最大;

|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
(2)若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小;

|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
2
? 一元二次不等式
ax?bx?c?0(或? 0)(a?0,??b?4ac?0)
,如果
a

ax?bx?c
同 号,
22
1
2
s
.
4
22
则其解集在两 根之外;如果
a

ax?bx?c
异号,则其解集在两根之间.简言之:同号 两根之外,
异号两根之间.
x
1
?x?x
2
?(x?x< br>1
)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
2
x?x
1
,或x?x
2
?(x?x
1< br>)(x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
.
? 含有绝对值的不等式
当a> 0时,有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a?x
2
?a
2
?x?a

x??a
.
75.无理不等式
(1)
(2)
(3)
?
f(x)?0
?
. f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?g(x)
?
?
f(x)?0
?
f(x)?0
?
.
f(x)? g(x)?
?
g(x)?0

?
?
f(x)?[g(x)]
2
?
g(x)?0
?
?
f(x)?0
?
.
f(x)?g(x)?
?
g(x)?0
?
f(x)?[g(x)]< br>2
?
? 指数不等式与对数不等式
(1)当
a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
; ?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0
.
?
f(x)?g(x)
?
(2)当
0?a?1
时,
a
f(x)
?a
g(x)
?f(x)?g(x)
;
?
f(x)?0
?
log
a
f(x)?log
a
g(x)?
?
g(x)?0

?
f(x)?g(x)
?



直线方程




? 斜率公式

k?
y
2
?y
1

P
1
(x
1< br>,y
1
)

P
2
(x
2
,y
2
)
).② k=tanα(α为直线倾斜角)
x
2
?x
1
? 直线的五种方程
(1)点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)
(直线
l
过 点
P
1
(x
1
,y
1
)
,且斜率为
k
).
(2)斜截式
y?kx?b
(b为直线
l
在y轴上的截距).
y?y
1
x?x
1
?
(
y
1
?y
2
)(< br>P
1
(x
1
,y
1
)

P
2
(x
2
,y
2
)
(
x
1
?x
2
)).
y
2
?y
1
x
2
?x
1
xy
(4)截距式
??1
(
a、b
分别为直线的横、纵截距,
a、b?0
)
ab
(5)一般式
Ax?By?C?0
(其中A、B不同时为0).
(3)两点式
? 两条直线的平行和垂直
(1)若
l
1
:y?k
1
x?b
1

l
2
:y?k
2
x?b
2


l
1
||l
2
?k
1
?k
2
,b
1
?b
2
;
②< br>l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1.
(2)若
l
1
:A
1
x?B
1
y ?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,且A
1
、A
2
、B1
、B
2
都不为零,
A
1
B
1
C
1

??
A
2
B
2
C
2
②两直线垂直的充要条件是
A
1< br>A
2
?B
1
B
2
?0
;即:
l1
?l
2
?
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0


l
1
||l
2
?
? 夹角公式
k
2
?k
1
|
.
1?k
2
k< br>1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1
,< br>l
2
:y?k
2
x?b
2
,
k
1< br>k
2
??1
)
AB?A
2
B
1
|
. (2)
tan
?< br>?|
12
A
1
A
2
?B
1
B
2
(1)
tan
?
?|
(
l
1
:A1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
,
A< br>1
A
2
?B
1
B
2
?0
). 直线
l
1
?l
2
时,直线l
1
与l
2
的夹角是
?
?
.
2
l
1

l
2
的角公式
k?k
1
(1)
tan
?
?
2
.
1?k
2
k
1
(
l
1
:y?k
1
x?b
1

l
2
:y?k
2
x?b
2< br>,
k
1
k
2
??1
)
AB?A
2
B
1
(2)
tan
?
?
12
.
A
1
A
2
?B
1
B
2
(
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0< br>,
A
1
A
2
?B
1
B
2
? 0
).
直线
l
1
?l
2
时,直线l
1< br>到l
2
的角是
?
.
2
? 四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程:经过定点
P
0
(x
0
, y
0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0< br>)
(除直线
x?x
0
),其中
k


是待 定的系数; 经过定点
P
0
(x
0
,y
0
)
的直线系方程为
A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?0
, 其中
A,B
是待定的系数.
(2)共点直线系方程:经过两直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0的交点的直线系方程

(A
1
x?B
1
y?C
1
)?
?
(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
(除
l
2
),其中λ是待定的系数.
(3)平行直线系方 程:直线
y?kx?b
中当斜率k一定而b变动时,表示平行直线系方程.与直线
Ax ?By?C?0
平行的直线系方程是
Ax?By?
?
?0
(
?
?0
),λ是参变量.
(4)垂直直线系方程:与直线
Ax?By?C?0
(A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是
Bx?Ay?
?
?0
,λ是参变量.
? 点到直线的距离
A?B
?
Ax?By?C?0

?0
所表示的平面区域
设直线
l:Ax?By?C?0
,若A>0,则在坐标平面从左至右的区域依次表示
Ax?By?C?0

Ax?By?C?0
,若A<0,则在坐标平面从左至 右的区域依次表示
Ax?By?C?0

Ax?By?C?0

可记为“x 为正开口对,X为负背靠背“。(正负指X的系数A,开口对指”<>,背靠背指)


85.
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0

?0
所表示的平面区域
设曲线
C:(A
1
x?B
1
y?C< br>1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0

A
1
A
2
B
1
B
2
?0),则
d?
|Ax
0
?By
0
?C|
22< br>(点
P(x
0
,y
0
)
,直线
l

Ax?By?C?0
).
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0
?0
所表示的平面区域是:
(A
1
x?B
1
y?C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
) ?0
所表示的平面区域上下两部分;
(A
1
x?B
1
y? C
1
)(A
2
x?B
2
y?C
2
)?0< br>所表示的平面区域上下两部分.




? 圆的四种方程
(1)圆的标准方程
(x?a)?(y?b)?r
.
22
(2)圆的一般方程
x?y?Dx?Ey?F?0
(
D?E?4F
>0).
22
222
?
x?a?rcos
?
.
?
y?b?rsin
?
(4)圆的直径式方程
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y
2
)?0
(圆的直径的端点是
A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y
2
)
).
(3)圆的参数方程
?
? 圆系方程
(1)过点
A(x
1
,y
1)
,
B(x
2
,y
2
)
的圆系方程是
(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
)(y?y2
)?
?
[(x?x
1
)(y
1
?y
2
)?(y?y
1
)(x
1
?x
2
)]?0

?(x?x
1
)(x?x
2
)?(y?y
1
) (y?y
2
)?
?
(ax?by?c)?0
,其中
ax?b y?c?0
是直线
AB
的方程,λ是
待定的系数.
(2)过直线< br>l
:
Ax?By?C?0
与圆
C
:
x?y?Dx?E y?F?0
的交点的圆系方程是
22
x
2
?y
2
? Dx?Ey?F?
?
(Ax?By?C)?0
,λ是待定的系数.
2222
(3) 过圆
C
1
:
x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?0
与圆
C
2
:x?y?D
2
x?E
2
y?F
2
?0
的交点的 圆系方程
2222

x?y?D
1
x?E
1
y?F
1
?
?
(x?y?D
2
x?E
2
y?F< br>2
)?0
,λ是待定的系数.
? 点与圆的位置关系

P (x
0
,y
0
)
与圆
(x?a)?(y?b)?r
的位置关系有三种

d?(a?x
0
)?(b?y
0
)
,则
22
222


d?r?

P
在圆外;
d?r ?

P
在圆上;
d?r?

P
在圆.
? 直线与圆的位置关系
直线
Ax?By?C?0
与圆
(x?a)?(y?b) ?r
的位置关系有三种:
222
d?r?相离???0
;
d?r?相切???0
;
d?r?相交???0
.
其中
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
.
? 两圆位置关系的判定方法
设两圆圆心分别为O
1
,O
2
,半径分别 为r
1
,r
2

O
1
O
2
?d< br>
d?r
1
?r
2
?外离?4条公切线
;
d?r
1
?r
2
?外切?3条公切线
;
r
1
?r
2
?d?r
1
?r
2
?相交?2条公切线
;
d?r
1
?r
2
?内切?1条公切线
;
0?d?r
1
?r
2
?内含?无公切线
.
91.圆的切线方程
(1)已知圆
x?y?Dx?Ey?F?0

①若已知切点
(x
0
,y
0
)
在圆上,则切线只有一条, 其方程是
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)
? ?F?0
.
22
D(x
0
?x)E(y
0
?y)

(x
0
,y
0
)
圆外时,
x
0
x?y
0
y???F?0
表示过两个切点的切点弦方程.
22< br>②过圆外一点的切线方程可设为
y?y
0
?k(x?x
0
)< br>,再利用相切条件求k,这时必有两条切线,

x
0
x?y
0
y?
注意不要漏掉平行于y轴的切线.
③斜率为k的切线方程可设为
y?kx?b
,再利用相切条件求b,必有两条切线.
(2)已知圆
x?y?r

2
①过圆上的
P
0< br>(x
0
,y
0
)
点的切线方程为
x
0
x?y
0
y?r
;
222
②斜率为
k
的圆的切 线方程为
y?kx?r1?k
2
.











































椭圆

?
x?acos
?
x
2
y
2
??1(a?b?0)
? 椭圆
2
的参数方程是
?
.
ab
2
y?bsin< br>?
?
x
2
y
2
? 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式
abPF
1
?a?ex

PF
2
?a?ex
,F
1
,F
2
分别为左右焦点

x
2
y
2
?PF
1
F
2
2
? 焦点三角形:P为椭圆2
?
2
?1(a?b?0)
上一点,则三角形
PF
1< br>F
2
的面积S=
b?tan;
ab
2
2
特别 地,若
PF
1
?PF
2
,
此三角形面积为
b

x
2
y
2
? 在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上存在点P,使
PF
1
?PF
2
的条 件是c≥b,即椭圆的离心率e的围
ab
2
,1)
; 是
[
2
? 椭圆的的外部
22
x
0
y
0
x
2
y
2
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的部
?
2
?
2
?1
.
abab
22
x0
y
0
x
2
y
2
(2)点
P(x0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a? b?0)
的外部
?
2
?
2
?1
.
abab
? 椭圆的切线方程
x
2
y
2
xxy y
(1)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点
P (x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?< br>0
2
?1
.
ab
ab


x
2
y
2
xxyy
(2)过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引 两条切线的切点弦方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
22222
(3) 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
ab
























双曲线
x
2
y
2
? 双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
?|e(x?)|
PF
2
?|e(?x)|
.
cc
? 双曲线的外部
22
x
0
y
0
x
2
y
2
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的部
?
2
?
2
?1.
abab
22
x
0
y
0
x
2y
2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在双 曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?
2< br>?
2
?1
.
abab
? 双曲线的方程与渐近线方程的关系
x
2
y
2
x
2
y
2
b
( 1)若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程:
2
?
2
?0?
y??x
.
ab
ab
ax
2
y
2
xy
b
(2)若渐近线方程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线,可设为
2
?
2
??

??0
,焦点在x轴上,
??0

ab
ab
焦点在y轴上).
? 双曲线的切线方程
x
2
y
2
xxyy
( 1)双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x< br>0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab


x
2
y
2
(2) 过双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
外一点
P(x0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x0
xy
0
y
?
2
?1
.
2
ab
x
2
y
2
22222
(3) 双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax?By? C?0
相切的条件是
Aa?Bb?c
.
ab
? 焦点到渐近线的距离等于虚半轴的长度(即b值)








































? 焦点与半径
抛物线

< p>
抛物线y
2
?ax(a?0),焦点是(
aa
4
,0) ,准线x??
4
;

抛物线x
2
?ay(a?0),焦点是 (0,
aa
4
),准线y??
4
;
? 焦半径公式
抛物线
y
2
?2px(p?0)
,C
(x
0,y
0
)
为抛物线上一点,焦半径
CF?x
p
0
?
2
.
过焦点弦长
CD?x
p
1
?
2
?x
p
2
?
2
?x
1
?x
2?p
.对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。
? 设点方法
抛物线
y
2
?2px
上的动点可设为P
(
y
2
0
2 p
,y
2
0
)

P(2pt
2
,2pt) 或
P
(x,y)
,其中
y
0
?2px
0
.
? 二次函数
2
b
2
y?ax?bx?c?a(x?
2a
)
2
?
4a c?b
4a
(a?0)
的图象是抛物线:
(1)顶点坐标为
(?< br>b
2a
,
4ac?b
2
4a
)

(2)焦点的坐标为
(?
b4ac?b
2
?
2a
,
1
4a
)

(3)准线方程是
y?
4ac?b
2
?1
4a
.
? 抛物线的外部
(1)点
P(x
22
0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p?0)
的部
?y?2px(p?0).

P(x
22
0
,y
0
)
在抛物 线
y?2px(p?0)
的外部
?y?2px(p?0)
.
(2) 点
P(x
22
0
,y
0
)
在抛物线
y?? 2px(p?0)
的部
?y??2px(p?0)
.

P(x22
0
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)的外部
?y??2px(p?0)
.
(3)点
P(x
220
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的部
?x?2py(p?0)
.

P(x
22
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的外部
?x?2py(p?0 )
.
(4) 点
P(x
22
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的部
?x?2py(p?0)
. < br>点
P(x
22
0
,y
0
)
在抛物线
x??2py(p?0)
的外部
?x??2py(p?0)
.
? 抛物线的切线方程
(1)抛物线
y
2
?2px
上一点
P( x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p (x?x
0
)
.
(2)过抛物线
y
2
?2 px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点 弦方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
(3 )抛物线
y
2
?2px(p?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB
2
?2AC
.
? 过抛物线
y
2
?
2px
(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交
A(x
1,y
1
)B(x
2
,y
2
),则有y
1
y
2
??p
2
,x
1
x
2
?4p
2
,
即k=-
1
OA
.K
OB
4
(O为 原点)
A(xy
1
1
,
1
)B(x
2
, y
2
),则有y
1
y
2
??p
2
,x1
x
2
2
?4p,即k
OA
.K
OB
=-
4
(O为原点)













圆锥曲线共性问题

? 两个常见的曲线系方程
(1)过曲线
f
1
(x,y)?0
,
f
2
(x,y)?0
的交点的 曲线系方程是
f
1
(x,y)?
?
f
2
(x,y )?0
(
?
为参数).
x
2
y
2
?2
?1
,其中
k?max{a
2
,b
2
}.当
k?min{a
2
,b
2
}
时,(2)共焦点的有 心圆锥曲线系方程
2
a?kb?k
2222
表示椭圆; 当
min{a,b}?k?max{a,b}
时,表示双曲线.
? 直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

AB ?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2
?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1?y
2
|1?cot
2
?

(弦端点A
(x< br>1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)

由方程
?
?
y?kx?b
2
消去y得到
ax?bx?c?0
,.
??0
,
?
为直线
AB
的倾斜角,
k
为直线的斜率)
?
F(x,y)?0

? 涉及到曲线上的 点A,B及线段AB的中点M的关系时,可以利用“点差法:, 比如在椭圆中:
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),中点M(x0,y0),则有:
x
1
2
y
1
2
?
2
?1(1)
a
2
b
x
2< br>2
y
2
2
??1(2)

a
2
b< br>2
x
0
y
1
?y
2
x
1
? x
2
b
2
b
2
(1)?(2)???(?
2
)??(?
2
)
x
1
?x
2
y
1
?y
2
ay
0
a
? 圆锥曲线的两类对称问题
(1)曲 线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)成中心对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
(2)曲线
F(x,y)?0
关于直线
Ax?By?C?0
成 轴对称的曲线是
F(x?
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)?0
.
2222
A?BA?B
222
? “四线”一方程
2
对于一般的二次曲线
Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0
,用
x
0< br>x

x
,用
y
0
y

y
, 用
x
0
y?xy
0
2

xy
,用
x
0
?xy?y

x
,用
0

y
即得方程
22
xy?xy
0
x?xy?y
Ax
0
x?B?
0
?Cy
0
y?D?
0
?E?
0
?F?0
,曲线的切线,切点弦,中点弦,弦中点方
222
程均是此方程得到.




立体几何


109.证明直线与直线的平行的思考途径
(1)转化为判定共面二直线无交点;
(2)转化为二直线同与第三条直线平行;
(3)转化为线面平行;
(4)转化为线面垂直;
(5)转化为面面平行.
110.证明直线与平面的平行的思考途径
(1)转化为直线与平面无公共点;
(2)转化为线线平行;
(3)转化为面面平行.
111.证明平面与平面平行的思考途径
(1)转化为判定二平面无公共点;
(2)转化为线面平行;
(3)转化为线面垂直.
112.证明直线与直线的垂直的思考途径
(1)转化为相交垂直;
(2)转化为线面垂直;
(3)转化为线与另一线的射影垂直;
(4)转化为线与形成射影的斜线垂直.
113.证明直线与平面垂直的思考途径
(1)转化为该直线与平面任一直线垂直;
(2)转化为该直线与平面相交二直线垂直;
(3)转化为该直线与平面的一条垂线平行;
(4)转化为该直线垂直于另一个平行平面;
(5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直.
114.证明平面与平面的垂直的思考途径
(1)转化为判断二面角是直二面角;
(2)转化为线面垂直.
115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律
(1)加法交换律:a+b=b+a.
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb.
116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广
始点相同且不在同一个平面的三个向量 之和,等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始
点的对角线所表示的向量.
117.共线向量定理
对空间任意两个向量a、b(b≠0 ),a∥b
?
存在实数λ使a=λb.
P、A、B
三点共线
?AP||AB
?
AP?tAB
?
OP?(1?t)OA?tOB
.
AB||CD
?
AB

CD
共线且
AB、CD
不共线
?
AB?tCD

AB、CD
不共线.
118.共面向量定理
向量p与两个不共线的向量a、b共面的
?
存在实 数对
x,y
,使
p?ax?by

推论 空间一点P位于平面M AB的
?
存在有序实数对
x,y
,使
MP?xMA?yMB

或对空间任一定点O,有序实数对
x,y
,使
OP?OM?xMA?yM B
.
119.对空间任一点
O
和不共线的三点A、B、C,满足
O P?xOA?yOB?zOC

x?y?z?k
),则

k?1时,对于空间任一点
O
,总有P、A、B、C四点共面;当
k?1
时,若
O?
平面ABC,则P、A、B、
C四点共面;若
O?
平面ABC, 则P、A、B、C四点不共面.


A、B、 C、D
四点共面
?AD

AB

AC
共面
?
AD?xAB?yA C
?

OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC

O?
平面ABC).
120.空间向量基本定理
如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量p,存 在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p
=xa+yb+zc.
推论 设O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使
OP?xOA?yOB ?zOC
.
121.射影公式
已知向量
AB
=
a
和轴
l
,e是
l
上与
l
同方向的单位向量.作A点在l
上的射影
A
'
,作B点在
l
上的射影
B'
,则
A
'
B
'
?|AB|cos

a
,e〉=
a
·e
122.向量的直角坐标运算

a

(a
1
,a
2
,a
3
)
,b=
(b
1
,b
2
,b
3
)

(1 )
a
+b=
(a
1
?b
1
,a
2
?b
2
,a
3
?b
3
)

(2)
a
-b=
(a
1
?b
1
,a
2
?b2
,a
3
?b
3
)

(3)λ
a< br>=
(
?
a
1
,
?
a
2
,< br>?
a
3
)
(λ∈R);
(4)
a
·b=
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3

123.设A
(x
1
,y
1
,z
1
)
,B
(x
2
,y
2
,z
2
)
,则
AB?OB?OA
=
(x
2
?x
1
,y
2
?y
1
,z
2
?z
1
)
.
124.空间的线线平行或垂直

a?(x
1< br>,y
1
,z
1
)

b?(x
2
,y
2
,z
2
)
,则
?
x
1
??
x
2
?
ab
?
a?
?
b(b?0)
?
?
y
1
?
?
y
2

?
z?
?
z
2
?
1
a?b
?
a? b?0
?
x
1
x
2
?y
1
y
2< br>?z
1
z
2
?0
.
125.夹角公式

a

(a
1
,a
2
,a
3
)< br>,b=
(b
1
,b
2
,b
3
)
,则
cos〈
a
,b〉=
a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3
b
3
a?a?a
2
1
2
2
2
3
b?b?b
2222
推论
(a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
3< br>b
3
)?(a?a?a)(b
1
?b
2
?b
3
)
,此即三维柯西不等式.
2
1
2
1
2
2
2
2
2
3
2
3
.
126. 四面体的对棱所成的角
四面体
ABCD
中,
AC

BD
所成的角为
?
,则
|(AB
2
?CD
2
)?(BC
2
?DA
2
)|
c os
?
?
.
2AC?BD
127.异面直线所成角
cos
?
?|cosa,b|

=
|a?b|
|a |?|b|
?
|x
1
x
2
?y
1
y
2
?z
1
z
2
|
x?y?z?x
2
?y
2
?z
2
2
1
2
1
2
1
222

b
所成角,
a,b
分别表示异面直线
a,b
的方向向量) (其中
?

0?
?
?90
)为异面直线
a,
128.直线
AB
与平面所成角


AB?m
(
m
为平面
?
的法向量). |AB||m|
129.若
?ABC
所在平面若
?
与过若
AB
的平面
?
成的角
?
,另两边
AC
,
BC
与平面
?
成的角分别

?
1

?2
,
A、B

?ABC
的两个角,则
?
?a rcsin
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?(sin
2
A?sin
2
B)sin
2
?
.
特别地,当
?ACB?90
时,有
sin
2
?1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
.
130.若
?ABC
所在平面若
?
与过若
AB
的平 面
?
成的角
?
,另两边
AC
,
BC
与平面
?
成的角分别是
?
1

?
2
,
A
'
、B
'

?ABO
的两个角,则
tan
2
?
1
?tan
2
?
2
?(sin
2< br>A
'
?sin
2
B
'
)tan
2
?
.
特别地,当
?AOB?90
时,有
sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
.
131.二面角
?
?l?
?
的平面角
?
? arccos
m?nm?n

?
?arccos

m

n
为平面
?

?
的法向量).
|m||n||m||n|
132.三余弦定理
设AC是α的任一条直线,且BC⊥ AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为
?
1
,AB与AC所成的角为
?
2

AO与AC所成的角为
?
.则
cos
?
?cos
?
1
cos
?
2
.
133. 三射线定理
若夹在平面角为
?
的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是< br>?
1
,
?
2
,与二面角的棱所成的
2222
角是θ,则有
sin
?
sin
?
?sin
?
1?sin
?
2
?2sin
?
1
sin
?
2
cos
?

|
?
1
?
?
2
|?
?
?180?(
?
1
?
?
2
)
(当且仅当
?
?90
时等号成立).
134.空间两点间的距离公式
若A
(x
1
,y
1,z
1
)
,B
(x
2
,y
2
,z2
)
,则
AB?AB
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
.
135.点
Q
到直线
l
距离
1
h?(|a||b |)
2
?(a?b)
2
(点
P
在直线
l
上 ,直线
l
的方向向量a=
PA
,向量b=
PQ
).
|a|

d
A,B
=
|AB|?
136.异面直线间的距离
|C D?n|
(
l
1
,l
2
是两异面直线,其公垂向量为
n

C、D
分别是
l
1
,l
2
上任一点 ,
d

l
1
,l
2
间的距离).
|n|
137.点
B
到平面
?
的距离
|AB? n|

n
为平面
?
的法向量,
AB
是经过面
?
的一条斜线,
A?
?
).
d?
|n|
d?
138.异面直线上两点距离公式
d?h
2
?m
2
?n
2
2mncos
?
.
d ?h
2
?m
2
?n
2
?2mncosEA
'
,AF
.
d?h
2
?m
2
?n
2
?2 mncos
?

?
?E?AA
'
?F
).
(两条异面直线a、b所成的角为θ,其公垂线段
AA
的长度为h.在直线a、b上 分别取两点E、F,
'
A
'
E?m
,
AF?n
,< br>EF?d
).
139.三个向量和的平方公式



(a?b?c)
2
?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

222
?a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?| a|cosc,a

140. 长度为
l
的线段在三条两两互相垂直的直线上 的射影长分别为
l
1
、l
2
、l
3
,夹角分别为< br>222
?
1

?
2

?
3
,则有
l
2
?l
1
2
?l
2
2
?l
3
2
?cos
2
?
1
?cos
2?
2
?cos
2
?
3
?1
?sin
2
?
1
?sin
2
?
2
?sin
2
?
3
?2
.
(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例).
141. 面积射影定理
S
'
S?
.
cos
?
(平面多边形及其射影的面积分别是
S

S
,它们所在平面所成锐 二面角的为
?
).
142. 斜棱柱的直截面
已知斜棱柱的侧棱长是l
,侧面积和体积分别是
S
斜棱柱侧

V
斜棱柱
,它的直截面的周长和面积分别是
c
1

S
1
,则

S
斜棱柱侧
?c
1
l
.

V
斜棱柱
?S
1
l
.
143.作截面的依据
三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行.
144.棱锥的平行截面的性质
如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相 似,截面面积与底面面积的比等于顶点
到截面距离与棱锥高的平方比(对应角相等,对应边对应成比例的 多边形是相似多边形,相似多边形面积
的比等于对应边的比的平方);相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比 等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.
145.欧拉定理(欧拉公式)
V?F?E?2
(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).
(1)
E< br>=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为
n
的多边形,则面数F与棱数E 的关系:
'
1
E?nF

2
(2)若每个顶点引出的棱数 为
m
,则顶点数V与棱数E的关系:
E?
146.球的半径是R,则
1
mV
.
2
4
3
?
R
,
3
2
其表面积
S?4
?
R

其体积
V?
147.球的组合体
(1)球与长方体的组合体:
长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长.
(2)球与正方体的组合体:
正方体的切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外
接球的直径是正方体的体对角线长.
(3) 球与正四面体的组合体:
棱长为
a
的正四面体的切球的半径为
148.柱体、锥体的体积
66
a
,外接球的半径为
a
.
124
1
V
柱体
?Sh

S
是柱体的底面积、
h
是柱体的高 ).
3
1
V
锥体
?Sh

S
是锥体的底 面积、
h
是锥体的高).
3



排列组合


? 分类计数原理(加法原理)
N?m
1
?m
2
??m
n
.
? 分步计数原理(乘法原理)
N?m
1
?m
2
??m
n
.
? 排列数公式
A
n
m
=
n(n?1)?(n?m?1)
=
注:规定
0!?1
.
? 排列恒等式
mm?1
(1)
A
n
?(n?m?1)A
n
; < br>n!
*
.(
n

m
∈N,且
m?n
).
(n?m)!
n
m
A
n?1
;
n?mmm?1
(3)
A
n
?nA
n?1
;
(2 )
A
n
?
m
nn?1n
(4)
nA
n?A
n?1
?A
n
;
mmm?1
(5)
A< br>n?1
?A
n
?mA
n
.
(6)
1!?2?2!?3?3!?
? 组合数公式
m
n
?n?n!?(n?1)!?1
.
n!
A
n
m
n(n?1)
?
(n?m?1)
*
C
=
m
==(
n
∈N,
m?N
,且
m?n
).
m!?(n?m)!
1?2?
?
?m
A
m
? 组合数的两个性质
(1)
C
n
=
C
n
m
m
n?m

=
C
n?1
.
m
(2)
C
n
+
C
n
m?1
0
注:规定
C
n
?
1
.
? 组合恒等式
n?m?1
m?1
C
n
;
m
n
mm(2)
C
n
?C
n?1
;
n?m
n
m?1m
(3)
C
n
?C
n?1
;
m
(1)
C
n
?
m
(4)
?
C
r?0
r
r
n
r
n
=
2
; n
rrrr?1
(5)
C?C
r?1
?C
r?2
???C
n
?C
n?1
.
012rnn
(6)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
???C< br>n
?2
.
135024n?1
(7)
C
n
?C
n
?C
n
???C
n
?C
n
?Cn
??2
.
123nn?1
(8)
C
n
? 2C
n
?3C
n
???nC
n
?n2
.
r0r?110rrr
(9)
C
m
C
n
?C
mC
n
?
?
?C
m
C
n
?C
m ?n
.


021222n2n
(10)
(C
n
)?(C
n
)?(C
n
)???(C
n
)?C
2 n
.
? 排列数与组合数的关系
mm
A
n
?m!?C
n
.
? 单条件排列
以下各条的大前提是从
n
个元素中取
m
个元素的排列.
(1)“在位”与“不在位”
mm?11m?1
m?1
①某(特)元必在某 位有
A
n?1
种;②某(特)元不在某位有
A
n
?A
n?1
(补集思想)
?A
n?1
A
n?1
(着
m 1m?1
眼位置)
?A
n?1
?A
m?1
A
n?1
(着眼元素)种.
(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻)
①定位紧贴:
k (k?m?n)
个元在固定位的排列有
A
k
A
n?k
种.
②浮动紧贴:
n
个元素的全排列把k个元排在一起的排法有
A
n?k ?1
A
k
种.注:此类问题常用捆绑法;
③插空:两组元素分别有k、h个 (
k?h?1
),把它们合在一起来作全排列,k个的一组互不能挨近
hk
的 所有排列数有
A
h
A
h?1
种.
(3)两组元素各相同的插空
m
个大球
n
个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法?
n< br>A
m
n
?1

n?m?1
时,无解;当
n? m?1
时,有
n
?C
m?1
种排法.
A
n
n?k?1k
km?k
(4)两组相同元素的排列:两组元素有m个和n个,各组元素分别相 同的排列数为
C
m?n
.
? 分配问题
(1)(平均分组有归属 问题)将相异的
m

n
个物件等分给
m
个人,各得
n
件,其分配方法数共有
n
(mn)!
.
m
(n!)(2)(平均分组无归属问题)将相异的
m
·
n
个物体等分为无记号或无 顺序的
m
堆,其分配方法数共有
nnnnn
C
mn
?C< br>mn
(mn)!
?n
?C
mn?2n
...?C
2n
?C
n
N??
.
m!m!(n!)
m
(3)(非 平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m
)
个物体分给
m
个人,物件必须被分完,
nnnnn
N? C
mn
?C
mn?n
?C
mn?2n
?
?
?C
2n
?C
n
?
分别得到
n
1

n
2
,…,
n
m
件,且
n
1

n
2
,…,
n
m

m
个数彼此不相等,则其分配方 法数共有
n
m
n
1
n
2
N?C
p
?C
p?n
1
...C
n
m
?m!?
p!m!.
n
1
!n
2
!...n
m
!
(4 )(非完全平均分组有归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
+< br>n
m
n
1
n
2
C
p
?C
p ?n
1
...C
n
m
?m!
+n
m
)个物体分给
m
个人,物件必须被分
完,分别得到
n
1

n
2
,…,
n
m
件,且
n
1
,< br>n
2
,…,
n
m

m
个数中分别有a、b、 c、…个相等,则其分
p!m!
.
a!b!c!...
n
1
!n
2
!...n
m
!(a!b!c!...)
(5)(非平均分 组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m)
个物体分为任意的
n
1

n
2
,…,
n
m
件无
p!
记号的
m
堆,且
n
1
n
2
,…,
n
m

m
个数彼此不相 等,则其分配方法数有
N?
.
n
1
!n
2
!.. .n
m
!
配方法数有
N?

?
(6)(非完全平均 分组无归属问题)将相异的
P(P=n
1
+n
2
++n
m< br>)
个物体分为任意的
n
1

n
2
,…,n
m
件无记号的
m
堆,且
n
1

n< br>2
,…,
n
m

m
个数中分别有a、b、c、…个相 等,则其分配方法数有
N?
p!
.
n
1
!n
2< br>!...n
m
!(a!b!c!...)
+n
m
)个物体分给 甲、乙、丙,……等
m
个(7)(限定分组有归属问题)将相异的
p

p?n
1
+n
2
+
人,物体必须被分完,如果指定甲得
n
1
件,乙得
n
2
件,丙得
n
3
件,…时, 则无论
n
1

n
2
,…,
n
m

m


数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
n
m
n
1
n
2
N?C
p
?C
p?n
1
...C
n
m
?
p!
.
n
1
!n
2
!...n
m
!
? “错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题:信
n
封信与
n
个信封全部错位的组合数为
1111
????(?1)
n
]
.
2!3!4!n!
推广:
n
个元素与
n
个位置,其中至少 有
m
个元素错位的不同组合总数为
f(n)?n![
1234
f( n,m)?n!?C
m
(n?1)!?C
m
(n?2)!?C
m(n?3)!?C
m
(n?4)!
??(?1)C(n?p)!?
pp< br>m
?(?1)C(n?m)!
p
C
m
?(?1)
p< br>?
A
n
p
mm
m

1234
Cm
C
m
C
m
C
m
?n![1?
1?
2
?
2
?
4
?
A
n
An
A
n
A
n
m
C
m
?(?1)
m
]
.
A
n
m
? 不定方程
x
1+x
2
+
(1)方程
x
1
+x
2
+< br>(2) 方程
x
1
+x
2
+
(3) 方程
x
1
+x
2
+
n?1
个.
C
m?1
?(n?2)(k?1)
+x
n
?m
的解的个数
n?1
+x
n
?m

n,m?N
?
)的正整数解有
C
m
个.
?1
1
+x
n
?m

n,m?N
?
)的非负整数解有
C
n
n
?
?
个.
m?1
+x
n
?m

n,m?N
?
)满足条件
x
i
?k
(
k?N
?
,
2?i?n?1
)的非负整数解有
+ x
n
?m

n,m?N
?
)满足条件
x
i
?k
(
k?N
?
,
2?i?n?1
)的正整数解有
2n?1
?(?1)
n?2
C
n
n
?
?< br>C
m?1?(n?2)k
个.
2
(4) 方程
x
1
+x
2
+
11n?12n?1
C
n
n
?< br>?
?CC?CC?
m?1n?2m?n?k?2n?2m?n?2k?3
n0n 1n?12n?22rn?rrnn
? 二项式定理
(a?b)?C
n
a? C
n
ab?C
n
ab?
?
?C
n
ab?< br>?
?C
n
b

二项展开式的通项公式
rn?r r
T
r?1
?C
n
ab
(r?0,1,2?,n)
.


概率

? 等可能性事件的概率
P(A)?
m
.
n
? 互斥事件A,B分别发生的概率的和
P(A+B)=P(A)+P(B).
?
n
个互斥事件分别发生的概率的和
P(A
1
+A
2
+…+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A< br>n
).
? 独立事件A,B同时发生的概率
P(A·B)= P(A)·P(B).
? .n个独立事件同时发生的概率
P(A
1
· A
2
·…· A
n
)=P(A
1
)· P(A
2
)·…· P(A
n
).
? n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率
kk
P
n
(k)?C
n
P(1?P)
n?k
.



期望与方差



? .离散型随机变量的分布列的两个性质
)
; (1)
P
i
?0(i?1,2,
(2)
P< br>1
?P
2
?
? 数学期望
?1
.
?x
n
P
n
?

E
?
?x
1
P
1
?x
2
P
2
?
? 数学期望的性质
(1)
E(a
?
?b)?aE(
?
)?b
. (2)若
?

B(n,p)
,则
E
?
?np< br>.
(3)


?
服从几何分布,且
P(
?
?k)?g(k,p)?q
? 方差
k?1
p
,则
E
?
?
2
1
.

p
D
?
?
?
x
1
?E
?
?
?p
1
?
?
x
2
?E
?< br>?
?p
2
?
? 标准差
22
?
?
x
n
?E
?
?
?p
n
?

??
=
D
?
.
? 方差的性质
(1)
D
?
a
?
?b
?
?aD
?

2
(2)若
?

B(n,p)
,则
D
?
?n p(1?p)
.
(3)

?
服从几何分布,且
P(?
?k)?g(k,p)?q
k?1
p
,则
D
?
?
q
.

p
2
? 方差与期望的关系
D
?
?E
?
2
?
?
E
?
?
.
? 正态分布密度函数
2
f
?
x
?
?
1
e
2
?
6
?
?
x?
?
?
2
26
2
,x?
?
??,??
?
,式中的实数μ,
?

?
>0)是参数,分别表示个体的平均数
与标准差.
? .标准正态分布密度函数
x
?
1
f
?
x?
?e
2
,x?
?
??,??
?
.
2
?
6
2
? .对于
N(
?
,
?
)
,取值小于x的概率
?x?
?
?
F
?
x
?
??
??
.
?
?
?
P
?
x
1
?x
0?x
2
?
?P
?
x?x
2
?
?P?
x?x
1
?

2
?F
?
x
2
?
?F
?
x
1
?

?
x??
??
x
1
?
?
?
??
?
2
??
???
.

?
?
??
?
?
? 回归直线方程
nn
?
?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
?b?
i?1
n
?
i?1
n
2
.
y? a?bx
,其中
?
x
i
?x
?
x
i
2
?nx
2
?
??
?
i?1i?1
?
?
a?y?bx
? 相关系数



r?
?
?
x?x
??
y?y
?
ii
i?1
n
?(x?x)
?
(y?y)
2
ii
i?1i?1
nn
?
2
?
?
x?x
??
y?y
?ii
i?1
n
(
?
x
i
2
?nx2
)(
?
y
i
2
?ny
2
)
i?1i?1
nn
.
|r|≤1,且|r|越接近于1,相关程度越大;|r|越接近于0,相关程度越小.




极限


? .特殊数列的极限 ?
0
?
n
(1)
limq?
?
1
n? ?
?
不存在
?
|q|?1
q?1
|q|?1或q??1.
?
0(k?t)
?
a
k
n
k
?a
k?1
n
k?1
??a
0
?
a
t
(2)
lim?
?
(k?t)
.
n??
bn
t< br>?bn
t?1
??b
0tt?1
?
b
k
?< br>不存在 (k?t)
?
(3)
S?lim
n??
a
1
1?q
n
1?q
x?x
0
??
?
a
1
n?1

S
无穷等比数列
a
1
q
?< br> (
|q|?1
)的和)
.
1?q
?
? 函数的极限定理
x?x
0
limf(x)?a
?
lim
?
f(x)?lim
?
f(x)?a
.
x?x
0
? .函数的夹逼性定理
如果函数f(x),g(x),h(x)在点x
0
的附近满足:
(1)
g(x)?f(x)?h(x)
;
(2)
limg(x)?a,limh(x)?a
(常数),
x?x
0
x?x
0

limf(x)?a
.
x?x
0
本定理对于单侧极限和
x??
的情况仍然成立.
? 几个常用极限
1

?0

lima
n?0

|a|?1

n??
n
n??
11(2)
limx?x
0

lim?
.
x?x
0
x
x?x
0
x
0
(1)
lim
? 两个重要的极限
(1)
lim
sinx
?1

x?0
x
x
?
1
?
(2)
lim
?
1?
?
?e
(e=2.718281845…).
x??
?
x
?
? .函数极限的四则运算法则

limf(x)?a

limg(x)?b
,则
x?x
0
x?x
0
(1)
lim
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?a?b

x?x
0


(2)
lim
?
?< br>f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?a?b
;
x?x
0
(3)
lim
x?x
0
f
?
x
?
a
?
?
b?0
?< br>.
g
?
x
?
b
n??
? .数列极限的四则运算法则

lima
n
?a,limb
n
?b
,则
n??
(1)
lim
?
a
n
?b
n
?< br>?a?b

n??
(2)
lim
?
a
n< br>?b
n
?
?a?b

n??
(3)
lim
a
n
a
?
?
b?0
?

n??< br>bb
n
n??n??n??
(4)
lim
?
c?a< br>n
?
?limc?lima
n
?c?a
( c是常数).











导数


? .
f(x)

x
0
处的导数(或变化率或微商)
f
?
(x
0
)?y
?
x?x
0
?lim
f (x
0
??x)?f(x
0
)
?y
.
?lim
?x?0
?x
?x?0
?x
? 瞬时速度
?
?s
?
(t)?lim
a?v
?
(t)?lim
?ss(t??t)?s(t)
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
? 瞬时加速度
?vv(t??t)?v(t)
.
?lim
?t?0
?t
?t?0
?t
? .
f(x)

(a,b)
的导数
dydf?yf(x??x)?f(x)
.
f
?
(x)?y
?
???lim?lim
dxdx
?x?0
?x
?x?0
?x
? . 函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)

P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
,相应的切线
方程是
y?y
0
?f
?
(x
0
)(x?x
0
)
.
? .几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
(C为常数).
'n?1
(2)
(x
n
)?nx(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
(5)
(l nx)
?
?
11
e
x

(loga)
?< br>?log
a
.
xx


xx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
? .导数的运算法则
xx
(1)
(u?v)?u?v
.
(2)
(uv)?uv?uv
.
'''
'''
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
. (3)
()?
vv
2
? .复合函数的求导法则
''
设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
x
?
?
(x)
,函数
y?f(u)
在点
x
处 的对应点U处有导数
''''''
y
u
'
?f
'
( u)
,则复合函数
y?f(
?
(x))
在点
x
处有 导数,且
y
x
?y
u
?u
x
,或写作
f< br>x
(
?
(x))?f(u)
?
(x)
.
? 常用的近似计算公式(当
x
充小时)
1
n
1
x
;
1?x?1?x

2n1
?
(2)
(1?x)?1?
?
x(
?
?R)

?1?x

1?x
x
(3)
e?1?x

(4)
l
n
(1?x)?x

(5)
sinx?x

x
为弧度);
(6)
tanx?x

x
为弧度);
(7)
arctanx?x

x
为弧度)
? .判别
f
(
x
0
)
是极大(小)值的方法
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时,
(1)如果 在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x
0
)
是极大值; (2)如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x
0
)
是 极小值.
(1)
1?x?1?


复数


? .复数的相等
a?bi?c?di?a?c,b?d
.(
a,b,c,d?R

? .复数
z?a?bi
的模(或绝对值)
|z|
=
|a ?bi|
=
a
2
?b
2
.
? .复数的四则运算法则
(1)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(2)
(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i
;
(3)
(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i
;
(4)
(a?bi)?(c?di)?
ac?bdbc?ad
?
2
i (c?di?0)
.
222
c?dc?d
? .复数的乘法的运算律 对于任何
z
1
,z
2
,z
3
?C
,有
交换律:
z
1
?z
2
?z
2
?z
1
.
结合律:
(z
1
?z
2
)?z
3< br>?z
1
?(z
2
?z
3
)
.
分配 律:
z
1
?(z
2
?z
3
)?z
1
?z
2
?z
1
?z
3
.
? .复平面上的两点间的距离公式


d?|z
1
?z
2
|?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y< br>1
)
2

z
1
?x
1
?y
1
i

z
2
?x
2
?y
2
i).
? .向量的垂直
非零复数
z
1
?a?bi

z
2
?c?di
对应的向量分别是
OZ
1
OZ
2
,则

OZ
1
?OZ
2
?
z
1
?z
2
的实部为零
?
z
2
222
为纯虚数
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
|?|z
2
|

z
1
?
|z
1
?z
2
|
2
?|z
1
|
2
?|z
2
|
2
?
|z
1
?z
2
|?|z
1
?z
2
|
?
ac?bd?0
?
z
1
?
?
iz
2

(λ为非零实数).
203.实系数一元二次方程的解
实系数一元二次方程
ax?bx?c?0

2
?b?b
2
?4ac
①若
??b?4ac?0
,则
x
1,2
?
;
2a
b
2
②若
??b?4ac?0
,则
x
1
?x
2
??
;
2a
2
③若
??b?4ac?0
,它在实数集
R
没有实数根;在复数集
C
有且 仅有两个共轭复数根
2
?b??(b
2
?4ac)i
2
x? (b?4ac?0)
.
2a

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