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1、导数公式：
2
(tgx)
?
?secx
(ctgx)
?
??csc
2
x
(secx)
?
?secx?tgx
(cscx)
?
??cscx?ctgx(a
x
)
?
?a
x
lna
(log
a
x)
?
?
2、基本积分表：
(arcsinx)
?
?
1
1
xlna
1?x
2
1
(arccosx)
?
??
1?x
2
1
(arctgx)
?
?
1?x
2
1
(arcctgx)
?
??
1?x2
?
tgxdx??lncosx?C
?
ctgxdx?lnsinx? C
?
secxdx?lnsecx?tgx?C
?
cscxdx?lncsc x?ctgx?C
dx1x
?arctg?C
?
a
2
?x< br>2
aa
dx1x?a
?ln
?
x
2
?a2
2ax?a
?C
dx1a?x
?
?
a
2?x
2
2a
ln
a?x
?C
dxx
?arcs in?C
?
a
2
?x
2
a
?
2
n
dx
2
?sec
?
cos
2
x
?
xdx?tgx?C
dx
2
?csc
?
sin
2
x
?
xdx??ctgx?C
?
secx?tgxdx?secx?C
?
cscx?ctgxdx??cscx?C
a
x
?
adx?
lna
?C
x
?
shxdx?chx?C
?
chxdx? shx?C
?
dx
x
2
?a
2
?ln(x?x2
?a
2
)?C
?
2
I
n
?
?
sinxdx?
?
cos
n
xdx?
00
n?1
I
n?2
n
?
?
?
x
2
a
2
2
x?adx?x?a?ln(x?x
2
?a
2
)?C
22
x
2
a
2
222
x?adx?x?a?lnx ?x
2
?a
2
?C
22
x
2
a
2
x
222
a?xdx?a?x?arcsin?C
22a
22
3、三角函数的有理式积分：
一些初等函数：两个重要极限：
三角函数公式：

·诱导公式：
函数
角A
-α
90°-α
90°+α
180°-α
180°+α
270°-α
270°+α
360°-α
360°+α
·和差角公式：·和差化积公式：
sin
-sinα
cosα
cosα
sinα
-sinα
cos
cosα
sinα
-sinα
tg
-tgα
ctgα
ctg
-ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
-ctgα -tgα
-cosα -tgα
-cosα tgα
ctgα
-tgα
tgα
-cosα -sinα
-cosα sinα
-sinα
sinα
cosα
cosα
-ctgα -tgα
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos< br>?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos?
cos
?
?
sin
?
sin
?
tg
?
?tg
?
tg(
?
?
?
)?
1
?
tg
?
?tg
?
ctg
?
?ctg?
?
1
ctg(
?
?
?
)?
ctg< br>?
?ctg
?
sin
?
?sin
?
?2si n
?
?
?
22
?
?
??
?
?sin
?
?sin
?
?2cossin
22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
?
?2co scos
22
?
?
??
?
?
cos
??cos
?
?2sinsin
22
cos
?
?
?

·倍角公式：
·半角公式：
·正弦定理：
abc
???2R
·余弦定理：
c
2
?a
2
?b
2?2abcosC

sinAsinBsinC
·反三角函数性质：
ar csinx?
?
2
?arccosx　　　arctgx?
?
2?arcctgx

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
中值定理与导数应用：
曲率：
定积分的近似计算：
定积分应用相关公式：
空间解析几何和向量代数：
多元函数微分法及应用
微分法在几何上的应用：
?
x?
?
(t)
x?xy?y< br>0
z?z
0
?
空间曲线
?
y?
?
( t)在点M(x
0
,y
0
,z
0
)处的切线方程：
0
??
?
?
(t
0
)
?
?
(t< br>0
)
?
?
(t
0
)
?
z?
?
(t)
?
在点M处的法平面方程：
?
?
(t
0< br>)(x?x
0
)?
?
?
(t
0
)(y?y< br>0
)?
?
?
(t
0
)(z?z
0
) ?0
?
?
F
y
F
z
F
z
F
x
F
x
?
F(x,y,z)?0
若空间曲线方程为：,则切向量T ?{,,
?
GGG
x
GG
G(x,y,z)?0
?
yz
zx
?
曲面F(x,y,z)?0上一点M(x
0
,y
0
,z
0
)，则：
?
1、过此点的法向量：n?{F
x(x
0
,y
0
,z
0
),F
y
(x< br>0
,y
0
,z
0
),F
z
(x
0< br>,y
0
,z
0
)}
x?x
0
y?y
0
z?z
0
3、过此点的法线方程：??
F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)F
y
(x
0
, y
0
,z
0
)F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)
方向导数与梯度：
F
y
G
y< br>}
2、过此点的切平面方程：F
x
(x
0
,y
0,z
0
)(x?x
0
)?F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)(y?y
0
)?F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)(z?z
0
)?0?f?f?f
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cos?
?sin
?
?l?x?y
其中
?
为x轴到方向l的转 角。
?f
?
?f
?
i?j
?x?y
多元函数
??
?f
??
它与方向导数的关系是：?gradf(x,y)?e，其中e?co s
?
?i?sin
?
?j，为l方向上的
?l
单位向量。< br>?f
?是gradf(x,y)在l上的投影。
?l
函数z?f(x,y)在一 点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)?
的极值及其求法：
重积分及其应用：

??
f(x,y)dxdy?
??
f(rcos
?
,rsin
?
)rdrd
?
DD
?
?
?z
?
?
?z
?
?
曲面z?f(x,y)的面积A?
??1?
??
?
?
dxdy
??
?
?x
?
?
?y
?
D
平面薄片的重心：x?
M
x
?
M
2
2
??
x
?
(x,y)d
?
D
??
?
(x,y)d
?
D
D
,　　y?
M
y
M
?
??
y
?
(x,y)d
?
D
??
?
(x,y)d
?
D
D
柱面坐
平 面薄片的转动惯量：对于x轴I
x
?
??
y
2
?
( x,y)d
?
,　　对于y轴I
y
?
??
x
2?
(x,y)d
?
平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a), (a?0)的引力：F?{F
x
,F
y
,F
z
}，其中：< br>F
x
?f
??
D
?
(x,y)xd
?
(x?y?a)
222
2
，　　F
y
?f
??
3
D
?
(x,y)yd
?
(x?y?a)
222
2< br>，　　F
z
??fa
??
3
D
?
(x,y) xd
?
(x?y?a)
22
3
2
2
标和球面坐标：
?
x?rcos
?
?
柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz?< br>???
F(r,
?
,z)rdrd
?
dz,
?
y?rsin
?
,　　　
???
??
?
z?z
?
其中：F(r,
?
,z)?f(rcos
?
,rsin
?< br>,z)
?
x?rsin
?
cos
?
?
2球面坐标：
?
y?rsin
?
sin
?
，　　dv?r d
?
?rsin
?
?d
?
?dr?rsin
?drd
?
d
?
?
z?rcos
?
?
2
?
曲线
?
r(
?
,
?
)
2
F(r,
?
,
?
)rsin
?
dr
?
0
???
?
f(x,y,z)dxdydz?
???
F(r,
?
,
?
)rsin
?
drd
?
d
?
?
?
d
?
?
d
?
?00
2
重心 ：x?
1
M
???
x
?
dv,　　y?
?
?
1
M
???
y
?
dv,　　z?
?
?< br>1
M
???
z
?
dv，　　其中M?x?
????
dv
??
?
转动惯量：I
x
?
???
(y
2
?z
2
)
?
dv，　　I
y
?< br>???
(x
2
?z
2
)
?
dv，　　Iz
?
???
(x
2
?y
2
)
?
dv
积分：
曲面积分：

22
对面积的曲面积分：
??
f(x,y,z)ds?
??
f[x,y,z(x,y)]1?z
x< br>(x,y)?z
y
(x,y)dxdy
?D
xy
对坐标的曲面 积分：
??
P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxd y，其中：
?
号；
??
R(x,y,z)dxdy??
??
R[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正
?D
xy
高斯公
号；
??
P(x,y,z)dydz??
??
P[x(y,z),y,z]d ydz，取曲面的前侧时取正
?D
yz
??
Q(x,y,z)dzdx??< br>??
Q[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。
?D
zx
两类曲面积分之间的关系：
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds< br>??
式：
???
(
?
?P?Q?R
??)dv?< br>??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
?x?y?z
??高斯公式的物理意义——通量与散度：
?
?P?Q?R
?
散度：div< br>?
???,即：单位体积内所产生的流体质量，若div
?
?0,则为消失.. .
?x?y?z
?
?
通量：
??
A?nds?
??
A
n
ds?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds，
?
因此，高斯公式又可写成：divA???
dv?
??
A
n
ds
??
???
斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
常数项级数：
级数审敛法：
交 错级数u
1
?u
2
?u
3
?u
4
??(或 ?u
1
?u
2
?u
3
??,u
n
?0)的 审敛法——莱布尼兹定理：
?
绝对收
?
u
n
?u
n ?1
如果交错级数满足s?u
1
,其余项r
n
的绝对值r
n
?u
n?1
。
?
limu?0
，那么级数收敛且其和
?
?
n??
n
敛与条件收敛：
幂级数：

1
x?1时，收敛于
1?x
1?x?x
2
?x
3
?
?
?x
n
?
?
　　
x?1时，发散
对于 级数(3)a
0
?a
1
x　?a
2
x
2
?
?
?a
n
x
n
?
?
，如果它不是仅在原点 收敛，也不是在全
x?R时收敛
数轴上都收敛，则必存在R，使x?R时发散，其中R称为收敛 半径。
x?R时不定
1
函数展
?
?0时，R?
求收敛半径的 方法：设lim
a
n?1
?
?
，其中a
n
，an?1
是(3)的系数，则
?
?0时，R???
n??
a
n
?
???时，R?0
?
开成幂级数：
f
??
(x
0
)f
(n)
(x
0
)
2
函数展开成 泰勒级数：f(x)?f(x
0
)(x?x
0
)?(x?x
0
)?
?
?(x?x
0
)
n
?
?
2!n!
f
(n?1)
(
?
)
余项：R
n
?(x? x
0
)
n?1
,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limR
n
?0
一些函
n??
(n?1)!
f
??
(0)
2
f
(n)
(0)
n
x
0
?0时即为麦克 劳林公式：f(x)?f(0)?f
?
(0)x?x?
?
?x?
?< br>2!n!
数展开成幂级数：
欧拉公式：
三角级数：
傅立叶级数：
周期为
2l
的周期函数的傅立叶级数：
微分方程的相关概念：
一 阶微分方程：y
?
?f(x,y)　或　P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
可 分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x)dx的形式，解法：
?
g (y)dy?
?
f(x)dx　　得：G(y)?F(x)?C称为隐式通解。
dyy
?f(x,y)?
?
(x,y)，即写成的函数，解法：
一阶线
dx x
ydydududxduy
设u?，则?u?x，u??
?
(u)，??分 离变量，积分后将代替u，
xdxdxdxx
?
(u)?ux
齐次方程：一阶 微分方程可以写成
即得齐次方程通解。
性微分方程：
全微分方程：
二阶微分方程：
二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

两个不相等实根
(p?4q?0)

2
(*)式的通解

两个相等实根
(p?4q?0)

一对共轭复根
(p?4q?0)

二阶常系数非齐次线性微分方程

2
2