高中数学平面向量公式知识点大全

高中数学平面向量公式知识点大全

高中数学平面向量公式知识点大全
平面向量公式知识点
定比分点
定比分点公式(向量P1P=λ#8226;向量PP2)
设P1、P2是直线上的两点，P是l上不同于P1、P2
的任意一点。则存在一个实数 λ，使 向量P1P=λ#8226;
向量PP2，λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，则有
OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)(1+λ),
y=(y1+λy2)(1+λ)。(定比分点坐标公式)
我们把上面的式子叫做有向线段P1P2的定比分点公
式
三点共线定理
若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共
线
三角形重心判断式
在△ABC中，若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心
[编辑本段]向量共线的重要条件

若b≠0，则ab的重要条件是存在唯一实数λ，使
a=λb。
ab的重要条件是 xy#39;-x#39;y=0。
零向量0平行于任何向量。
[编辑本段]向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a#8226;b=0。
a⊥b的充要条件是 xx#39;+yy#39;=0。
零向量0垂直于任何向量.
设a=(x，y)，b=(x#39;，y#39;)。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x#39;，y+y#39;)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a;
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.
0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”
a=(x,y) b=(x#39;,y#39;) 则

a-b=(x-x#39;,y-y#39;).
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且
∣λa∣=∣λ∣#8226;∣a∣。
当λgt;0时，λa与a同方向;
当λlt;0时，λa与a反方向;
当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意
义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣gt;1时，表示向量a的有向线段在原方向
(λgt;0)或反方向(λlt; 0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣lt;1时，表示向量a的有向线段在原方向
( λgt;0)或反方向(λlt;0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：
(λa)#8226;b=λ(a#8226;b)=(a#8226;λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律)：
(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律)：
λ(a+b)=λa+λb.

数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，
那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。
4、向量的的数量积
定义：已知两个非零 向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB
称作向量a和向量b的夹角，记作〈a,b〉并规定0 ≤〈a,b〉
≤π
定义：两个向量的数量积(内积、点积)是一个数量，
记作a #8226;b。若a、b不共线，则
a#8226;b=|a|#8226;|b|#8226;co s〈a，b〉;若a、b共线，
则a#8226;b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积 的坐标表示：
a#8226;b=x#8226;x#39;+y#8226;y#39;。
向量的数量积的运算律
a#8226;b=b#8226;a(交换律);
(λa)#8226;b=λ(a#8226;b)(关于数乘法的结合
律);
(a+b)#8226;c=a#8226;c+b#8226;c(分配律);
向量的数量积的性质
a#8226;a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a#8226;b=0。
|a#8226;b|≤|a|#8226;|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点

1、向量的数量积不满足结合律，即：(a#8226;b)#8226;c≠a#8226;(b#8226;c);例如：
(a#82 26;b) ≠a #8226;b 。
2、向量的数量积不满足消去律，即：由
a#8226;b=a#8226;c (a≠0)，推不出 b=c。
3、|a#8226;b|≠|a|#8226;|b|
4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。
4、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉 积)是一个
向量，记作a×b。若a、b不共线，则a×b的模是：
∣a×b∣=|a|#82 26;|b|#8226;sin〈a，b〉;a×b的方向是：
垂直于a和b，且a、b和a×b按这 个次序构成右手系。若
a、b共线，则a×b=0。
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注：向量没有除法，“向量AB向量CD”是没有意义

的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时，左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时，右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时，左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时，右边取等号。
1.已知a，b是两个非零向量，则a与b不共线是
|a+b|lt;|a|+|b|的
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
2.在下列判断中，正确的是
①长度为0的向量都是零 向量;②零向量的方向都是
相同的;③单位向量的长度都相等;④单位向量都是同方向;
⑤任意向量与零向量都共线.
A.①②③
B.②③④
C.①②⑤
D.①③⑤

3.已知非零向量a，b且|a|=|b|，则a与b的关系是
A.a=b
B.a=-b
C.a∥b
D.a2=b2
知识点是同学们提高总体 学习成绩的重要途径，平面
向量公式知识点为大家巩固相关重点，让我们一起学习，一
起进步吧 !