最全的高等数学公式大全

。

高等数学微分和积分数学公式（集锦）
（精心总结）
?
a
0
?
b
n?m
0
a
0
x< br>n
?a
1
x
n?1
?
L
?a
n?
?
一、
lim?
?
0n?m
（系数不为0的情况）
x??
bx
m
?bx
m?1
?L
?b
01m
?
?n?m
?
?
?
1< br>sinx
二、重要公式（1）
lim?1
（2）
lim
?
1?x
?
x
?e
（3）
lim
n
a(a?o)?1

n??
x?0
x?0
x
（4）
lim
n
n?
1
（5）
limarctanx?
n??
?
2
x??
（6）
limarctanx??
x???
?
2

（7）
limarccot
x?
0
（8）
limarccotx?
?
（9）
lime?0

x
x??
x???
x???
x?1

（10）
lim
e??
（11）
lim
?
xx
x???
x?0

三、下列常用等价无穷小关系（
x?0
）
sinx:x

tanx:x

arcsinx:x

arctanx:x

1?cosx:

?
1
2
x

2
ln
?
1?x
?
:x

e
x
?1:x

a
x
?1:xlna

?
1?x
?
?1:?x



四、导数的四则运算法则

u
?
?
u
?
v?uv
?
?
??
?
u?v
?
?u
??v
?

?
uv
?
?u
?
v?uv
?

??
?
2

v
?
v
?

五、基本导数公式
-可编辑修改-

。
⑴
?
c
?
?
?
0
⑵
x?
?
x
??
?1
⑶
?
sinx
?
?
?cosx

22
⑷< br>?
cosx
?
?
??
sinx
⑸
?
tanx
?
?
?secx
⑹
?
cotx
?
?
??cscx

⑺
?< br>secx
?
?
?
secx
?
tanx
⑻
?
cscx
?
?
??cscx?cotx

x
⑼
e
??
?
?e
xx
⑽
a
??
?
?a
x
1
lna
⑾
?
lnx
?
?
?

x
1
1?x
2
⑿
log
a
?
x
1
⒀
?
arcsinx
?
?
?
?
?
?
xln a
⒁
?
arccosx
?
?
??
11?x
2

⒂
?
arctanx
?
?
?

1
?
??
1
⒄ ⒃
arccotx
??
1?x
2
1?x
2
?
x
?
?
?
1
⒅
??
x
?
?
1
2x

六、高阶导数的运算法则
（1）
?
?
u
?
x?
?v
?
x
?
?
?
（3）
?
?
u
?
ax?b
?
?
?

七、基本初等函数的n阶导数公式
（1）
x
?
n
?
?
n
?
?u
?
x
?
n
?
n?
?v
?
x
?
（2）
?
?cu
?
x
?
?
?
?
n
?
?< br>n
?
?
n
?
?cu
?
n
?
?
x
?

n
?au
?
n
?
?
ax?b
?
（4）
?
?
u
?
x
?
?v
?
x< br>?
?
?
k
?
n?k
?
?
?
c
n
u
?
x
?
v
(k)
?
x?

k?0
??
n
?
n
?
?n!
（2）
?
e
ax?b
?
?
n
?
?
n
?
?a
n
?e
ax?b
(3)
?< br>a
x
?
?
n
?
?a
x
ln
n
a

(4)
?
?
sin
?
ax?b?
?
?
?
??
?a
n
sin
?
ax?b?n?
?

2
??
(5)
?
?
cos
?
ax?b
?
?
?
?
n
?
?
??
?a
n
cos
?
ax?b?n?
?

2
??
n
?
1
?
(6)
??
?
ax?b
?

?
n
?
?
?
?1
?
a
n
?n!
?
ax?b
?
n?1
(7)
?
?
ln
?
ax?b
?
?
?
?
n
?
?
?
?1
?
n?1
a
n
?
?
n?1
?
!
?
a x?b
?
n

八、微分公式与微分运算法则
⑴
d
?
c
?
?0
⑵
dx
??
?
?
x
??
?1
dx
⑶
d
?
sinx
?
?cosxdx

-可编辑修改-

。
⑷
d
?
cosx
?
??sinxdx
⑸
d
?
tanx
?
?sec
2
xdx
⑹
d
?
cotx
?
??csc
2
xdx

⑺
d
?
secx
?
?secx?tanxdx
⑻
d
?
cscx
?
??cscx?cotxdx

⑼
de
x
?e
x
dx
⑽
da
x
?a
x
lnadx
⑾
d< br>?
lnx
?
?
⑿
dlog
a
??
?
??
1
dx

x
x
?
?
11
1
dx
⒁
d
?
arccosx
?
??dx

dx
⒀
d
?
arcsinx
?
?
22
xlna
1?x1?x
⒂
d
?
arctanx
?
?

11
⒃
dxdarccotx??dx

??
22
1?x1?x
九、微分运算法则
⑴
d
?
u?v
?
?du?dv
⑵
d
?
cu
?
?cdu

⑶
d
?
uv
?
?vdu?udv
⑷
d
?
十、基本积分公式
?
u
?
vdu?udv

?
?
2
vv
??
x
?
?1
dx
?c
⑶
?
⑴
?
kdx?kx?c
⑵
?
xdx?
?
ln
x?c

?
?1
x
?
a
x
?c
⑸
?
e
x
dx?e
x
?c
⑹
?
cosxdx?sinx?c
⑷
?
adx?
lna< br>x
1
2
dx?sec
?
cos
2
x
?
xdx?tanx?c

?
11
2
⑼
?
⑽
?cscxdx??cotx?cdx?arctanx?c

22
??
sinx1?x
⑺
sinxdx??cosx?c
⑻
⑾
?
1
1?x
2
dx?arcsinx?c


十一、下列常用凑微分公式
积分型 换元公式
?
f
?
ax?b
?
dx?
1
f
?
ax?b
?d
?
ax?b
?

a
?
u?ax?b


-可编辑修改-

。
?
f
?
x
?
?
x?
?1
dx?
?
?
1
f
?
x
?
?
d
?
x
?
?

u?x
?

?
?
1
f
?
lnx< br>?
?dx?
?
f
?
lnx
?
d
?< br>lnx
?

x
xxxx
u?lnx

u?e
x

?
f
?
e
?
?edx ?
?
f
?
e
?
d
?
e
?

f
?
a
x
?
?a
x
dx?
1f
?
a
x
?
d
?
a
x
?
?
lna
u?a
x

?
f
?
sinx
?
?cosxdx?
?
f
?
sinx
?
d
?
sinx
?

?
?
?
?
?

十二、补充下面几个积分公式
u?sinx

u?cosx


f
?
c osx
?
?sinxdx??
?
f
?
cosx
?< br>d
?
cosx
?

f
?
tanx
?
?sec
2
xdx?
?
f
?
tanx
?< br>d
?
tanx
?

f
?
cotx
?
?csc
2
xdx?
?
f
?
cotx
?< br>d
?
cotx
?

f
?
arctanx?
?
1
dx?
?
f
?
arctanx
?
d
?
arctanx
?

1?x
2
1
1?x
2
u?tanx


u?cotx



f
?
arcsinx
?
?dx?
?
f
?
arcsinx
?
d
?
arcsinx
?


u?arctanx

u?arcsinx


?
tanxdx??lncosx?c

?
cotxdx?lnsinx?c

?
secxdx?lnsecx?tanx?c

?
cscxdx?lncscx?cotx?c

11x
dx?arctan?c

?
a
2
?x
2
aa

11x?a
dx?ln?c

?
x
2
?a
2
2ax?a
?
1
a
2
?x
2
dx?ar csin
x
?c

a
?
1
x
2
?a
2
dx?lnx?x
2
?a
2
? c


十三、分部积分法公式
-可编辑修改-

。
⑴形如
x
n
e
ax
dx
，令
u?x
，
dv?edx

?
n
ax
形如
x
n< br>sin
xdx
令
u?x
，
dv?sinxdx
?
?
n
形如
x
n
cos
xdx
令u?x
，
dv?cosxdx

n
⑵形如
x
n
arctan
xdx
，令
u?arctanx
，
dv?x dx

?
?
?
n
形如
x
n
ln< br>xdx
，令
u?lnx
，
dv?xdx

n
⑶形如
e
ax
sin
xdx
，
e
ax
co s
xdx
令
u?e
,sin
x
,cos
x
均可。
?
ax

十四、第二换元积分法中的三角换元公式
(1)
a
2
?x
2

x?asint
(2)
【特殊角的三角函数值】
（1）
sin0?0
（2）
sin
a
2
?x
2

x?atant
(3)
x
2
?a
2

x?asect

?
6
?
?
3
1
?
（3）
sin?
（4）
sin?1
） （5）
sin
?
?0

32
22
3
?
1
?
（3）
cos?
（4）
cos?0
） （5）
cos
?
??1

2
322
3
?
?
（3）（4）
（5）
tan?3

tan
不存在
tan
?
?0

3
32
（1）
cos0?1
（2）
cos
?
6
?
（1）
tan0?0
（2）
tan
?
6
?
（1）
cot0
不存在 （2）
cot
在

十五、三角函数公式

1.两角和公式
?
6
?
3
（3）
cot
?
3
?
3
?
（4）
cot?0
（5）
c ot
?
不存
3
2
sin(A?B)?sinAcosB?cosAs inB

sin(A?B)?sinAcosB?cosAsinB

-可编辑修改-

。
cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB

cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB

tanA?tanBtanA?tanB

tan(A?B)?

1?tanAtanB1?tanAtanB
cotA ?cotB?1cotA?cotB?1

cot(A?B)?

cot(A?B)?
cotB?cotAcotB?c otA
tan(A?B)?

2.二倍角公式
sin2A?2sinAcosA

cos2A?cos2
A?sin
2
A?1?2sin
2
A?2cos
2< br>A?1

tan2A?

3.半角公式
2tanA

1?tan
2
A
sin
A1?cosAA1?cosA
?< br>
cos?

2222
A1?cosAsinAA1?cosAsinA
???

cot?

21?cosA1?cosA21?cosA1?cosA
tan


4.和差化积公式
sina?sinb?2sin
a?ba?ba?ba?b

sina?sinb?2cos

?cos?sin
2222
a?ba?ba?ba?b

cosa?cosb??2sin

cosa?cosb?2cos?cos?sin
2222
tana?tanb?
sin
?
a?b
?

cosa?cosb

5.积化和差公式
1
sinasinb??
?
cos
?
a?b
?
?cos
?
a?b< br>?
?
?

2
?
cosacosb?
1
?
cos
?
a?b
?
?cos
?
a?b
?
?
?

2
?
-可编辑修改-

。
sinacosb?


6.万能公式
11

sina?b?sina?bcosasinb?
???< br>sin
?
a?b
?
?sin
?
a?b
??
????
??

2
?
2
?
a
1?tan
2
2

cosa?
sina?
a
1?tan
2
1?tan
2
2
2tan

7.平方关系
aa
2tan
2

tana?
2
aa
1?tan
2
22
sin
2
x?cos
2
x?1

sec
2
x?tan
2
x?1

csc
2
x?cot
2
x?1


8.倒数关系
tanx?cotx?1

secx?cosx?1

cscx?sinx?1

9.商数关系
tanx?


sinxcosx

cotx?

cosxsinx
十六、几种常见的微分方程
1.可分离变量的微分方程：
2.齐次微分方程：

3.一阶线性非齐次微分方程：

dy
?f
?
x
?
g
?
y
?
，
f
1
?
x
?
g
1
?
y
?
dx?f
2
?
x
?
g
2
?
y
?
dy?0

dx
dy
?
y
?
?f
??

dx
?
x
?

dy
?p
?
x< br>?
y?Q
?
x
?
解为：
dx

?p
?
x
?
dx
?
?
p
?
x< br>?
dx
dx?c
?

y?e
?
Qxe
??
??
?
?
?
-可编辑修改-

。


-可编辑修改-

。






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-可编辑修改-