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圆锥曲线公式大全(高中珍藏版)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 01:09
tags:高中数学公式大全

贵州12年高中数学会考题-高中数学公式大全 完整版


圆锥曲线公式大全
1、椭圆的定义、椭圆的标准方程、椭圆的性质

椭圆定义
焦点位置
椭圆的图象和性质

M
为椭圆上任 意一点,则有|MF
1
|+|MF
2
|=2a
x轴
y
图形



o

x
y轴
y


o


x
标准方程
焦点坐标
焦距
顶点坐标
a, b, c的关系式
长、短轴
对称轴
离心率
范围
x
2
y
2
?
2
?1

2
ab
F
1
(?c, 0 ), F
2
( c, 0 )
|F
1
F
2
| = 2c
(?a, 0 ), ( 0, ?b )
a
2
= b
2
+ c
2

y
2
x
2
?
2
?1

2
ab
F
1
(0, ?c, ), F
2
( 0, c )
(0, ?a ), ( ?b, 0 )
长轴长=2a, 短轴长=2b

长半轴长=a, 短半轴长=b
无论椭圆是x型还是y型,椭圆的焦点总是落在长轴上
关于x轴、y轴和原点对称
e?
c
( 0 < e < 1),离心率越大,椭圆越扁,反之,越圆
a
?a?x?a,?b?y?b

2
?b?x?b

?a?y?a

2
2、判断椭圆是 x型还是y型只要看
x
对应的分母大还是
y对应的分母大,若
x
对应的分
母大则x型,若
y
对应的分母大则 y型.
2
2
x
2
y
2
3、求椭圆方程一般先判定 椭圆是x型还是y型,若为x型则可设为
2
?
2
?1
,若为y
ab
y
2
x
2
22
型则可设为
2
?2
?1
,若不知什么型且椭圆过两点,则设为稀里糊涂型:
mx?ny?1

ab
4、双曲线的定义、双曲线的标准方程、椭圆的性质

双曲线的图象和性质



M
为双曲线上任意一点,则有
MF
1
?MF
2
?2a
(2a<2c)
双曲线定义 < br>若
MF
1
?MF
2
?2a
=2c,则点M的轨迹为两 条射线

MF
1
?MF
2
?2a
>2c, 则点M无轨迹
焦点位置


x轴 y轴
图形

标准方程

焦点坐标

焦距

顶点坐标

(?a, 0 )



x
2
y
2
?
2
?1

2
ab
F
1
(?c, 0 ), F
2
( c, 0 )

|F
1
F
2
| = 2c
y
2
x
2
?
2
?1

2
ab
F
1
(0, ?c, ), F
2
( 0, c )

(0, ?a )
a, b, c的关系式
椭圆形状长的像a,所以a是老大,a
2
= b
2
+ c
2



双曲线形状长的像c,所以c是老大,c
2
= a
2
+ b
2


实轴、虚轴
对称轴
离心率
范围
渐近线
实轴长=2a, 虚轴长=2b

实半轴长=a, 虚半轴长=b
无论双曲线是x型还是y型,双曲线的焦点总是落在实轴上
关于x轴、y轴和原点对称
e?
c
( e >1)
a
a?x或x??a,y?R

a?y或y??a
,
x?R

y??
b
x

a
y??
a
x

b


2、判断双曲线是 x型还是y型只要看
x
前的符号是正还 是
y
前的符号是正,若
x
前的符
号为正则x型,若
y
前的符号为正则y型,同样的,哪个分母前的符号为正,则哪个分母
就为
a

2
2
2
2
2
x
2
y
2
3、求双 曲线方程一般先判定双曲线是x型还是y型,若为x型则可设为
2
?
2
?1< br>,若
ab
y
2
x
2
为y型则可设为
2
?
2
?1
,若不知什么型且双曲线过两点,则设为稀里糊涂型:
ab
mx
2
?ny
2
?1(mn?0)

6、若已知双曲线一 点坐标和渐近线方程
y?mx
,则可设双曲线方程为
y
2
?m
2
x
2
?
?
(
?
?0)
,而后把点坐标 代入求解
7、椭圆、双曲线、抛物线与直线
l:y?kx?b
的弦长公式:
AB?(k
2
?1)(x
1
?x
2
)
2
? (
1
2
?1)(y?y)

12
2
k
8、 椭圆、双曲线、抛物线与直线问题出现弦的中点往往考虑用点差法
9、椭圆、双曲线、抛物线与直线问题的解题步骤:
(1)假化成整(把分式型的椭圆方程化为整式型的椭圆方程),联立消y或x
(2)求出判别式,并设点使用伟大定理
(3)使用弦长公式
1、抛物线的定义:平面内有一定点F及一定直线l (F不在l上)P点是该平面内一动点,当
且仅当点P到F的距离与点P到直线l距离相等时,那么P的轨迹是以F为焦点,l为准线
的一条抛物 线.————见距离想定义!!!
2、(1)抛物线标准方程左边一定是x或y的平方(系数为1), 右边一定是关于x和y的一
次项,如果抛物线方程不标准,立即化为标准方程!
(2)抛物线的一次项为x即为x型,一次项为y即为y型!
(3)抛物线的焦点坐标为一 次项系数的四分之一,准线与焦点坐标互为相反数!一次项为
x,则准线为”x=多少”, 一次项为y,则准线为”y=多少”!
(4)抛物线的开口看一次项的符号,一次项为正,则开口朝着 正半轴,一次项为负,则开
口朝着负半轴!
(5)抛物线的题目强烈建议画图,有图有真相,无图无真相!
3、求抛物线方程,如果只知x型,则设它为
y?ax

(a?0)
,a>o,开口朝右;a<0,开口朝左;
如果只知y型,则设它为x?ay(a?0)
,a>o,开口朝上;a<0,开口朝下。
4、抛物线简单的几何性质:
2
2



(尤其对称性 的性质要认真研究应用,经常由线对称挖掘出点对称,从而推出垂直平分等潜
在条件!)
1、 抛物线的焦点弦,设
P(x
1,
y
1
),Q(x
2,
y
2
)
,且P,Q为抛物线
y?2px
经过焦点的一条弦: 2
p
2
(1)
P(x
1,
y
1
),Q (x
2,
y
2
)
两点坐标的关系:
y
1
y
2
??p,x
1
x
2
?

4
2< br>(2)焦点弦长公式:
PQ?(x
1
?x
2
)?p
=
2p
(其中
?
为直线PQ的倾斜角大小)
2
sin
?
(3)垂直于对称轴的焦点弦称为是通径,通径长为2p
5、(1)直线与椭圆一个交点,则直线与椭圆相切。
(2)直线与双曲线一个交点,则 考虑两种情况:第一种是直线与双曲线相切;第二种是
直线与双曲线的渐近线平行。
(3 )直线与抛物线一个交点,则考虑两种情况:第一种是直线与抛物线相切;第二种是
直线与抛物线的对称 轴平行。
(4)直线与抛物线的位置关系,理论上由直线方程与抛物线方程的联立方程组实解的情况来确定,实践中往往归纳为对相关一元二次方程的判别式△的考察:直线与抛物线交于不
同两点< br>??>0
;直线与抛物线交于一点
???0
(相切)或直线平行于抛物线的对称轴;
直线与抛物线不相交
???0

6、判断点与抛物线、椭圆位置关系:先把方程化为标准式,而后把点代入,若大于,线外,
等于线上, 小于线内。
7、在研究直线与双曲线,直线与椭圆,直线与抛物线位置关系时,若已知直线过一个点< br>(x
0
,y
0
)
时,往往设为点斜式:
y?y
0
?k(x?x
0
)
,但是尤其要注意讨论斜率不存在的情
况!! !斜率不存在则设为
x?x
0
.
11、用点差法解决双曲线的弦的中点问题 ,一定要记得把所求出的直线方程与双曲线方程联
立消去y求出判别式,检验判别式如果小于0,则直线 不存在!!!


1、 椭圆上的一点到椭圆焦点的最大距离为
a?c
, 最小距离为
a?c
,椭圆上取得最大
距离和最小距离的点分别为椭圆长轴的两个顶点。
2、 判断过已知点的直线与抛物线一个交点直线条数:
(1) 若已知点在抛物线外,则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有三条:相
切两条,与对称轴平行一条。
(2) 若已知点在抛物线上,则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有两条:相
切一条,与对称轴平行一条。
(3) 若已知点在抛物线内,则过该点的直线与抛物线一个交点的直线有一条:相
切0条,与对称轴平行一条。
(1) 动点的轨迹方程。
3、 求点的轨迹的五个步骤:
(1) 建立直角坐标系(在不知点坐标的情况下)。
(2) 设点:求什么点的轨迹就只能把该点设为(x,y),不能设为其它形式的坐标!!!
(3) 根据直接法、代入法、定义法列出x和y的关系式。
(4) 化简关系式。
(5) 看看题目有没有什么限制条件,根据限制条件写出x或y 的范围!!!易错!!!
7、过椭 圆内部的一个点的直线必与椭圆相交,过双曲线或抛物线内部的一个点的直线
与双曲线或抛物线至少有一 个交点:与双曲线的渐近线平行,一个交点;不平行,
两个交点;与抛物线的对称轴平行,一个交点;不 平行,两个交点。













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