(完整版)高等数学公式汇总(大全)

高等数学公式汇总(大全)
一 导数公式：
(tgx)
?
?secx
(ctgx)
?
??csc
2
x
(secx)< br>?
?secx?tgx
(cscx)
?
??cscx?ctgx
(a
x
)
?
?a
x
lna
(log
a< br>x)
?
?
二 基本积分表：
2
(arcsinx)
?
?
1
1
xlna
1?x
2
1
(arcc osx)
?
??
1?x
2
1
(arctgx)
?< br>?
1?x
2
1
(arcctgx)
?
??
1 ?x
2
?
tgxdx??lncosx?C
?
ctgxdx?lns inx?C
?
secxdx?lnsecx?tgx?C
?
cscxdx?l ncscx?ctgx?C
dx1x
?arctg?C
?
a
2
?x
2
aa
dx1x?a
?ln
?
x
2
?a
2
2ax?a
?C
dx1a?x
?
?
a
2
?x
2
2a
ln
a?x
?C
dxx
? arcsin?C
?
a
2
?x
2
a
?
2< br>n
dx
2
?
cos
2
x
?
?
secxdx?tgx?C
dx
2
?csc
2
?
sinx
?
xdx??ctgx?C
?
secx?tgxdx?secx?C
?
cscx?ctgxdx??cscx?C
a
x
?
adx?
lna
?C
x
?
shxdx?chx?C
?
chxdx? shx?C
?
dx
x
2
?a
2
?ln(x?x2
?a
2
)?C
?
2
I
n
?
?
sinxdx?
?
cos
n
xdx?
00
n?1
I
n?2
n
?
?
?
x
2
a
2
2
x?adx?x?a?ln(x?x
2
?a
2
)?C
22
x
2
a
2
222
x?adx?x?a?lnx ?x
2
?a
2
?C
22
x
2
a
2
x
222
a?xdx?a?x?arcsin?C
22a
22
三 三角函数的有理式积分：
2u1?u
2
x2du
sinx?，　co sx?，　u?tg，　dx?

222
2
1?u1?u1?u
四 一些初等函数：

五 两个重要极限：
e
x
?e
?x
双曲正弦:shx?
2e
x
?e
?x
双曲余弦:chx?
2
shxe
x
?e
?x
双曲正切:thx??
chx
e
x
?e
?x
arshx?ln(x?x
2
?1）
archx??ln(x? x
2
?1)
11?x
arthx?ln
21?x
六 三角函数公式：
·诱导公式：
函数
角A
-α
90°-α
90°+α
180°-α
180°+α
270°-α
270°+α
360°-α
360°+α

sinx

lim?1
x?0

x

1
lim(1?)
x
?e?2.7045...
x??

x








sin cos tg
-tgα
ctgα
ctg
-ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
tgα
-ctgα
ctgα
-sinα cosα
cosα
cosα
sinα
sinα
-sinα -ctgα -tgα
-cosα -tgα
-sinα -cosα tgα
-cosα -sinα ctgα
-cosα sinα
-sinα cosα
sinα cosα
-tgα
tgα
-ctgα -tgα

·和差角公式： ·和差化积公式：
sin(
?
?
?
)?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
s in
?
tg
?
?tg
?
tg(
?
?
?
)?
1?tg
?
?tg
?
ctg
?
? ctg
?
?1
ctg(
?
?
?
)?
ctg
?
?ctg
?

sin
?
?sin
??2sin
?
?
?
22
?
?
??
?< br>?
sin
?
?sin
?
?2cossin
22
?
?
??
?
?
cos
?
?cos
??2coscos
22
?
?
??
?
?
cos< br>?
?cos
?
?2sinsin
22
cos
?
?
?

·倍角公式：
sin2
?
?2sin
?
cos
?
cos2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
ctg
2
?
?1
ctg2
?
?
2ctg
?
2tg
?
tg2
?
?
1?tg
2
?

·半角公式：
sin3
?
?3sin
?< br>?4sin
3
?
cos3
?
?4cos
3
?
?3cos
?
3tg
?
?tg
3
?
tg3
?
?
1?3tg
2
?
sin
tg
?
2
??
??
1?cos
??
1?cos
?
　　　 　　　　　　　　　cos??
222
1?cos
?
1?cos
?< br>sin
??
1?cos
?
1?cos
?
sin
?
??　　ctg????
1?cos
?
sin
?
1?c os
?
21?cos
?
sin
?
1?cos
?abc
???2R
·余弦定理：
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC

sinAsinBsinC
?
2

·正弦定理：

·反三角函数性质：
arcsinx?
?
2
?arccosx　　　arct gx?
?
2
?arcctgx


七 高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
(uv)
(n)k(n?k)(k)< br>?
?
C
n
uv
k?0
n
?u
(n)
v?nu
(n?1)
v
?
?
n(n?1)
(n?2 )
n(n?1)?(n?k?1)
(n?k)(k)
uv
??
??? uv???uv
(n)
2!k!

八 中值定理与导数应用：
拉格 朗日中值定理：f(b)?f(a)?f
?
(
?
)(b?a)
f(b )?f(a)f
?
(
?
)
柯西中值定理：?
F(b)?F( a)F
?
(
?
)
九 曲率：

当F(x)?x时 ，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
弧微分公式：ds?1?y
?
2
dx ,其中y
?
?tg
?
平均曲率：K?
?
?
.??
:从M点到M
?
点，切线斜率的倾角变化量；?s：MM
?
弧 长。
?s
y
??
?
?
d
?
M点的曲率：K ?lim??.

23
?s?0
?sds
(1?y
?
)
直线：K?0;
1
半径为a的圆：K?.
a
十 定积分的近似计算：

b
矩形法：
?
f(x)?
a
b
b?a
(y
0
?y
1
???y
n?1< br>)
n
b?a1
[(y
0
?y
n
)?y
1
???y
n?1
]
n2
b?a
[(y
0
?y
n
)?2(y
2
?y
4
???y
n?2)?4(y
1
?y
3
???y
n?1
)]
3n

梯形法：
?
f(x)?
a
b
抛物线法：
?
f(x)?
a
十一 定积分应用相关公式：
功：W?F?s
水压 力：F?p?A
mm
引力：F?k
1
2
2
,k为引力系数< br>
r
b
1
函数的平均值：y?f(x)dx
b?a
?
a
1
2
均方根：f(t)dt
?
b?a
a
十二 空间解析几何和向量代数：
b
空间2点的距离：d?M
1
M
2
?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(z
2
?z
1
)
2
向量在轴上的投影：Prj
u
AB?AB?cos
?
,
?< br>是AB与u轴的夹角。
????
Prj
u
(a
1
?a
2
)?Prja
1
?Prja
2
?
?
?< br>?
a?b?a?bcos
?
?a
x
b
x
?a
y
b
y
?a
z
b
z
,是一个数量,
两向量之间的夹角：cos
?
?
i
?
??
c?a?b?a
x
b
x
j
a
y
b
y
a
x
b
x
?a
y
b
y
?a
z
b
z
a
x
?a
y
?a
z
?b
x
? b
y
?b
z
222222
k
??
?
???
a
z
,c?a?bsin
?
.例：线速度：v?w?r.
b
z
a
y
b
y
c
y
a
z
?
?
?
b
z
?a?b?ccos
?
,
?为锐角时，

c
z
a
x
??
????
向量的混合积：[abc]?(a?b)?c?b
x
c
x
代表平行六面体的体 积。

?
1、点法式：A(x?x
0
)?B(y?y
0
)?C(z?z
0
)?0，其中n?{A,B,C},M
0
(x0
,y
0
,z
0
)
2、一般方程：Ax?By?Cz? D?0
xyz
3、截距世方程：???1
abc
平面外任意一点到该平面的距 离：d?
Ax
0
?By
0
?Cz
0
?D
A
2
?B
2
?C
2
平面的方程：
?
x?x< br>0
?mt
x?x
0
y?y
0
z?z
0
?
?
空间直线的方程：???t,其中s?{m,n,p};参数方程：
?
y?y
0
?nt
mnp
?
z?z?pt
0
?
二次曲面：
x
2
y
2
z
2
1、椭球面：
2
?
2
?
2
?1
abc
x
2
y< br>2
2、抛物面：??z（,p,q同号）
2p2q
3、双曲面：
x2
y
2
z
2
单叶双曲面：
2
?
2?
2
?1
abc
x
2
y
2
z
2
双叶双曲面：
2
?
2
?
2
?（马鞍面）1
abc

十三 多元函数微分法及应用

全微分：dz?
?z? z?u?u?u
dx?dy　　　du?dx?dy?dz
?x?y?x?y?z
全微 分的近似计算：?z?dz?f
x
(x,y)?x?f
y
(x,y)?y多元复合函数的求导法：
dz?z?u?z?v
z?f[u(t),v(t)]　　　?? ??　
dt?u?t?v?t
?z?z?u?z?v
z?f[u(x,y),v(x, y)]　　　?　???
?x?u?x?v?x
当u?u(x,y)，v?v(x,y)时，< br>?u?u?v?v
du?dx?dy　　　dv?dx?dy　
?x?y?x?y
隐函数的求导公式：
F
x
FF
dydyd
2
y??
隐函数F(x,y)?0，　　??，　　
2
?(?
x
)＋(?
x
)?
dxF
y
?xF
y
?yF
y
dxdx
F
y
F
?z?z
隐函数F(x,y,z)?0，　??x
，　　??
?xF
z
?yF
z

?F
?
F(x,y,u,v)?0
?(F,G)
?u
隐函数方程 组：　　　J??
?
?G
?(u,v)
?
G(x,y,u,v)?0
?u
?u1?(F,G)?v1?(F,G)
???　　　　???
?xJ? (x,v)?xJ?(u,x)
?u1?(F,G)?v1?(F,G)
???　　　　???
?yJ?(y,v)?yJ?(u,y)
十四 微分法在几何上的应用：
?F
?v
?
F
u
?G
G
u
?v
F
v
G
v

?
x?
?
(t)
x?xy?y0
z?z
0
?
空间曲线
?
y?
?
(t )在点M(x
0
,y
0
,z
0
)处的切线方程：
0
??
??
?
(t)
?
(t)
?
?
(t
0
)
00
?
z?
?
(t)
?
在点M处的法平面方程：
?
?
(t
0
)(x?x
0
)?
?
?
(t
0
)(y?y
0
)?
??
(t
0
)(z?z
0
)?0
?
?
F
y
F
z
F
z
F
x
F
x
?
F(x,y,z)?0
若空间曲线方程为：,则切向量T?{,,
?
GGG
x
G
x
?
yz
G
z
?
G( x,y,z)?0
曲面F(x,y,z)?0上一点M(x
0
,y
0
,z
0
)，则：
?
1、过此点的法向量：n?{F
x
(x< br>0
,y
0
,z
0
),F
y
(x
0< br>,y
0
,z
0
),F
z
(x
0
,y
0
,z
0
)}
x?x
0
y?y
0
z?z
0
3、过此点的法线方程：??
F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)F
z
(x
0
,y
0
, z
0
)
十五 方向导数与梯度：
F
y
G
y
}
2、过此点的切平面方程：F
x
(x
0
,y
0
,z
0
)(x?x
0
)?F
y
(x
0
,y
0
,z
0
)(y?y
0
)?F
z
(x0
,y
0
,z
0
)(z?z
0
)?0
?f?f?f
函数z?f(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：?cos
?
?sin
?
?l?x?y
其中
?
为x轴到方向l的转角。
?f
?
?f
?
i?j
?x?y

???f
??
它与方向导数的关系是：?gradf(x,y)?e，其中e?cos
?
?i?sin
?
?j，为l方向上的
?l
单位向量。
?f
?是gradf(x,y)在l上的投影。
?l
函数z?f(x,y)在一点p(x, y)的梯度：gradf(x,y)?
十六 多元函数的极值及其求法：
设f
x(x
0
,y
0
)?f
y
(x
0
,y< br>0
)?0，令：f
xx
(x
0
,y
0
)?A ,　f
xy
(x
0
,y
0
)?B,　f
yy
(x
0
,y
0
)?C
?
?
A?0,(x
0
,y
0
)为极大值
2
AC?B?0时，
?
??
A?0,(x
0
,y
0
)为极小值
?
?2
则：值
?
AC?B?0时，　　　　　　无极
?
AC?B2
?0时,　　　　　　　不确定
?
?
?
十七 重积分及其应用：

??
f(x,y)dxdy?
??f(rcos
?
,rsin
?
)rdrd
?
DD
?
曲面z?f(x,y)的面积A?
??
D
?
?z
??
?z
?
?
1?
??
?
?
dxdy< br>??
?
?x
?
?
?y
?
2
2
平面薄片的重心：x?
M
x
?
M
??
x
?
(x,y)d
?
D
??
?
(x,y)d
?
DD
,　　y?
M
y
M
?
??
y
?(x,y)d
?
D
??
?
(x,y)d
?
D< br>D

平面薄片的转动惯量：对于x轴I
x
?
??
y< br>2
?
(x,y)d
?
,　　对于y轴I
y
?
??
x
2
?
(x,y)d
?
平面薄片（位于xoy平面）对 z轴上质点M(0,0,a),(a?0)的引力：F?{F
x
,F
y
,F< br>z
}，其中：
F
x
?f
??
D
?
( x,y)xd
?
(x?y?a)
222
2
，　　F
y
?f
??
3
D
?
(x,y)yd
?
(x?y?a )
222
2
，　　F
z
??fa
??
3
D
?
(x,y)xd
?
(x?y?a)
22
3
22
十八 柱面坐标和球面坐标：
?
x?rcos
?
?
柱面坐标：f(x,y,z)dxdydz?
???
F(r,
?
,z)rdr d
?
dz,
?
y?rsin
?
,　　　
?????
?
z?z
?
其中：F(r,
?
,z)?f(rco s
?
,rsin
?
,z)
?
x?rsin
?
cos
?
?
2
球面坐标：
?
y?rsin
?sin
?
，　　dv?rd
?
?rsin
?
?d
?
?dr?rsin
?
drd
?
d
?
?
z?rcos
?
?
2
?

?
r(
?
,
?
)
2
F(r,
?
,
?
)rsin< br>?
dr
?
0
???
?
f(x,y,z)dxdydz ?
???
F(r,
?
,
?
)rsin
?
d rd
?
d
?
?
?
d
?
?
d
?
?00
2
重心：x?
1
M
???
x
?
dv,　　y?
?
?
1
M
???
y
?dv,　　z?
?
?
1
M
???
z
?
dv，　　其中M?x?
???
?
dv
??
?
转动惯量：I
x
?
???
(y
2
?z
2
)
?< br>dv，　　I
y
?
???
(x
2
?z
2)
?
dv，　　I
z
?
???
(x
2
?y
2
)
?
dv
十九 曲线积分：
第一类曲线积分（对弧 长的曲线积分）：
?
x?
?
(t)
设f(x,y)在L上连续，L的 参数方程为：,　　(
?
?t?
?
),则：
?
y?
?
(t)
?
?
L
?
x?t
f(x,y)ds??
f[
?
(t),
?
(t)]
?
?
2
(t)?
?
?
2
(t)dt　　(
?
?
?
)　　特殊情况：
?
?
y?
?
(t)
?
?

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
?
x
?
?< br>(
t
)
设
L
的参数方程为
?
，则：
?
y
?
?
(
t
)
?
P
(
x
,
y
)
dx
?
L
?
Q
(
x
,
y
)
dy
?{
P
[
?
(< br>t
),
?
(
t
)]
?
?
(
t
)?
Q
[
?
(
t
),
?
(t
)]
?
?
(
t
)}
dt
?
?
L
两类曲线积分之间的关系：
?
Pdx
?
Qdy
?(
P
cos
?
?
L
?
Q
cos
?
)
ds
，其中
?
和
?
分别为
L
上积分起止点处切向量的方向角。
?
Q
?
P
格林公式：(?)
dxdy
?
?
Pdx
?
Qdy
??
?
x
?
y
DL
?
Q
?
P
当
P
??
y
,
Q
?
x
，即：??2时，得到
D
的面积：
A
?
?
x
?
y
·平面上曲线积分与路径无 关的条件：
1、
G
是一个单连通区域；
2、
P
(
x
,
y
)，
Q
(
x
,
y
)在
G
内具有一阶连续偏导数，且
减去对此奇点的积分，注意方向相反！
·二元函数的全 微分求积：
?
Q
?
P
在＝时，
Pdx
?
Q dy
才是二元函数
u
(
x
,
y
)的全微分，其中：
?
x
?
y
(
x
,
y
)
? ?
dxdy
?
D
1
2
xdy
?
L
?
ydx
?
Q
?
P
＝。注意奇点，如(0,0)，应
?
x
?
y

u
(
x
,
y
)?
(
P
(
x
,
y
)
dx
?< br>xy
0
,
0
)
?
Q
(
x
,
y
)
dy
，通常设
x
0
?
y
0< br>?0。
二十 曲面积分：
22
对面积的曲面积分：
??
f( x,y,z)ds?
??
f[x,y,z(x,y)]1?z
x
(x,y)? z
y
(x,y)dxdy
?D
xy
对坐标的曲面积分：
??
P(x,y,z)dydz?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy，其中：
?
号；
??
R(x,y,z)dxdy??
??
R[x,y,z(x ,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正
?D
xy
号；
??
P(x, y,z)dydz??
??
P[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正
?D
yz

??
Q(x,y,z)dzdx??
??
Q[ x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正号。
?D
zx
两类曲面积分之 间的关系：
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
??
(Pcos?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
??
二十 一 高斯公式：

???
(
?
?P?Q?R
??)dv?
??
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?
??
(Pcos
?
?Qcos
?
?Rcos
?
)ds
?x?y?z
??
高斯公式的物理意义——通量与散度：
?
?P?Q?R
?
散度：div
?
???,即：单位体积内所产生的流体质量，若div
?
? 0,则为消失...
?x?y?z
?
?
通量：
??
A?nd s?
??
A
n
ds?
??
(Pcos
?
? Qcos
?
?Rcos
?
)ds，
?
因此，高斯公式又可写 成：divA
???
dv?
??
A
n
ds
?????
二十二 斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：
??
(
?
?R?Q?P?R?Q?P
?)dydz?(?)dzdx?(?)dxdy?
?< br>Pdx?Qdy?Rdz
?y?z?z?x?x?y
?
cos
?
?
?y
Q
cos
?
?
?z
R

dydzdzdxdxdycos
?
????
上式左端又可写成：?
????
?x?y?z?x
??
PQRP
?R?Q?P?R?Q?P
空间曲线 积分与路径无关的条件：?，　?，　?
?y?z?z?x?x?y
ijk
?
???
旋度：rotA?
?x?y?z
PQR
??
?
向量场 A沿有向闭曲线?的环流量：Pdx?Qdy?Rdz?A
??
?tds
??
二十三 常数项级数：
1?q
n
等比数列：1?q?q???q?
1?q< br>(n?1)n

等差数列：1?2?3???n?
2
111
调 和级数：1?????是发散的
23n
2n?1
二十四 级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：
?
?
?1时，级数 收敛
?
设：
?
?lim
n
u
n
，则
?
?
?1时，级数发散
n??
?
?
?1时，不确定
?
2、比值审敛法：
?
?
?1时，级数收敛
U
?
设：
?
?lim
n?1
，则
?
?
?1时，级数发散
n??
U
n
?
?
?1时，不确定
?
3、定 义法：
s
n
?u
1
?u
2
???u
n;lims
n
存在，则收敛；否则发散。
n??

交错级数u< br>1
?u
2
?u
3
?u
4
??(或?u
1
?u
2
?u
3
??,u
n
?0)的审敛法—— 莱布尼兹定理：
?

?
u
n
?u
n?1
如 果交错级数满足，那么级数收敛且其和s?u,其余项r的绝对值r?u。
?
limu?01nnn?1
n
?
?
n??
二十五 绝对收敛与条件收敛： < br>(1)u
1
?u
2
???u
n
??，其中u
n
为任意实数；
(2)u
1
?u
2
?u
3
???u
n
??
如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；
如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。

1(?1)
n
调和级数：
?
n
发散，而
?
n
收敛；
1
　　级数：
?
n
2
收敛；
ｐ?１时发散
1
　　p级 数：　　
?
n
p
p?1时收敛
二十六 幂级数：
1
x?1时，收敛于
1?x
1?x?x
2
?x
3
???x< br>n
??　　
x?1时，发散
对于级数(3)a
0
?a
1
x　?a
2
x
2
???a
n
x
n
??，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全
x?R时收敛
数轴上都收敛，则必存在R，使x ?R时发散，其中R称为收敛半径。
x?R时不定
1

?
?0时，R ?
求收敛半径的方法：设lim
a
n?1
?
?
，其中an
，a
n?1
是(3)的系数，则
?
?0时，R???
n??
a
n
?
???时，R?0
?

二十七 函数展开成幂级数：
f
??
(x
0
)f
(n)
( x
0
)
2
函数展开成泰勒级数：f(x)?f(x
0
)(x ?x
0
)?(x?x
0
)???(x?x
0
)
n< br>??
2!n!
f
(n?1)
(
?
)
余项：R
n
?(x?x
0
)
n?1
,f(x)可以展开成泰勒级数的 充要条件是：limR
n
?0

n??
(n?1)!
f??
(0)
2
f
(n)
(0)
n
x
0
?0时即为麦克劳林公式：f(x)?f(0)?f
?
(0)x?x???x??2!n!
二十八 一些函数展开成幂级数：
m(m?1)
2
m(m?1 )?(m?n?1)
n
x???x??　　　(?1?x?1)
2!n!
< br>352n?1
xxx
sinx?x?????(?1)
n?1
??　　 　(???x???)
3!5!(2n?1)!
(1?x)
m
?1?mx?< br>二十九 欧拉公式：
?
e
ix
?e
?ix
cosx ?
?
?
2
ix

e?cosx?isinx　　　或
?
ix?ix
?
sinx?
e?e
?
2
?
三十 三角级数：
a
0
?
f(t)?A
0
?
?
A
n
sin(n
?
t?
?
n
)??
?
(a
n
cosnx?b
n
sinnx)
2
n? 1n?1
其中，a
0
?aA
0
，a
n
?A
n
sin
?
n
，b
n
?A
n
cos
?
n
，
?
t?x。
正交性：1,sinx,cosx,sin2x ,cos2x?sinnx,cosnx?任意两个不同项的乘积在[?
?
,
?
]
上的积分＝0。
三十一 傅立叶级数：
?

a
0?
f(x)??
?
(a
n
cosnx?b
n
s innx)，周期?2
?
2
n?1
?
?
1
(n?0 ,1,2?)
?
a
n
?
?
f(x)cosnxdx　　　< br>?
?
?
?
其中
?
?
?
b?
1
f(x)sinnxdx　　　(n?1,2,3?)
?
n
?
?< br>?
?
?
11
?
2
1?
2
?
2
???
8
35
　
111
?
2
?
2
?
2
???
2
24
246
正弦级数：a
n
?0，b
n
?
余弦级数：b
n
?0，a
n
?
111
?
2
1?
2
?
2
?
2
???（相加）
6
234
111
?
2
1?
2
?
2
?
2
???（相减）
12
234
f (x)sinnxdx　　n?1,2,3?　f(x)?
?
b
?
?
0

2
?
n
sinnx是奇函数
2
?
?< br>?
0
f(x)cosnxdx　　n?0,1,2?　f(x)?
a
0
?
?
a
n
cosnx是偶函数
2
周期为
2 l
的周期函数的傅立叶级数：

a
0
?
n
?
xn
?
x
f(x)??
?
(a
n
cos? b
n
sin)，周期?2l
2
n?1
ll
l
?1n
?
x
a?f(x)cosdx　　　(n?0,1,2?)
?
n
?
ll
?
?l
其中
?
l
?
b ?
1
f(x)sin
n
?
x
dx　　　(n?1,2,3? )
?
n
l
?
l
?l
?

微分方程的相关概念：
一阶微分方程：y
?
?f(x,y)　或　P(x, y)dx?Q(x,y)dy?0
可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dy?f(x )dx的形式，解法：
?
g(y)dy?
?
f(x)dx　　得：G(y)? F(x)?C称为隐式通解。
dyy
?f(x,y)?
?
(x,y)，即写成 的函数，解法：
一阶线
dxx
ydydududxduy
设u?，则?u?x ，u??
?
(u)，??分离变量，积分后将代替u，
xdxdxdxx
?< br>(u)?ux
齐次方程：一阶微分方程可以写成
即得齐次方程通解。
性微分方程 ：
dy
1、一阶线性微分方程：?P(x)y?Q(x)
dx
?P(x)d x
当Q(x)?0时,为齐次方程，y?Ce
?
当Q(x)?0时，为非齐次方程，y ?(
?
Q(x)e
?
dy
2、贝努力方程：?P(x)y?Q(x) y
n
，(n?0,1)
dx
全微分方程：
P(x)dx
dx?C)e
?
?P(x)dx

如果P(x ,y)dx?Q(x,y)dy?0中左端是某函数的全微分方程，即：
?u?u
du(x,y )?P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0，其中：?P(x,y)，?Q(x,y)

?x?y
?u(x,y)?C应该是该全微分方程的通解。
二阶微分方程：
f(x)?0时为齐次
d
2
ydy
?P(x)?Q(x)y?f(x)，
2
dx
dx
f(x)?0时为非齐次
二阶常系数齐次线性微分 方程及其解法：
(*)y
??
?py
?
?qy?0，其中p,q为 常数；
求解步骤：
1、写出特征方程：(?)r
2
?pr?q?0，其中r< br>2
，r的系数及常数项恰好是(*)式中y
??
,y
?
,y的 系数；
2、求出(?)式的两个根r
1
,r
2
3、根据r
1
,r
2
的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r
1
，r
2
的形式

两个不相等实根
(p?4q?0)

两个相等实根
(p?4q?0)

一对共轭复根
(p?4q?0)

2
2
2
(*)式的通解
y?c
1
e
r< br>1
x
?c
2
e
r
2
x

y?(c
1
?c
2
x)e
r
1
x

y?e
?
x
(c
1
cos
?
x?c
2
sin
?
x)

r
1
?
?
? i
?
，r
2
?
?
?i
?
4q?p
2

p
?
??，
?
?
22
二阶常系数非齐 次线性微分方程
y
??
?py
?
?qy?f(x)，p,q为常数
f(x)?e
?
x
P
m
(x)型，
?
为常 数；
f(x)?e
?
x
[P
l
(x)cos
?x?P
n
(x)sin
?
x]型