高中数学题及答案

?
?
?
1．（本小题满分12分）已知函数
f(x)?2ms in
2
x?23msinx?cosx?n
的定义域为
?
0,
?
，
?
2
?
值域为
?
?5,4
?
．试求函数
g(x)?msinx?2ncosx
（
x?R
）的最小正周期 和最值．
2．（本小题满分12分）
11
两个人射击，甲射击一次中靶概率是p< br>1
，乙射击一次中靶概率是p
2
，已知 , 是方
p
1
p
2
程 x
2
－5x + 6 = 0
5
的根，若两人各射击5次，甲的方差是 ．
4
?1? 求 p
1
、p
2
的值；
?2? 两人各射击2次，中靶至少3次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
?3? 两人各射击一次，中靶至少一次就算完成目的，则完成目的的概率是多少？
3．（本小题满分12分）
uuuruuuur
x
2
y
2
P是以
F
1
、F
2
为焦点的双曲线C：
2
?
2
?1
（ a＞0，b＞0）上的一点，已知
PF
1
?PF
2
=0，
a b
uuuruuuur
|PF
1
|?2|PF
2
|
．
（1）试求双曲线的离心率
e
；
uuuruuur
27
（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P
1
、P
2
两点，当OP
，
?OP??
12
4
uuuruuur
2PP1
?PP
2
= 0，求双曲线的方程．
4．（本小题满分14分） < br>设
f(x)
是定义在[-1，1]上的偶函数，
g(x)
的图象与f(x)
的图象关于直线
x?1
对称，且
当 x∈[ 2，3 ] 时，
g(x)?2a(x?2)?4(x?2)
3
．
（1）求
f(x)
的解析式；
（2）若
f(x)
在
(0,1]
上为增函数，求
a
的取值范围；
（3）是否存在正整数
a
，使
f(x)
的图象的最高点落在直线
y?12
上？若存在，求 出
a
的
值；若不存在，请说明理由．

数学擂台高考题答案
1．解析：
f(x)??3msin2x?mcos2x?m?n??2msin(2x?)< br>?m?n

6
?
?
?
?
7
?
?
?
?
1
??
?
?
x?
?
0,
?
?2x??
?
,
?
?sin(2x?)?
??,1
?
…………………………4’
6
?
66
?6
?
2
??
2
?
1
当
m
＞0 时，
f(x)
max
?
?2m(?)?m?n?4
，
f(x )
min
??m?n??5

2
解得
m?3,n??2，………………………………………………………………6’
从而，
g(x)?3sinx?4cosx?5sin(x?
?
)

(x?R)
，
T=
2
?
，最大值为5，最小值为－5；… ……………………………………………8’
当m＜0时， 解得
m??3,n?1
，………………………………………………10’
从而，g(x)??3sinx?2cosx?13sin(x?
?
)
，T=
2
?
，最大值为
13
，
最小值为
?13
．……………………………………………………………………12’
2．解析：?1? 由题意可知 ?
甲
~ B(5, p
1
)，
51111
∴ D?
甲
= 5p
1
?1－p
1
? = ? p
1
2
－p
1
+ = 0 ? p
1
= ．2分；又 · = 6，∴ p
2

442p
1
p
2
1
= ． 3分
3
?2? 两类情况：共击中3次概率
11121111
2112
C
2
? ?
2
? ?
0
×C
2
? ?
1
? ?
1
+ C
2
? ?
1
? ?
1
×C
2
? ?
2
? ?
22332233
0
1
= ；
6
11121
22
共击中4次概率C
2
? ?
2
? ?
0
×C
2
? ?
2
? ?
0
= ． 6分
223336
117
所求概率为 + = ． 8分
63636

?3? 设事件A, B分别表示甲、乙能击中．∵ A, B互相独立（9分），∴ P??A·?B
121
? = P??A ? P??B ? = ?1－P?A? ??1－P?B? ? = ?1－p
1
??1－p
2
? = × = （11分），
233
2
∴ 1－P??A·?B ? = 为所求概率． 12分
3
uuur
uuuruuuuruuuruuuuruuuu r
3．解（1）∵
|PF
1
|?2|PF
2
|
，< br>|PF
1
|?|PF
2
|?2a
，∴
|PF
1
|?4a
，
|PF
2
|?2a
．




∵
PF
1
g
PF
2
=0，∴(4a)
2
+(2a)
2
=(2c)
2
，∴e?
c
uuuruuuur
a
?5
．……………………4分
分
x
2
y
2
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为2
?
2
?1
，渐近线方程为
y??2x
．…5
a4a
设P
1
(x
1
，2x
1
)，P
2< br>(x
2
，-2x
2
)，P(x，y)．
uuuruuuur
∵
OP
1
g
OP
2
??3x
1
x
2
??
27
4
，∴
x
1
x
2?
9
4
1
2x?x
?
x?
12
,uuuruuur
?
3
． ∵
2PP
1
?PP
2
?0
，∴
?
………8
?
2(2x?x)
12?
y?.
?
3
?
分


∵点P在双 曲线上，∴
(2x
化简得，
xx
12
?x
2
)2
(2x
1
?x
2
)
2
??1
． < br>9a
2
9a
2
9a
2
?
8
．∴9a9
?
84
2
．∴
a
2
?2
．∴ 双曲线的方程为
xy
2
??1
…12
28
2
分
4.解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+ 4x
3
；当x∈
(0,1]
时，
f(x)=f(-x)=2ax-4 x
3
，


?
?2ax?4x
3
,?1 ≤x≤0,
?
∴
f(x)?
?
………………………………………4分
3
2ax?4x,0?x≤1.
?
?
（2）由题设知，
f< br>?
(x)
＞0对x∈
(0,1]
恒成立，即2a-12x
2< br>＞0对x∈
(0,1]
恒成立，
于是，a＞6x
2
，从而a＞ (6x
2
)
max
=6．………………………8分






（3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2 ax-4x
3
在x∈
(0,1]
的最大值．
令
f
?
(x)
=2a-12x
2
=0，得
x?
a
．…1 0分 若
a
∈
(0,1]
，即0＜a≤6，则
6
6
[f(x)]
max
?f(
a
)?2a?
6
a
? 4(
6
a
3
)?2a?
6
a
≤12
，
6
故此时不存在符合题意的
a
；
若
a
＞1，即a ＞6，则
f(x)
在
(0,1]
上为增函数，于是
[f(x)]max
?f(1)?2a?4
．
6
令2a-4=12，故a=8． 综上，存在a = 8满足题设．………………13分