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10道经典高中数学题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 01:24
tags:高中数学题

高中数学是函数难还是选修难-高中数学复数怎么球



1.设Sn是等差数列{An}的前n项和,又
S6=36,Sn=324, S(n-6)=144,则n=?
①Sn是等差数列
S6=a1*6+6(6-1)2*d=36,则2a1+5d=12......&
最后六项的和S=an*6-6(6-1)2*d=6an-15d
S(n-6)=Sn- S=324-(6an-15d)=144,则2an-5d=60......@
&+@:a1+an=36
Sn=(a1+an)2*n
n=18
②解:Sn-S(n-6)=a(n-5)+a(n-4)+......an=324-144=180
而 S6=a1+a2+...a6=36

Sn-S(n-6)+S6= a1+a2+...a6+ a(n-5)+a(n-4)+....an
=6(a1+an)=180+36=216
那么 (a1+an)=36
Sn=n(a1+an)2=324
即 36n2 =324
所以 n=18


2.已知f(x)=(x-1)^2,g(x)=4(x-1),f(an)和g (an)满足,
a1=2,且(an+1-an)g(an)+f(an)=0



(1)是否存在常数C,使得数列{an+C}为等比数列?若存在,
证明你的结论;若不存在,请说明理由。
(2)设bn=3f(an)-[g(an+1)]^2,求数列{bn}的前n项和
Sn
(1)存在 C=-1
证明如下 (an+1-an)g(an)+f(an)=0 将f(x)、g(x)带入
并化简
得 4an+1 - 3an -1 =0 变形为4(an+1
-1)=3(an -1)
所以an-1是以34为等比 1为首项的等比数列

(2)an-1=(34)^n
bn=3f(an)-[g(an+1)]^2 将f(an) g(an+1)带入
不要急着化简 先将an+1 - 1换成 34 (an-1)
化简后bn=-6(an -1)^2=-6*(916)^n
bn是首项为-278等比是916的等比数列

Sn=a1(1-q^n)(1-q)=547(916)^n-547
已知函数f(x)= x^2+ax+b,当实数p,q满足p+q=1,试证明
pf(x)+qf(y)>=f(px+qy )
pf(x)+qf(y)>=f(px+qy)
<=> px^2+pax+pb+qy^2+qay+qb>=(px+qy)^2+apx+aqy+b



<=> px^2+qy^2>=(px+qy)^2
<=> px^2+qy^2>=p^2x^2+q^2y^2+2pqxy
<=> (p-p^2)x^2+(q-q^2)y^2>=2pqxy
将q=1-p代入,化简得
(p-p^2)(x^2+y^2)>=2(p-p^2)xy
∵ x^2+y^2>=2xy
∴ p-p^2>0
<=> p>p^2
<=> 0<=p<=1


3.某公司一年需要一种计算机元件800 0个,每天需同样多
的元件用于组装整机,该元件每年分
n
次进货,每次购买元
件的数量均为
x
,购一次货需手续费500元.已购进而未使
1
x
2
用的元件要付库存费,假设平均库存量为件,每个元件的
库存费为每年2元,如果不计其他费 用,请你帮公司计算,
每年进货几次花费最小?
解:设购进8000个元件的总费用为S,一年总库存费用为E,
手续费为H.

所以S
X=8000n,E=2*12*8000n,H=500n
=E+H=
2*0.5x+500*8000x=8000n+500n=500(16n+n )>=4000



当且仅当16n=n即n=4时总费用最少,故以每年进货4次
为宜.


4.已知f(x)=ax^2-2ax+1=0有两正根x1,x2,且15.( 1)求x1的取值范围(2)求a的取值范围
某公路段汽车的
车流量y(千辆时)与汽车的平均速度v(千米时)之间
的函数关系为:
(1)在该时段内,当汽车的平均速度v是多少时,车流量最
大,最大流量是多少(精确到0.1)
(2)要使在该时段内车流量超过10千米时,则汽车的平均
速度应在什么范围内?
车流量y(千辆时)与汽车的平均速度v(千米时)之间
的函数关系为:






5.已知正方形ABCD的边长是13,A BCD外一点P到正方形
ABCD各顶点的距离是13。M、N分别是PA、BD上的点。
PM:MA=BN;ND=5;8,求MN






6.已知函数f(x)=4sinxsin^2(∏4+x2)+cox2x1)设w>0为
常 数,
(1)若y=f(wx)在区间[-∏2,2∏3]上是增函数,求w的取
值范围 (2)设集合A={x∏6<=x<=2∏3},B={xf(x)-m<2}若,A属于
B,求实 数m的取值范围
解.f(x)=2sinx[1-cos(x+π2)]+1-2sin?



x=2sinx(1+sinx)+1-2sin?x=2sinx+1
(1)y=f(wx)=2sinwx+1
因在区间[-π2,2π3]上是增函数,所以最小正同期T=2
πw≥2(π2+2π3)
即0而-π2+2kπ≤wx≤π2+2kπ时,f(x)单调递增
则必有k=0,即-π2≤wx≤π2时递增,
则必有2πw3≤π2,即w≤34
所以w的取值范围(0,34]
(2)|f(x)-m|=|2sinx+1-m|<2,< br>(m-3)2而当π6≤x≤2π3时,有12≤sinx≤1
因为A属于B,必有
(m-3)2<12且(1+m)2>1
解得1fn(x)=a1x+a2x^2+...anx^n fn(-1)=(-1)^n*n


则m-3<2sinx<1+m即
7.如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4 ,沿对角线BD将△ABD折起,
使A点在平面BCD内的射影O落在BC边上,若二面角C- AB-D
的大小为@,则SIN@=?
由AO垂直于平面BCD,



CD在平面BCD内,知 AO垂直于CD又CD垂直BC,
且AO交BC=O,故CD垂直于平面ABC又 AB在平面ABC内,
故CD垂直于AB,又DA垂直于AB,且CD交DA=D,故AB垂直于
平面ACD,
又 AC在平面ACD内,故AB垂直于AC,
又AB垂直于AD故角CAD是二面角C- AB-D的平面角在三角
形CAD中,
由CD垂直于平面ABC,AC在平面ABC内,
可知CD垂直于AC又 CD=3,AD=4,
故sin角CAD=CDAD=34


8.已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,
角ABC=90度,BC=2,AC=2√3,且AA1⊥A1C,AA1=A1C。
(1)求侧棱AA1与底面ABC所成的角大小
(2)求侧面A1ABB1与地面ABC所成的二面角大小
(3)求顶点C到侧面A1ABB1的距离
解:(Ⅰ)作A1D⊥AC,垂足为D,

由面A1ACC1⊥面ABC,得A1D⊥面ABC, ∴∠A1AD为A1A与



面ABC所成的角。
∵AA1⊥A1C,AA1=A1C, ∴∠A1AD=45°为所求。
(Ⅱ)作DE⊥AB,垂足为E,连A1E,则由A1D⊥面ABC,得
A1E⊥AB。
∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。
由已知,AB⊥BC,得ED∥BC。又D是AC的中点,
BC=2,AC=2, ∴DE=1,AD=A1D=,
tgA1ED=A1DDE=。 故∠A1ED=60°为所求。
(Ⅲ)解法一:由点C作平面A1ABB1的垂线,垂足为H,则
CH的长是C到平面A1AB B1的距离。
连结HB,由于AB⊥BC,得AB⊥HB。 又A1E⊥AB,
知HB∥A1E,且BC∥ED, ∴∠HBC=∠A1ED=60°。
∴CH=BCsin60°=为所求。
解法二:连结A1B。 根据定义,点C到面A1ABB1的距离,
即为三棱锥C-A1AB的高h。 由V锥C-A1AB=V锥A1-ABC
得12S△AA1Bh=12S△ABCA1D,
即 13×2


h=13×2×∴h= 为所求。
9.图2, 直三棱柱ABC-A1B1C1体积为V,点Q,P分别在侧棱
AA1和CC1上,AP=C1Q,四棱 锥B-APQC体积为(V3)




连结A1C
设四棱锥B-APQC的高为h
易知梯形APQC的面积=(AP+CQ)*AC2
=(C1Q+CQ)*AC2=C1C*AC2=△ACC1的面积
故四棱锥B- APQC体积
=梯形APQC的面积*h3
=△ACC1的面积*h3
=三棱锥B-ACC1的体积
=三棱锥C1-ABC的体积
=13棱柱ABC-A1B1C1体积
=V3




10.已知a>0且a≠1,数列an的前项和为Sn,它满足条件(a
的n-1次 方)Sn=1-1a,数列bn中,bn=an×lga的n次方
(1)求数列bn的前n项和Tn
(2)若对一切n∈正整数,都有Bn的取值范围
解:
(1)当n=1时,有(a-1)a1=1-1a,解得:a1=a;
当n>1时:
因为(a^n-1)Sn=1-1a=(a-1)a,所以
Sn=a(a^n-1)(a-1),
继而推得:S(n-1)=a[a^(n-1)-1](a-1).
所以
an=Sn-S(n-1)=a(a^n-1)(a-1)-a[a^(n-1)-1](a-1)=a^n.
而a1=a=a*1,符合上式,所以数列{an}的通向公式
an=a^n.
则bn=n*a^n*lga.
设数列{bn}的前n项和是Tn,则
Tn=1*a^1*lga+2*a^2*lga+3*a^3*lga+…+n*a^n*lga
aTn= 1*a^2*lga+2*a^3*lga+…
+(n-1)*a^n* lga+n*a^(n+1)*lga
两式相减,得:



( 1-a)Tn=lga*(a^1+a^2+a^3+…
+a^n)-n*a^(n+1)*lga=( lga)*a(1-a^n)(1-a)-n*a^(n+1)*
lga

Tn=a(lga)(1-a^n)(1-a)^2-n(lga)*a^(n+1)(1-a).
(2)由题意:

b(n+1)-bn=(n+1)*a^(n+1)*lga -n*a^n*lga=a^n*lg{a^[n(a
-1)+a]}>0.
因为a^n>0,所以lg{a^[n(a-1)+a]}>0.
当a>1时,n(a-1)+a>0,所以a^[n(a-1)+a]>1,则不等
式恒成立;
当0恒成立.
而n(n+1)的最小值是12,则a<12.
所以综上所述,a的取值范围是(0,12)∪(1,+∞).


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