2014全国高中数学联赛试题

2014全国高中数学联赛试题
一、填空题
1、若正数
a,b2?log
2
a?3?log
3
b?log(a?b)
,则11
?
的值为__________
ab
2、设集合
{?b| 1?a?b?2}
中的最大值与最小值分别为
M,m
，则
M?m
=_ ________
3、若函数
f(x)?x
2
?a|x?1|
在< br>[0,??)
上单调递增，则
a
的取值范围为_______
4、数 列
{a
n
}
满足
a
1
?2,a
n?1?
3
a
2(n?2)
a
2014
a
n
(n?N
?
)
，则=_________
n?1
a
1?a
2
?...?a
2013
5、已知正四棱锥
P?ABCD< br>中，侧面是边长为1的正三角形，
M,N
分别是边
AB,BC
的
中点，则异面直线
MN
与
PC
之间的距离是_____________
6、设椭圆
?
的两个焦点是
F
1
,F
2
， 过点
F
1
的直线与
?
交于点
P,Q
，若
| PF
2
|?|F
1
F
2
|
，且
3|PF< br>1
|?4|QF
1
|
，则椭圆
?
的短轴与长轴的比值 为__________
7、设等边三角形
ABC
的内切圆半径为2，圆心为
I
。若点
P
满足
PI?1
，则
?ABC
与
?APC
的面积之比的最大值为__________
8、设
A,B,C,D是空间四个不共面的点，以
1
的概率在每对点之间连一条边，任意两点之
2
间是否连边是相互独立的，则
A,B
可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概< br>率是__________

二、解答题

P
是不在x
轴上一个动点，9、平面直角坐标系
xOy
中，满足条件：过
P
可作抛物线
y?4x
的两条切线，两切点连线
l
P
与
PO
垂直。设直线
l
P
与
PO
，
x
轴的交点分 别为
Q,R
，
（1）证明：
R
是一个顶点
（2）球







2
|PQ|
的最小值
|QR|

10、数列
{a
n
}
满足
a
1
?
?,a
n?1
?arctan(seca
n
)(n?N?)
求正整 数
m
，使得
6
sina
1
1
sina
2< br>......sian
m
?
10

0












11、确定所有的复数
?
，使得对任意的复数
z
1
,z2
(z
1
?
?
)
2
?
?
z< br>1
?(z
1
?
?
)
2
?
?
z
2























|z
1
|,|z
2
|? 1,z
1
?z
2
），均有（

2014全国高中数学联赛二试
一、（本题满分40分）设
a,b,c?R
，满足
a?b?c?1
，
abc?0
，
求证：
bc?ca?ab?
abc1
?

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