高中数学到底有多少道习题

高中数学到底有多少道习题
━兼论数学解题长度

众所周 知，问题与解是数学的心脏。解题是数学教学的显著特征。无需讳言，在
应试教育的大背景下，高中数学 的解题教学尤其重要。本文以江苏高中数学为例，给出
高效构建高中数学习题体系的策略，初步提出解题 长度的概念，抛砖引玉，旨在优化高
中数学的有效教学，让学生真正从浩如烟海的“题海”中解脱出来。


一
、粗犷的高中数学习题体系的建构策略

解决数学问题需要具备哪些条件? 通常认为,首先是必须具有一定的数学基础知
识，其次是要具有一定 的数学思想方法。概念、法则、性质、公式、公理、定理等数学
知识是数学的内容，可以用文字和符号来 记录和描述，但随着时间的推移，记忆力的减
退，将来可能忘记。数学思想方法与数学基础知识相比较， 它有较高的地位和层次。在
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式 化与可操
作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是一种意识形态，用以对数学问
题的认识、处理和解决，只能够领会和运用，并且不是受用一阵子，而是受用一辈子，
即使数学知识忘记 了，数学思想方法也对你还会起作用。数学思想是数学的灵魂，它与
数学基本方法常常在学习、掌握数学 知识的同时获得。由此可见，在高中数学中 “知
识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化。高中 数学教学的根本目的是提高学生
的数学素质，而数学素质的核心就是对数学思想方法的认识和运用，其综 合体现就是所
谓的“能力”。
按照高中数学课程标准和教学要求，同类的学生所要解 决的问题都是相同的、有
限的，但是随着教学日复一日地进行，学生往往或多或少地能够解答一些习题。 如果学
生在解答一个习题时没有出现任何错误，从理论上说，这个习题就不需要重做了。这样
一 来，一个学期要做的习题不是越来越多，而是越来越少。因此,从理论上说，数学教
学过程可以用如下集 合的减法公式来表示： B(t)＝U-R(t)=。这里U是指确定的高中数
学习题全集（最佳时，它 是唯一的），其容量是一个相对稳定的“常数”；R(t)是指学
生已经得到完全正确解答的习题集（即 U的子集），其容量是一个随时间(t)的推移而
不断增加的“变数”；B(t)则是划去那些已经得到 完全解答的习题所剩下的习题构成的
习题集（即在U中R(t)的补集），其容量是随时间(t)推移而 不断减小的“变数”,也是
后续教学的焦点。
高中数学习题全集是决定整个教学成绩 的关键因素，它的质量直接决定高中数学
教学的最后质量。怎样科学地确定高中数学的习题全集？教科书 是几代人集体智慧的结
晶，具有很强的权威性、指导性、规范性，也是解题能力的生长点，其中的例题和 习题
应当是高中数学习题全集的核心部分，学生必须要能够彻底地解答这些题目。在教学实
践中 ，不少教师感到仅有教科书里的习题是不够的，有必要对其加以扩展。在当前各种
教辅材料铺天盖地之际 ，那些来自于教科书之外的习题不能不经研究、选择、有计划就
进入习题全集。当前,学生数学课业负担 过重和数学教师负担过重(包括批改作业的体力
负担与实绩竞争的心理负担)日益剧烈,其成因:一是师 生受“作业做得越多越好”经验
的误导;二是教师自身缺乏自信心和判断力;三是教研管理不到位。
怎样选择教科书之外的习题进入高中数学习题全集呢？首先，要认真研究高中数

学课程标准和教学要求，并将教科书中的习题按照基本题、中档题和难题区别开来，确
认在教学 中学生必须真正解决的那些习题；其次，选择与教科书相匹配的教辅资料、当
地名校或联考的同步测验试 卷，通过认真研究后将其中的一些真正有价值的题目（以变
式题为主，扩展题为辅，份量和难度按学生的 实际水平在整体上加以控制）选入习题全
集。当然，我们有必要选定一部分题目留作阶段性测验之用；最 后，按学期将所有的习
题进行全面的整理，并编成“学生用习题全集计划书”加以实施。
在数学教学中运用“减法智慧”能够体现有效教学的最基本特征：绩效特征（效
率趋高、策略优良）和活 动要素特征（学生愉快、教师导向、弹性、生成），加强教学
的针对性，切实减轻师生的负担，有效提高 学生（特别是学困生）的数学学业成绩。


二、精致的高中数学习题体系的建构策略

问题树是麦肯锡分析问题最常使用 的工具。问题树就是将一个问题的所有子问题
分层罗列，从最高层开始，并逐步向下扩展:把一个已知问 题当成树干，然后开始考虑
这个问题和哪些问题相关。每想到一点，就给这个问题（也就是树干）加一个 “树枝”，
并标明这个“树枝”代表什么问题。一个大的“树枝”上还可以有小的“树枝”，如此
类推，找出问题的所有相关问题。问题树主要是帮助你理清自己的思路，不进行重复和
无关的思考。
高中数学是一棵分支众多的大树:根是高中数学所蕴涵的数学知识和数学思想方
法,主 干是与日益增长的数学知识有关的背景问题，分支是用已学的数学知识能够解决
的一系列问题；再向下扩 展，一部分是单纯地利用所学的数学知识就能够完全解决的问
题，另一部分是不仅要利用所学的数学知识 而且要利用数学知识形成过程中所蕴涵的数
学思想方法才能够完全解决的问题。由此,我们产生一个贪婪 的想法:高中数学教学的实
质是“问题树”的教学。高中数学中的“问题树”是一个有权重但无环路的无 向连通图
G, 它包含的顶点集是由一个个问题组成的集合V{v1, v 2,...,vs}，边集 是由问题的解
组成的集合E{E1,...,Et},对于任意一条边Ei，都有一个由问题的解所蕴涵 的数学知识
和数学思想方法组成的权重wi(我们暂且理解为问题的解所蕴涵知识点的个数与数学思想方法的个数之和)。显然, 这样的“问题树”不是唯一的,但存在各边的权重之和最小
的“最小问题树”。 这样，高中数学优质教 学就是在确认了“最小问题树”之后，使
学生最大程度地真正解决“最小问题树”中的问题。
怎样确认高中数学的“最小问题树”？一种可行的想法是：利用前述的“高中数
学习题全集”来构造“最 小问题树”，即构造出最佳的“高中数学习题全集”。前述的
“高中数学习题全集”，是凭借少数的精英 教育的教学经验积累下来的，其显著特点是
由于地域和技术的局限性，选题比较粗糙，与教学要求不相符 合，特别是容易出现教学
功能性重复或者缺失，因而难以公认。这一点，从当前铺天盖地的各种教辅材料 （特别
是习题集）良莠不齐可见一斑。为精确起见，我们不妨借助于现代信息技术（计算机题
库 管理系统+网络平台）来实现。
高中数学的计算机题库管理系统可以由“题型”（单选项）、 “知识点”（多选项）、
“数学思想方法”（多选项）、“难度”（单选项）、“用途”（多选项）、“ 来源”
（多选项）、“录入时间”（单选项）等项目组成。“题型”分“选择题”、“填空题”、
“解答题”等。“知识点”分“册号”、“章名”、“节名”、“知识点名”。以苏教
版高中数学必修 课为例，课本有5+2=7册，13+6=19章，73+24=97节，约120个知识点。
“数学思 想方法”分“数学方法”、“数学思想”，其中高中数学方法常用的有五种：

观察与实验 法（包括图像法）、分析(包括逆证法)与综合法(包括定义法、公式法)、特
殊与一般法(包括参数法 、待定系数法)、归纳与类比法(包括换元法、解析法)、割补法
（包括消去法、放缩法、反证法）等； 高中数学思想常用的有三种：符号与变元表示的
思想（包括函数与方程思想）、数形结合思想、对立统一 的思想（包括整体思想、分类
讨论思想、化归思想）等。高中数学方法与数学思想是相辅相成的。数学思 想是数学方
法的精神实质和理论基础，数学方法则是体现数学思想的技术手段。“难度”通常分
“容易”、“偏易”、“中等”、“偏难”、“难”五档。“用途”分“课型”、“用
处”，其中“课型 ”分新授课、复习课；“用处”分例题、同步训练、测试等。“来源”
分“课本”、“参考书”、“地区 联考卷”、“高考真卷”、“高考模拟卷”等。
由此可见，如果一个数学题以涉及到的知识点为1-3个 、涉及到的“数学思想方法”中
“数学方法”、“数学思想”各1-2个，则大约有
(120+ 120╳1192+120╳119╳1186) ╳(5+10) ╳(3+3)= 25 929 000
道不同的题目，高达2 500万之多；如果一个数学题以涉及到的知识点为1-2个、涉及到的“数学思想方法”中“数学方法”、“数学思想”各1-2个，则大约有
(120+120╳1192) ╳(5+10) ╳(3+3)= 653 400
道不同的 题目，也高达50万之多。因此，无论从理论上还是从实践上看，“题海”战
术是低效的甚至是得不偿失 的。
难度是题目最重要的参数之一，因为题目的难度是否恰当，直接影响到题目的其
它参数值，也是保证题目的信度和效度所必须的。所以，难度总是各种题库理论的核心
概念之一。在过去 ，题目“难度”的划定是没有确切标准的。为了解决这个问题，我们
又产生一个贪婪的想法:我们将题目 的一个解所蕴涵的知识点个数A加上数学方法个数
B与数学思想个数C之积的和，称为这个解的长度（D ）。即D=A+B╳C。考虑到高中数
学的“一题多解”现象:一题多解产生的根源在于对同一数学问题 的多角度的审视引发
的不同联想;一题多解深受数学教师的重视，就是因为在解题过程中能够多层次、多 角
度的思考问题，全面地应用知识来分析问题与解决问题;一题多解的教学要注意两点，
其一是 并不是所有的一题多解都能起到培养学生的发散性思维的目的。学生不同于科学
家，学生真正能掌握的仅 仅是一两种。其二是一题多解不一定是有益的，要把握时机，
根据教学目的进行取舍。不要胡乱堆砌，让 学生惊叹于教师的高明之余却茫然于各种解
法；要突出解题分析和解题回顾，引导学生提炼数学思想方法 。因此，必须优化解题方
法。我们将某题目的所有解（或优化了的一题多解）的长度的最小值, 称为这个题目的
解题长度。例如, 某题目共有两种解法:解法一所蕴涵的知识点为2个,数学方法为2个 ,
数学思想为1个,则解法一的解题长度为2+2╳1=4; 解法二所蕴涵的知识点为1个,数学
方法为2个 ,数学思想为2个,则解法二的解题长度为1+2╳2=5; 因为解法一的解题长
度与解法二的解题长 度的最小值为4,所以这个题目的解题长度为4。显而易见，一个题
目的“难度”与“解题长度”成正相 关。这样，我们便可以用题目的解题长度来划定其
“难度”。比如，下表给出题目“难度”划定的一种标 准。






标准

解题长度

教学标识

容易题

2

了解识别

偏易题

3-4

中等题

5-8

偏难题

9-10

难题

10以上

理解独立操作

掌握应用迁移

根据高 中数学的课程标准和教学要求，在确认了“题目难度标准”的问题之后，我们就
能进一步地研究题目的难 度分布与相应的题量分布问题，以便有效地精确控制教学。
显而易见，无论在基础年级的新授课阶 段还是在高三年级的总复习阶段，对教学要
求不同的知识点，都应当配上份量和难度各不相同的习题。这 样，“高中数学习题全集”

到底应当有多少道题合适？怎样分配？我们又产生一个贪婪的 想法:以江苏省教学要求
为例, 在必修课的120个知识点中，了解识别的约35个, 理解独立操作 的约77个,
掌握应用迁移的仅有8个。假设每学期20周，数学课每周5节，每节15道习题（其中例题3-4道，课堂训练2-3道，课后作业8-10道），高中数学三年大概有习题近1
万道。 如果再按了解、理解、掌握的份量之比为2：3：5计算，每一个了解级的知识点
应有习题17道（分新 授课、总复习两次完成；下同），理解级的知识点应有习题25道，
掌握级的知识点应有习题42道。< br>按上述的思路（诚然，这些想法还不太成熟，有待于后来的实践加以完善）我们便
可以设计一个1 0 000道题的“高中数学题库管理系统”。目前的“高中数学题库管理
系统”通常有三大明显缺陷： 一是系统开发的基本观念陈旧，缺乏教育专家指导，单纯
的以知识立项并无能力项，与当前的教学目标不 相符合；二是先天不足，系统内开放过
度，主要表现为题量既没有数的要求（并非题目越多越好）也没有 质的要求（并非精英
训练），题目难度既没有鉴别标准更没有均衡的分布。三是发育成长不良，题目开发 十
分封闭。其实，一个题库的真正价值由管理系统和题目这两个主体组成。但可惜的是，
过去的 管理系统开发者仅注册费开价动辄单机版上百元（其实绝多数的存在上述的明显
缺陷并极有可能很快被破 解），这种地主与长工式的开发模式，教师怎么可能积极参考？
为了防止出现认识和操作上的偏差， 我们不妨利用网络平台，群策群力，集思广益，
克服地域和技术的局限性，打破个人权威，共建，共赢， 共享日益完善的高中数学题库:
由教育专家和网络工程师共同开发出公开的、开放的高中题库管理系统； 由广大的教师
参与题目的编辑与评测；为调动参与者的积极性，个人版最好免费或低价提供题库管理系统（有限使用）；网络版注册按年收费；收费标准每次（台）以一套教参书价约20-50
元为宜 （分地区）。按市场机制运作，以题库月收入分级计酬发放（需第三方监管）。
这样的题库也是学校和教 师开展岗位教研的有效地平台。我们有理由相信，成熟的“高
中数学题库管理系统”必定会带来全新的高 中数学教育的春天！





注：1.本文仅在网上发表。未经作者同意，谢绝任何纸质媒体转载。
2．欢迎网上评论。
3. 有意参与“高中数学题库管理系统”软件制作者，请与本人联系。作者联系邮箱:jsychhl@


Senior high school math exercises in the end there is the number of Road
━ length on math problem-solving
As we all know, problems and solutions are the heart of math. Teaching math problem
solving are the salient features. Do not hesitate to say that at the examination- oriented
education background, teaching high school mathematics problem-solving is especially
important. In this paper, high school math in Jiangsu for example, give high school math
exercises to build high-performance strategy system, initially put forward the concept of
problem-solving in length, start to optimize the high school math teaching so that students
from a broad array of real