【试卷】高中数学选修4-4经典综合试题(含详细答案)

高中数学选修4-4经典综合试题（含详细答案）

一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给
出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
1．曲线
?
?
x??2?5t
(t为参数)
与坐标轴的交点是（ ）．
?
y?1?2t
2
5
1
2
1
5
1
2
5
9
A．
(0,)、
(8,0)
D．
(0,)、(,0)
B．
(0,)、(,0)
C．
(0,?4)、
(8,0)

2．把方程
xy?1
化为以
t
参数的参数方程是（ ）． < br>1
?
?
x?tant
?
x?sint
?
x? cost
?
x?t
2
?
??
A．
?
B． C． D．
1

11?
??
1
y?
y?y?
?
y?t
?
2
?
??
ta nt
sintcost
?
??
?
?
x?1?2t
3 ．若直线的参数方程为
?
(t为参数)
，则直线的斜率为（ ）．
y?2?3t
?
A． B．
?
C． D．
?

4．点
(1,2)
在圆
?
?
x? ?1?8cos
?
的（ ）．
y?8sin
?
?
2
3
2
3
3
2
3
2
A．内部 B．外部 C．圆上 D．与
θ
的值有关
1
?
?
x?t?
5．参数方程为
?
t
(t为参数)
表示的曲线是（ ）．
?
?
y?2
A．一条直线 B．两条直线 C．一条射线 D．两条
射线
?
x??3?2cos
?
?
x?3cos
?
6．两圆
?
与
?
的位置关系是（ ）．
?
y?4?2sin
?
?
y?3sin
?
A．内切 B．外切 C．相离
D．内含

?
?
x?t
(t为参数)
等价的普通方程为（ ）． 7．与 参数方程为
?
?
?
y?21?t
y
2
y
2
2
A．
x??1
B．
x??1(0?x?1)

44
2
y
2
y
2
2
C．
x??1(0?y?2)
D．
x??1(0?x?1,0?y?2)

44
2
8．曲线
?
?
x?5cos
?
?
(?
?
?
?)
的长度是（ ）．
?
y?5sin
?
3
5
?
10
?
D．
3
3
A．
5
?
B．
10
?
C．
9．点
P(x,y)
是椭圆2x
2
?3y
2
?12
上的一个动点，则
x?2y的最大值为
（ ）．
A．
22
B．
23
C．
11
D．
22

1
?
x?1?t
?
2
10．直线
?
(t为 参数)
和圆
x
2
?y
2
?16
交于
A,B
两点，
?
?
y??33?
3
t
?
?2< br>则
AB
的中点坐标为（ ）．
A．
(3,?3)
B．
(?3,3)
C．
(3,?3)
D．
(3,?3)

?
x?4t
2
(t为参数)
上 ，11．若点
P(3,m)
在以点
F
为焦点的抛物线
?
则< br>|PF|
等于
?
y?4t
（ ）．
A．
2
B．
3
C．
4
D．
5

12．直线
?
?
x??2?t
(t为参数)
被圆
(x?3)
2
?(y?1 )
2
?25
所截得的弦长为
?
y?1?t
（ ）．
A．
98
B．
40
C．
82
D．
93?43

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题

1
4

中横线上．
?
x?e< br>t
?e
?t
?
13．参数方程
?
(t为参数)
的普通方程为__________________．
t?t
?
?
y? 2(e?e)
?
?
x??2?2t
(t为参数)
上与点
A( ?2,3)
的距离等于
2
的点的坐标是14．直线
?
?
?< br>y?3?2t
_______．
15．直线
?
?
x?tco s
?
?
x?4?2cos
?
与圆
?
相切，则
?
?
_______________．
y?tsin
?
y?2 sin
?
??
16．设
y?tx(t为参数)
，则圆
x2
?y
2
?4y?0
的参数方程为
_____________ _______．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明
过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
?
?
x?1?t
(t为参数)
和直线
l
2
:x?y?23?0
的交点
P
的坐标，求直线
l
1
:
?
?
?
y??5?3t
及点
P

与
Q(1,?5)
的距离．
18．（本小题满分12分）
过点
P(
10
,0)
作倾斜角为
?
的直线与曲线< br>x
2
?12y
2
?1
交于点
M,N
，
2
求
|PM|?|PN|
的值及相应的
?
的值．
19．（本小题满分12分）
已知
?ABC
中，
A(?2,0), B(0,2),C(cos
?
,?1?sin
?
)
(
?为变数)，
求
?ABC
面积的最大值．
20．（本小题满分12分） 已知直线
l
经过点
P(1,1)
,倾斜角
?
?
?< br>6
，

（1）写出直线
l
的参数方程．
（2）设
l
与圆
x
2
?y
2
?4
相交与两点
A,B
，求点
P
到
A,B
两点的距离之
积．
21．（本小题满分12分） 1
t
?
?t
x?(e?e)cos
?
?
?分别在下列两种情况下，把参数方程
?
2
化为普通方
1
?
y?(e
t
?e
?t
)sin
?
?
?2
程：
（1）
?
为参数，
t
为常数；（2）
t
为参 数，
?
为常数．
22．（本小题满分12分）
?
x?5cos< br>?
3
已知直线
l
过定点
P(?3,?)
与圆
C
：
?
(
?
为参数)
相交于
A
、
B
2
y?5sin
?
?
两点．
求：（1）若
|AB|?8
，求直线
l
的方程；
（2）若 点
P(?3,?)
为弦
AB
的中点，求弦
AB
的方程．
答案与解析：
211
555
111
当
y? 0
时，
t?
，而
x??2?5t
，即
x?
，得与< br>x
轴的交点为
(,0)
．
222
3
2
1．B 当
x?0
时，
t?
，而
y?1?2t
，即
y?
，得与
y
轴的交点为
(0,)
；
2．D
xy?1
，
x
取非零实数，而A， B，C中的
x
的范围有各自的限制．
3．D
k?
y?2?3t3
???
．
x?12t2
4．A ∵点
(1,2)
到圆心
(?1,0)
的距离为
(1?1)
2
?2
2
?22?8
(圆半径)
∴点
(1,2)
在圆的内部．
5．D
y?2
表示一 条平行于
x
轴的直线，而
x?2,或x??2
，所以表示两

条射线．
6．B 两圆的圆心距为
(?3? 0)
2
?(4?0)
2
?5
，两圆半径的和也是
5
，因此
两圆外切．
y
2
y
2
22
7．D
x?t,?1?t?1?x,x??1,而t?0,0?1?t?1,得0?y?2
．
44
2
8．D 曲线是圆
x
2
?y
2
?25
的一段圆弧，它所对圆心角为
?
?
所以曲线的长度为
10< br>?
．
3
?
3
?
2
?
．
3
x
2
y
2
9．D 椭圆为
??1
，设
P(6cos
?
,2sin
?
)
，
64x?2y?6cos
?
?4sin
?
?22sin(
?
?
?
)?22
．
10．D
(1?t)
2
? (?33?
1
2
3
2
t?t
t)?16
，得
t
2
?8t?8?0
，
t
1
?t
2
?8 ,
12
?4
，
2
2
1
?
x?1??4< br>?
?
2
??
x?3
中点为
?
．
?
?
?
y??3
?
y??3 3?
3
?4
?
?
?2
11．C 抛物线为
y2
?4x
，准线为
x??1
，
|PF|
为
P( 3,m)
到准线
x??1
的距
离，即为
4
．
?< br>2
x??2?2t?
?
x??2?t
?
?
x??2? t
?
2
12．C
?
，把直线
?

?
?
y?1?t
y?1?t
?
?
?
y?1?2t?< br>2
?
?2
代入
(x?3)
2
?(y?1)
2
?25
，得
(?5?t)
2
?(2?t)
2
?25 ,t
2
?7t?2?0
，
|t
1
?t
2
|?(t
1
?t
2
)
2
?4t
1
t
2
?41
，弦长为
2|t
1
?t
2
|?82．
y
?
t?t
?
x??2e
t
x?e?e< br>22
?
yy
xy
??
?(x?)(x?)?4
． 13．
??1,(x?2)

?
y
t?t
?
?
2
22
416
?
?e?e
?
x?
y
?2e
?t
?2
?
?2

14．
(?3,4)
,或
(?1,2)

(?2t )
2
?(2t)
2
?(2)
2
,t
2
?, t??
15．，或
时，
易知倾斜角为，或
?
6
5
?
．
6
1
2
2
．
2
?
6
5
?
直线为
y?xtan
?
，圆为
(x?4)
2
?y
2
?4
，作出图形，相切
6
4t
?
x?
?
4t
?
1?t
2
22
x?(tx)?4tx?0
16．
?
，当时，，或； < br>x?
y?0
x?0
2
2
1?t
4t
?
y?
?
1?t
2
?
4t
?
x?
?
4t
2
?
1?t
2
而
y?tx
，即
y?
，得
?
．
2
21?t
?
y?
4t
?
1?t
2
?
17 ．解：将
?
?
?
x?1?t
?
?
y??5?3t< br>，代入
x?y?23?0
，得
t?23
，
得
P(1?23,1)
，而
Q(1,?5)
，
得
|PQ|?(23)
2
?6
2
?43
．
?
10
?tcos
?
?
x?
18．解：设直线为
?
(t为参数)
，代入曲线
2
?
y?tsin
?
?
并整理得
(1?sin
2
?
)t
2
?(10co s
?
)t??0
，
3
2
则
|PM|?|PN|? |t
1
t
2
|?
，
2
1?sin
?|PM|?|PN|
的最小值为，所以当
sin
2
?
?1
时，即
?
?
，此时
?
?
．
3
2
?
2
3
4
?
2
19．解：设
C
点的坐标 为
(x,y)
，则
?
?
x?cos
?
，
y??1?sin
?
?
即
x
2
?(y?1)
2?1
为以
(0,?1)
为圆心，以
1
为半径的圆．
∵
A(?2,0),B(0,2)
，

∴
|AB|?4?4?22
，
且
AB
的方程为
xy
??1
，
?22
即
x?y?2?0
，
则圆心
(0,?1)
到直线
AB
的距离为
|?(?1)?2|
1
2
?(?1)< br>2
3
2
，
2
?
3
2
．
2
∴点
C
到直线
AB
的最大距离为
1?
∴
S
?ABC
的最大值是
?22?(1?
1
2
3
2) ?3?2
．
2
?
?
?
3
x?1?tcosx?1?t
?
?
?
?
6
2
， 20．解：（1 ）直线的参数方程为
?
，即
?
?
y?1?tsin
?
?
y?1?
1
t
?
?
6
?
?2
?
3
x?1?t
?
?
2
，代入
x
2
?y
2
?4
， （2）把直线
?
?
y?1?
1
t
?
?2
得
(1?
3
2
1t)?(1?t)
2
?4,t
2
?(3?1)t?2?0
， < br>22
t
1
t
2
??2
，则点
P
到< br>A,B
两点的距离之积为
2
．
21．解：（1）当
t?0< br>时，
y?0,x?cos
?
，即
x?1,且y?0
；
当
t?0
时，
cos
?
?
而
x
2
?y
2
?1
，
即
x
2< br>1
t
(e?e
?t
)
2
4
?
y2
1
t?t2
(e?e)
4
?1
；
x
1
t?t
(e?e)
2
,sin
?
?
y
1
t?t
(e?e)
2
，
（2）当
?
?k
?
,k?Z
时，
y?0
，
x??(e
t
?e?t
)
，即
x?1,且y?0
；
当
?
?k< br>?
?,k?Z
时，
x?0
，
y??(e
t
? e
?t
)
，即
x?0
；
2
1
2
?
1
2

2x
?
t?t
e?e?
?k
?
?
cos
?
当
?
?,k?Z
时， 得
?
，
2
?
e
t
?e
?t
?< br>2y
?
sin
?
?
2x2y
?
t
2 e??
?
2x2y2x2y
?
cos
?
sin
?< br>即
?
，得
2e
t
2
，
?e
?t< br>(??()?)
2x2y
ocs
?
nisocs
?
n is
??
?
2e
?t
??
?
cos
?sin
?
?
x
2
y
2
即
2
?
2
?1
．
cos
?
sin
?
22．解： （1）由圆
C
的参数方程
?
?
x?5cos
?
?x
2
?y
2
?25
，
?
y?5sin
?
?
x??3?tcos
?
?
(t为参数)
， 设直线
l
的参数方程为①
?
3
y???tsin
?
?
? 2
将参数方程①代入圆的方程
x
2
?y
2
?25

得
4t
2
?12(2cos
?
?sin
?
)t?55?0
，
∴△
?16[9(2cos
?
?sin
?
)
2
?55]?0
，
所以方程有两相异实数根
t
1
、
t
2
，
∴
|AB|?|t
1
?t
2
|?9(2cos
?
? sin
?
)
2
?55?8
，
化简有
3cos2
?
?4sin
?
cos
?
?0
，
解之
cos
?
?0
或
tan
?
??
， < br>从而求出直线
l
的方程为
x?3?0
或
3x?4y?15?0
．
（2）若
P
为
AB
的中点，所以
t
1
?t
2
?0
，
由（1）知
2cos
?
? sin
?
?0
，得
tan
?
??2
，
故 所求弦
AB
的方程为
4x?2y?15?0(x
2
?y
2< br>?25)
．


3
4

备用题：
1．已知点
P (x
0
,y
0
)
在圆
?
?
x?3?8co s
?
上，则
x
0
、
y
0
的取值范围是（ ）．
?
y??2?8sin
?
A．
?3?x
0
? 3,?2?y
0
?2

B．
3?x
0
?8,?2?y
0
?8

C．
?5?x
0
?11,?10?y
0
?6

D．以上都不对
1．C 由正弦函数、余弦函数的值域知选C．
2．直线
?
A．
?
x?1?2t
(t为参数)
被圆
x
2< br>?y
2
?9
截得的弦长为（ ）．
?
y?2?t
129
129
B．
5
D．
10

5
C．55
55
2
?
x?1?2t
5
，把直线
?代入
1
?
y?2?t
5
?
x?1?5t?
?
x?1?2t
?
?
2．B
?
?
?
?
y?2?t
?
y?1?5t?
?
?
x
2
? y
2
?9
得
(1?2t)
2
?(2?t)
2
?9,5t
2
?8t?4?0
，
81612
12
|t< br>1
?t
2
|?(t
1
?t
2
)
2< br>?4t
1
t
2
?(?)
2
??
，弦长为5|t
1
?t
2
|?5
．
555
5
?
x?2pt
2
(t为参数,p为正常数)
上的两点
M,N
对应的参数分别为3．已知曲线
?
?
y?2pt
t
1
和t< br>2,
，
且t
1
?t
2
?0
，那么
| MN|?
_______________．
3．
4p|t
1
|
显然线段
MN
垂直于抛物 线的对称轴，即
x
轴，
|MN?|2p
1
|t?
2
t?|2p|
1
．
2t

|
?
x?cos
?
(sin
?
?cos
?
)
4．参数方程
?
(
?
为参数)
表示什么曲线？
y?sin
?
(sin< br>?
?cos
?
)
?

y
2
11
y
4．解：显然?tan
?
，则
2
?1?
2
,cos
2
?
?
2
，
y
xcos
?
x
?1
x
2

x?cos
2
?
?sin
?
cos
?
?s in2
?
?cos
2
?
??
2
1
2
12tan
?
2
?cos
?
，
2
21?tan
?
yy
?1
2
yy
11
x
x(1?)?? 1
， 即
x??
x
2
?
，
?
2
2 2
xx
yyy
2
1?
2
1?
2
1?
2
xxx
y
2
y
得
x???1
，
xx
即
x
2
?y
2
?x?y?0
． 5．已知点
P(x,y)
是圆
x
2
?y
2
?2 y
上的动点，
（1）求
2x?y
的取值范围；
（2）若
x?y?a?0
恒成立，求实数
a
的取值范围．
5．解：（1）设圆的参数方程为
?
?
x?cos
?
， < br>?
y?1?sin
?
2x?y?2cos
?
?sin
?
?1?5sin(
?
?
?
)?1
，
∴
?5?1?2x?y?5?1
．
（2）
x?y?a?cos
?
?sin
?
?1?a?0
，
∴
a??(cos
?
?sin
?
)?1??2sin(
?
?)?1
恒成立，
4
?
即
a?2?1
．