高中数学真题与经典题一题多解

【试题1】2015年陕西理15设曲线
y?e
在点
?
0,1
?
处的切线与曲线
y?
x
1
?
x?0
?< br>上点
P
处
x
的切线垂直，则
P
的坐标为______ _____.
x
解法1：因为
y?e
，所以
y'?e
，所 以曲线
y?e
在点
?
0,1
?
处的切线的斜率
xx
k
1
?y'
x?0
?e
0
?1
.设
P
的坐标为
?
x
0
,y
0
?
?
x
0
?0
?
，则
y
0
?
1
1，因为
y?
，所以
x
0
x
1
.因此
k
1
?k
2
??1
，所
2
x
0
y' ??
1
1
，故曲线在点
P
处的切线的斜率
k
2?y'
y?
x
x
2
x?x
0
??
以< br>?
1
2
x?1
，解得
x
0
??1
. 因为
x
0
?0
，所以
x
0
?1
，得
y
0
?1
，故
P
点的
??1
，即
02
x
0
坐标是
?
1,1
?
.
解法2 ：易知曲线
y?e
在点
?
0,1
?
处的切线方程为
y?x?1
，将反比例函数转换成等轴双
x
曲线，即将
y?x
当作< br>x
轴（原点不变，第一象限部分为正半轴），则曲线
y?
换为
x?y? 2
?
x?0
?
，切线
y?x?1
转换为
y?
22
22
1
?
x?0
?
转
x
2
，与其垂直的直线的斜率不存在，
2
且要与双曲线
x?y?2
?
x? 0
?
相切，符合条件的切线应为
x?
所以
P
在新坐标系下的 坐标为
2
.
?
2,0
，还原到原坐标系中的坐标为
?1,1
?
.
?
【试题1】2015年北京理科第18题 已知函数< br>f(x)?ln
（Ⅰ）求曲线
y?f(x)
在点
(0,f(0))处的切线方程；
1?x
.
1?x
x
3
（Ⅱ）求证： 当
x?(0,1)
时，
f(x)?2(x?)

3
x
3
（Ⅲ）设实数
k
使得
f(x)?k(x?)
对
x?(0 ,1)
恒成立，求
k
的最大值.
3
解：（Ⅰ）
f(x)? ln
1?x2
,x?
?
?1,1
?
,f
?
(x)?,f
?
(0)?2,f(0)?0
，
2
1?x1?x
所以切线方程为
y?2x
.
（Ⅱ）解法1 :当
x?(0,1)
时，
f(x)?ln
1?x
?ln(1?x)? ln(1?x)

1?x

x
3
x
2
x
3
x
2
x
3
?)?(?x??)
而
2 (x?)?(x?
32323
x
2
x
3
?
记m(x)?ln(1?x)
，
n(x)?x?
23
x
3
要证
f(x)?2(x?)
，只需证明
m(x)?m(?x)?n(x)?n(?x)

3
x
2
x
3
?)
，
M(0)?0
记
M(x)?m(x)?n(x)?ln(1?x)?(x?
23
1x
2x
2
x
2
?(1?x?)???0
因为当
x?(?1 ,1)
时，
M
?
(x)?
1?x21?x2
所以
M (x)
在
(?1,1)
上单调递增.
当
x?(?1,0)
时，
M(x)?M(0)?0
；当
x?(0,1)
时，
M(x)?M (0)?0
.
当
x?(0,1)
时，
m(x)?n(x)
，
m(?x)?n(?x)
，
x
3
即当
x?(0,1)< br>时，
f(x)?2(x?)
恒成立.
3
x
3
（Ⅱ） 解法2:（2）原命题等价于
?x?
?
0,1
?
,f(x)?2(x ?)?0

3
1?xx
3
x
3
?2(x?)?ln (1?x)?ln(1?x)?2(x?)
设函数
F(x)?ln
1?x33
2x
4
F
?
(x)?,
when,x?
?
0,1
?
,F
?
(x)?0

2
1?x
故
F
?
x
?
在
x?
?
0,1
?
单 调递增的，
F
?
x
?
?F
?
0
?
?0

x
3
因此，当
x?(0,1)
时，
f(x) ?2(x?)

3
x
3
（Ⅲ）解法1 由（Ⅱ）知当
x?(0,1)
时，
f(x)?2(x?)

3
x
3
x
3
故当
k?2
时，
f(x)?2(x?) ?k(x?)
成立；
33

x
3
1?xx
3
?k(x?)
，
g(0)?0
当
k?2
时，另
g (x)?f(x)?k(x?)
=
ln
31?x3
22?k(1?x
4
)
2
?k(1?x)?
因为
g
?
(x)?

22
1?x1?x
另
g
?
(x)?0
，解得< br>x?
4
1?
2
?(0,1)
.
k
当
x?(0,
4
1?
22
)
时，
g(x)
单调递减 ，当
x?(
4
1?,1)
时，
g(x)
单调递增.
kk
2
)
时，
g(x)?g(0)?0
，与
g(x)?0
对
x?(0,1)
恒成立矛盾.
k
故当
x?(0,
4
1?
综上所述，可知
k?2
，故
k
的最大值为2.

x
3
解法2 因为
f(x)?2(x?)
对
x?(0,1)
恒成立
3
1?x
x
对
x?(0,1)
恒成立
?
k?
1?
3
x
x?
3
ln
?
k?
ln(1?x)?ln(1?x)
对
x?(0,1)
恒成立.
x
3
x?
3
ln(1?x)?ln(1?x)
，
x?(0,1)

3
x
x?
3
令
h(x)?
则
k?
?
h(x)
?
min

x
3
2(x?)?(1?x
4
)
?
ln(1?x)?ln(1?x)
?
3
因为
h
?
(x)?

x
3
2
(x?)(1?x )
2
3
x
3
4
另
?
(x)?2(x?)? (1?x)
?
ln(1?x)?ln(1?x)
?
，则
?
( x)
与
h
?
(x)
同号
3
3
又
?
?
(x)?4x
?
ln(1?x)?ln(1?x)
?
? 0
，所以
h
?
(x)?0

函数
h(x)
在
(0,1)
上单调递增.
所以
?
h(x)
?
min
11
?
ln(1?x)? ln(1?x)
?x
?2
（洛必达法则）
?h(0)?lim
?l im
1?x1
3
2
x?0
x?0
x
1?x
x?
3
所以
k
的最大值为2.

x
2
x
3
?
解法3 记
m(x)?ln(1? x)
，
n(x)?x?
26
x
3
当
x?(0,1)
时，
f(x)?2(x?)
恒成立
3
k
?
当x?(0,1)
时，
m(x)?n(x)
.
2
kkx
2
x
3
?)
，
N(0)?0
，则 记
N(x)?m (x)?n(x)?ln(1?x)?(x?
2226
1kx
2
N
?
(x)??(1?x?)

1?x22
kx
2
11
当
k?0
时，
x?(0,1)
?
?(,1)
，
?( 1?x?)?0?
N
?
(x)?0

22
1?x2
所以
N(x)?N(0)?0
满足题意.
k k
(1?)?x
2
(1?x)
24
当
0?k?2
时 ，
x?(0,1)
?N
?
(x)??0

1?x
所以
N(x)?N(0)?0
满足题意.
当
k?2
时，因为
N
?
(0)?1?
k
所以存在
(0,t) ?(0,1)
使得
N(x)
在
(0,t)
上单调递减，
? 0
，
2
所以
x?(0,t)
时，
N(x)?N(0)?0< br>不满足题意.
综上，
k?(??,2]
，即
k
的最大值为2.
【试题1】2015年湖北文科第
21
题 设函数
f
?
x< br>?
、
g
?
x
?
的定义域均为
R
，且
f
?
x
?
是奇
函数，
g
?
x?
是偶函数，
f
?
x
?
?g
?
x?
?e
，其中
e
为自然对数的底数。
x
（Ⅰ）求f
?
x
?
,g
?
x
?
的解析式，并证 明：当
x?0
时，
f
?
x
?
?0,g
?< br>x
?
?1
;

(Ⅱ)设
a?0,b?1
，证明：当
x?0
时，
ag
?
x
?
?
?
1?a
?
?
x
f
?
x
?
?bg< br>?
x
?
?
?
1?b
?
。
x
?x
解：（Ⅰ）由
f
?
x
?
,g
?
x< br>?
的奇偶性及
f
?
x
?
?g
?
x< br>?
?e
①得
?f
?
x
?
?g
?x
?
?e
②解得
f
?
x
?
?
② 联立①
1
x?x
1
e?e
?
，
g
?< br>x
?
?
?
e
x
?e
?x
?
当
x?0
时，
e
x
?1
，
0?e
?x?1
,故
?
22
f
?
x
?
?0

（Ⅱ）先证明不等式左边。
因为
g
?
x
?
? 1,a?0
，所以
ag
?
x
故只需证当
x?0
时，
g
?
x?11?1
??
?
?1?a?a
?
?
?
?
f
?
x
?
?1
,即
f?
x
?
?x
。设
u
?
x
?
? f
?
x
?
?x
?
x?0
?
，因为
u
'
?
x
?
?g
?
x
?
?1?0
，所以
x
f
?
x
?
?1
。从而
u
?
x
?
?u
?
0
?
?0
，即当< br>x?0
时，所以当
x?0
时，
u
?
x
?在
?
0,??
?
上递增。
x
f
?
x< br>?
?ag
?
x
?
?1?a
。再证不等式右边。因为< br>g
?
x
?
?1,b?1
，故
x
bg
?
x1
?
??b?
?
?
?
b
?
g 1?x1?
?
?
?
?
?g1?x?
只
g
需
x
证当
x?0
时，
?
1
?
?
。故
f
?
x
?
?g
?
x
?
，即
f
x
??
x?
?
x
?
g
。
x< br>设
v
??
x?
?
x
?
g?x
???
f0?
?
x
，
x
因为
v
'
??< br>x?
?
g
?
?x
??
xf?
??
x ?xf
以
vx
?
x
?
在
?
0,??
?
上递增。从而
?
g
?
x0
，
?
所f
?
x
?
f
?
x
?
?g
?< br>x
?
。所以当
x?0
时，
?bg
?
x
?
?1?b
。
v
?
x
?
?v
?
0
?
?0
，即当
x?0
时，
x
x
综上， 若
a?0,b?1
，则当
x?0
时，
ag
?
x?
?
?
1?a
?
?
f
?
x
?
?bg
?
x
?
?
?
1?b
?

x
3x
2
?ax
?
a?R
?
。 【试题1】2015年重庆卷【理科第20题】 设函数
f
?
x
?
?
x
e
（Ⅰ）若
f(x)
在
x?0
处取得极值，确定
a
的值，并求此时曲线
y?f(x)
在点
?
1,f
?
1
??
处
的切线方程；
（Ⅱ）若
f(x)
在< br>?
3,??
?
上为减函数，求
a
的取值范围。
【解】：
?3x
2
?(6?a)x?a
（Ⅰ）由
f(x)
在
x?0
处取得极值，又由
f
?
(x)?
，所以< br>f
?
(0)?a?0

x
e

3x2
?3x
2
?6x
因此
a?0
，则有
f
?
x
?
?
x
f
?
(x)?
e
,
e
x
,
3
?
3
?
因此
?
1,f
?
1
??
?
?
1,
?
k?f?
(1)?
,
e
?
e
?
,
则由直线 的点斜式方程，有曲线
y?f(x)
在点
?
1,f
?
1??
处的切线方程为：
3x?ey?0
。
?3x
2
? (6?a)x?a
2
（Ⅱ）
f
?
(x)?
，令
g( x)??3x?(6?a)x?a
，所以
x
e
g(x)??3x
2< br>?(6?a)x?a?0
在
?
3,??
?
恒成立。
3x
2
?6x
【解法1】 转化为
a?
在
?
3,??
?
恒成立。
1?x?3(x?1)
2
?3
3x
2
?6x
?0
。
?
a?R
?
，则
h
?
(x)?
令
h
?
x
?
?
2
(1?x)
1?x
9
所以
h(x)
在
?
3,??
?
上单调递减，故
?
h
?
x
?
?
max
?h(3)??
。 < br>2
9
?
9
?
所以
a??
，即
a的取值范围是
?
?,??
?
。
2
?
2
?
?
?
??a
2
?36?0,
?
6?aa
?1?
，所以有
?
g(3)??2a?9?0,
，解得【解法2】
g(x)
对称轴为
x??
2?(?3)6
?
a
?
1??3,
?
6
9
?
9
?
a??
，即a
的取值范围是
?
?,??
?
。
2
?
2
?

【试题1】2012年浙江卷理科第22题：已 知
a?0
，函数
f(x)?4ax?2bx?a?b
.
b?R
，
(Ⅰ)证明：当
0?x?1
时，
（ⅰ）函数
f(x)
的最大值是
2a?b?a
；
（ⅱ）
f(x)
+
2a?b?a?0
；
（Ⅱ）若
?1?f(x)?1
对任意的
x?[0,1]
恒成立，求
a?b
的取 值范围.
解法1：（Ⅰ）（ⅰ）证明：
令
g(x)?
4ax?2bx?a? b
，
当
0?x?1
时，
g(x)
max
?max
?
g(0),g(1)
?
,
又
f(0)?g(0),f(1 )?g(1)
，
2
3
a?0
，
0?x?1
，< br>?f(x)?4ax
2
?2bx?a?b
，
?g(x)
ma x
?max
?
g(0),g(1)
?
?max
?
f (0),f(1)
?
,

?
3a?b,b?2a,
?f (x)?g(x)
max
?max
?
f(0),f(1)
?
?max
?
?a?b,3a?b
?
?
?
?2a?b?a.< br>?
?a?b,b?2a
（ⅱ）证法1：
只需证
f(x)
m in
?f(x)
max
?0,又f(x)
max
=max
?
f(0),f(1)
?
,
f
?
?
x
??12ax
2
?2b
．
①当
b
≤0时，
f< br>?
?
x
?
?12ax
2
?2b
＞0在0≤< br>x
≤1上恒成立，
此时
f(x)
max
=f(1)?3a? b,f(x)
min
?f(0)??a?b,f(0)?f(1)?2a?0
,成立
②当
b
＞0时，
f
?
?
x
?
?1 2ax
2
?2b?12a(x?
当
bb
)(x?)
6a6a
b
?1
,即
b?6a
时，函数
f(x)
在
[0,1]
上单调递减，
6a
?f(x)
min
=f (1)?3a?b,f(x)
max
?f(0)??a?b,f(0)?f(1)?2a?0< br>，成立；
??
b
?
b
当此时函数
f(x)
在
?
0，
在
?
?1
,即
0?b?6a
时，
?
单调递减，
??
6a
6a
?
??
上单调 递增，此时
f
?
x
?
的最小值为
?
当
0? b?2a
时，
即证
?
b
?
，1
?
?

6a
??
4b
b?a?b
；
36a
4b4b
b?a?b?(3a?b)??b?2a?0
；
3 6a36a
3
?
3
?
43
b
3
3
?t,
则
t?(0,)
，即证
4t?1
，而
4
?< br>令
?
3
?
?
?
9
?1
显然成立。
6a
3
??
当
2a?b?6a
时，
即证
?
4b4b
b?a?b?(b?a)??b?2b?2a?0
令
36a36a
b
?t,
则
6a
?
3
?
32
32
t?
?
,1
?
，即证
4t?6t?1?0
，令h(t)?4t?6t?1
，
?
?
3
?
?
3
?
,1
?
则
h(t)?12t(t?1)?0
，所以函数< br>h(t)
在
?
?
上单调递减，所以
3
??
?
h(t)?h(
343
?)??1

0
39

综上所述：
f(x)
+
2a?b?a?0

（ⅱ）证法2：
当
b?2a
时，若
b?0
，则
f(x)?2a?b?a?4ax
3
?2bx?2a?0
显然成立；倘
若b?0
，则
f(x)?2a?b?a?4ax
3
?2bx?2a?2bx
3
?2bx?2a

=
?2bx(1?
x)?2a
=
?2bx(1?x)(1?x)?2a??4b(1?x)x?2a??b?2a?0
；
当
b?2a
时，令
b?2at(t?1)
，原不等式等价 于
2x?2tx?2t?1?0
，令
3
2
h(t)?
2(1 ?x)t?2x
3
?1
，对每一确定的
x?[0,1]
，
h (t)
是不减函数，故
h(t)?h(1)
.而
h(1)?2x
3< br>?2x?1?1?2x(1?x)(1?x)?1?4(1?x)x?0
.
综上所述，不等式
f(x)
+
2a?b?a?0
成立.
（ Ⅱ）解法1：由题设及(Ⅰ)的证明结论可得
2a?b?a?1
，因为
a?0
，
b?R
，
则显然有
0?a?1
，由（ⅱ）知
f(x)? ?(2a?b?a)??1.
所以
?1?f(x)?1
对任意的
x?[0,1 ]
恒成立的充要条件
是
?
?
?
2a?b?a?1,
令
t?a?b
，则不等式转化为
t?3a?1?a
，
?
?
0?a?1
?
t??1?4a
即
?
(0?a?1)
，于是有
?1?t?3
，即
a?b
的取值范围是
?
?1,3
?
。
?
t?1?2a
赏析：综合三次函数性质、绝对值、分类讨论 思想、导数的简单应用和线性规划
的应用等知识于一题.题设简洁常规，设问方式新颖，体现了整张试卷 中的把关功能.
解答题(Ⅰ)（ⅰ）的证明，利用
a?0
及
0?x?1的条件，巧妙地用放缩法，把三次函
数转化为一个二次函数的最值问题，合理规避了三次函数的求导 ，解答独辟蹊径，颇具新意。
（ⅱ）的证法1，淡化了技巧，更多的是通性通法的考查。虽然与参考答 案及证法2比
较起来较烦，但它更符合学生的实际。并且可以利用（ⅰ）中参考答案给出的解法中的相关
步骤，节约时间。
证法2，与参考答案给出的解法类似，简洁明了。但对学生不等式性质的应 用、不等式
证明和放缩技巧的要求颇高。证明中（Ⅱ）的求解过程也绕开了线性规划和分类讨论的难点，
而是根据隐含条件
0?a?1
，利用换元法，通过求解绝对值不等式，转化为求函数的 值域

问题，得到
a?b
的范围.此解法的亮点是把求二元函数的取值范 围问题(当已知其中一个变
量的取值范围时)，转化为一元函数的值域问题，是等价转化数学思想的精华 所在。


平面向量

【试题1】.2014湖南卷理科第16 题：在平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，
A(?1,0)
，
B(0 ,3)
，
C(3,0)
，动点
D
满足
|CD|?1
，则
|OA?OB?OD|
的最大值为_______．
解法1：设动点
D(3?cos
?
,sin
?
)
，
则
OA?OB?OD?(2?cos
?
,3?sin
?
)< br>，
2
所以
|OA?OB?OD|?8?4cos
?
?3si n
?
?8?27sin(
?
?
?
)
，
从而
|OA?OB?OD|
的最大值为
7?1
．
解法2: 设
D
?
x,y
?
，则由
CD?1
，得
?< br>x?3
?
?y?1
，因此动点
D
的轨迹是以
2
2
C
?
3,0
?
为圆心，
1
为半径的圆，而OA?OB?OD?
点
P1,?3
距离，利用圆的性质得
OA?OB?O D
?
x?1
?
2
?y?3
??
2
是
D
?
x,y
?
与
??
max
?PC?1?7?1
．
解法3：
|OA?OB?OD|?|OA?OB?OC?CD|?|OA?OB? OC|?|CD|

?7?1
，当且仅当
OA?OB?OC?(2,3)与
CD
同向时取等号，
所以
|OA?OB?OD|
的最大值是
1?7
．
解法4： 设
D
?
x,y
?
，由
C(3,0)
，
CD ?1
得，
?
x?3
?
?y?1
．
2
2
又
A(?1,0)
，
B(0,3)
，则 OA?OB?OD?
?
x?1
?
2
?y?3
??
2
=
4x?23y?4
．
2
2
令
z?4x?2 3y
，其最大值在直线
z?4x?23y
与圆
?
x?3
?< br>?y?1
相切时取得，
由
12?z
4?(23)
22
?1
得，
z?12?27
，则
z
max
?12?27
，
max
所以
OA?OB?OD?8?27
=
7+1
．
解法5：同解法4，令
z?4x?23y
，
由柯西不等式
(x?3 )?y4?(23)?4(x?3)?23y
，(当且仅当时，等号成
立)，得
4x? 23y?12?27
，
∴
2
?
22
?
?
22
???
2
OA?OB?OD?8?27
，∴
OA?OB?OD? 8?27?(1?7)
2
?1?7
．
即
OA?OB?OD
的最大值
1?7
．

【试题1】[2014新课标Ⅰ卷 理科第15题]已知
A,B,C
是 圆
O
上的三点，
1
AO?(AB?AC)
，
2
则
AB
与
AC
的夹角为 .
解法一：【统一起点1】
由
AO?
1
(AB?AC)
,得
2AO?OB?OC?2OA
，即
OB=?OC
，
?O,B,C三点共线.
2
故
BC
为圆
O
的直径，
?AB ,AC?90
.
解法二：【统一起点2】
由解法一知，
OB?OC=0
，故
AB?AC?(OB?OA)(OC?O A)?OB?OC?(OB?OC)?OA?OA??OB?OA?0

?AB,AC?90
.
解法三：【加法法则】
取
BC
中 点
D
，则
AB?AC?2AD
，
?AO?AD
，
? D,O
两点重合.
故
BC
为圆
O
的直径，
?AB,AC?90
.
解法四：【几何性质】
延长
AO
交圆于
D
点，则
AD=2AO=AB?AC
，故四边形
ABDC
为平行四边形，
又
?ABD?90
，
?AB,AC?90
.
解法五：【投影1】
22
1111
AO?AB?(AB?AC)?ABAB?AB?AB?AC
， 由，得
2222
222
故
AB?AC?0
，
?AB,AC? 90
.
解法六：【投影2】
22
1111
由
AO?AC ?(AB?AC)?AC
，得
AC?AB?AC?AC
，
2222
故
AB?AC?0
，
?AB,AC?90
.
解法七：【平方法】
由
AO?
11
AB?AC,BO?AO?AB ?AC?AB
及
AO?BO

22
????
得
AC ?AB?AC?AB
，平方得
AB?AC?0
，
?AB,AC?90
.
解法八：【坐标化】

设
A(0,0),O(1,0),B(1? cos
?
,sin
?
),C(1?cos
?
,sin
?
)
，
由
2AO=AB?AC
，得
cos
?< br>?cos
?
?0,sin
?
?sin
?
?0
，
?AB?AC?(1?cos
?
)(1?cos
?
)?sin< br>?
sin
?
?1?cos
?
cos
?
?si n
?
sin
?
?1?cos
?
cos
?
? sin
?
sin
?
?0
?AB,AC?90
.
解法九：【回路法】
由
AO?

111
AB?AC
，得
BO?BA?AO??AB?AB?AC??AB?AC
，
222
11
CO?CA?AO??AC?AB?AC?AB?AC
，
22
??
???
?
?
???
?BO?CO=0
，
?O,B,C
三点共线，故
BC
为圆
O
的直径，
? AB,AC?90
.
解法十：【外心向量式】
因
O
为外心，故< br>sin2AOA?sin2BOB?sin2COC?0
，
由已知，得
0?O A?OB?OC?0
，
?sin2A?0,sin2B?sin2C
，
?A?90
，即
AB,AC?90
.

【试题1】
（
2015
年四川理科
7
）
设四边形
ABCD
为 平行四边形，
AB?6
，
AD?4
.
若点
M
，N
满足
BM?3MC
，
DN?2NC
，则
AM?NM?

（
A
）
20
（
B
）
15
（
C
）
9
（
D
）
6
解法一：转化为特殊的四边形
---
矩形

以
AB
为
x
轴，以
AD
为
y
轴，则可得如下坐标
A(0, 0),N(4,4),M(6,3)

AM?(6,3),NM?(2,?1)

所以
AM?NM?
9
解法二：基底大法：

AM?AB?
11
3
AD
,
NM??AD?AB
，
4
43
2
111
AM?NM?4AB?3AD??AD?4AB ?4AB?3AD
41248
????
?
???
1
?
16?36?9?16
?
?9
.
?
?
?
482




（1）本题考查向量的基本知识，如平面向量的基本定理、共线向量、向量的加减法、内积
等.

（2）平面向量的基本定理容易被忽略，要引起注意.运用向量的基本定理解题关键是选 择基
AD
. 底，本题的基底应该是
AB，

【试题1】20(20 15年浙江文科第13题):已知
e
1
,e
2
是平面单位向量,且< br>e
1
e
2
?
1
,
若平面向量
2b
满足
be
1
?be
2
?1,
则
b? ____.

?
13
?
1
解法一：由
e
1
e
2
?
，得
?e
1
e
2
??60
,所以不妨设
e
1
?
?
1,0
?
,e2
?
?
,
?
22
?
?
,
b?
?
x,y
?
.
2
??
x?1
?
x?1
?
?
23
3
?
??
b?
则由
be
1
?be
2
?1
得：
?
1
,故,即解得。
b?1,,
??
?
3
3
??
3
y?1
?
y?
?
3
?
?
x?
3
?22
?
n
?
m??1
?
1
?
2
，解得
e
1
e
2
?
及< br>be
1
?be
2
?1
得：
?
m
2< br>?
?n?1
?
?2
解法二：不妨设
b?me
1
?ne
2
,
由
m?n?
2
。
3
所以
b?

?
me
1
?ne
2
?
2
?m
2
?mn?n
2
?
23
。
3
解法三：由题意可设
e
1
?
?
1,0
?
,
由
e
1
e
2
?
可设
e2
?cos60,sin60,

1
，得
?e
1
e
2
??60
，
2
??
再由
be
1
?be
2
?1
，得向量
b
与
e
1
、e
2
成等角.
设
b ?tcos30,sin30,
即
b?
?
?
??
?
31
?
3
2
t?1
,解得
t?
t,t
?< br>,所以
be
1
?
.
?
2
3
?22
?
23
?
1
?
2
?
故
b ?1?
?
.
?
2
3
??
【试题1】2012年浙 江理科第15题：在
?
ABC中，M
是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则
AB?AC
＝_______．
解法1：因为
AB?AC
=
(AM?MB)?(AM?MC)

=
AM?AM?(MB?MC)?MB?MC

2
2
A
C

M
B
第15题

=
AM?MC
=
9?25
=
?16
．
赏析1：转化为互为相反的两个向量的和是零向量进行解题。
赏析2：将所求向量运算转化为基本向量加减乘运算来解决。
赏解3：向量运算的几何形式，通过向量间的线性表示来转化．
欣赏4：主要考查向量的线性运算，数量积应用能力，解题蕴含化归思想，目标意识。
解法2：假设
?
ABC是等腰三角形，
由AM＝3，BC＝10，得AB＝AC＝
34
．
所以cos∠BAC＝< br>34?34?10032
，
AB?AC
＝
AB?ACcos?BAC? ?16
。
??
2?342?34
22
赏析1：填空题只要结果，无 需过程，用特例解决，变动为静，本来可以做到“简单快
捷，不易出错”的效果。但是，该解法有“小题 大做”的感觉，请看解法3和解法4
解法3：取
AB?AC
，则
AB?AM
2
?MC
2
?34
，
cos?MAC?
3
34
，因为
cos?BAC?2cos
2
?MAC?1?2?
98< br>?
8
?

?1??
，所以
AB?AC?34?34?
?
?
?
??16
．
3417
?
17
?
赏解1：把握直角三角形中三角函数的定义，利用特殊图形法，简洁明快．
解法4：因为
AM?MC?0,MB?AM?0
，
MB??MC
,
所以
AB?AC
＝
(AM?MB)?(AM?MC)
＝
AM ?AM?MC?MB?AM?MB
＝－16.
赏解1：把握互相垂直的向量的数量积为零的特点，利用特殊图形法，简单明了．
解法5：由题意，AM＝3，MB＝MC＝5，
所以
AB?AC
＝
(AM?MB)?(AM?MC)

＝
(AM?MB)?(AM?MB)

＝
AM?MB
＝－16.
赏析1：向量运算的三角形法则，平面向量基本定理的灵活应用。
解法6：由题意，
|AB?AC|
＝6，所以
|AB?AC|
2
?AB?2AB?AC?AC? 36
， ①

|AB?AC|
＝10，所以
|AB?AC|2
?AB?2AB?AC?AC?100
，②
① －②得4
AB?AC
＝36－100＝－64，所以
AB?AC
＝－16.
赏析1：平面向量加减运算的平行四边形法则，整体思想和方程思想的灵活应用。
22
22
22
22

赏析2：利用任何一个向量都可以表示为若干个向量的 和或差的形式进行解答。
解法7：以点M为原点，MC所在直线为
x
轴的正方向，建 立平面直角坐标系。设A
(x,y)
，
C(5,0),B(-5,0)则
AB ?(?5?x,?y)
，
AC?(5?x,?y)
，
AM?x?y?9
，所以
??
?
2
22

?x
2
?y
2
?25??16
。
赏析1：坐标法是解决向量问题的常用方法。
解法8：以M为坐标原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，则B（－5，0），
C（5 ，0），设
?AMC?
?
，则A（3
cos
?
，3
sin
?
），
所以
AB?AC
＝（－5－3
cos
?
，－3
sin
?
）·（5－3
cos
?
，－3
sin< br>?
）＝9
cos
?
－
25+9
sin
?＝－16.
赏析1：坐标法是把向量问题转化为代数问题的桥梁和纽带。
赏解2：向量运算的代数形式，将向量关系坐标化．

2
2
??< br>??
1
，D为BC边上的
2
一点，
?ABD
与
?ACD
面积分别为2和4，过D作
DE?AB
，垂足为E，
DF?AC< br>，
【试题1】2015年上海理科第14题：在锐角
?ABC
中，
ta nA?
垂足为F，则
DE?DF?
_____。
解法1：在四边形AEDF 中易知
?EDF?
?
?A
，由
tanA?
25
1< br>得
cosA?
，
5
2
sinA?
525
，故
cos?EDF??cosA??
。
55
过C作
CH?AB
，垂足为H，设|CH|=
h
，由
?ABD
与
?ACD
面 积分别为2和4，可
知
|BD|?
111
|BC|
，故
|D E|?h
。在
?ACH
中，由
tanA?
得
|AH|?2h
，故
332
8
。所以，
5h
|AC|?5h
，由< br>?ACD
的面积为4，得
|DF|?
h82516
DE?DF?|DE |?|DF|cos?EDF???(?)??
。
3
5h
515
解 法2：
cos?DE?DF??cos(
?
?A)??
25
，故5

DE?DF?|DE|?|DF|cos?EDF??
2
|DE |?|DF|
。令
?ABC
中
AB
边上的高长为
5
1
2
h
C
，
AC
边上的高长为
h
B
，则由
BD:DC?1:2
可知
|DE|?h
C
，
|DF |?h
B
，从而
33
|DE|?|DF|?
2S4S2S
?ABC
4S
22
2S
8
h
B
h
C
??
?ABC
?
?ABC
?
?ABC
??
?AB C
sinA?
99ACAB9AC?AB9
35
，于是
DE?DF? ?
16
。
15
解法3：由已知得
?
?
|AC|? |DF|?8,
?(|AC|?|AB|)(|DF|?|DE|?32
，又
|AB| ?|DE|?4,
?
328
1
?sinA
。
|AC|?| AB|sinA?6
，故
|DF|?|DE|?
|AC|?|AB|3
2所以，
DE?DF?|DE|?|DF|cos(
?
?A)??sinAcosA ???

【试题1】2015年安徽卷理科第16题：在
?ABC
中，
A?
点
D
在
BC
边上，
AD?BD
，
求
AD
的长.
解法１：由余弦定理，在
?ABC
中，
BC< br>2
?AB
2
?AC
2
?2AB?AC?cos?BAC
，所
8
3
8tanA16
。
??
2
31?ta nA15
3
?
，
AB?6
，
AC?32
，
4
AB
2
?BC
2
?AC
2
310
以BC?310
.则
cosB?
.
?
2AB?BC10
AB
2
?BD
2
?AD
2
310
在
?AB D
中，
cosB?
，解得
BD?AD?10
.
?
2AB?BD10
解法２：在
?ABC
中，由余弦定理得
BC?310
.
设
AD?x
，则在
?ABD
中，
6
2
?2x
2
?2x
2
cos?ADB
；
在
?AD C
中，
(32)
2
?x
2
?(310?x)
2?2x(310?x)cos?ADC
.
又
cos?ADC??cos?ADB
，所以可求得
x?10
，故
AD?10
.
解法３：如图１ ，过点
C
作边
AB
所在直线的垂线，垂足为
E
，过点
D
作
DF?AB
，
垂足为
F
.

由
A?
3
?
，
AC?32
，得
AE?CE?3.
4
1
.
3
1
AB?3
，故
DF?1
.
2
则EB?3?6?9
，
tanB?
又
AD?BD
，在
Rt ?DFB
中，
BF?
所以
AD?10
.
解法４：如图２， 以
AB
为
x
轴，过
A
点垂直于
x
轴的直线 为
y
轴，建立直角坐标系.
由题意易得出
B(6,0)
、
C (?3,3)
，所以直线
BC
的方程为
y??
1
x?2，从而可设
3
1
D(x,?x?2)
。由
AD?BD
可 得
x?3
，进而得出
AD?10
.
3
【试题1】2015 年安徽理科第21题：设函数
f(x)?x?ax?b
.
（Ⅰ）讨论函数
f (sinx)
在
(?
2
??
,)
内的单调性并判断有无极值 ，有极值时求出极值；
22
2
（Ⅱ）记
f
0
(x)?x? a
0
x?b
0
，求函数
f(sinx)?f
0
(s inx)
在
?
?,
?
上的最大值
?
22
?
?
??
?
D
；
a
2
（Ⅲ）在（Ⅱ）中， 取
a
0
?b
0
?0
，求
z?b?
满足条件
D?1
时的最大值.
4
解：（Ⅰ）令
sinx?t(?1?t?1 )
，易知内层函数
t?sinx
在
(?
??
,)
内 单调递增，接
22
a
.
2
下来我们研究外层函数
f(t) ?t?at?b
在
?1?t?1
上的单调性，对称轴为
t?
2
当
??
a
?1
，即
a?2
时，
f(t)
在
(?1,1)
内单调递减，此时
f(sinx)
在
(?,)
内单调
22
2
递减，无极值；
当
a
??
??1
，即
a??2
时，
f(t)
在
(?1,1)
内单调 递增，此时
f(sinx)
在
(?,)
内单
222

< br>调递增，无极值；
当
?1?
aaa
?1
，即
?2? a?2
时，
f(t)
在
(?1,)
内单调递减，在
(,1)
内单调递增，
222
此时
f(sinx)
在
(?
? ?
a
,)
内先单调递减后单调递增，在
sinx?
处取得极小值222
aa
2
.
f()?b?
24

（Ⅱ） 令
t?sinx
，
x?
?
?
?
??
?,
?
，
t?
?
?1,1
?
.
22< br>??
f(sinx)?f
0
(sinx)?f(t)?f
0
( t)??(a?a
0
)t?b?b
0
?(a?a
0
)t?( b?b
0
)
.
所以，
f(sinx)?f
0
(s inx)
在
?
?,
?
上的最大值
?
22
?
?
??
?
D?max
?
(a?a
0
)?( b?b
0
),(a?a
0
)?(b?b
0
)
?.
因为
(a?a
0
)?(b?b
0
)?(a?a0
)?(b?b
0
)??4(a?a
0
)(b?b
0< br>)
.
当
(a?a
0
)(b?b
0
)?0< br>时，最大值
D?(a?a
0
)?(b?b
0
)?a?a
0
?b?b
0
；
当
(a?a
0
)(b?b0
)?0
时，最大值
D?(a?a
0
)?(b?b
0< br>)?a?a
0
?b?b
0
.
由此可知，函数
f(s inx)?f
0
(sinx)
在
?
?,
?
上的最大 值
D?a?a
0
?b?b
0
.
?
22
?
（Ⅲ）线性规划思想求最值.
取
a
0< br>?b
0
?0
，
D?a?b
.
22
?
??
?
a
2
问题等价转化为：已知
a?b?1
，求
z?b?
的最大值.
4
a
2
?z
的图象（图7）是抛物 线，经过点
(0,1)
时，
z
取得最作出可行域，目标函数
b?4
大值为1.

o
【试题1】2015年
重庆卷
理科第13题：在A BC中，B=
120
，AB=
2
，A的角平分
线AD=
3< br>,则AC=_______.
解法1：在△ABD中，
32
oo
?< br>，得
?ADB?45
，得
?BAD?15
，易
o
si n120sin?ADB
o
得△ABC为等腰三角形，得
?BAC??C?30
，
2AC
?
，得
AC?6.

sinCsin120o
解法2：过点B作AC的平行线与AD的延长线交于点E，如图1，由解法一得，
?EB D??C?30
o
,
?ADB?45
o
，
BE?2,
在△BED
中，由正弦定理得，
DE?1,
有
BEDE
，代入数值 得
?
ACAD
AC?6.

解法3：过点A作BC的垂线与CB的延 长线交于点E，
如图2，
AE?2sin60
o
?
6
,si n?ADB?45
o
.
由△ABD内角和为180°，得
2
?BAD ?15
o
，进而
?C?30
°，
sin?C?
AE
，得
AC?6.

AC
解法4：如图3，以B点为原点，以BA所在的直线为 x轴，则A
(2,0)
，
直线BC的
方程为：
y??3x
， 设点D
(x
0
,?3x
0
)
，由
AD?3
，解得
x
0
?
2?6
，则
AD
的
4
o
效率为
3?2
，于是
?BAD?15
，故AC的方程为
y??
3
(x?2)
，与BC的方程
3
y??3x
联立得C
(?
26
,)
，
故
AC?6.

226?2
，设
AC?x
，
2
o
解法5：由
AD? AB?BD
及
B?120
，两边平方，解得
BD?
由角平分线定理得 解得
3?16?23?1
CDAC
x,BD?x?x
，由
?
，解得
CD?
222
BDAB
AC?AB?BC
,两边平方得
x?6
即
AC?6.

解法6：设
?BAD?
?
，则
?DAC?
?
，
?BAD?
?
，
?BDA?6 0?
?
，
o

?BCA?60
o
?2
?
. 在△ABD中，
32
oo
，得
?BDA?60?
?< br>?45
，
?
oo
sin120sin(60?
?
)< br>得
?
?15
.在△ACD中，
o
3AC
，
?
oo
sin(60?2
?
)sin(60?
?
)
2
sin(60?
?
)
所以
AC?3?3?
2
?6 .

o
1
sin(60?2
?
)
2
o【试题1】2015浙江理科解法2、把
e
1
,e
2
,b
的起点都移到
O
，则
b
在由
e
1
,e
2
确定的平面内
的投影在
?MON
内，设终点为
H
，则
BH?4
。如图4，过
H
作
HPOM,HQON
，则
OP ?x
0
,OQ?y
0
，过
H
作
HB
1?ON,HB
2
?OM
，垂足分别为
B
1
,B
2
，则
OB
1
?2,OB
2
?
在
?HB< br>1
P
中，
2?x
0
?
5
。
2151
y
0
，在
?HB
2
Q
中，
?y
0
?x
0
，所以
222
x
0
?1,y0
?2
，所以
OH?7,b?22
。
解法3、题中条件可以转 化为
b
的终点到
e
1
,e
2
所在平面的距离为1， （
e
1
,e
2
的夹角为
60?
），
构造如 图5所示的六面体（单位向量
e
3
与
e
1
,e
2< br>所在平面垂直），有
b?x
0
e
1
?y
0
e
2
?e
3
(?)
，根据
b?e
1
?2，
b?e
2
?
5
，在
(?)
式两边同乘
e
1
,e
2
分
2
1
?
2?x?y
0
,
0
?
?
x
0
?1
?
2别得到
?
解得
?
代入
(?)
式两边平方得到
b ?22
。
?
y
0
?2
?
5
?
1
x?y,
00
?
?22
22
【试题1】2015年山东卷文 科第13题：过点
P(1,3)
，作圆
x?y?1
的两条切线，切点
分别为
A
，
B
，则
PA?PB?
________.
解法1：如图1，联结
PO
，
BO
，
在
Rt?PAO
中，
OA?1
，
AP?3
，
OP?2
，
所以，
?OPA?30?
，
?BPA?2?OPA?60?
.
而
AP?BP?3
，则

3
PA?PB?|PA|? |PB|cos?APB?3?3?cos?APB?3?3?cos60??
.
2
解法2：在四边形
PAOB
中，
OA?OB?1
，
AP?BP?3< br>，
OP?2
，
?PBO??PAO?90?
，
13
)
. 点
A(1,0)
，即
B(?,
B(co s120?,sin120?)
，
?BPO??APO?30?
，
?AOB? 120?
，
22

PA?(0,?3)
，
PB?(?
33
,?)
.
22
33
?
.
22

PA?PB?0?( ?)?3?
3
2
22
解法3：切点弦
AB
:
x?3 y?1
，与
x?y?1
交于
A(1,0)
，
B
两点 ，可得
13
B(?,)
.
22
333
PA?PB?0?(?)?3??
.
222
解 法4：设切点为
(cos
?
,sin
?
)
，由于半径与切线 垂直，则根据向量数量积得
(cos
?
?1,sin
?
?3)?
(cos
?
,sin
?
)?0
.解得
??0
或
?
?
333
PA?PB?0?(?)?3??
.
222
13
2
?
)
， .即是切点为
A(1,0)
，
B(?,
22
3
解法5：如图2所示，过点
C(2,0)
作圆
x?y?1
的两条切线
CE
、
CF
，
由图形对称性求
PA?PB
转化为
CE?CF
，而
OC?2
，
OE?OF?1
易得
22
CE?CF?3
，
?ECF?




?
3
，
CE?CF?
33
，所以
PA?PB?.
22

不等式
【试题1】【2015重庆高考，文14】
设
a,b>0,a+b=5
,则
a+1+b+3
的最大值为 .
解法一：由
2ab?a
2
?b
2
两边同时加上
a
2
?b
2

得
(a?b)?2(a?b)
两边同 时开方即得：
a?b?
222
2(a
2
?b
2
)< br>（
a?0,b?0
且当且仅当
a?b
时取“=”），
从而有
a+1+b+3
?2(a?1?b?3)?2?9?32
（当且仅当
a?1? b?3
,即
73
，故填：
32
.
a?,b?
时， “=”成立）
22
解法三：因为
a?b?5
，
b?5?a

所以
(a?1?b?3)
2
?a?b?4?2(a?1)(b?3)
，
?a?b?4?2(a?1)(5?a?3)
?5?4?2?a
2
?7a ?8

当
a?
7
时，
(a?1?b?3)
2
max
?18
，故
(a+1+b+3)
max
=32
，故 填
32

2

解法四:柯西不等式法:
(a?1?b?3)
2
?(1?1)[(a?1)?(b?3)]?18

所以
a?1?b?3?32

【试题1】(2015年重庆卷文科第14题)
设
a,b?0
，
a?b?5
，则
a?1?b?3
的 最大值为
解法一：
?
a?1?b?3
?
2
?a?1?b?3?2a?1?b?3

?9?
?
a?1
?
?
?
b?3
?
?18
， < br>当且仅当
a?1?b?3
且
a?b?5
，即
a?
所以
a?1?b?3
的最大值为
32
.
解法二：
设
x?
3
7
，
b?
取等号，
22
a?1,y?b?3
，则
x
2
?y
2
?9
（x?1,y?3
）
依题意可得问题等价于求
x?y
的最大值，
令
x?y?t
，直线
x?y?t
与圆
x?y?91?x?
22
?
6,3?y?22
有公共点，
?
?d?
t
2
?3
，
当直线与圆相切时，
t?32
，
所以
a?1?b?3
的最大值为
32
.
解法三：
设
m?
?
1,1
?
，
n?
?
a?1,b ?3
，
?
a?b?5
，
?m?n?a?1?b?3?m?n? 2?
当且仅当
a?
?
a?b?4
?
?32
，
73
，
b?
取等号，
22
所以
a?1?b?3
的最大值为
32
.
解法四：
a?b?5
，
?b?5?a
，
?
?
a?1?b?3
?
?
?
2
a?1?8?a
?
2

2
7
?
81
?
?a?1?8?a?2?
a?1
??
8?a
?
?9?2?
?
a??
?

2
?
4
?
当
a?
7< br>时，
2
?
a?1
??
8?a
?
取到最大值< br>9
，
2
9
?32
，
2
所以
a? 1?b?3
取到最大值为
9?2?
此时
a?
73
，
b?
.
22

解法五：由
2ab?a
2
?b
2
两边同时加上
a
2
?b
2

得
(a?b)
2
?2(a
2
?b
2
)
两边同时开方即 得：
a?b?
，
a?b
时取“=”）
从而有
a+1+b+ 3
?
2(a
2
?b
2
)
（
a?0,b?0
且当且仅当
2(a?1?b?3)?2?9?32
（当且仅当
a?1?b?3
,即
73
，故填：
32
.
a?,b?
时，“=” 成立）
22
解法六：因为
a?b?5
，
b?5?a

所以
(a?1?b?3)
2
?a?b?4?2(a?1)(b?3)
， < br>?a?b?4?2(a?1)(5?a?3)
?5?4?2?a
2
?7a?8< br>
当
a?
7
时，
(a?1?b?3)
2
ma x
?18
，故
(a+1+b+3)
max
=32
，故填32

2


解法七:柯西不等式法:
(a?1?b?3)
2
?(1?1)[(a?1)?(b?3)]?18

所以
a?1?b?3?32



【试题1】（2016浙江卷理8）已知实数
a,b,c
则（ ）
222
A. 若
|a?b?c|?|a?b?c|?1
，则
a?b?c?100

222
B. 若
|a?b?c|?|a?b?c|?1
，则
a?b?c?100

222
C. 若
|a?b?c|?|a?b?c|?1
，则
a?b?c?100

222
D. 若
|a?b?c|?|a?b?c|?1
，则
a?b?c?100

22
22
22
22
【解法1】令
a?b?10,c??110
，排除选项A；
令
a?10,b??100,c?0
，排除选项B；
令
a?10,b??10,c?0
，排除选项C；
【解法2】选项A ,取
a?b,c??(a?a),
则
|a?b?c|?|a?b?c|?0?1
，
222

此时由于
a
可任取，则
c
无界 ，显然无法得到
a?b?c?100
；
选项B,取
c?0,b??a,则
|a?b?c|?|a?b?c|?0?1
，
此时由于
a
可 任取，则
b
无界，显然无法得到
a?b?c?100
；
选项C,取
c?0,b??a,
则
|a?b?c|?|a?b?c|?0?1
，
此时由于
a
可任取，则
b
无界，显然无法得到
a?b?c?100
；
选项D,
1?|a?b?c|?|a?b?c|?|a?b?a?b|
，
而
a?a? ?
2
2222
22
222
222
222
2221
2
11515
,b?b??,???a
2
?a?,??b2
?b?,

444444
?a,b?[
?1?6?1?63?65?46
,]
，
?c?[,]
，则
a
2
?b
2
?c
2
?100

22
24
【解法3】关于D选项的证明二
111
(a?)
2
?(b?)
2
??a
2
?a?b
2
?b?|a< br>2
?b?c|?|a?b
2
?c|?1

222
11 1
2c?(a?)
2
?(b?)
2
??2c?a
2
?a?b
2
?b?|a
2
?b?c|?|a?b
2
?c|? 1

222
113
0?(a?)
2
?(b?)
2< br>?
，
222
(
313313
?1)
2
?( a?)
2
?(?1)
2
,(?1)
2
?(b?)
2
?(?1)
2
，
222222
111
2|c|?|(a? )
2
?(b?)
2
?|?1,

222
?a
2
?b
2
?c
2
?100

【试题1】(201 4年高考山东理9题)已知
x,y
满足约束条件
?
?
x?y?1?0 ,
当目标函数
?
2x?y?3?0,
z?ax?by(a?0,b?0)在该约束条件下取到最小值
25
时，
a
2
?b
2
的最小值为
A．5 B.4 C.
5

D.2
【答案】B

?
x?y?1?0
?
解法一：联立
?
2x?y?3?0
，得交点坐标
(2,1)
，则2a?b?25
，即圆心（0,0）到直
线
2a?b?25?0
的距离的 平方
(
25
2
)?4
.
5
?
x?y?1 ?0
?
解法二：联立
?
2x?y?3?0
，得交点坐标
(2 ,1)
，则
2a?b?25
，代入
a
2
?b
2得：
a
2
?b
2
?a
2
?(25?2a)2
?5a
2
?85a?20?5(a?
45
时，
a2
?b
2
的最小值为4.
5
45
2
)?4

5
当
a?
< br>【试题1】（2014年浙江高考卷）已知实数
a
，
b
，
c< br>满足
a?b?c?0
，
a
2
?b
2
?c2
?1
，则
a
的最大值是 ．
以下从不等式角度研究 解法1：由
a?b?c?0
，得
b?c??a
，将式子两边平方得
b
2
?c
2
?2bc?a
2
，再把
a
2
?b
2
?c
2
?1
2
代入可得
2bc?2 a?1
，此时用不等式
b
2
?c
2
?2bc
放缩可 得
1?a
2
?2a
2
?1
，解得
?
666
，所以
a
的最大值是．
?a?
3
33
2
解法2：由
a?b?c?0
移项平方，得
a
2
?
?
b?c
?
，代入
a
2
?b
2
?c
2
?1
，得
b
2
?c
2
?bc?
，即2
1
2
?
b?c
?
值是
1
2
66
?
b?c
?
1
?
?bc?
．由基本不等式得< br>?
b?c
?
?
?
，解得．故
a
的最大
??b?c?
?
2
33
?
2
?
2
26
．
3
解法3：将
a?b?c?0
两边平方后得
a< br>2
?b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc?0
，由
a
2
?b
2
?c
2
?1
得
1?2 ab?2ac?2bc?0
．继续消元，将
c??a?b
代入化简，并将含有
b
的式子分离到一边，得
a
2
6
?
?b?a?b
?
a
2
2
2a?1??2b
?
a?b
?
，而
?2b
?
a?b
?
?2?
?
，即
2a?1 ?
，得
a
2
?
（此时
?
?
22
3
2
??
2
2
等号成立的条件是
a??2b??2c
）所以
a
的最大值是
6
．
3
解法4：将
a?b? c?0
两边平方后得
a
2
?b
2
?c
2
? 2ab?2ac?2bc?0
，由
a
2
?b
2
?c
2
?1
得
代入化简，得
2a
2
?2b
2
? 2ab?1?0
，即
1?2ab?2ac?2bc?0
．将
c??a?b

a
?
a
2
a
2
a
66
?
2a?1??2b?2ab??2
?
b?
?
??
，解得< br>a
2
?
，故当
b??
时，
a
的最大值是．
2
2
?
22
3
3
?
22
2
解法5：由柯西不等式得，
(b?c)(1?1)?(b?c)
，即
2(1?a)? a
，解得
a
2
?
故
a
的最大值是
6
．
3
2222222
6
，
3
22
解法6：将< br>c??a?b
代入
a
2
?b
2
?c
2
?1
，得
2a?2b?2ab?1?0
，令
a?x?y,b?x?y,则
6x
2
?2y
2
?1,
由柯西不等式得
1 162
2
2
6
2
(6x
2
?2y
2
)(?)?(6x??2y?)?(x?y)
2
，故
?
x?y
?< br>?,
得
a
2
?
，
3
6262
3故
a
的最大值是
6
．
3
【试题1】2015年上海卷理科第13题：
已知函数
f(x)?sin x
，若存在
x
1
，
x
2
，…，
x
m
满足
0剟x
1
?x
2
??x
m
6
?
，且
|f(x
1
)?f(x
2
)|?|f(x
2
)?f(x
3
)|?
取值范围是___________________ _。
?|f(x
m?1
)?f(x
m
)|?12
（
m…2,m?N
），则
m
的
)
n
?(f)|[x
t
(])刐f[x(])
x
?2f
n
x
解法1：由
|f(x
mami
?
知，
|f(x
n?1
)?f(x
n
)|(n?1,2,,n)
需尽可能多的取到2，
f(x)
在
[ 0,6
?
]
上共3个周期，故可取
x
1
?0
，x
2
?
?
2
，
x
3
?
3?
，
2
x
4
?
5
?
7
?9
?
11
?
，
x
5
?
，
x< br>6
?
，
x
7
?
，
x
8
?x
m
?6
?
，满足
2222
?|f(x
m?1
)?f(x
m
)|?12
，所以
m
的最小值为8。
|f (x
1
)?f(x
2
)|?|f(x
2
)?f(x
3
)|?
解法2：当
m
=8时，令
x
1
?0
，
x
k
?k
?
?
3
?
(2剟k
2
7)
，
x
8
?6
?
，则
0剟x
1
?x
2
??x
m
6
?
，且
?|f(x< br>7
)?f(x
8
)|?12
，故
m
的最小值不大于8 。
|f(x
1
)?f(x
2
)|?|f(x
2
)? f(x
3
)|?
又对任意的
x
，
x'
，
| f(x)?f(x')|?2
，等号成立当且仅当
f(x)??f(x')??1
，特 别的
|f(x)|?|f(x')|?1
。因此
12?|f(x
1
) ?f(x
2
)|?|f(x
2
)?f(x
3
)|?
如果m=7，那么有
|f(x
1
)?f(x
2
)|?
?|f (x
m?1
)?f(x
m
)|?2(m?1)
，从而
m…7
。
?|f(x
6
)?f(x
7
)|?2
，故|f(x
i
)|?1
，
1剟i7
。

但是 在
[0,6
?
]
中只有6个不同的
x
能使
|f(x )|?1
，矛盾。故
m
的最小值等于8。
【试题1】（2012年浙江卷理科第9题）设
a?0
，
b?0
，
A
.若
2
a
?2a?2
b
?3b
，则a?b

B
.若
2
a
?2a?2
b
?3b
，则
a?b

C
.若
2
a
?2a?2
b
?3b
，则
a?b

D
.若
2
a
?2a?2
b
?3b
，则
a?b

ab
解法1：由
2?2a?2?3b
整理得到
(2?2a)?( 2?2b)?b?0
，
x
ab
令
f(x)?2?2x
，显 然
f(x)
是单调递增函数，由
f(a)?f(b)?0
可得
a?b
.
所以选择
A
.
解法2：（反证法）对于A选项。 假设< br>a?b
，
?
y?2
为增函数，
?
2
a
?2
b
，
又
?

a?0,b?0
?
( 2?2a)?(2?3b)?(2?2)?2(a?b)?b
?0

abab
x
?
2
a
?2a?2
b
?3b
，这与已知条件2
a
?2a?2
b
?3b
矛盾，
?
选择A。
赏析1：本题题干简洁、形式对称而优美.从表面看，本题涉及的是两个方程式，事实上是
关于 两个函数值
f(a)
与
f(b)
的大小比较问题。首先运用转化的思想，将方 程问题转化为函
数问题，然后用函数思想，构造函数，利用函数的单调性解决问题.构思巧妙、干净利落 .
赏析2：对于解法1和解法2，如果从
A
、
B
选项入手，很快就 能得到答案，作为选择
题，解题已经结束，无需留恋。而事实上，如果从
C
、
D
选项入手，虽然做法类似，但难
度必然加大，而且会做无意义的劳动（因为
C
、
D
都是错的）。因此，这里还有“选择”的
味道，考查了对选择题的敏感性，认清 选项，快速解题，这是考查观察力、判断力等能力的
根本.下面给出
C
、
D< br>选项的判断方法：
ab
由
2?2a?2?3b
整理可得：
(2?2a)?(2?2b)??b?0
，
x
ab
令
f(x)?2?2x
，则
f(a)?f(b)?0
，
因为
f()?
1
2
2?1
，
f(1)?0
，
f(3)?2
，
1
2
1
，
1?3
，所以
C
、
D
错误.
2
所以
f(1)?f()? 0
，
f(1)?f(3)?0
，而
1?
赏析3：有利于培养学生分析问题和解决问题的逻辑推理能力。

【试题1】2015年重庆理16