高中数学试题

高中数学试题

高二数学期末试卷


一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共
40分）
1、用数学归纳 法证明：（
n?N
，
且
n?1
）时，第一步即证下列哪个不等式成立
（ ）
*
1?
111
?????n
232n?1< br>A、
1?2
B、
D、
1?
1
?2
3
1?
1
?2
2
C、
1?
11
??2
23


z?
3?4i
2?2i
2、若复数，则复数
z
在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象
限 D、第四象限
3、下图是学校学生会的组成机构，那么它属
于（ ）

A、流程图 B、程序框图 C、结构
图 D、A，B，C都不对。
4、复数z满足（1+2i）z+（3－10i）
z
=4－34i，
则z为（ ）
A、4+i. B、4－i. C、1
－4i D、1+4i
5、已知a<0，－12

的大小关系是_____。
A、a>ab> ab B、ab>ab>a C、
ab>a> ab D、ab> ab>a
6、根据下面的结构图，总经理的直接下属是
（ ）
22
22

A、总工程师和专家办公室 B、开
发部
C、总工程师、专家办公室和开发部 D、
总工程师、专家办公室和所有七个部
7、已知数列
?
a
?的各项为正数，其前n项和为
S
n
，又
a与S
满足关系式： < br>n
nn
4S
n
4S
1
4S
2
??? ??S
n
a
1
?2a
2
?2a
n
?2，则猜想
?
a
?
的通项公式
n
为__________ __
A、2n+1 B、2n－1 C、2n
D、4n

8、若大前提是：任何实数的平方都大于0，
小前提是：
a?R
，结论是：
a ?0
，那么这个演绎推
理出错在：
A、大前提 B、小前提 C、推理过
程 D、没有出错

2

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共
20分）
9、已知x与y的实部相等， 虚部互为相反数，
且（x+y）
2
－3xyi=4－6i，则x， y分别为
____________
10、判断大小：
5?7______1?15

11、已知数列
?
a
?
的第1项
a?1
，且
n
1
，试归纳出 这个数列的通项公式为
______________________
12、若复数
z
满足
z?3(1?z)i?1
，则
z?z
的值等于
__ _______________

三、解答题（本大题共4题，共40分）
2< br>a
n?1
?
2a
n
2?a
n
(n?1,2, L)
13、计算：

14、在调查男女乘客是否晕机的情况中，已知
男乘客 占总调查人数的，其中有一半会晕机，
而女乘客只有的人会晕机，经过调查员的计算：
有95％ 以上的把握认为是否晕机与性别有关，
那么被调查的人中最少有多少人会晕机？

1 5、用分析法证明：
m(cos
?
?isin
?
)m
?[c os(
?
?
?
)?isin(
?
?
?
)]
n(cos
?
?isin
?
)n
1
3
2< br>5
(?1?3i)
6
?2?i
2006
??i
(1? i)
8
1?2i
，其中
m,n,
?
,
?
? R
，且
n?0
，
i
是虚数单位。

16、用数学归纳法证明：当
n?N*
时，
11?3
?
1
3?5
?????
1n
?
2n?1
??
2n?1
?
?
2n?1
。

【试题答案】
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共
40分）
1、C 2、A 3、C
4、解：设z=x+yi （x， y∈R），则（1+2i）（x+yi）
+（3－10i）（x－yi） =4－34i，
整理得（4x－12y）－（8x+2y）i=4－34i.
∴ ， 解得， ∴ z=4+i.
答案：A
5、解：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－
0.5，选D；
6、C
7、解：计算得
a?2,a?4,a?6,
猜测
a?2n

答案： C
8、A

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共
20分）
9、解：由题意设x=a+bi，y=a－bi （a， b
∈R），则代入原式得
123
n
?
4x?12y?4
?
?
8x?2y?34
?
x?4
?
?
y?1
（2a）
2
－3（a
2
+b
2
）i=4－bi
?
a?1
?
?
?
b?1
?
4a
2
?4
?
22
?
?
?3(a?b)??6
，
或
?
a?1
?
?
b??1
或
，
或
?
x??1?i
?
?
y??1?i
?
x??1?i
?
?
y??1?i
?
a??1
?
?
b?1
或
?
a??1
?
?
b??1
∴
?
x?1?i
?
?
y?1?i
或
?
x?1?i
?
?
y?1?i
或.

10、解：欲证
5?7?1?15

只需证
(5?7)?(1?15)
，
展开得：12+2
35
>16+2
15
，即2
35
>4+2
15

只需 证（2
35
）
2
>（4+2
15
）
2
，即 4>
15
，这
显然成立。
故
5?7?1?15
成立。
22
11、解：，，…，一般地有
本题也可以直接求出通项公式．
由
a
n?1
?
2a
n
2?a
n
a
2
?
2
3
a
3
?
2
4
a
n
?
2
n?1
；
， 得，
?
1
?
??< br>?
a
n
?
2?a
n
111
???
a
n?1
2a
n
a
n
2
1
a
1，即
111
??
a
n?1
a
n
2
所以 数列
列，则
而
a
1
是首项为，公差为的等差数
，
1?3i13
???i?
?
22
1?3i
1
2
11 1
??(n?1)?
a
n
a
1
2
?1
，则
2
a
n
?
2
n?1
．
z?3i?3zi?1?0,z?
12、解：
z?z?
?
?
?
??1


三、解答题（本大题共4题，共40分）
2
，
(?1?3i)
6< br>?2?i
2006
解：??i
1?2i
(1?i)
8
[(?1?3i)
3
]
2
(?2?i)(1?2i)
21003???(i)
24
(1?2i)(1?2i)
[(1?i)]
8
2
?4?3i
1003
???(?1)
5
(2i)
4
43213
?4??i?1??i
5555
13、

14、解：设 总共调查
n
个人，所以被调查的男
乘客应有人，其中晕机的有人，被调查的女
2
n
5
n
5

乘客有人，其中有人会晕机。
即2×2列联表如下：

晕机 不晕机
男乘客
女乘客
合计

n
5
n
5
2n
5
3n
5
n
5
合计
2n
5
3n
5



n
5
2n
5
3n
5





n

所以
要使调查员有95％以上的把握认为是否晕
机与性别有关，则
k?3.841
，所以
n?138.276
n?N*
5
n
?3.841
36
n2nnn
n?(??? )
2
5555
?
n
k?
2n3n2n3n
36???
5555
，解得：
，又因为，所以
n?140

所以被调查的人中晕机的人数最少为：140
×＝56（人）
答：被调查的人中最少有56人会晕机。
15、证明：要证明等式成立，需证明：
m(cos??isin?)?
m
[cos(???)?isin(???)]?n(cos? ?isin?)
n
2
5
即
(cos
?
?isin< br>?
)?[cos(
?
?
?
)?isin((
?
?
?
)](cos
?
?isin
?
)

需证明：
由复数相等原理可得：要证上式成立，需证
明下列两式成立：
c os
?
?cos(
?
?
?
)cos
?
?s in(
?
?
?
)sin
?

sin
??cos(
?
?
?
)sin
?
?sin(
?< br>?
?
)cos
?

(cos
?
?isin< br>?
)?[cos(
?
?
?
)cos
?
?si n(
?
?
?
)sin
?
]?i[cos(
?
?
?
)sin
?
?sin(
?
?
?
)c os
?
]

由两角和的正弦公式和余弦公式可知，上面
的两式是恒成立的，
故所要证明的命题也是成立的。
16、解析：①当
n?1
时，左边，右边，
左边=右边，所以等式成立。 < br>②假设
n?k
?
k?1
?
时等式成立，即有
111k
???????
?
2k?1
??
2k?1
?
2k? 11?33?5
?
11
?
1?33
?
11
?
2?1?13
，

则当
n?k?1
时，
1111k1
?????????
?
2k?1
??
2k?1
??
2k?1
??
2k?3
?
2k?1
?
2k?1
??
2k?3
?
1?33?5

所以当
n?k?1
时，等式也成立。
由①，②可知，对一切
n?N*
等式都成立。
点评：（1）用数学归纳法证 明与自然数有关
的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等
式两边的构成规律，等式的两边 各有多少项，项
的多少与n的取值是否有关，由
n?k
到
n?k?1
时等
式的两边会增加多少项，增加怎样的项。
（2）在本例证明过程中，步骤①考虑“n取第一个值的命题形式”时，需认真对待，这一
证明过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法。
本题证明
n?k?1
时若利用数列求和中的拆项
相消法，即
111 1
???????
?
2k?1
??
2k?1
??
2 k?1
??
2k?3
?
1?33?5
k
?
2k?3
?
?12k
2
?3k?1
??
?
2k?1
??
2k?3
??
2k?1
??
2k?3
?
k?1 k?1
??
2k?32
?
k?1
?
?1

则这不是归纳假设，这是套用数学归纳法的
一种伪证。
（3）在步骤②的证明过程中，突出了两个凑
字，一“凑”假设，二“凑”结论，关键是明确< br>n?k?1
时证明的目标，充分考虑由
n?k
到
n?k?1
时 ，
命题形式之间的区别和联系。


1
?
1
??
11
?
1
??
11
??
1
?[
?
1?
?
?
?
?
?
?????
?
? ?
?
?
??
]
2
?
3
??
35< br>?
2k?12k?12k?12k?3
????
1
?
1
?
k?1
?
?
1?
?
?
2
?
2 k?3
?
2k?3