高中数学专题练习题集

高考等差、等比数列及其应用

【考纲要求】
1．考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题．
2．考查运用数列知识解决数列综合题的能力．
【课程类型】

一对一个性化教学
【教学建议】
数列是高中的重要内容，考试说明中，等 差、等比数列都是C级要求，因而
考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等 数学思
想．填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数
列的性质 ，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而
且还涉及到函数、不等式、解析几 何等方面的知识，基本上都是压轴题．因此希
望同事们多研究全国各省市高考题，精选精练，让学生学有 所获，学有所思，学
有信心，克服数列难的思想。
【复习指导】
1．熟练等差数列与等比数列的基本运算．
2.数列中
a
n
与S
n
之间的互化关系也是高考的一个热点.
3．掌握隐藏在数列概念和解题方法中的数学思想，如“函数与方程”、“数形结
合”、
“分类讨论”、“等价转化”等．
基础练习
1
，则
a
1
a
2
?a
2
a
3
???a
n
a< br>n?1
=_____.
4
1
[解析]数列
?
an
a
n?1
?
仍是等比数列,其首项是
a
1
a
2
?8,
公比为
.

4
1.已知
?
a
n
?
是等比数列，
a
2
?2，a
5
?
1
8[1?()
n
]
4
?
32
(1?4< br>?n
)
所以,
a
1
a
2
?a
2
a
3
?
L
?a
n
a
n?1
?
1
3
1?
4

2.设
a
1
? 2
，
a
n?1
?
= ．
a?22
，
b
n
?
n
，
n?N
*
， 则数列
?
b
n
?
的通项公式
b
n
a
n
?1
a
n
?1
[解析]数列
?
b
n< br>?
是等比数列，则
b
n
?4?2
n?1
?2
n?1


3．数列{
a
n
}满足
a
1< br>＝2，
a
2
＝1，并且
100项为 .

[解析] 由已知可得：
1
a
n
－1
－
a
n
a
n
－
a
n
＋1
＝(
n
≥2) ，则数列{
a
n
}的第
a
n
·
a
n
－1
a
n
·
a
n
＋1
a
n
＋1
＋
?
1
?
21
＝，
n
≥2，∴
? ?
是等差数列，∴
a
100
＝.
a
n
－1
a
n
50
?
a
n
?
1
一.若互不相等的 实数
a
，
b
，
c
成等差数列，
c
，
a
，
b
成等比数列，且
a
＋3
b
＋
c< br>＝10，
则
a
＝________．
[解析] 由
c< br>，
a
，
b
成等比数列可将公比记为
q
，三个实数a
，
b
，
c
，待定为
cq
，
cq2
，
c
.由实数
a
、
b
、
c
成等差数列得2
b
＝
a
＋
c
，即2
cq
2
＝
cq
＋
c
，又等比数
列中
c
≠0，所以
1
2
q
－
q
－1＝0，解一元二次方程得
q
＝1(舍去，否则三个实数相等)或
q
＝－，
2
2
a
5
又
a
＋3
b
＋
c
＝
a
＋3
aq
＋＝－
a
＝10，所以
a
＝－4.
q
2< br>5．已知数列{
a
n
}的前
n
项和为
S
n< br>，
a
1
＝1，
S
n
＝2
a
n
＋1
，则
S
n
＝_______.

[解析] 本小题 主要考查数列前
n
项和
S
n
与通项
a
n
的 关系，解题的突破口是用
a
n
表示
S
n
.
33< br>由
S
n
＝2
a
n
＋1
＝2(
Sn
＋1
－
S
n
)得
S
n
＋1
＝
S
n
，所以{
S
n
}是以
S
1
＝
a
1
＝1为首项，为公比
22
?
3
?
的 等比数列，所以
S
n
＝
??
?
2
?
n?1
.


考向一 等差数列与等比数列的综合应用

【例1】设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
,
已知
a
1
?1,
S
n?1
?4a< br>n
?2

（I）设
b
n
?a
n?1
?2a
n
，证明数列
{b
n
}
是等比数列 （II）求数列
{a
n
}
的
通项公式.
解：（I）由a
1
?1,
及
S
n?1
?4a
n
?2
，有
a
1
?a
2
?4a
1
?2,
a
2
?3a
1
?2?5,?b
1
?a
2
? 2a
1
?3

由
S
n?1
?4a
n
?2
，．．．① 则当n?2
时，有
S
n
?4a
n?1
?2
．．．． ．②
②－①得
a
n?1
?4a
n
?4a
n?1< br>,?a
n?1
?2a
n
?2(a
n
?2a
n ?1
)

又
Qb
n
?a
n?1
?2an
，
?b
n
?2b
n?1
?{b
n
}
是首项
b
1
?3
，公比为２的等比数列．
（II）由（I ）可得
b
n
?a
n?1
?2a
n
?3?2
n?1
，
?
a
n
a
n?1
a
n
3
{}
是首项为
??
数列
?
n
n?1n
2< br>224
a
1331
13
n?2
，公差为的等比数列．
?
n
，
??(n?1)?n?
a?(3n?1)?2
n
n
22444
24
第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找
b
n
与b
n?1
的关系即可
．
第（II）问中由（I）易得
a
n?1
?2a
n
?3?2
n?1
，这个递推式明显是一个 构造新数
列的模型：
a
n?1
?pa
n
?q
n(p,q为常数)
，主要的处理手段是两边除以
q
n?1
．
1
【巩固练习】 1．已知等比数列{
a
n
}的公比
q
＝－.
2
1
(1)若
a
3
＝，求数列{
a
n
}的前
n
项和；
4
(2)证明：对任意
k
∈N
＋
，
a
k
，
a
k
＋2
，
a
k
＋1< br>成等差数列．
11
解：(1)由
a
3
＝
a
1
q
2
＝及
q
＝－，得
a
1
＝1，所以数 列{
a
n
}的前n项和
S
n
＝
42
12?(?)
n?1
2

3
(2)证明：对任意
k
∈N
＋
，
2
a
k
＋2
－(
a
k
＋
a
k
＋1)＝2
a
1
q
k
＋1
－(
a
1
q
k
－1
＋
a
1
q
k
)＝
a< br>1
q
k
－1
(2
q
2
－
q
－1)，
1
由
q
＝－得2
q
2
－
q－1＝0，故2
a
k
＋2
－(
a
k
＋
a
k
＋1
)＝0.
2
所以，对任意
k
∈N
＋
，
a
k
，
a
k
＋2
，
ak
＋1
成等差数列．

2．设
?
a< br>n
?
是公差不为零的等差数列，
S
n
为其前
n
项和，满足
2222
a
2
?a
3
?a
4
?a
5
,S
7
?7

（1）求数列
?
a< br>n
?
的通项公式及前
n
项和
S
n
；
（2）试求所有的正整数
m
，使得
22
a
m
a
m ?1
为数列
?
a
n
?
中的项.
a
m? 2
22
解：（1）设公差为
d
，则
a
2
?a
5
?a
4
?a
3
，
由性质得
?3d(a
4
?a
3
)?d(a
4
?a
3
)
，因为
d?0
，所以
a
4
?a
3
?0
，即
2a
1
?5d?0
，又由
S
7
?7
得
7 a
1
?
7?6
d?7
，解得
a
1
??5< br>，
2
d?2
所以
?
a
n
?
的通项 公式为
a
n
?2n?7
，前
n
项和
S
n< br>?n
2
?6n
。
（二）
a
m
a
m?1
?
(2m?7)(2m?5)
，
a
m?2
(2m?3)
令
2m?3?t
，

因为
t
是奇数，所以
t
可取的值为
?1
，当
t?1
，
m?2
时，
t?
8
a
m
am?1
(t?4)(t?2)
?t??6
，w.w.w.k.s.5.u.c.o .m
?
t
a
m?2
t
8
?6?3
，
t
8
t??1
，
m?1
时，是数列
?
a
n
?
中的项；数列
?
a
n
?
2?5?7? 3
，
t??6??15
，
t
中的最小项是
?5
，不 符合.所以满足条件的正整数
m?2
.

.
考向二 数列与函数的综合应用

【例2】．在数1和100之间插入
n
个实数，使得 这
n?2
个数构成递增的等比数
1
. 列，将这
n?2
个数 的乘积记作
T
n
，再令
a
n
?lgT
n,
n≥
（Ⅰ）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（Ⅱ）设
b
n
?tana
n
gtana
n?1
,
求数列< br>{b
n
}
的前
n
项和
S
n
.

解：（I）设
l
1
,l
2
,?,l
n? 2
构成等比数列，其中
t
1
?1,t
n?2
?100,则
T
n
?t
1
?t
2
???t
n? 1
?t
n?2
,
①
T
n
?t
n? 1
?t
n?2
???t
2
?t
1
,
②
2
①×②并利用
t
1
t
n?3?i
?t
1
t
n?2
?10(1?i?n?2),得

T
n
2
?(t
1
t
n?2
)?(t
2
t
n? 1
)???(t
n?1
t
2
)?(t
n?2
t1
)?10
2(n?2)
,?a
n
?lgT
n
?n?2,n?1.

（II）由题意和（I）中计算结果，知
b
n
?tan(n?2)?tan(n?3),n?1.

另一方面，利用
tan1?ta n((k?1)?k)?
得
tan(k?1)?tank?
nn?2
k?3< br>tan(k?1)?tank
,

1?tan(k?1)?tank
tan(k?1)?tank
?1.
tan1
所以
S
n
?
?
b
k
?
?
tan(k?1)?tank

k?1
tan(k?1)?tank
?1)
tan1

k?3

tan(n?3)?tan3
??n.
tan1
?
?
(
本题考查等比和等差数列，指数和对数的运算，两角差的正切公式等
基 本知识，考查灵活运用知识解决问题的能力，综合运算能力和创新思维能力.

【巩固练习】 设函数
f
(
x
)＝(
x
－3)
3
＋
x
－1，{
a
n
}是公差不为0的等差数列，
f
(
a
1
)
＋
f
(
a
2
)＋…＋
f
(
a
7
)＝14，则
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
7
＝_________
[解析] 记公差为
d
，则
f
(
a
1
)＋
f
(
a
2
)＋…＋
f
(
a
7
)
＝(
a
1
－3)
3
＋(
a
2
－3)
3
＋…＋(
a
7
－3)
3
＋(
a
1
＋
a2
＋…＋
a
7
)－7
＝(
a
4
－3
d
－3)
3
＋(
a
4
－2
d
－3 )
3
＋…＋(
a
4
＋2
d
－3)
3
＋(
a
4
＋3
d
－3)
3
＋7
a
4
－7
＝7(
a
4
－3)
3
＋7×3(
a
4
－3)＋7
a
4
－7.
由已知，7(
a< br>4
－3)
3
＋7×3(
a
4
－3)＋7
a< br>4
－7＝14，即7(
a
4
－3)
3
＋7×3(a
4
－3)
＋7(
a
4
－3)＝0，
∴(< br>a
4
－3)
3
＋4(
a
4
－3)＝0.因为
f
(
x
)＝
x
3
＋4
x
在R上为 增函数，且
f
(0)＝0，
故
a
4
－3＝0，即
a
4
＝3，∴
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
7
＝7
a
4
＝7×3＝21.
n?2

考向三 数列与不等式的综合应用
热身：设1?a
1
?a
2
?L?a
7
，其中a
1
,a
3,a
5
,a
7
成公比为q的等比数列，a
2
,a
4
,a
6
成公差为1的等差数列，则q的最小值是________.
【答案】
3
3

a
n
＋
b
n
*
【例3】 已知各项均为正数的两个 数列{
a
n
}和{
b
n
}满足：
a
n＋1
＝
2
，
n
∈N.
a
n
＋
b
2
n
b
n
?
b
?
(1)设< br>b
n
＋1
＝1＋，
n
∈N
*
，求证：数列
?
(
n
)
2
?
是等差数列；
a
n
?
a
n
?
b
n
一、 设b
n
＋1
＝2·，
n
∈N
*
，且{
a
n
}是等比数列，求
a
1
和
b
1
的值．
a
n







( 2)因为
a
n
>0，
b
n
>0，所以
从而1<a
n
＋1
＝
a
n
＋
b
n
2< br>2
22
≤
a
2
n
＋
b
n
< (
a
n
＋
b
n
)，
a
n
＋
b
n
≤2. (*)
2
a2
＋
b
nn
设等比数列{
a
n
}的公比为q
，由
a
n
>0知
q
>0.下证
q
＝ 1.
若
q
>1，则
a
1
＝<
a
2
≤2，故当
n
>log
q
a
2
q
2
a< br>1
时，
a
n
＋1
＝
a
1
q
n
>2，与(*)矛盾；
a
2
1
若0<
q
<1，则
a
1
＝>
a
2
>1，故当
n
> log
q
时，
a
n
＋1
＝
a
1
q
n
<1，与(*)矛盾．
qa
1
综上，
q
＝1， 故
a
n
＝
a
1
(
n
∈N
*
)，所以1<
a
1
≤2.
又
b
n
＋1
＝2·＝
若
a
1
≠2，则
2
b
n
a
n
2
a
1
·
b
n
(
n
∈N*
)，所以{
b
n
}是公比为
2
a
1
的等比数列．
a
1
>1，于是
b
1
<
b
2
<
b
3
.

a
1
＋
b< br>n
a
1
±
a
2
2－
a
2
1 1
又由
a
1
＝
2
得
b
＝，所以
b
1
，
b
2
，
b
3
中至少有两项相同，n
2
a
－1
1
a
1
＋
b
2< br>n
矛盾．
a
1
±
a
2
2－
a2
11
所以
a
1
＝2，从而
b
n
＝＝ 2.所以
a
1
＝
b
1
＝2.
a
2
1
－1
解决此类问题要抓住一个中心——函数，两个密切联系 ：一是数列和
函数之间的密切联系，数列的通项公式是数列问题的核心，函数的解析式是研究
函 数问题的基础；二是方程、不等式与函数的联系，利用它们之间的对应关系进
行灵活的处理．
【巩固练习】１．已知{
a
n
}为等比数列，下面结论中正确的是_______.
22
(1)．
a
1
＋
a
3
≥2
a
2
(2)．
a
2
1
＋
a
3
≥ 2
a
2
(3)．若
a
1
＝
a
3
，则
a
1
＝
a
2
(4)．若
a
3< br>>
a
1
，则
a
4
>
a
2

[解析] 本题考查等比数列通项、简单不等式性质与均值不等式,选(2)．
2.已知等比数列
{a
n
}
中
a
2
?1
， 则其前3项的和
S
3
的取值范围是
______.
1
?
1
[解析]：∵等比数列
{a
n
}< br>中
a
2
?1
∴
S
3
?a
1
?a
2
?a
3
?a
2
?
1?q??1?q???
?
q
?
q
∴当公比
q?0
时，
S
3
?1?q?
1
?1?2q?
1
?3
；
qq
?
1
?
1
?
当公比
q?0时，
S
3
?1?
?
?
?q?
?
?1? 2?q?
?
?
?
??1
∴
S
3
??
??,?1
?
U
?
3,??
?

q
???
q
?
3.等差数列
?
a
n
?中，已知
a
8
?15
，
a
9
?13
， 则
a
12
的取值范围是 .
答案：
(??,7]

拓展
1
．（2012年高考（广东理 ））设数列
?
a
n
?
的前
n
项和为
Sn
,满足
2S
n
?a
n?1
?2
n?1
?1
,
n?
N
*
,
且
a
1
、
a
2
?5
、
a
3
成等差数列.(Ⅰ)求
a
1
的值;(Ⅱ)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(Ⅲ)证明:对一切正整数
n
,有
1113
??L??
.
a
1
a
2
a
n
2

?
2a
1
?a
2
?3
?
1.解析:(Ⅰ)由
?2
?
a
1
?a
2
?
?a
3
? 7
,解得
a
1
?1
.
?
?
2
?
a
2
?5
?
?a
1
?a
3
(Ⅱ )由
2S
n
?a
n?1
?2
n?1
?1
可 得
2S
n?1
?a
n
?2
n
?1
(
n?2
),两式相减,可得
2a
n
?a
n?1
?a
n
?2
n
,即
a
n?1
?3a
n
?2< br>n
,即
a
n?1
?2
n?1
?3
?
a
n
?2
n
?
,所以数列
?
a
n
?2
n
?
(
n?2
)是一个以
a
2
?4< br>为首项,3为公比的等比数列.由
2a
1
?a
2
?3
可得,
a
2
?5
,
所以
a
n
?2
n
?9?3
n?2
,即
a
n
?3
n
?2< br>n
(
n?2
),当
n?1
时,
a
1
?1
,也满足该式子,所
以数列
?
a
n
?
的通项公 式是
a
n
?3
n
?2
n
.
(Ⅲ)因为
3
n
?3
n?1
?2?3
n?1
?2?2
n?1
?2
n
,所以
3
n
?2
n
?3n?1
,所以
?
1
?
1?
??
n
?< br>1
?
?
3
. 于是
1
?
1
?L
?
1
?1?
1
?
L
?
1
?
?
3
?
?
3
?
?
1?
??
?
?
1
a
1
a
2
a
n
33n?1
2
?
?
?
3
?
?
?
2
1?
3
n
11
?
n?1
,
a
n
3
【考纲要求】
1．考查数列的函数性及与方程、不等式相结合的数列综合题．
2．考查运用数列知识解决数列综合题的能力．
【课程类型】

一对一个性化教学
【教学建议】
数列是高中的重要内容，考试说明中，等 差、等比数列都是C级要求，因而
考试题多为中等及以上难度，试题综合考查了函数与方程，分类讨论等 数学思
想．填空题常常考查等差、等比数列的通项公式、前n项和公式及等差、等比数
列的性质 ，考查运算求解能力；解答题综合性很强，不仅考查数列本身的知识而
且还涉及到函数、不等式、解析几 何等方面的知识，基本上都是压轴题．因此希
望同事们多研究全国各省市高考题，精选精练，让学生学有 所获，学有所思，学
有信心，克服数列难的思想。
【复习指导】
1．熟练等差数列与等比数列的基本运算．