高中数学经典题型50道及答案

高中数学习题库（50道题另附答案）
1. 求下列函数的值域：

解法2 令
t
＝sin
x
，则
f
(
t< br>)＝－
t
2
＋
t
＋1，∵ |sin
x
|≤1, ∴ |
t
|
≤1.问题转化为求关于t
的二次函数
f
(
t
)在闭区间[－1,1]上的最
值 ．

本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次

函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换
的思想．善于从不同角度去 观察问题，沟通数学各学科之间的内在联
系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉 ，由
复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是
实现化归段手段。

2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道
的焦点处，当 此慧星离地球相距
m
万千米和
m
万千米时，经过地
球和慧星的直线与 椭圆的长轴夹角分别为
和
，求该慧星与地球
23
4
3
??< br>的最近距离。
解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点
F(?c,0)
处，椭圆的
x
2
y
2
方程为
2
?
2?1
（图见教材P132页例1）。
ab
?
3
??
意 义可知，彗星A只能满足
?xFA?(或?xFA

?)
。作
3312
AB?Ox于B，则FB?FA?m

23
?
ca
2
m?(?c)
?
?
ac
故由椭圆第二定义可知得
?

2
?
4
m?
c
(
a
?c?
2
m)
?
ac3
?
3
c2
a3
22
?c?m.?a?c?c?m.

33
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时， 由椭圆的几何
两式相减得
m??m,?a?2c.代入第一式得m?(4c?c)?c,

1
3
1
2
3
2
答：彗星与地球的最近距离为< br>m
万千米。
说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而2
3

恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个< br>则是远地点，这两点到恒星的距离一个是
a?c
，另一个是
a?c.

（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数
学概念为根基充分体现了数 形结合的思想。另外，数学应用问题的解
决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有 意识
地训练数学思维的品质。

3. A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东 6
Km
，C在B正北偏西
30
?
，相距4
Km
，P 为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种
信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4
s< br>后，B，C才同时发
现这一信号，此信号的传播速度为1
Kms
，A若炮击P地 ，求炮
击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2）
解：如图，以直线BA为
x
轴，线段BA的中垂线为
y
轴建立坐标系，
则
B(?3,0), A(3,0),C(?5,23)
，因为
PB?PC
，所以点P在线段BC的垂直平分线上。
因为
k
BC
??3
，BC中点
D(?4, 3)
，所以直线PD的方程为
y?3?
1
3
(x?4)
（1）
又
PB?PA?4,
故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设
P( x,y)
，则
x
2
y
2
双曲线方程为
??1(x? 0)
（2）。联立（1）（2），得
45
x?8,y?53
，
所以
P(8,53).
因此
k
PA
?
53
?3< br>，故炮击的方位角北偏东
30
?
。
8?3