高中数学必做100题

必修1P(1)

1.试选择适当的方法表示下列集合：
（1）函数
合.
的函数值的集合； （2）与的图象的交点集
参考答案：（1） ……（3分）
，……（5分）
故所求集合为.……（6分）
（2）联立，……（8分）
解得，……（10分）
.……（12分）
，，求、、、
故所求集合为
2.已知集合
.
参考答案：，……（3分）
，……（6分）
，……（9分）
.……（12分）
3.设全集
（1）求，，
，
，
，
；
.

参考答案：
，……（2分）
，……（1分）
，……（3分）
.……（4分）
（2）求
解：
， ， ，；
，……（5分）
，……（6分）
，……（7分）
. ……（8分）
（3）由上面的练习，你能得出什么结论？请结合Venn图进行分析.
解：，……（9分）. ……（10分）
Venn图略. ……（12分）
4.设集合
（1）求，；（2）若
，.
，求实数a的值；（3）若，则的
真子集共有_____个, 集合P满足条件
参考答案：(1))①当
（2分）
②当
③当
分）
(2)：由（1）知，若
(3)若，则
，则
，
或4. ……（8分）
，故
时，
且时，
，
，
，故
，故
，
时，，，故
，写出所有可能的集合P.
，；……
；……（4分）
，. ……（6
，此时的真子集有
7个. ……（10分）

又
（12分）
，满足条件的所有集合有、. ……
5.已知函数.
（1）求的定义域与值域（用区间表示） （2）求证在上递减.
参考答案：（1）要使函数有意义，则，解得. ……（2分）
所以原函数的定义域是.……（3分）
，……（5分）
所以值域为.……（6分）
（2）在区间上任取，且，则
……（8分）
，……（9分）
又，

，……（11分）函数
，……（10分）
在上递减. ……（12分）
6.已知函数
详解：
，求、、的值.

，……（3分），……（6分）
.……（12分）
7.已知函数
（1）证明
值.
参考答案：（1）证明：在区间上任取，且，则有……（1分）
，……（3分）
∵
∴
∴，所以
，，……（4分）
即
在
……（5分）
上是减函数．……（6分）
上单调递减，所以
……（12分）
8.已知函数
（1）求函数
（2）判断
（3）求使
参考答案：（1）
的定义域；
的奇偶性，并说明理由；
成立的的集合.
.
其中．
在
.
上是减函数; （2）当时，求的最大值和最小
（2）由（1）知在区间
若要上式有意义，则
所以所求 定义域为
（2）设
，即. ……（3分）
……（4分）
，则
.……（7分）

所以
（3）
是偶函数. ……（8分）
，即 ，.
当时，上述不等式等价于，解得.……（10分）
当时，原不等式等价于，解得.……（12分）
；当时，原不等式综上所述, 当
的解集为
时，原不等式的解集为
.
9.已知函数.
（1）判断的奇偶性； （2）若，求a，b的值.
参考答案：（1）
（6分）
定义域为R，，故是奇函数. ……
（2）由，则.……（8分）
又log
3
(4a-b)=1，即4a-b=3. ……（10分）
由，解得a=1，b=1. ……（12分）
10.对于函数
在实数a使得
参考答案：(1)
为奇函数.
. （1）探索函数的单调性；（2）是否存
的定义域为R, 设,
则=,……（3分）

,

即,所以不论为何实数
,……（5分）
总为增函数. ……（6分）
……（7分） （2）假设存在实数a使为奇函数,
即
解得:
11.（1）已知函数
零点.
x
f (x)

（2）已知二次方程
值范围.
参考答案：（1）由
分）
－2
－
3.51
,……（9分）
……（12分）
图象是连续的，有如下表格，判断函数在哪几个区间上有
－1.5 －1
1.02 2.37
－0.5
1.56
0
－
0.38
0.5
1.23
1
2.77
1.5
3.45
2
4.89
的两个根分别属于(-1,0)和(0,2),求的取
，，，……（3得到函数在（－2，－1.5）、（－0.5，0）、（0，0.5）内有零点. ……（6分）
（2）设=，则=0的两个根分别属于(-1,0)和(1,2).
所以，……（8分）即， ……（10分）
∴ ．……（12分）
12.某商场经销一批进货单价为40元的商品，销售单价与日均销售量的关系如下
表：
销售单价元 50 51 52 53 54 55 56

日均销售量个 48

46 44 42 40 38 36
为了获取最大利润，售价定为多少时较为合理？
参考答案：由题可知，销售单价增加1元，日均销售量就减少2个.
设销售单价定为x元，则每个利润为（x－40）元，日均销量为
由于，且，得.……（3分）
，.……（8
个.
则日均销售利润为
分）
易知，当，y有最大值. ……（11分）
所以，为了获取最大利润，售价定为57元时较为合理. ……（12分）
13.家用冰箱使用的氟化物的释放破坏了大气上层臭氧层. 臭氧含量Q呈指数函
数型变化，满足关系式，其中是臭氧的初始量. （1）随时间的增
加，臭氧的含量是增加还是减少？ （2）多少年以后将会有一半的臭氧消失？
参考答案：（1）∵
分）
，，， ∴ 为减函数. ……（3
∴ 随时间的增加，臭氧的含量是减少. ……（6分）
（2）设x年以后将会有一半的臭氧消失，则
分）
，即，……（8
两边去自然对数，
解得
，……（10分）
.……（11分）
∴ 287年以后将会有一半的臭氧消失. ……（12分）
14.某工厂今年1月、2月、3月生产某种 产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件，
为了以后估计每个月的产量，以这三个月的产品数据为依 据. 用一个函数模拟产

品的月产量与月份数的关系，模拟函数可选用二次函数
中为常数，且）或指数型函数（其中
（其
为常数），已
知4月份该产品的产量为1.3 7万件，请问用上述哪个函数作为模拟函数较好？
并说明理由.
参考答案：当选用二次函数
∵，由
的模型时，
，有
， 解得
∴.……（5分）
的模型时，
，……（4分）
当选用指数型函数
∵ 由 有
，解得
∴.……（10分）
， ……（9分）
根据4月份的实际产量可知，选用
分）
15.如图，
的面积为
是边长为2的正三角形，记
. 试求函数
作模拟函数较好. ……（12
位于直线左侧的图形
的图象. 的解析式,并画出函数

参考答案：（1）当
如图，设直线与
时，
分别交于、两点，则，
又
……（4分）
（2）当
如图，设直线
时，
与
，，
分别交于、两点，则，
又，

……（8分）
（3）当时，. ……（10分）
……（12分）
16.某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂 量服用，据监测：服药
后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t（小时）之间近似满足如图所示的< br>曲线.
（1）写出服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；
（2）据进一步 测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效.

求服药一次治疗疾病 有效的时间？

参考答案：（1）当0≤t≤1时，y=4t；……（2分）
当t≥1时，，此时在曲线上，
∴，这时. ……（5分）
所以.……（6分）
（2）∵ ， ……（8分）
解得 ，……（10分）∴ .……（11分）
∴ 服药一次治疗疾病有效的时间为个小时. ……（12分）
必修2P(1)
1.圆锥底面半径为1 cm，高为
体的棱长.
参考答案：过圆锥的顶点S和正方 体底面的一条对角线CD作圆锥的截面，得圆
锥的轴截面SEF，正方体对角面CDD
1
C
1
，如图所示. …………………2分
cm，其中有一个内接正方体，求这个内接正方

设正方体棱长为x，则CC
1
=x，C
1
D
1

作SOEF于O，则SO
。

，OE=1，……………………………….5分
， ∴ ，即………..10分
∴ ， 即内接正方体棱长为cm……………………….12分
2.如图（单位：cm），求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积
和体积.
参考答案：由题意知, 所求旋转体的表面积由三部分组成：
圆台下底面、侧面和一半球面. ……………………………………….3分
S
半球
=8π ， S
圆台侧
=35π ，S
圆台底
=25π.
故所求几何体的表面积为68π ………………………………………..7分
由，………9分
…………………………………………….11分

所以，旋转体的体积为……12分

3.直角三角形三边长分别是、、，绕三边旋转一周分别形成三个
几何体. 想象并说出三个几何体的结构，画出它们的三视图，求出它们的表面积
和体积.
参考答案：以绕5cm边旋转为例，其直观图、正视图与侧视图、俯视图依次分
别为：

其表面是两个扇形的表面，所以其表面积为
-----------------3分
；
体积为
分
。………………………………………………….4
同理可求得当绕3cm边旋转时，
分
得当绕4cm边旋转时，
分
。…………………….8
。……………………… ……….12

4.已知空间四边形ABCD中，E
、
H分别是AB、
AD的中点，F
、
G分别是BC
、
CD上的点，且.

求证：（1）E
、
F
、
G
、
H四点共面 ；（2）三条直线EF
、
GH
、
AC交于一点.
参考答案：证明：（1） 在△ABD和△CBD中，
∵ E
、
H分别是AB和CD的中点， ∴ EHBD…………….3分
又 ∵
∴ EH∥FG. 分
， ∴ FGBD.
所以，E
、
F
、
G
、
H四点共面. --------------------------------------------7分
（2）由（1）可知，EH∥FG ，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰，
所以它们的延长线必相交于一点P. ……………………………9分
∵ AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平
面的公共点，
∴ 由公理3知PAC. ………………………11分
所以，三条直线EF
、
GH
、
AC交于一点……..12分

5.如图，∥∥，直线与分别交,,于点和点，求证：
.

参考答案：证明：连结，交于，连…………3分
则由得……………………7分
由得………………..10分
所以………………………..12分
6.如图，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中. （◎P
79
B2）
求证：（1）B
1
D⊥平面A
1
C
1
B； （2）B
1
D与平面A
1
C
1
B的交点设为H，则
点H是△A
1
C
1
B的垂心.

参考答案：（1）连
所以
同理可证
，
，
面
，又
，因此
面
。
，
，所以B
1
D⊥平面A
1
C
1
B。……6分

（2）连

又
也是
，由
，因此点为
是
，得
的外心。
的中心， 为正三角形，所以
的重心。………….…………………. 12分
中，，7.（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥
平面
（1）

求证：
的大小.
，且，点是的中点.
平面； （2）求证：；（3）求二面角
（2）


参考答案：（1）∵ PA⊥平面 ABCD，
∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影.
又∵AB⊥AC，AC平面ABCD， ∴AC⊥PB. ……4分
（2）连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO.
∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点
又 E 是 PD 的中点，∴EO∥PB.
又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，
∴PB∥平面 AEC……………………………..8分
（3）
取AD的中点F，
所以
的中点，连，则
与

对应相等。 是所求二面角的平面角，且

易知由图可知，为所求。……………12分

8.已知，，，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．
参考答案：设点D的坐标为（x,y），由已知得，直线AB的斜率K
ＡＢ
＝
３，……………2分.
直线ＣＤ的斜率K
ＣＤ
＝， 直线ＣＢ的斜率K
ＣＢ
＝－２， 直线ＡＤ的斜
率K
ＡＤ
＝。
……………………………………………………………………………8分
由CD⊥AB，且CB∥AD，得，………11分
所以点Ｄ的坐标是（０，１）……………………………………..12分
9.求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程.
参考答案：因为直线
ｌ
经过点Ｐ（２，３），且在ｘ轴，ｙ轴上的截距相等，所
以
（１）当直线过原点时，它的方程为；……………………………5分
（２）当直线不过原点时 ，设它的方程为
所以，直线的方程为
综上，直线的方程为
由已知得，
。……………………………………….11分
，或者。……………..12分

10.三角形的三个顶点是A（4，0）、B（6，7）、C（0，3）.
（1）求BC边上的高所在直线的方程； （2）求BC边上的中线所在直线的
方程；
（3）求BC边的垂直平分线的方程．
参考答案：（１）所以ＢＣ边上的高所在直线的斜率为又过点
，所以直线的方程为
即；……………………………..4分
（２）BC中点坐标为
。..8分
,所以所在直线的方程为即
（3）易知即为所
求。…………………………………….12分
11.在x轴上求一点，使以点、和点P为顶点的三角形的面积为10.
参考答案：依设，
分
，直线AB的方程是。……….3
在中，设AB边上的高为，则，…………..7分
设
解得
，则P到AB的距离为
或
所以，…………….10分
。……………………………….11分
，或。……. 12分
与之
所以， 所求点的坐标是
12.过点有一条直线l，它夹在两条直线
间的线段恰被点P平分，求直线l的 方程.

参考答案：如图，设直线夹在直线之间的部分是AB，且ＡＢ被平分。
设点Ａ，Ｂ的坐标分别是，则有，………4分
又Ａ，Ｂ两点分别在直线上，所以。…………..8分
由上述四个式子得，即Ａ点坐标是，……….11分
所以由两点式的ＡＢ即的方程为。………………….12分

13.的三个顶点的坐标分别是、、；，求它的外接圆
的方程.
参考答案：设所求圆的方程为，…………….2分
则依设有
所以，
。……………11分
为所求。……………………….12分
上运动，求14.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆
线段AB的中点轨迹 方程.
参考答案：圆的圆心为P(-1,0)，半径长为2，………….4分
线段AB中点为M(x, y). ……………………………………5分

取PB中点N,其坐标为(
∵ M、N为AB、PB的中点,
,)，即N(,)……7分
∴ MN∥PA且MN=PA=1. ……………………………….9分
∴ 动点M的轨迹为以N为圆心，半径长为1的圆.
所求轨迹方程为：……………..12分

15.过点
方程.
参考答案：由
径。……..3分
，所以弦心距为
，所以圆心坐标为，半的直线l被圆所截得的弦长为，求直线l
因为直线被圆所截得的弦长是
，……………….5分
因为直线过点，所以可设所求直线的方程为
。….7分
依设得
，即
。……………………………………………………
…..10分
所以，所求直线有两条，它们分别为

或。即或
。………………………..12分
16.求圆心在直线上，并且经过圆
的交点的圆的方程.
参考答案：解法一：设两圆交点为Ａ，Ｂ，由方程组
与圆
，所以，…………5分
因此ＡＢ的中垂线方程为。由，所求圆心Ｃ的
坐标是。 …………9分
， ……………………10分
所以，所求圆的方程为即
…………12…………5分
解法二：设过圆与圆交点的圆的方程为
，……………………4分
即……………………….6分
其圆心坐标是，………………….8分
因为圆心在
分
上，所以，解得。………10

所以，所求的圆的方程为
……….12分
，即
必修3P(1)
1.设计一个算法求的值，并画出程序框图.
参考答案：
2.对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下.


（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计元件寿命在100～
400 h以内的在总体中占的比例；（4）估计电子元件寿命在400 h以上的在总体
中占的比例.（12分）

参考答案：（1）样本频率分布表如右.-------3分

（2）频率分布直方图如下.
---------6分
（3）元件寿命在100 h～400 h以内的在总体中占的比例为0.65.-----------9分
（4）估计电子元件寿命在400 h以上的在总体中占的比例为0.35. ---------------12
分
3.甲、乙两种玉米苗中各抽10株，分别测得它们的株高如下（单位：cm）：
甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42
乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40
问：（1）哪种玉米的苗长得高？（2）哪种玉米的苗长得齐？（12分）
参考答案：（1）,
.
，即乙种玉米的苗长得高. --------------6分
（2），
.
，即乙种玉米的苗长得高，甲种玉米的苗长得整齐. --------12分
4.假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元），有如下的统计
资料：

（1）回归直线方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？ （参
考：）（12分）
参考答案：（1）

所以回归直线方程为
（2）
分
5.在一次商贸交易会上，商家在柜台开展促 销抽奖活动，甲、乙两人相约同一天
上午去该柜台参与抽奖.
（1）若抽奖规则是从一个装 有6个红球和4个白球的袋中无放回地取出2个球，
当两个球同色时则中奖，求中奖概率； （2）若 甲计划在9：00～9：40之间赶
到，乙计划在9：20～10：00之间赶到，求甲比乙提前到达的 概率.（12分）
----------9分
，即估计用10年时维修费约为12.38万元.---- 12
参考答案：（1）从袋中10个球中摸出2个，试验的结果共有
中奖的情况分为两种：
（种）.
（i）2个球都是红色，包含的基本事件数为；
（ii）2个球都是白色，包含的基本事件数为.
所以，中奖这个事件包含的基本事件数为15+6=21. 因此,中奖概率为
分
. ----5

（2）设两人到达的时间分别为9点到10点之间的x分钟、y分钟.
用

表示每次试验的结果，则所有可能结果为
；
记甲比乙提前到达为事件A，则事件A的可能结果为
.
如图所示，试验全部结果构成区域Ω为正方形ABCD. 而事件A所构成区域是正
方形内的阴影部分.

根据几何概型公式，得到
.
所以，甲比乙提前到达的概率为.------12分
6.（2008年 韶关模拟）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，
将其成绩（均为整数）分成六段，… 后画出如下部分频率
分布直方图. 观察图形的信息，回答下列问题：

（1）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方图；

（3）估计这次考试的及格率（60分及以上为及格）和平均分；
（3）从成 绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，求他们选在同一组的
概率.（12分）
参考答案：（1）因为各组的频率和等于1,故第四组的频率：
.
直方图如右所示.--------4分
（2）依题意，60及以上的分数所在的第三、四、五、六组，频率和为
.
所以，抽样学生成绩的合格率是%.
利用组中值估算抽样学生的平均分

＝
估计这次考试的平均分是71分.---------8分
（3） ，的人数是15，3. 所以从成绩是80分以上（包括80分）
＝71.
的学生中选两人，他们选在同一组的概率为 .--------12分
7.（08年广东卷.文）某初级中学共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表：

已知在全校学生中随机抽取1名，抽到初二年级女生的概率是0.19.
（1）求x的值；
（2）现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在初三年级抽取多少名？
（3）已知y245, z245,求初三年级中女生比男生多的概率.（12分）
参考答案：（1） ， .-----4分
（2）初三年级人数为y＋z＝2000－（373＋377＋380＋370）＝500，

现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在初三年级抽取的人数为：
（名）.----------8分
（3）设初三年级女生比男生多的事件为A ，初三年级女生男生数记为（y，z）；
由（2）知 ，且，基本事件空间包含的基本事件有：
（245，255）、（246，254）、（247，253）、……（255，245）共11个.
事件A包含的基本事件有：
（251，249）、（252，248）、（253，247） 、(254,246)、(255,245) 共5个.
---------12分 < br>8.（09年广东卷.文）随机抽取某中学甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单
位：cm ），获得身高数据的茎叶图如图.
（1）根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；
（2）计算甲班的样本方差；
（3）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm的同学，求身高
为176 cm的同学被抽中的概率.（12分）

参考答案：（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于
中于之间. 因此乙班平均身高高于甲班;-------4分
之间，而乙班身高集
（2）
甲班的样本方差为


（3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；
，
＝57.---8分

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，
176）
（181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，
173）
(178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件.
. --------12分
必修4P(1)
1.已知角a的终边经过P(4,-3).
（1）求2sina－cosa的值； （2）求角a的终边与单位圆的交点P的坐标.
参考答案：（1）∵ ， 。。。。。。。2分
∴ ，. 。。。。。。6分
∴ 2sina－cosa. 。。。。。。。8分
（2）角a的终边与单位圆的交点P的坐标为
分
，即.。。。。12
2.已知，计算：
（1）； （2）； （3）； （4）.

3.求函数的定义域、周期和单调区间.
参考答案：（1）由，解得.
∴ 定义域. 。。。。。3分
（2）周期函数，周期
由
. 。。。。。。6分
，解得
∴ 函数的单调递增区间为.。。。。。12分
4.已知tanα＝，计算：
（1）； （2）.
参考答案：
5.画函数y＝3sin(2x＋
来.
)，x∈R简图，并说明此函数图象怎样由变换而

参考答案：由五点法，列表：


描点画图，如下：。。。。。。。。。。6分

这种曲线也可由图象变换得到，即：y＝sinx

。。。。。。。。。12分
6.某正弦交流电的电压（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是
.
（1）求该正弦交流电电压的周期、频率、振幅； （2）当
瞬时电压；
（3）将此 电压加在激发电压、熄灭电压均为84V的霓虹灯的两端，求在半个
周期内霓虹灯管点亮的时间？（说明 ：加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管
才发光. 取）
，时，求
参考答案：（1）周期
分
， 频率，振幅. 。。。。3

（2）时，（V）；
时，（V）. 。。。。6分
（3）由及，得. 。。。。。9分
结合正弦图象，取半个周期，有，解得.
所以，半个周期内霓虹灯管点亮的时间为
7.平面上三个力、、
（s）.。。。。。12分
，作用于一点且处于平衡状态，
，
角的大小.
与的夹角为，求：（1）的大小； （2）与夹
参考答案：∵三个力平衡，∴F
1
＋F
2
＋F
3
＝0，。。。。。。2分
∴|F
3
|＝|F
1
＋F
2
|＝
＝
＝＝
+1，。。。。。。。。。。。。。。6分
而－F
3
与F
1
的夹角可由余弦定理求得，
cos＜－F
3
，F
1
＞＝
30°. 。。10分
＝，∴－F
3
与F
1
的夹角为
则F
3
与F
1
的夹角为180°－30°＝150°. 。。。。。。12分
8.已知，，
（1）求与的夹角；
（2）若，且，试求.

参考答案：（1）∵
61，
＝
∴
∴
（2）设
＝，。。。。。。4分
.。。。。。。。。。。6分
，则
，解得或.。。。。。10分
所以，或.。。。。。。。12分
9.已知，，求的值.
参考答案：

10.已知
值.
，，，，求的
已知, 0＜β＜, cos(－α)= , sin(+β)= , 求sin(α+β)的值.
参考答案：∵+β－(－α)= +(α+β)，。。。。。。。2分
∴ sin(α+β)=－cos［+(α+β)］=－cos［(+β)－(－α)］=－[cos( +β)cos(

－α)+sin(+β)sin(－α)] 。。。。。4分
∵＜α＜ ＜－α＜ ＜－α＜0，
0＜β＜＜+β＜π.。。。。。。6分
∴ sin(－α)===，。。。。8分
cos(+β)===.。。。。。10分
由(1)得: sin(α+β)=－［×+×()］=.。。。。。12分
11.（1）（07年江苏卷.11）已知
值；
，，求的
（2）已知，，求的值.
参考答案：（1）∵ cos (α＋β)＝cosα cosβ－sinα sinβ＝ ①；
cos (α－β)＝ cosα cosβ＋sinα sinβ＝ ②.。。。。。。。2分
①＋②得cosα cosβ＝， ②－①得 sinα sinβ＝， 。。。。。14分

∴ tanα·tanβ＝＝.。。。。。。。6分

12.已知函数.
（1）

求它的递减区间； （2）求它的最大值和最小值.
参考答案：
13.已知函数.

（1）求的最小正周期； （2）当时，求的最小值以及取得最
小值时x的集合.

参考答案：

14.已知函数
（1）求常数a的值； （2）求使
的最大值为1.
成立的x的取值集合.
参考答案：

15.（2009年广东卷.理16）已知向量与互相垂直，其中
．
（1）求和的值；
（2）若，求的值.

参考答案：（1）∵与互相垂直，则，。。。2分
即
分
，代入，解得.。。。。6
又，∴.。。。8分
（2）∵，，∴，
则.。。。。。。10分
∴.。。。。。12分
16.已知
（1）求 及； （2）求函数
，且.
的最小值.
参考答案：（1）， 。。。。2分




.。。。。。4分
∵， ∴. ∴. 。。。。6分

（2）
.
必修5P(1)
1.在△ABC中，已知，，B=45° ，求A、C及c.
参考答案：解一：根据正弦定 理，
∵B=45°<90°，且b. ……（3分）
当A=60°时，C=75°，；……（9分）
当A=120°时，C=15°，
解二：根据余弦定理，.
. ……（12分）
将已知条件代入，整理得，解得. ……（6分）
当时，，
从而A=60° ，C=75°； ……（10分）
当时，同理可求得：A=120° ，C=15° . ……（12分）
，判断△ABC的形状. 2.在△ABC中，若
参考答案：， ，
……（4分）

化简得：
①若
②若
所以
时，
，
，即
，此时
，此时
是等腰三角形；
是直角三角形，
. ……（9分）
是等腰三角形或直角三角形. ……（12分）
ab. 3.在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且a
2
＋b
2
＝c
2
＋
（1）求C； （2）若，求A．
参考答案：（1）∵ a
2
＋b
2
＝c
2
＋ab， ∴ ，
∴ cosC＝， ∴ C＝45°. ……（6分）
（2）由正弦定理可得， ∴
∴ sinBcosC＝2sinAcosB-sinCcosB， ∴ sinBcosC＋sinCcosB＝2sinAcosB，
∴ sin(B＋C)＝2sinAcosB， ∴ sinA＝2sinAcosB. ……（9分）
∵ sinA≠0， ∴ cosB＝， ∴ B＝60°， A＝180°－45°－60°＝75°. ……
（12分）
4.如图，我炮兵阵地位于A处 ，两观察所分别设于C，D，已知△ACD为边长等
于a的正三角形．当目标出现于B时，测得∠CDB ＝45°，∠BCD＝75°，试求

炮击目标的距离AB．（结果保留根式形式）

参考答案：在中，，.
∴
在中，
. ……（5分）
，
.
∴ . ……（12分）
5.如图，一架直升飞机的航线和山 顶在同一个铅直平面内，已知飞机的高度为海
拔10千米，速度为180千米小时，飞行员先看到山顶的 俯角为
钟后又看到山顶的俯角为，求山顶的海拔高度.
，经过2分

参考答案：在
（3分）
中，，，. ……

根据正弦定理，， ， . ……（6分）
. ……（10分）
所以，山顶P的海拔高度为
6.已知数列
（千米）. ……（12分）
给出. 的第1项是1，第2项是2，以后各项由
（1）写出这个数列的前5项；
（2）利用上面的数列
列的前5项.
，通过公式构造一个新的数列，试写出数
参考答案：⑴由

； ……（5分）
，得，
⑵依题意有：，，，，
. ……（12分）
7.已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是
等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
参考答案：⑴①当时，； ……（2分）
②当
分）
时，由得 ……（7
又满足，所以此数列的通项公式为. ……（9分）

⑵因为，
所以此数列是首项为，公差为2的等差数列. ……（12分）
8.（09年福建卷.文17 ）等比数列
（1）求数列
（2）若
及前项和
的通项公式；
分别为等差数列
.
的公比为， 由已知得，解得. ……（3分）
的第3项和第5项，试求数列的通项公式
中，已知.
参考答案：（1）设
所以
（2）由（1）得
. ……（4分）
，，则，. ……（6分）
设
从而
的公差为，则有解得
. ……（10分）
. ……（9分）
所以数列的前项和. ……（12分）
9. 如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么它的前15
项的和等于多少？
解法一：
又
所以
，
成等比数列，所以
. ……（12分）
， ……（3分）
， ……（8分）
解法二：设等比数列的首项为，公比为，则：
==①，

同理
入②，得
②，因为，所以由①得
.
，所以，代
10.已知数列
（1）求
的前项和为，
是等比数列.
.
（2）求证：数列
参考答案：（1），解得. ……（2分）
由，解得. ……（5分）
（2），则， ……（8分）
整理为
11.已知不等式
（1）求
集.
，即，所以是等比数列. ……（12分）
的解集是B.
求的解
的解集为A，不等式
的解集是； （2）若不等式
参考答案：（1）解
解得，所以
得，所以
. ∴
. ……（3分）
. ……（6分）
（2）由
分）
∴
的解集是，所以，解得 ……（9
，解得解集为R. ……（12分）
12. 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出
30盏；若售价每提高1元， 日销售量将减少2盏. 为了使这批台灯每天获得400
元以上的销售收入，应怎样制定这批台灯的销售 价格（不能低于15元）？

参考答案：设每盏台灯售价元，则
即，所以售价在. ……（12分）
……（6分）
13.电视台应某企业之约播放两套连续剧. 其中，连续剧甲每次播放时间为80
min，广告时间为1 min，收视观众为60万；连续剧乙每次播放时间为40 min，
广告时间为1 min，收视观众为20万. 已知此企业与电视台达成协议，要求电视
台每周至少播放6 min广告，而电视台每周播放连续剧的时间不能超过320分钟.
问两套连续剧各播多少次，才能获得最高的收视率?
参考答案：将所给信息用下表表示.

设每周播放连续剧甲x次，播放连续剧乙y次，收视率为z. 则目标函数为
z=60x+20y，
约束条件为，作出可行域如右图. ……（5分）

作平行直线系
分）
，由图可知，当直线过点A时纵截距最大. ……（6
解方程组
分）
，得点A的坐标为(2，4)，z
max
=60x+20y=200 (万). …（11

所以，电视台每周应播放连续剧甲2次 ，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收
视率.
14. 已知为正数.
（1）若，求的最小值；（2）若，求的最大值.
参考答案：（1）∵ ，
∴ ≥. ……（4分）
当且仅当时，上式取等号. 所以的最小值为. ……（6分）
（2）. ……（10分）
当且仅当即时等号成立. ……（12分）
15.某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800 m
3
，深为3 m ，如果
池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池
能使总 造价最低？最低总造价是多少元？
参考答案：设水池底面一边的长度为x m，则另一边的长度为
池总造价为y元. 根据题意，得
m，又设水
y＝150×＋120（2×3x＋2×3×） ……（4分）
＝240000＋720（x＋） ……（6分）
≥240000＋720×2＝240000＋720×2×40＝297600. ……（9分）
当x＝，即x＝40时，y有最小值297600. ……（11分）

因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造
价是297600元.
16.（2005年北京 春招）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽
车的车流量（千辆小时）与汽车的平均速度 （千米小时）之间的函数关系
为：．
（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为
多少？
（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆小时，则汽车的平均速度应在什么范围
内？
参考答案：（1）依题意得
当且仅当即时取等号．故
． ……（4分）
千辆 小时． ……（6分）
（2）由条件得
整理得
解得
选修1-1P(1)
1. 已知
件，求实数
,
的取值范围.
．……（8分）
． ……（10分）
． ……（12分）
, 若的必要不充分条
参考答案：∵﹁p 是﹁q必要不充分条件， ∴ ，即.……（3分）
解
解
即
得
变形为
，即：. ……（6分）
，解得，
. ……（9分）

由，则
的取值范围
，解得.
所以实数。 ……（12分）
选修1-1P(1)
1. 设函数.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）求函数f(x)的极大值和极小值.
参考答案：∵ f′(x)=－x
2
+4x－3=－(x－3)(x－1), ……（2分）
（1）由f′(x)>0，解得：13，
则函数f(x)的单调递增区间为（1, 3），单调递减区间为（－∞，1）和（3，+∞）. ……
（6分）
（2）由f′(x)=0，解得：x=1或x=3. 列表如下：……（9分）
x
f′(x)
f(x)

(－∞，1)
—
单调递减
↘
1
0
(1, 3)
+
单调递增
↗
3
0
0
(3,+ ∞)
—
单调递减
↘
－
∴函数f(x)的极大值为0，极小值为－.……（12分）
2.点
的轨迹. < br>与定点的距离和它到直线的距离的比是常数，求M
参考答案：设是点到直线的距离，根据题意得， 点的轨迹就是
集合，……（4分）
由此得。将上式两边平方，并化简，得。即

。……（9分）
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的椭圆。. ……（12分）
3. 双曲线的离心率等于
程.
，且与椭圆有公共焦点，求此双曲线的方
参考答案：椭圆
，……（3分）
焦点为，根据题意得双曲线的焦点为
设双曲线的标准方程为，且有。……（6分）
又由，得，得，……（10分）
所求双曲线的方程为。……（2分）
4. 倾斜角为的直线l经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A、B两点，
求线段AB的长.
参考答案：设
由抛物线的定义可知
。……（3分）
，到准线的距离分别为
，于是
，
由已知得抛物线的焦点为
。……（6分）
将代入方程，得
，斜率，所以直线 方程为
，化简得。由求根公式得
，……（9分）
于是。所以，线段AB的长是8。……（12分）

5.当从到变化时，方程
时，，方程
表示的曲线的形状怎样变换？
表示圆心在原点的单位圆。……参考答案：当
（3分）
当
（5分）
当时，
时，，方程表示圆心在原点的单位圆。……
，方程，得表示与轴平行的两条直线。……
（7分）
当
（9分）
当时，，方程表示焦点在轴上的等轴双曲线。……< br>时，，方程表示焦点在轴上的双曲线。……
（12分）
6.一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，拱顶距离水面6.5米.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱桥所在抛物线的方程；
（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥？

参考答案：（1）设抛物线方程
由题意可知，抛物线过点
， 解得，
. ……（6分）
.……（2分）
，代入抛物线方程，得
所以抛物线方程为
（2）把代入，求得. ……（9分）
而，所以木排能安全通过此桥. ……（12分）

7.已知椭圆C的焦点分别为F
1
（，0）和F
2
（2，0），长轴长为6，
设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点. 求：（1）线段AB的中点坐标； （2）
弦AB的长.
参考答案：设椭圆C的方程为
=1. ……（3分）
，由题意a=3，c=2，于是b=
∴ 椭圆C的方程为＋y
2
＝1．……（5分）
联立方程组，消y得10x
2
＋36x＋27＝0，
因为该二次方程的判别式Δ＞0，所以直线与椭圆有两个不同的交点，……（9
分）
设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则x
1
＋x
2
＝，故线段AB的中点坐标为
（）．……（12分）
上求一点P，使得点P到直线的距离最短, 并求8.在抛物线
最短距离.
参考答案：设与直线
.……（3分）
平行，且与抛物线相切的直线为
由
∴
， 消x得
，解得
.……（5分）
，即切线为.……（7分）
由，解得点. ……（9分）
∴ 最短距离.……（12分）

9.点M是椭圆
F
1
MF
2
的面积.
上的一点，F
1
、F
2
是左右焦点，∠F
1
MF
2
=60?，求△

参考答案：由
根据椭圆定义，有
在△F
1
MF
2
中，由余弦定理，得到
.
即 ，……（7分）
，得a=8，b=6，
.……（5分）
.……（3分）
，
解得.……（10分）
△F
1
MF
2
的面积为：
分）
10.（06年江苏卷）已知三点P（5，2）、
（1）求以、（－6，0）、
.……（12
（6，0）.
关于为焦点且过点P的椭圆的 标准方程；（2）设点P、、
、、，求以、为焦点且过点直线y＝x的对称点分别为
标准方程。
的双曲线的
参考答案：（1）设所求椭圆方程为
分）
(a>b>0),其半焦 距c=6，……（2
……（4分）

∴,b
2
=a
2
-c
2
=9. 所以所求椭圆的标准方程为． ……（6分）
（2）点P(5,2)、F
1
(-6,0)、F
2
(6,0)关于直线y=x的对称点分别为点P
，
(2，5)、
F
1

，
(0，-6)、F
2

，
(0，6). ……（8分）
设所求双曲线的标准方程为，由题意知，半焦距c
1
=6，
,b
1

2
=c
1

2
-a
1

2
=36-20=16. ，
所以，所求双曲线的标准 方程为
11.已知函数
（1）求函数
（2）求曲线
参考答案：
（1）令
（6分）
（2）因为
所以曲线
，
在点
，即
．……（12分）
（为自然对数的底）.
的单调递增区间；
在点处的切线方程.
，因此有……（3分）
，即函数的单调递增区间是；……
，……（9分）
处的切线方程为
.……（12分）
12.（06年福建卷）已知函数
为
（1）求函数
.
的图象在点处的切线方程
的解析式；（2）求函数的单调区间.
参考答案：（1）
又函数的图象在点
，.……（2分）
处的切线方程为x+2y+5=0， ……（4分）

所求函数解析式为.……（6分）
（2）
当或时，
解得
当时，
……（8分）

在
增函数. ……（12分）
13. 已知a为实数，
（2）若
（3）若在
，求
和
和内是减函数，在内是< br>，（1）求导数
在
；
上的最大值和最小值；
上都是增函数，求a的取值范围. （☆P
45
例3）
=，所以参考答案：（1）因为
.……（3分）
（2）由，得 ， 此时有 所以
……（5分）
由，得或,又因为，
所以
（3）
在上的最大值为，最小值为.……（8分）
的图象为开口向上且过点（0，-4）的抛物线.
由条件得
.……（12分）
即，解得. 所以的取值范围为

14.（ 2005年全国卷III.文） 用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖
的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后 把四边翻转90°角，再焊接而成
（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大?最大容积是多少 ?

参考答案：设容器的高为x，容器的体积为V，……（1分）
则V=（90-2x）（48-2x）x，（0=4x
3
-276x
2
+4320x
∵V′=12 x
2
-552x+4320
令V′=12 x
2
-552x+4320=0得x
1
=10，x
2
=36. ……（8分）
∵令V′>0得x>36或x<10 ；令V′<0得10函数在
又
分）
=0，
上递增，在上递减. 当x=10时，V有极大值=19600.
=0， 所以当x=10时，V有最大值=1960 0cm.……（12
15.（2006年江西卷）已知函数
（1）求a、b的值与函数
（2）若对
参考答案：（1）
的单调区间.
在与时都取得极值，
时，不等式恒成立，求c的取值范围.
，.……（3分）
由，得a＝
，当x变化时，
，b＝－2
、
的变化情况如下表：

函数
（6分）
＝x
3
－x
2
－2x＋c
的递增区间是（－?，－）和（1，＋?）；递减区间是（－，1）. ……
（2），……（8分）
又＝，， ，＝c+2.
＝c+2为最大值. ……（10分）
要使
分）
在恒成立，只需＝c+2，解得c<－1或c>2. ……（12
选修1-2P(1)

1.考点：①会画散点图②能利用公式求线性回归方程
某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：

（1）画出散点图；
（2）求回归直线方程；
（3）据此估计广告费用为9万元时，销售收入的值．
参考公式：回归直线的方程，其中
.

参考答案：（1）作出散点图如下图所示：

（2）
，，
，
.
，
，
因此回归直线方程为
（3）时，预报的值为
；
（万元）．
．
2.考点：①会根据数据绘制
（独立性检验）
列连表②能利用公式判断 两个量之间的相关性
甲乙两个班级均为40人，进行一门考试后，按学生考试成绩及格与不及格进行统计，甲班及格人数为36人，乙班及格人数为24人.
（1）根据以上数据建立一个的列联表；
（2）试判断是否成绩与班级是否有关？
参考公式：；

参考答案：（1）2×2列联表如下：

（2）
由

，所以有99.5%的把握认为“成绩与班级有关系”.

3.考点：合情推理及证明
已知，分别求，，，然后归纳猜
想一般性结论，并证明你的结论.
参考答案：由，得
；；
.
归纳猜想一般性结论为
证明如下：
.

4. （同上）考点：合情推理及证明
（1）若三角形的内切圆半径为r，三边的长分别为a ，b，c，则三角形的面积
，根据类比思想，若四面体的内切球半径为R，四个面的面积分
别为 ，则此四面体的体积V=________.
的两边互相（2）（2003年全国卷）在平面几何里有勾股定理：“设
垂直，则.” 拓展到 空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱
锥的侧面面积与底面面积之间的关系，可以得出的正确结论是 ：“设三棱锥
的三侧面两两垂直，则__________.”
的
为底面的四
参考答案：（1）设四面体内切球的球心为O，则球心O到四个面
距离都是R，所以四面体的体积等于 以O为顶点，分别以

个三棱锥体积的和.
所以，.
. 证明如下： （2）线的关系类比到面的关系，猜测：
如图作连，则.


5.考点：综合法、分析法、反证法的步骤和格式
试分别用综合法、分析法、反证法等三种方法，证明下列结论： 已知，
则.
参考答案：分析法：
反证法：假设
∵
盾.
， ∴
，通分得
， 整理得
.
，这与平方数不小于0矛
∴ 假设不成立， 则
综合法：由，变形得
.
.
∵ ， ∴ ， 即.

6.考点：证明方法的合理利用
已知
中项.
，，的等差中项，是的等比
求证：（1）
参考答案：证明：（1）∵
∴
①
2
－②×2，可得
； （2）
与的等差中项是
， ②
.
，等比中项是，
， ①
， 即.
∴
.
， 即.故证得
（2）要证，只需证，
即证
.
由（1）的结论，
，即证，只需证
显然成立. 所以，.
7.考点：①复数的运算②复数的共轭
（1）已知，，，求z.
（2）已知，求z及.

参考答案：（1），
，故
（2）

8.考点：复数的几何意义（对应复平面上的点）
已知z是复数，z+2i、均为实数，且复数在复平面上对应的点在第一
象限，求实数a的取值 范围.
参考答案：根据题意，设复数z=c+di,
则z+2i=c+(d+2)i为实数，即,解得 所以.
又
而
为实数，即
对应的点在第一象限，
.
, 解得2所以实数a的取值范围是29.考点：利用空间向量解决立体 几何问题（涉及空间直角坐标系的建立、空间点
坐标的表示、空间向量数量积的运算、平面向量定理、空 间向量垂直的判定）
如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，，）
．
（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；

（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．

参考答案：（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐
标系，则
A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）.
设P（0，0，2m），则E（1，1，m）.
∴ （-1，1，m），＝（0，0，2m），
∴ ，，解得.
∴ 点E坐标是（1，1，1）.
（2）∵ 平面PAD， ∴ 可设F（x，0，z）
，-1，
，-1，0，2，-2
＝（x-1，-1，z-1）.
2，0，
.
. ∵ EF⊥平面PCB ，∴
∵ ， ∴
∴ 点F的坐标是（1，0，0），即点F是AD的中点．
另解：由平面向量定理，设，即

10.考点：①求概率②求随机变量的分布列和期望
，即
（07年北京高考.理1 8）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益
活动（以下简称活动）．该校合唱团共有10 0名学生，他们参加活动的次数统计
如图所示．
（1）求合唱团学生参加活动的人均次数；
（2）从合唱团中任意选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率．
（3）从合唱团 中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，

求随机变量的分布列及数学 期望．

参考答案：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为10、 50
和40．
（1）该合唱团学生参加活动的人均次数为
．
（2）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
．
（3）从 合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2
次活动”为事件，“这两人中一 人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件，
“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动” 为事件．易知
；
；
的分布列：

的数学期望：．

11.考点：数学归纳法（步骤）
数列满足．（
，并由此猜想
，
为前n项和）
；（2）用数学归纳法证明（1）中的结论．
,
（1）计算
参考答案：（1）
，, ，,
，,
猜想.
（2）证明：①当n=1时，，猜想结论成立.
②假设当
当n=k+1时
时结论成立，即
=2
.
，
， =.
所以当n=k+1时，猜想结论成立.
由（1）和（2）可知，对一切结论成立.
12.考点：绝对值不等式（涉及分段函数的图像）
（2007年宁夏、海南.理）设函数
（1）解不等式
（2）求函数
；
的最小值．
．

参考答案：（1）令，则

作出函数的图象，
它与直线的交点为和．
所以的解集为。

（2）由函数

的图像可知，当时，取得最小值．