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高中数学创新题集锦

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 01:44
tags:高中数学题

2018高中数学全国联赛江苏赛区-高中数学选修2-3课时练答案


才智教育高中数学内部材料
(1)函数部分新创题5道
1.已知映射f:A →B,其中A=B=R,对应法则f:x→y=x
2
-2x+2.若对实数k∈B,在集合A中 不存在
原象,则k的取值范围是 ____________.
2. 如图是函数f(x)= x
3
+bx
2
+cx+d的大致图象,则x
1
+x
2
2
等于 ____________.






3. 函数f(x)=log
a
x (a>0,a≠1),若f(x
1
)-f(x
2
)= 1,则f(x
1
)-f(x
2
)等于 ____________. 4.汽车在行驶中,汽油平均消耗率g(即每小时的汽油消耗量,单位:Lh)与汽车行驶的平均
2 2
2
1
速度v(单位:kmh)之间有函数关系:g=
2500
(v-50)
2
+5 (0“汽油的使用率最高”为每千米汽油平 均消耗量最小(单位:Lkm),则汽油的使用率最
高时,汽车速度是 (kmh).
5. 某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3 000元时,可全部租出 .当每辆车的月
租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费200元 .
(1)当每辆车的月租金定为3 600元时,能租出多少辆车?
(2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元?










才智教育高中数学内部材料
(2)数列部分新创题4道
1.若等比 数列{a
n
}对一切正整数n都有S
n
=2a
n
-1,其中 S
n
是{a
n
}的前n项和,则公比q的值
为 ____________.
2. 等差数列{a
n
}的通项公式是a
n< br>=1-2n,其前n项和为S
n
,则数列{
____________.
3. 等差数列{a
n
}中有两项a
m
和a
k
满足 a
m
=
S
n
}的前11项和为
n
11
,a
k
=,则该数列前mk项之和是 .
km
ax
2
?bx?1
4. 设f(x)= (a>0)为奇函数,且 |f(x)|
min
=2
2
,数列{a
n
}与{b
n
}满足如下关系:
x?c
a
1
=2, a
n+1
=
f(a
n
)?a
n
a?1
.
,b
n
?
n
2a
n
?1
1
n).
3
(1)求f(x)的解析表达式;
(2)证明:当n∈N
+
时,有b
n
?(












才智教育高中数学内部材料
(3)三角部分新创题4道
1.若



y
3?
x
=1必不经过____________.
???2?< br>,则直线
?
2
cos?sin?
?
tanx,x?0
?
2.若函数f(x+2)=
?
,则f(+2)f(-98)等于_________ ___.
4
?
lg(?x),x?0



3.若
tan??1
?3?22
,则sin2α= .
tan??1





4.函数的性质通常指函 数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等,请选择适当的探
究顺序,研究函数f(x)=
图.




















1-sinx+1+sinx的性质,并在此基础上,作出其在
[??
,
?
]
的草


才智教育高中数学内部材料
(4)向量部分新创题4道

1.已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足
111
OP
= (
OA
+
OB
+2
OC
),则点P一定为三角形ABC的 ( )
322
边中线的中点 边中线的三等分点(非重心)
C.重心 边的中点
2. 已知向量a=(2cosα,2sinα), b=(3cosβ,3sinβ),其夹角为60°,则直线xcosα-ysinα+
1
=0
2
与圆(x-cosβ)
2
+(y+sinβ)
2
=
1
的位置关系是 .
2


3.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算,我们知道:
(1)若两点等分单位圆时,有 相应关系为:
sin??sin(???)?0,cos??cos(???)?0
(2)四点 等分单位圆时,有相应关系为:
?3?
sin??sin(??)?sin(???)?si n(??)?0,
22

?3?
cos??cos(??)?sin(??? )?cos(??)?0
22
由此可以推知三等分单位圆时的相应关系为: .
4.已知向量m=(cosθ,sinθ)和n=(
(1)求|m+n|的最大值;
(2)当|m+n|=
2
-sinθ,cosθ),θ∈[π,2π].
??
82
时,求cos(
?
)的值.
28
5






才智教育高中数学内部材料
(5)不等式部分新创题4道

1.若函数f(x)=min{3+log
1
x,log
2
x},其中min {p,q}表示p,q两者中的较小者,则f(x)<2的解
4
集为 ____________.



2.点集{(x,y)|||x|-1 |+|y|=2}的图形是一条封闭的折线,这条封闭折线所围成的区域的面积是
____________.




3.如果不等式f (x)=ax
2
-x-c>0的解集为{x|-2





< br>4.实系数方程f(x)=x
2
+ax+2b=0的一个根在(0,1)内,另一个根在 (1,2)内,求:
b?2
(1)的值域;
a?1
(2)(a-1)
2
+(b-2)
2
的值域;
(3)a+b-3的值域.









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(6)直线与圆部分新创题4道
1.在坐标平面上,横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点, 对任意自然数n,连结原点O与
点A
n
(n,n+3),用f(n)表示线段OAn
上除端点外的整点个数,则f(2007)= ____________.
2.已 知函数f(x)=x
2
-4x+3,集合M={(x,y)|f(x)+f(y)?0},集合 N={(x,y)|f(x)-f(y)?0},则集合M
∩N的面积是 ____________.
3.直线ax+by-1=0(a,b不全为0),与圆x
2< br>+y
2
=50有公共点,且公共点的横、纵坐标均为整数,
那么这样的直线有 ____________.
4.直线x=a,y=x将圆面x
2
+y
2< br>?4分成若干块,现用5种不同的颜色给这若干块涂色,且共边
的颜色不同,每块涂一色,共有2 60种涂法,则a的取值范围是 .

















才智教育高中数学内部材料
(7)圆锥曲线新题原创4道

1.在直角坐标系中,若方程m(x
2+y
2
+2y+1)=(x-2y+3)
2
表示的曲线是双曲线,则m的 取值范
围为 ____________.
2.已知曲线f(x)=x
3
+x
2
+x+3在x= -1处的切线 恰好与抛物线y=2px
2
相切,则过该抛物线的焦
点且垂直于对称轴的直线与抛物线 相交得的线段长度为____________.
3.设A={(x,y)|(x-1)
2< br>+y
2
?25},B={(x,y)|(x+1)
2
+y
2< br>?25},C
t
={(x,y)||x|?t,|y|?t,t>0},则满足C
t
A∩
B时,t的最大值是 ____________.
4.已知平面上两点 M(-5,0)和N(5,0),若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直
线为“单曲型 直线”,下列直线中是“单曲型直线”的是 ( )
4
①y=x+1;②y=2;③y=x;④y=2x+1.
3
A.①③ B.①② C.②③ D.③④















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(8)空间图形新题原创5道
1.有六根细木棒,其中较长的两根分别为
3
a、
2
a,其余四根均为a,用它们搭成三棱锥,
则其中两条较长的棱所在的直线的夹 角的余弦值为 ____________.










2.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各 个面都是边长为a的正三角形,这样的两个
m
多面体的内切球的半径之比是一个最简分数,那么 积m·n是 ____________.
n











3.已知平面α∥平面β,直线l< br>?
α,点P∈l,平面α、β间的距离为8,则在β内到点P的距
离为10且到直线l的 距离为9的点的轨迹是 ( )
A.一个圆 B.两条直线 C.四个点 D.两个点
4. 空间 (填:“存在”或“不存在 ”)这样的四个点A

B

C

D,使得AB=CD=8
cm,AC=BD=10cm,AD=BC=13cm.
5.不共面的三条定直线l
1
,l
2
,l
3
互相平行,点A在l
1
上,点B在 l
2
上,C、D两点在l
3
上,若
CD=a(定值),则三棱锥A< br>—
BCD的体积 ( )
A.由A点的变化而变化 B.由B点的变化而变化
C.有最大值,无最小值 D.为定值



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集合与简易逻辑部分新题原创3道
1. 已知集合S={x||2x-1|<1},则使(S∩T)
?
(S∪T)的集合T= ____________.
2.设A、B是非空集合,定义A×B={x|x∈A∪B且x
?
A∩B}.已知
A={x|y=
2x?x
2
},B={y|y=2
x
,x>0},则A×B等于 ____________.
3.已知集合A={ (x,y,z)|x,y,z∈S,且x(1)当z=k+1(1?k?n)时,求集合A的元素个数;?
(2)当x(3)由(1)、(2)能得到一个关于自然数的恒等式,试证明你的结论.






排列、组合、概率部分新题原创3道

1.一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位.现让3个大人和3个小孩入座进餐,
要求 任何两个小孩都不能坐在一起,则不同的入座方法总数为 ( )?
?A.6 ?B.12 C.72 D.144?
2.设a、b、m为整数(m>0),若a和b被m除得的余数相同,则称a和b对模m 同余.记为a
219
2
20
≡b(modm).已知a=1+C
1< br>2+C
3
·2+?+C·2,b≡a(mon10),则b的值可以是 ( )
20
+C
20
·
2020
?A.2 015 B.2 011 C.2 008 D.2 006?
3.某游戏中,一个珠子从如图所示的通道由上至下滑下,
从最大面的六个出口出来,规定猜中出口者为胜.如果你
在该游戏中,猜得珠子从出口3出来,那么你取胜的概率为
( )?
551
?A. B. C. D.以上都不对?
166
32



才智教育高中数学内部材料
数学月刊三月号

复数部分新题原创3道
n
?
1?i
??
1?i
?
1.设f(n)=
??
?
??
(n?
N),则集合{x|x =f(n)}中元素的个数是 ( )
1?i1?i
????
n
A.1 B.2 C.3 D.无穷多个


2.已知方程x
2
+(4+i)x+4+ai=0(a
?
R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于 ( )
A.2-2i B.2+2i C.-2+2i D.-2-2i


3.对于任意两个复数z
1
=x
1< br>+y
1
i,z
2
=x
2
+y
2
i (x
1
、y
1
、x
2
、y
2
?
R ),定义运算“⊙”为:z
1
⊙z
2
=x
1
x
2< br>+y
1
y
2
,
设非零复数ω
1
、ω
2
在复数平面内对应的点分别为P
1
、P
2
,点O为坐标原点,如果 ω
1
⊙ω
2
=0,那么在△P
1
OP
2
中 ,∠P
1
OP
2
的大小为 .




























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12)概率与统计新题原创4道
1.设 随机变量的分布列为下表所示且
E
?
?1.6
,则
a?b?
( )
?

p

0
0.1
1 2 3
0.1
a

b

A.0.2 B.0.1 C.-0.2 D.-0.4
2.新入大学的甲刚进校时购买了一部新手机,他把手机号码抄给同学乙.第二天,同学乙给
他打电话时 ,发现号码的最后一个数字被撕掉了,于是乙在拨号时随意地添上最后一个数字,
且用过了的数字不再重 复.
(理)则拨号次数ξ不超过3次而拨对甲的手机号码的数学期望是 .?
(文)则拨号不超过3次而拨对甲的手机号码的概率是 .?



3.设某公司拥有三支获利是独立的股票,且三种股票获利的概率分别 为0.8、0.6、0.5,求
(1)任两种股票至少有一种获利的概率;(2)三种股票至少有一种股 票获利的概率.




4.在添加剂的搭配使用中,为了找到最 佳的搭配方案,需要对各种不同的搭配方式作比较。
在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加 剂。现有芳香度分别为0,1,2,3,4,
5的六种添加剂可供选用。根据试验设计原理,通常首先要 随机选取两种不同的添加剂进行
搭配试验。用
?
表示所选用的两种不同的添加剂的芳香 度之和。
(Ⅰ)写出
?
的分布列;(以列表的形式给出结论,不必写计算过程) < br>(Ⅱ)求
?
的数学期望
E
?
。(要求写出计算过程或说明道理 )






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(13)导数新题原创4道
1.函数y=f(x)的图象过原点且它的导函数y=f′(x)
的图象是如图所示的一条直线,y=f(x)的图象的
顶点在 ( )
A.第Ⅰ象限 B.第Ⅱ象限
C.第Ⅲ象限 D.第Ⅳ象限



2. 在半径为R的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_________时它的面积最大.









3.已知b??1,c?0
,函数
f(x)?x?b
的图象与函数
g(x)?x< br>2
?bx?c
的图象相切。求
b与c的关系式(用c表示b)







4. 已知a、b为实数,且b>a >e,其中e为自然对数的底,求证:a
b
>b
a
.

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