高中数学数形结合习题

1. 若对任意
x?R
，不等式
A．
a??1
B．
x≥ax
恒成立，则实数
a
的取值范围是（ ）C
C．
a≤1

a?1
D．
a≥1

22
x?y?4x?4y?10?0
上至少有三个不同点到直线
l
:
ax?by?0
的距离为
22
,2．若圆
?
5
?
则 直线
l
的倾斜角的取值范围是 ( ) [
1212
]
,
x,x(x?x
2
)
3．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1,2)
上的任意
121
，
|f(x
1
)?f(x< br>2
)|?|x
2
?x
1
|
恒成立”的只有 （ ）A
f(x)?
（A）

1
x
（B）
f
?
x
?
?|x|
x
f(x)?2
（C）
2
f(x)?x
（D）
4. 若直线
y?x?k
与曲线
x?1?y
恰有一个公共点，则
k
的取值范围是 ( )
2
k??2
或(-1,1]
4.
y?x?k

表示一组斜率为1的平行直线，
x?1?y

表示y轴的右半圆。如图可知，
[简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题
可以进一步拓展，
x??1?y
，
y??1?x
2
等。 < br>5．若关于x的方程
x?4x?5?m
有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为__ ______。
2
2
2
1?m?5


题型解析
例1．方程sin2x=sinx在区间（0，2π）解的个数为（ ） y
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 g
o f x

分析：解方程f（x）=g（x）的问题归结为两个函数y=f（x）
与y=g（x）的交点横坐标，特别是求方程近似解时此方法非常有效。


1

解:如图 在同一坐标系内，作出y=sin2x，x∈(0 ,2π)；g=sinx，x∈(0,2π)的图有三个
交点，故方程sin2x=sinx在(0,2 π)内有三个解。
一般情况下将方程化为一端为曲线，一端为动直线时，解题较为简单，考查逻辑思维 能
力与计算能力，还体现了化归与转化和分类讨论的思想。
练习 设f(x)是定义在R上以 2为周期的函数,对于K∈Z用
Z
k
表示区间(2k-1,2k+1),已知x
∈
Z
0
时,有f(x)=
x
。
(1) 求f(x)在
Z
k
上的解析式。
(2) 对于自然数K,求集合
M
K
={a|使方程f(x)=ax在
Z
k
上有两个不相等的实根}。
解(1)如右图 从图形可以看出f(x)=
(x?2k)
2
。 y
(2)如下图 由f(x)=ax,x∈
Z
k
,得
(x?2k)
2
=ax o x
即
x
-(4k+a)x+4
k
=0,考察函数f(x)=
x
-(4k+a)x+4
k
，x∈(2k-1,2k+1)的图
22222
象位置,依题意该函数图象在(2k-1,2k+1)内必与x轴有两个不同交点。则有
△ ＞0 y
f(2k-1) ＞0
f(2k+1)≥0 2k
2k-1＜(4k+a)2＜2k+1 o 2k-1 2k+1 x
从中解得:0故
M
K
={a|0例2 已知三点
A(1，m?2)，B(m?15)，，C(m?2，4m?3)(m?0)
，问m为 何值时，
d?AB?BC
最小，并求最小值．
分析：根据三个点横坐标的特点可知， 它们在坐标系中是从左到右依次排列的，当且仅
当它们共线时，
d?AB?BC
最小．
解：依题意知，当三点共线时
d?AB?BC
最小，此时
k
AB?k
BC
，，
∵
k
AB
?
∴
5?m ?23?m4m?3?5
??4m?2
， ，
k
BC
?
m? 1?1mm?2?m?1
3?m
?4m?2
，
m

2

解得
m??
∴
m?1
，
3
（舍去）或
m?1
，
4
此时三个点分别为
A(13)，，B(2，，5)C(3，7)
，
∴
d?AB?BC?AC?(7?3)?(3?1)?25
．
练习．已知点
M(3，5)
，在y轴和直线
y?x
上分别找一点P和N，使得
△M NP
的周长最
小．
分析：作点
M(3，5)
关于y轴和直线
y?x
的对称点
M
1
，M
2
，则
MP?M
1
P
，
22
MN?M
2
N
，所以
△MN P
的周长等于
M
1
P?PN?M
2
N
，当且仅当< br>M
1
，M
2
，P
三
点共线时取最小值，所以点
P，N
应为直线
M
1
M
2
和y轴与直线
y?x< br>的交点．
解：作点
M(3，5)
关于y轴和直线
y?x
的对 称点
M
1
，M
2
，
则点
M
1
，M
2
的坐标分别为
(?3，，，5)(53)
，

由两点式得
y?5x?3
，

?
3?55?3
整理 得
x?4y?17?0
，即为直线
M
1
M
2
的方程 ，

易得它和y轴和直线
y?x
的交点坐标分别为
?
0，< br>?
，
?
?
17
??
1717
?
，< br>?
．

455
????
?
17
??
1717
?
，
?
．

?
4
??
5 5
?
即使得
△MNP
周长最小的点P和N的坐标分别为
?
0 ，
?
，
?
评注：本题利用对称思想为线段找到了“替身”，从而将问题转化成 了两点之间线段最
短的问题．
例3.已知点
P(a，b)
在直线
m x?y?1?0
上，且
a
2
?b
2
?2a?1
的最 小值为
2
，求m
的值．
解：∵
a?b?2a?1?(a?1)?b
，
∴它是点
P(a，b )
和点
(1，0)
之间的距离，它的最小值就是点
(1，0)
到直线
2222
mx?y?1?0
的距离，由点到直线的距离公式可得
m?1
m?1
2
?2
，
3

平方得
m?2m?1?2m?2
，
整理得
(m?1)?0
，
∴
m??1
．
评注： 本题通过挖掘代数式的几何意义，将点点距转化成了点线距，这种以距离为背景
的题型时有出现，请同学 们注意训练和总结．

练习.求点
P(?1，4)
到直线
l:(m ?1)x?(2?m)y?m?5?0
的距离
d
的最大值．
分析：对直线方 程
(m?1)x?(2?m)y?m?5?0
整理后，我们会发现它表示过定点
222
Q(1，2)
的一条直线，因为点线之间垂线段最短，所以
d≤PQ
，当且仅当
PQ?l
时取等
号，即此时
d
取得最大值
PQ< br>．
解：
(m?1)x?(2?m)y?m?5?0
可化为
x?2y? 5?m(x?y?1)?0
，
它表示过直线
x?2y?5?0
和
x?y?1?0
交点的直线． < br>解方程组
?
?
x?2y?5?0，
得两直线交点为
Q(1，2 )
，
?
x?y?1?0，
即直线
l
恒过定点
Q( 1，2)
，
当
PQ?l
时
d
取最大值
PQ
，
∵
PQ?(?1?1)?(4?2)?22
，
∴
d
的最大值为
22
．

22


4

例4.已知，a
2
求证：
【分析与解】 读完题目与任何一个图形似乎很难联系起来，我们在对已知条件的分析
中，去寻觅解题的灵感.


5

a
2
2
.要证b<
k如何取得联系呢？
，那么a与
令
它对解题有帮助吗？
.这样一来，一个二次函数的图形出现了，


6

二次函数g（a）的图象的对称轴为
增，又b上单调递

【反思】 在分析已知条件时找到了一个能够帮助我们解决问题的图形，而正是这个图形
的 启示，以后的思路畅通无阻了.
数形结合，发生在解题过程中的任何时刻，我们绝不是刻意地去追求或 精心地去构造直观的
几何图形，而这个在解题时十分有用的直观图往往总是在对问题透彻了解之后突然出 现的，
这就是解题中的灵感.


例5.已知实数a、b，满足a+b=1. 求证： （a-3）
2
+（b+4）
2
≥2.

【思考与分析】 本题看似一不等式证明题，但是我们通过分析，不等式左端是距离的平
方的形式，由已知条件，我们可以 把问题转化为点在直线上的位置关系，进而由点到直线的
距离公式求解.


7

证明： 不等式左端可视为点
P（a，b） 到点Q（3，-4）的距离的平方，而点P（a，b）可看作直线l：x+y=1上的任意一
点，于是问 题转化为点P在直线l上什么位置时线段PQ最短，当然是PQ⊥l时点Q到l的
距离最短，所以如下图

【反思】 本题我们主要是利用点到直线的距离公式的几何意义解题.

练习. 已知：a，b，c为正实数。求证:
2
(a+b+c)＜
a
2
?b
2
+
b
2
?c
2
+
c
2
?a
2
＜2(a+b+c)。
分析:由欲证不等式中的
a
2
?b
2
联想到勾股定理, D a b c C
把
a
2
?b
2
看 作边长分别为a,b的矩形的对角线,因此,我们 c
可以构造如图所示的图形。以a+b+c为边构成正方形ABCD, b


8

则AC=
2
(a+b+c),AE=
a
2
?b
2
,EF=
b
2
?c
2
,FC=
c
2
?a
2
, A B
而 AC＜AE+EF+FC＜AD+CD
所以有 2
(a+b+c)＜
22
a
2
?b
2
+
b?c
+
c
2
?a
2
＜2(a+b+c)。
注:观察、联想是构造图行,创新解题的关键。
注：有些题目若按常规的代数解法需要讨论, 比较烦琐且易产生遗漏现象,我们这样构造
利用图象分析,得出答案非常直观简洁。
例6 不 等式
ax?4x?x
2
的解集是
(0,4]
,则
a
的取值范围是( )
A.
a?0
B.
a?4
C.
a?0
D.
a?0

分析:分别作出
y?a x
与
y?4x?x
2
的图象,从图象上很容易得到结论.
解: 令
y?ax
,
y?4x?x
2
(0?x?4)
,

?
y?ax
是过原点且斜率为
a
的直线,
2

y?4x?x
2
(0?x?4)
是圆心在
(2,0)

半径为2的圆在
x
轴及
x
轴上方的部分,
不等式
4x?x
2
?ax
的几何意义是半圆在
(0,4]
上恒处于直线的上 方(如图),
可知
a?0
是,上述结论成立,
?
a
的取值 范围是
a?0
.选C.











综合自测
22
a,b?R,a?2b?6,则a?b
的最小值是 （ ）－3 1．设
y
x
2.设奇函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)且在( 0，+∞)上单调递增，f(1)＝0，则不等式
1
f[x(x?)]?0
的解集是_ _____________。
2


9

2.解析：由已知画出y=f(x)的图象可知：
当x∈(-1，0)∪(1，+∞)时f(x)＞0
当x∈（-∞，-1）∪(0，1)时 f(x)＜0
又
x(x?)?(x?)?
y
1
2
1
4
2
11
????1

1616
-1 O 1 x
∴
f[x(x?)]?0
成立，则必有
1
2
1?17
1
4
＜x＜0 或 0＜x(x-
2
)＜1,解之得：
2
1?17
1
2
＜x＜
4

3.抛物线
y?2x
上的点P到直线
y?x?4
有最短的距离, 则P的坐标是（ ）
解析:1. 设直线
y?x?m
与
y?2x< br>相切,联立整理得
x?2(m?1)x?m?0
,
由
??4(m?1)?4m?0
,得
m?

22
222
1
1
,这时得切点(,1),
2< br>2
uuuruuuruuur
2
y?4x
，B，C
为该抛物线 上三点，若
FA?FB?FC?0
，4．设
F
为抛物线的焦点，
A< br>则
uuuruuuruuur
FA?FB?FC?
（ ）6
uuuvuuuvuuuv
5:已知向量
OB?(2,0)
,向量
OC?( 2,2)
,向量
CA?(2cos
?
,2sin
?
)
,则向量
uuuvuuuv
OA
与向量
OB
的夹角的取值范围是（ ）
uuuv
答案:1. 由
CA?(2cos
?
,2sin
?
)
,知点A在以
C
(2,2)为圆心,
2
为半径的圆周上(如图),过原点O作
'
圆C的切线
OA
,
A
为切点,由
OC?22
,AC?
'
'
2

知
?AOC?
'
?< br>6
,有
?AOB?
''
'
?
4
?
?
6
?
?
12
,
''
过点O作另一切线
O A
,
A
为切点,则
?AOB?


''
?
4
?
?
6
?
5
?
?
5
?
]
,
[,
121212
9k
2
x< br>2
?y
2
?18k
2
x
y?2k
6.直线与 曲线
(k?R,且k?0)
的公共点的个数为
（ ）4
7．关于x的方程
(x?1)?|x?1|?k?0
，给出下列四个命题：
222


10

①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根 ②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根 ④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根
其中假命题的个数是________
2
2
设
u?x?1
,化原式为：
|u|?|u|??k
，
2
y?|u|?|u|
的图象，看使u≥-1的解的个数，可知假命题的个数为0。 画出函数


?
a,a?b
max
?
a,b
?
?
?
?
b,a＜b
则函数 8．对
a,b?R
,记则
f
?
x
?
?max
?
x?1,x?2
?
?
x?R
?
2
的最小值是 ________ ．
2
解析：由
x?1?x?2?
?
x?1
?
?
?
x?2
?
?x?
?
?
x?
?
1
?
?
2
?
1
2
，
y=|x-2|
y
?
?
x?1
?
f
?
x
?
?
??
x?2
?
?
y=|x+1|
|
x
1< br>??
?
1
?
3
x?
fx?f
??
m in
??
??
?
2
??
如右图
?
2
?
2

2
-1
o 2
y
y
9. 如果实数x、y满足
?
x?2
?
?y?3
，那么的最大值是 。
x
如图，联结圆心C与切点M，则由OM⊥CM，又Rt△OMC中，
OC=2，CM=
3

所以，OM=1，得
y
?
MC
?3

xOM



1?x
2
y?
2?x
的最大值。 10．求函数
M
O
C
x
解：由定义知1-
x
≥0且2+x≠0
∴ -1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ∈[0，π]，则有
2


11

y?
sin?sin??0
?
cos??2cos??(?2)

可看作是动点M（cosθ，sinθ）(θ∈[0，π])与定点A（-2，0）连线的斜率， ?
x?cos?
?
y?sin?
22
而动点M的轨迹方程
?
，θ∈[0，π]，即
x?y?1
（y∈[0，1]是半圆。
设切线为AT，T为切点，|OT|=1，|OA|=2
k
AT
?
1
1
∴
3
，∴0≤k
AM
≤
3

33
即函数的值域为[0，
3
]，故最大值为
3
。
11．
求函数u?
解：
设x?
2t?4?6?t的最值。

2t?4，y?6?t，则u?x?y

且x
2
?2y
2
?16(0?x?4，0?y?22)

所给函数化为以u为参数的直线方程y??x?u
，
22
x?2y?16< br>在第一象限的部分（包括端点）有公共点，它与椭圆（如图）
u
min
?22< br>
相切于第一象限时，u取最大值
?
y??x?u
?3x
2
?4ux?2u
2
?16?0
?
22
?
x?2y? 16

解???，得u?±26，取u?26

∴u
max
?26



12. 已知：acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)
cos
求证：
2
?
?
?
2
c
2
?
2
a?b
2

分析：解决此题的关键在于由条件式的结构 联想到直线方程．进而由A、B两点坐标特点知
其在单位圆上．还要根据图形的性质分析清楚结论的几何 意义，这样才能巧用数形结合方法
完成解题．


12

证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ,
sinβ）是 直线l:ax+by=c与单位圆x
2
+y
2
=1的两个交点如图．
从而：｜AB｜
2
=(cosα–cosβ)
2
+(sinα–sinβ)
2

=2–2cos(α–β)
d ?
又∵单位圆的圆心到直线l的距离
|c|
a
2
?b
2
1
由平面几何知识知｜OA｜
2
–(
2
｜AB｜)
2
=d
2
即
2?2cos(
?
?
?
)c
2
2
1??d?
2
4
a?b

∴
cos
2
?
?
?
2
c
2
?
2a?b
2
．
13.若不等式
2x?1?m(x
2
?1 )对满足m?2
2
的所有m都成立。求x的取值范围。
2
解：原不等式化为 （
x
-1）m-（2x-1）＜0记f（m）=（
x
-1）m -（2x-1）
（-2≤m≤2），其图像是线段。结合图像和题意知，只须：
f（-2）=-2（
x
-1）-（2x-1）＜0
f（2）=2（
x
-1）-（2x-1）＜0
即
2x?2x?3?0

2
2
2
2x
2
?2x?1?0

?1?71?3
?x?
22
。 解之，x的取值范围为
14. 已知二次函数
y?f
1
(x)
的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例 函数
y?f
2
(x)
的
图象与直线y=x的两个交点间的距离为8，
f(x)?f
1
(x)?f
2
(x)
．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解．



13

用数形结合思想求f（x）－f（a）=0解的个数．
2
2
解 （1）由 已知，设
f
1
(x)?bx
，由
f
1
(x)
=1，得b=1．∴
f
1
(x)?x
．
k
设
f
2
(x)
=
x
（k＞0），则其图象与直线y=x的交点分别为A（ k，k），
B（－k，－k），由|AB|=8，得k=8，
8
8
2
∴
f
2
( x)=
x
，故f（x）=
x?
．
x
88
22
（2）由f（x）=f（a），得
x??a?

xa
88
22
即
??x?a?
.
xa
8 8
22
在同一坐标系内作出
f
2
(x)?
和
f3
(x)??x?a?
的大致图象（如图所示），其中
f
2
(x )
x
a
8
2
的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲 线
f
3
(x)
的图象是以（0，
a?
）
a
为顶点，开口向下的抛物线．
f
2
(x)
与
f
3
( x)
的图象在第三象限有一个交点，即f（x）=f（a）
有一个负数解．
2
又∵
f
2
(2)
= 4，
f
3
(2)
=
?4?a?
8
，当a＞3时，
a
f
3
(2)?f
2
(2)?a?
8
?8 ?0
.
a
∴当a＞3时，在
f
3
(x)
第一象限 的图象上存在一点（2，
f
3
(2)
）在
f
2
(x )
图象的上方．
∴
f
2
(x)
与
f
3< br>(x)
的图象在第一象限有两个交点，即f（x）=f（a）有两个正数解．
故方程f（x）=f（a）有三个实数解．


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