高中数学大题知识点

高中数学大题知识点

一、三角函数

1、设
?是一个任意大小的角，
?
的终边上任意一点
?
的坐标是
?
x,y
?
，它与原点
yxy
，
cos
?
?
，
tan
?
?
?
x?0
?
．
rrx
2、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，
第三象限正切为正，第四象限余弦为正．
3、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
的距离是
rr?x
2
?y
2
?0
，则
sin?
?
⑴
cos
⑶
sin
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；⑵
cos
?
?
?
?
?
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
；
?
?
?
?
?
?sin
?< br>cos
?
?cos
?
sin
?
；⑷
sin< br>?
?
?
?
?
?sin
?
cos
?< br>?cos
?
sin
?
；
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
tan
?
?tan
?

?
（
tan
?
? tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?ta n
?
tan
?
?
）；
1?tan
?
ta n
?
tan
?
?tan
?

?
（< br>tan
?
?tan
?
?tan
?
?
?
?
??
1?tan
?
tan
?
?
）．
1?tan
?
tan
?
⑸
tan
⑹
tan
4
、
二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin2
?
?2sin?
cos
?
．
?1?sin2
?
?sin
2< br>?
?cos
2
?
?2sin
?
cos
??(sin
?
?cos
?
)
2

⑵
c os2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2 cos
2
?
?1?1?2sin
2
?

22
cos2
?
?11?cos2
?
2
，
sin
?< br>?
．
?
降幂公式
cos
2
?
?22
5、正弦定理：在
???C
中，
a
、
b
、
c
分别为角
?
、
?
、
C
的对边，，则有< br>abc
???2R
(
R
为
???C
的外接圆的半径)
sin?sin?sinC
?
升幂公式
1?cos
?
?2c os
2
?
,1?cos
?
?2sin
2
?

正弦定理的变形公式：①
a?2Rsin?
，
b?2Rsin?
，< br>c?2RsinC
；
②
sin??
ab
c
；③a:b:c?sin?:sin?:sinC
，
sin??
，
sinC ?
2R2R
2R
?
111
bcsin??absinC?acsin ?
．
222
三角形面积公式：
S
???C
第 1 页 共 10 页

?
b
2
?c
2
?a
2< br>cosA?,
?
2bc
?
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA,
?
?
2
a
2
?c
2
?b
2
?
22
,
6、余弦定理：在
???C
中，
?
b?a?c?2accosB,
?
cosB?2ac
?
c
2
?a
2
?b
2
?2ab cosC.
?
?
?
a
2
?b
2
?c
2
.
?
cosC?
2ab
?
二、
极坐标与直角坐 标的互化
：
?
2
?x
2
?y
2
,
y?
?
sin
?
,
2、经过点
x?
?
c os
?
,
y
tan
?
?(x?0)
x
< br>PP?
，
12
M
O
(x
o
,y
o< br>)
?
x
2
?x
2
?
?
?
y
2
?y
1
?
22
倾斜角为
?
的直线
l
的参数方
?
x?x
o
?tcos
?
,
?
y?y
o
?tsin
?
.
t
程可表示为
?
（为参数）.
3、
点到直线距离公式：
点
P(x
0< br>,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离为：
d?
Ax
0
?By
0
?C
A?B
22

4、两点间的距离公式

三、数列
1、等差数列与等比数列对比小结：

一、定义
等差数列 等比数列
a
n
?a
n?1
?d(n?2)

1．
a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d

a
n
?q(n?2)

a
n?1
1．
a< br>n
?a
1
q
n?1

二、公式
a
n
?a
m
?
?
n?m
?
d,
?
n ?m
?

2．
S
n
?
a
n
?a< br>m
q
n?m
,(n?m)

2．
n
?
n?1
?
n
?
a
1
?a
n
?
? na
1
?d

2
2
?
na
1
?
q?1
?
?
S
n
?
?
a
1
?
1?q
n
?
a?aq
n
?
1
?
q?1
?
?
1?q
?
1?q
2
1．
a,b,c成等差?2b?a?c< br>，
称
b
为
a
与
c
的等差中项
三、性质
2．若
m?n?
1．
a,b,c成等比?b?ac
，
称
b
为
a
与
c
的等比中项
*
， 2 ．若
m?n?p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
），
p?q
（
m
、
n
、
p
、
q??
*
）
则
a
m
?a
n?a
p
?a
q
则
a
m
?a
n
?a
p
?a
q
< br>3．
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等差数列 3．
S
n
，
S
2n
?S
n
，
S
3n
?S
2n
成等比数列
2、非等差、等比数列通项公式的求法

1）公式法：
若已 知数列的前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系，求 数列
?
a
n
?
的通项
a
n
可用公
第 2 页 共 10 页

,(n?1)
?
S
1
式
a
n
?
?
构造两式作差求解。
S?S,(n?2)
n?1
?
n
2）、
形如
a
n?1
?a
n
?f(n)
型的递推数列（其中
f(n)
是关于
n
的函数） 可
构造：
?
a
n
?a
n?1
?f(n?1)?
a?a?f(n?2)
?
n?1n?2

?
?
...
?
?
a
2
?a
1
?f(1)
将上 述
n?1
个式子两边分别相加
3）、
累乘法：
形如
a< br>n?1
?a
n
?f(n)
?
?
a
n?1?
?f(n)
?
型的递推数列（其中
f(n)
是关于
n
的函数）
可构造：
?
a
n
?
?
a
n
?
a
?f(n?1)
?
n?1
?a
n?1
?f(n?2)
?
a

?
n?2
?
...?
?
a
2
?
a
?f(1)
?
1
将上述
n?1
个式子两边分别相乘
4）、
构造数列法：形如
a< br>n?1
?pa
n
?q
（其中
p,q
均为常数且
p?0
）型的递推式：
设
a
n?1
?
?
?p( a
n
?
?
)
,展开移项整理得
a
n?1
? pa
n
?(p?1)
?
,与题设
a
n?1
?pa< br>n
?q
比较
系数（待定系数法）得
?
?
qqqqq< br>,(p?0)?a
n?1
??p(a
n
?)?a
n
? ?p(a
n?1
?)
,即
p?1p?1p?1p?1p?1
?
q
q
?
a?
构成以为首项，以
p
为公比的等比数列.再利 用等比数列的通项公
a?
?
n
?
1
p?1
p?1< br>??
式求出
?
a
n
?
?
?
q
?
?
的通项整理可得
a
n
.

p?1
?
5）、倒数变换法：
形如
a
n?1
?a
n
?pa
n?1
a
n
（
p
为常数且
p?0
）的递推式：两边同除于
a
n?1
a
n
，转化为
11
??p
形式，
a
n
a
n?1
3、非 等差、等比数列前
n
项和公式的求法
第 3 页 共 10 页

⑴错位相减法
若数列
?
a
n
?
为 等差数列，数列
?
b
n
?
为等比数列，则数列
?
a
n
?b
n
?
的求和就要采用此法.
2462n
求 数列
,
2
,
3
,???,
n
,???
前n 项的和.
2
222
2n1
解：由题可知，{
n
}的通项是 等差数列{2n}的通项与等比数列{
n
}的通
2
2
项之积
2462n
设
S
n
??
2
?
3
???? ?
n
…………………………………①
2
222
12462n
………………………………②
S
n
?
2
?
3
?
4
?????< br>n?1
2
2222
（设制错位）

1222222n
①－②得
(1?)S
n
??
2
?
3
?
4< br>?????
n
?
n?1

22
22222
（错位相减
）
12n

?2?
n?1
?
n?1

22
n?2
∴
S
n
?4?
n?1

2
⑵裂项相消法常见的拆项公式有：
①
111
??；

n(n?1)nn?1
1111
?(?);

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1
11
?(a?b);

a?b
a?b
②
③
⑶分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也 不是等比数列，若将这类数列适
当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合 并即
可.
四、
第二章：圆锥曲线
1、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离之和等于常数（大于
F
的点的轨迹称为椭 圆．这
1
F
2
）
两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的 焦距．
2、椭圆的几何性质：
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形

第 4 页 共 10 页

标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
y
2
x
2
?
2
?1
?
a?b?0
?

2
ab
范围
?a?x?a
且
?b?y?b

?b?x?b
且
?a?y?a

?
1
?
? a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

顶点
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?

?
1
?
?b,0
?
、
?
2
?
b,0
?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?

轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a

F
1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c ,0
?

F
1
F
2
?2c
?
c< br>2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴、原点对称
cb
2
e??1?
2
?
0?e?1
?
< br>aa
3、平面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距 离之差的绝对值等于常数（小于
F
）的点的轨迹
1
F
2
称为 双曲线．这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
4、双曲线的几何性质：
焦点在
y
轴上
焦点的位置 焦点在
x
轴上
图形

标准方程

x
2
y
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
y
2
x
2
??1
?
a?0,b?0
?

a
2
b
2
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
x??a
或
x?a
，
y?R

?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?

y??a
或
y?a
，
x?R

?
1< br>?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?< br>
虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a

F1
?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0?

F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?

F
1
F
2
?2c
?
c
2
?a
2
?b
2
?

关于
x
轴、
y
轴对称，关于原点中心对称
第 5 页 共 10 页

离心率
cb
2
e??1?
2
?
e?1
?

aa
y??
ba
x

y??x

ab5、平面内与一个定点
F
和一条定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物 线．定点
F
称为
抛物线的焦点，定直线
l
称为抛物线的准线．
渐近线方程
6、抛物线的几何性质：
y
2
?2px

标准方程
y
2
??2px

x
2
?2py

x
2
??2py

?
p?0
?

图形

顶点
?
p?0
?

?
p?0
?

?
p?0
?




?
0,0
?

x
轴 对称轴
y
轴
p
??
F
?
0,
?

2
??
p
??
F
?
0,?
?

2
??
焦点
?
p
?
F
?
,0
?

?
2
?
?
p
?
F
?
?,0
?

?
2
?
准线方程
x??
p

2
x?
p

2
y??
p

2
y?
p

2
离心率
e?1

范围
x?0

2
x?0

(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2

y?0

y?0

7、弦长公式：
?1?k
五、
导数及其应用
1、基本初等函数的导数公式：
几种常见函数的导数
'
①
C?0
；②
(x)?nx
x'x
n'n?1'
； ③
(sinx)?cosx
； ④
(cosx)??sinx
；
'
x'x
'
⑤
(a)?alna
； ⑥
(e)?e
； ⑦
(log
a
x)?
11
'< br>；⑧
(lnx)?

xlnax
2、导数运算法则：
第 6 页 共 10 页

?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
；
fx?gx
?
????
?
1
?

?
??
?
?f
?
?
x
?
g
?
x< br>?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
；
fx?gx
?
????
?
2
?
?
??
?
f
?
x
?
?
?
f< br>?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
g
?
x
?
?0
?
．
?
3
?
?
?
?
?
2
?
?
g
?
x
?
?
?
g
?
x
?
?
?
3、复合函数
y?fg
?
x
?
的导数与函数
y?f
?
u
?
，
u?g
?
x
?
的导数间的关系是
??
??< br>y
?
x
?y
u
?u
x
．
4、在某 个区间
?
a,b
?
内，若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调 递增；若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减．
六、概率
1、 分类加法计数原理：(分类相加)
做一件事情，完成它有
n
类办法，在第一类办法中 有
m
1
种不同的方法，在第二类办法中有
m
2
种不同的方法 ……在第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法.那么完成这件事情共有< br>N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法.
2、分步乘法计数原理：(分步相乘)
做一件事情，完成它需要
n
个步骤， 做第一个步骤有
m
1
种不同的方法，做第二个步骤有
m
2
种 不同的方法……做第
n
个步骤有
m
n
种不同的方法.那么完成这件事 情共有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不同的方法.
3、排列与组合（排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.）
⑴排列定义：一般地，从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素，按照 一定的顺序排成一
列，叫做从
n
个不同的元素中任取
m
个元素的一个 排列.
⑵组合定义：一般地，从
n
个不同的元素中任取
m
?
m?n
?
个元素并成一组，叫做从
n
个不
同的元素中任取
m
个元素的一个组合.
4、解排列组合问题的方法
①特殊元素、特殊位置优先法（ 元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其
他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置 的要求，再考虑其他位置）.
②相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然 后再与其余“普通
元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.
③不 相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空
法，即先安排好没 有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素
之间）.
④分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以n！
4、⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.
⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事 件.事件
A
的对立事件通常记着
A
.
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⑶相互独立事件：事件
A
（或
B
）是否发生对事件< br>B
（或
A
）发生的概率没有影响，（即
其中一个事件是否发生对另一个 事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立
事件.
⑷独立重复试验
①一般地，在相同条件下重复做的
n
次试验称为
n
次独立重复试验.
kkn?k
②独立重复试验的概率公式
P
n
(k)?C
n< br>p(1?p)
?
k?0,1,2,n
?
.

⑸条件概 率：对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的概率，叫
做条件概率.记作P(B |A)，读作A发生的条件下B发生的概率.

公式：
P(BA)?
P(AB)
,P(A)?0.

P(A)
5、一般地，若离散型随机变量
X
的分布列为
X

x
1

x
2

…
x
i

…
x
n

P

则称
p
1

p
2

…
p
i

…
p
n

E
?
X
?
?x
1
p
1
?x
2
p
2
??x
i
p
i
??x
n
p
n
为离散型随机变量
X
的均 值或数学期望（简称
期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
6、二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发
kkn?k< br>.
生k次的概率是
P(X?k)?C
n
p(1?p)
其中< br>k?0,1,2,...,n,q?1?p
，于是得到随机变量
X
的概率分布如 下：
1
11n?1
C
n
pq

X

P

0 …
…
k
k …
n?k
n
C
n
0
p
0
q
n

C
n
pq
k

…
C
n
pq

nn
0
我们称这样的随机变量
X
服从二项分布，记作
X~B
?
n,p
?
，并称p为成功概 率.
若
X~B
?
n,p
?
，则
E(X)?np.
若
X~B
?
n,p
?
，则
D(X)?np(1?P).

?
?a?bx
， 7、回归直线方程
y
nn
?< br>?
x
i
?x
??
y
i
?y
?
?
x
i
y
i
?nxy
?
?
?
b ?
i?1
n
?
i?1
n
2
其中
?

x
i
?x
?
x
i
2
?nx
2?
??
?
i?1i?1
?
?
a?y?bx
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七、空间几何
1、求异面直线所成的角
已 知
a,b
为两异面直线，A，C与B，D分别是
a,b
上的任意两点，
a,b
所成的角为
?
，
则
cos
?
?
AC?BD
ACBD
.

2、求直线和平面所成的角
求法：设直线
l
的方向向量为
a
，平面
?
的法向量为
u
，直线与平面所成的角为
?
，a
与
u
的夹角为
?
， 则
?
为
?
的余角或
?
的补角
的余角.即有：
sin
?
?cos
?
?



3、求二面角
a?u
au
.

n
，再设
m、n
的夹角为
?
，二面设二面角
?
?l?
?
的两 个半平面的法向量分别为
m、
n
的夹角
?
或其补角
?
?
?
.
角
?
?l?
?
的平面角为
?< br>，则二面角
?
为
m、
根据具体图形确定
?
是锐角或是 钝角：
◆如果
?
是锐角，则
cos
?
?cos
?
?
m?n
mn
，即
?
?arccos
m?n
mn
；
?
m?n
?
?
. ◆ 如果
?
是钝角，则
cos
?
??cos
?
??
， 即
?< br>?arccos
?
?
?
mn
?
mn
??m?n
4、线面平行
设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?
的法向量是
u
，则要证明
l
∥
?
，只需 证明
a?u
，即
a?u?0

5、面面平行
若平面
?
的法向量为
u
，平面
?
的法向量为
v
，要证< br>?
∥
?
，只需证
u
∥
v
，即证
u?
?
v
.
6、线面垂直
①（法一）设直线
l
的方 向向量是
a
，平面
?
的法向量是
u
，则要证明
l?
?
，只需证明
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a
∥
u
，即
a?
?
u
.
n
，若②（法二）设直线
l
的方向向量是
a
，平面
?
内的两个相交向量分别为
m、
?
?
a?m?0
,则l?< br>?
.

?
?
?
a?n?0
7、面面垂直
若平面
?
的法向量为
u
，平面
?
的法向量为< br>v
，要证
?
?
?
，只需证
u?v
，即证u?v?0
.
8、点A到平面
?
的距离
若点P为平面
?
外一点，点M为平面
?
内任一点，
平面< br>?
的法向量为
n
，则P到平面
?
的距离就等于
MP< br>在法向量
n
方向上的投影的绝对值.
即d
?
n?MP
n

9、线面平行：
⑴判定：< br>平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（简称线线平行，则
线面平行 ）。

⑵性质：
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与 该直线平行（简称
线面平行，则线线平行）。
10、面面平行：
⑴判定：
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行（简称线面平行，则面
面平行）。 < br>⑵性质：
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行（简称面面平行，则线线
平行）。
11、线面垂直：
⑴定义：
如果一条直线垂直于一个平面内的任 意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：
一条直线与一个平面内的 两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，
则线面垂直）。
⑶性质：
垂直于同一个平面的两条直线平行。
12、面面垂直：
⑴定义：
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑵判定：
一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直）。
⑶性质：
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。（简称面面垂 直，
则线面垂直）。

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