高中数学题4-1.1

选修4-1 几何证明选讲
第1讲 相似三角形的判定及其有关性质

随堂演练巩固
1.如图
??B??D?AE?BC?
?ACD? 90
o
,且AB=6,AC=4,AD=12,则AE= .
【答案】 2
【解析】 ∵
?B??D??AEB??ACD?90
o
,
∴△AEB∽△ACD.
∴
AE
?
AB
.

AD
∴
AE?
AB
?AC?
6
?4?2
.
AD12
2.如图,在△ABC中,D,E是边BC的三等分点,F是AC的中点,BF交AD 于G,交AE于H,求BG∶GH∶
HF的值.
AC
【解】 EF为△ADC的中位线,

1
AD
.∵D为BE中点,
2< br>∴BG
?GF?DG?
1
EF(DG
为△BEF的中位线).
2
则EF

设DG=k,则EF=2k,AD=4k,AG=3k.
则GH∶HF=AG∶EF=3∶2,∵=GF,
∴BG∶GH∶HF=5∶3∶2.
3.如图所示,已知D是△ABC中AB边上一点,DE∥BC且交AC于E,EF∥AB且交BC于F ,且
S
VADE
?1?S
VEFC
?4?
则四边形BFE D的面积等于多少?
【解】 因为AD∥EF,DE∥FC,
所以△ADE∽△EFC.

因为
S
VADE
∶
S
VEFC
?1
∶4,
所以AE∶EC=1∶2.
所以AE∶AC=1∶3.
所以
S
VADE
∶
S
VABC
?1
∶9.
所以
S
四边形BFED
?4
.
4.如图所示,在直角梯 形ABCD中,DC∥AB,
CB?
AB,AB
?AD?a?CD?
a
?
点E,F分别为线段
2
AB,AD的中点,求EF的长.
【解】 如图,连接BD,DE,

∵E、F分别为线段AB,AD的中点,
∴EF


1
BD
.
2
22
∵ 四边形ABCD为直角梯形,且
BE?
1
AB?
a
?CD?

∴
DE?AB
.
又∵E为AB的中点,
∴△ABD为等腰三角形.
∴AD=BD=a.
∴
EF?
1
a
.
2

课后作业夯基
基础巩固
1. 如图,已知在△ABC中
??ACB?90
.
o
?CD?AB
于D,AC=6,DB=5,则AD的长为
【答案】 4
∴
AC?AB?AD
.
2

o

【解析】 在Rt△ABC中
??ACB?90?CD?AB?

设AD=x,则AB=x+5,又AC=6,
∴
6?x(x?5)?
即
x?5x?36?0
.
解得x=4或x=-9(舍去),
∴AD=4.
2.如图所示,已知在△AB C中
??C?90
o
,正方形DEFC内接于△ABC,DE∥AC,EF∥
BC,AC=1,BC=2,则AF∶FC等于 .

2
2
【答案】
1


2
【解析】 设正方形DEFC边长为x,则由△AFE∽△ACB,
可得
AF
?
FE
?
即
x
?
1?x
?

21
所以
x?
2
?
于是
AF
?
1
.
3 FC2
ACCB
3.如图,平行四边形ABCD中,AE∶EB=1∶2,△AEF的面积为6 ,则△ADF的面积为 .
【答案】 18
【解析】 由题意可得△A EF∽△CDF,且相似比为1∶3,由△AEF的面积为6,得△CDF的面积为
54,由题意易知< br>S
VADF
∶
S
VCDF
?1
∶3,所以
S
VADF
?18
.
4.如图,△ABC中
??BAC?90
o
,AB=4 cm,AC=3 cm,DE∥BC且DE把△ABC的周长分为相等的
两部分,则DE= .

【答案】
30
cm

o

7
【解析】 ∵
?BAC?90
,
∴BC=5 cm.
设AD=x cm,AE=y cm,则x+y=6, ①
y
∵DE∥BC,得
AD
?
AE
?
即
x
?
. ②
ABAC
4
由①②得
x?
24
?y?
18
?
77
3

∴
DE?x
2
?y
2
?
30
cm.
7
5.如图,已知在梯形ABCD中,上底长为2,下底长为6,高为4,对角线AC和BD相 交于点P,


(1)若AP长为4,则PC=
(2)△ABP和△CDP的高的比为
【答案】 (1)12 (2)1∶3
【解析】 (1)∵AB∥CD,
∴△APB∽△CPD,
∴
AP
?
AB
?
即
4
?
2
?

.
CPCDCP6
解得PC=12.
(2)由(1)及△ABP和△CDP的高的比等于它们的相似比,得这两个三角形的高的比为1∶3.
6.如图,已知AD∥EG∥BC,AD=6,BC=9
?
AE
?
2
?
则GF的长为
AB3
.
【答案】 4
【解析】 ∵AD∥EG∥BC,
∴
EG
?
AE
?
EF
?
BE
.

BCABADBA
∵
AE
?
2
?
∴BE
?
1
.
AB3AB3
∴
EF
?
1
?
EG
?
2
.
AD3BC3
又∵AD=6,BC=9,
∴EF=2,EG=6,
∴GF=EG-EF=4.
7.如图,已知
BD
?
EC
?

ADAE
(1)求证:
AD
?
AE
;

ABAC
(2)若BD=2 cm,AD=5 cm,AC=6 cm,求CE的长.

【解】 (1)证明:∵
BD
?
EC
?< br>∴
BD?AD
?
EC?AE
?

ADAEADAE
即
AB
?
AC
.∴
AD
?
AE
.
ADAEABAC
(2)∵
BD
?
EC
?BD?2?AD?
5,AC=6,
ADAE
∴
2
?
EC
.∴EC?
12
(
cm).
56?EC7
8.如图,在△ABC 中
??BAC?90
o
?AD?BC
于D.E为AC的中点.求证:
AB?AF?AC?DF
.
【证明】 ∵
?BAC?90
?AD?BC? ?ABC??C?90??CAD?
?C?90
,
∴
?ABD??CAD
.
又
?ADB??ADC?90
o
,
∴Rt△ABD∽Rt△CAD.∴
AC
?
AD
. ①
oo

o
ABBD
在Rt△ADC中,E为AC的中点,
∴DE=CE.∴
?EDC??C
.∴
?BDF??C
.
又
?ADF?90
o
??BDF??DBF?90
o
??C?
∴
?ADF??DBF
.
又
?F
为公共角,∴△AFD∽△DFB.
∴
AF
?
AD
. ②
BD
由①②得
AC
?
AF
?

ABDF
∴
AB?AF?AC?DF
.
9.如图,正方形DEF M内接于△ABC,且D、E在AB、AC上,F、M在BC上
DF
??A?90
o< br>?S
VCEF
?1?S
VBMD
?4?
求
S
VABC
.
【解】 由△BMD∽△EFC,得
(
DM
)?4
.
2

FC
∴DM=2FC.
∴
S
VCFE
?
1FC?DM?1
.∴DM=2,CF=1.
又
S
VBMD
∵
S
VADE
S
VABC
2
?
1
BM?2? 4?
∴BM=4.∴BC=BM+DM+FC=4+2+1=7.
2
?(
DE
)
2
?
∴
S
VABC
?
49
S
VADE
.
4
BC

又∵△ADE∽ △FEC,∴
又
S
VFEC
?1?
∴
S
VADE< br>S
VADE
?(
DE
)
2
?
4
.
S
VFEC
EC5
?
4
.∴
S
VABC< br>?
49
.
55
10.如图,在四边形ABCD中,AC与BD相交 于O点,直线l平行于BD且与AB,DC,BC,AD及AC的延长
线分别相交于点M,N,R,S和 P,求证:
PM?PN?PR?PS
.
【证明】 ∵BO∥PM,
∴△BOA∽△MPA.
∴
PM
?
PA
.

BOOA
∵DO∥PS,∴△DOA∽△SPA.
∴
PS
?
PA
.
DOOA
∴
PM
?
PS
?

BODO
即
PM
?
BO
.由BO∥PR,
PSDO
得△BOC∽△RPC,得
PR
?
PC
.
BOCO
由DO∥PN,得△DOC∽△NPC.
∴
PN
?
PC
.
ODCO
∴
PR?
PN
?
即
PR
?
BO
.
BODOPNDO
∴
PR
?
PM
.
PNPS
∴
PM?PN?PR?PS
.
11.如图,已知在等腰 梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于
点E.求证 :
(1)△ABC≌△DCB;

(2)DE?DC?AE?BD
.
【证明】 (1)∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AC=DB.∵AB=DC,BC=CB,
∴△ABC≌△DCB.
(2)∵△ABC≌△DCB,
∴
?ACB??DBC??ABC??DCB
.

∵AD∥BC,
∴
?DAC??ACB??EAD??ABC
.
∵ED∥AC,
∴
?EDA??DAC
.
∴
?EDA??DBC??EAD??DCB
.
∴△ADE∽△CBD.
∴
DE
?
AE
.
BDCD
∴
DE?DC?AE?BD
.
12.如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形.
(1)当AC、CD、DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB?
(2)当△ACP∽△PDB时,求
?APB
的度数.
【解】 (1)因为△PCD是等边三角形,
所以
?PCD??PDC?60
o
,PD=PC=CD.
从而
?ACP??PDB?120
.
所以,当
AC
?
PC
时,△ACP∽△PDB.
o

PDBD
2
即当
CD?AC?BD
时,△ACP∽△PDB.
(2)当△ACP∽△PDB时
??APC??PBD
.
所以
? APB??APC??CPD??DPB??PBD?60
o
??DPB?60
o+60
o
=120
o
.
拓展延伸
13.已知梯 形ABCD的对角线AC与BD相交于P点,两腰BA、CD的延长线相交于O点,EF∥BC,
且EF 过P点. 求证:
(1)EP=PF;
(2)OG平分AD和BC.
【证明】 (1)∵EP∥BC,∴
EP
?
AE
.

BCAB
又∵PF∥BC,∴
PF
?
DF
.
BCDC
又∵AD∥EF∥BC,
∴
AE
?
DF
.
ABDC
∴
EP
?
PF
.∴EP=PF.
BCBC

(2)在△OEP中,AH∥EP,∴
AH
?
OH
.
EPOP
在△OFP中,HD∥FP,∴
HD
?
OH
.
PFOP
∴
AH
?
HD
.
EPPF
又由(1)知EP=PF,∴AH=HD.同理=GC.
∴OG平分AD和BC.