高中数学导数的计算精选题目(附答案)

高中数学导数的计算精选题目（附答案）

(1)基本初等函数的导数公式
原函数
f(x)＝c(c为常
数)
f(x)＝x
α
(α∈
Q
*
)
f(x)＝sin x
f(x)＝cos x
f(x)＝a
x

f(x)＝e
x

f(x)＝log
a
x
导函数
f′(x)＝0
f′(x)＝α·x
α
－
1

f′(x)＝cos x
f′(x)＝－sin x
f′(x)＝a
x
ln a(a＞0)
f′(x)＝e
x

f′(x)＝
1
(a＞0，且
xln a
a≠1)
f(x)＝ln x

(2)导数运算法则
①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
1
f′(x)＝
x

②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
当g(x)＝c时，[cf(x)]′＝cf′(x)．
f′?x?g?x?－f?x?g′ ?x?
?
f?x?
?
?
′＝③
?
(g(x)≠0) ．
[g?x?]
2
?
g?x?
?
（3）复合导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y
x
′＝
y
u
′·u
x
′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x 的导数的乘积．
1．求下列函数的导数：
(1)y＝10
x
；
(2)y＝lg x；
1
(3)y＝log
2
x；

4
(4)y＝x
3
；
x
??
x
(5)y＝
?
sin
2
＋cos
2
?
2
－1.
??
2．求下列函数的导数：
?
1
?
(1)y＝
?
e
?
x
；
??
?
1
?
(2)y＝
?
10
?
x
；
??
(3)y＝lg 5；
3
(4)y＝3lgx；
x
(5)y＝2coS
2
2
－1.
3.(1)y＝x
3
·e
x
；
xx
(2)y＝x－Sin
2
coS
2
；
(3)y＝x
2
＋log
3
x;
e
x
＋1
(4)y＝
x
.
e
－1
4．求下列函数的导数：
cos x
(1)y＝
x
；
(2)y＝xSin x＋x；
(3)y＝
1＋x1－x
＋；
1－x1＋x
1
(4)y＝lg x－
x
2
.
5．点P是曲线y＝e
x
上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
?
π1
?
6．求过曲线y＝coS x上点P
?
3
，
2
?
且与曲线在这点处的切线垂直的直线方
??
程．
7．求下列函数的导数．
(1)y＝1－2x
2
；
(2)y＝e
Sin x
；

π
??(3)y＝Sin
?
2x＋
3
?
；
??
(4)y＝5log
2
(2x＋1)
8．求下列函数的导数．
(1)f(x)＝(－2x＋1)
2
；
(2)f(x)＝ln (4x－1)；
(3)f(x)＝2
3x
＋
2
；
(4)f(x)＝5x＋4；
π
??
(5)f(x)＝Sin
?< br>3x＋
6
?
；
??
(6)f(x)＝coS
2
x.
9．求下列函数的导数．
(1)y＝x1＋x
2
；
π
??
π
??
(2)y＝xcoS
?
2x＋
2
?
Sin
?
2x＋
2
?
.
????
10．求下列函数的导数．
x
(1)y＝Sin
2
3
；
(2)y＝Sin
3
x＋Sin x
3
；
(3)y＝
1
；
1－x
2
(4)y＝xln(1＋x)．
11. 设f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1＋ax＋b(a，b∈R，a，b为常数)，曲线y＝f (x)
3
与直线y＝
2
x在(0,0)点相切．求a，b的值．
1 2．曲线y＝e
－
2x
＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角 形的
面积为( )
112
A.
3
B.
2
C.
3
D．1
参考答案：
1.解： (1)y′＝(10
x
)′＝10
x
ln 10.
1
(2)y′＝(lg x)′＝
xln 10
.

111
(3)y′＝(log
2
x)′＝
1
＝－
xln 2
.
xln
2
3313
(4)y′＝(x)′＝(x< br>4
)′＝
4
x－
4
＝
.
4
4x< br>4
3
x
??
x
(5)∵y＝
?
sin
2
＋cos
2
?
2
－1
??
xx
2
x
＝Sin
2
＋2Sin
2
coS
2
＋coS
2
－1
＝Sin x，
∴y′＝(Sin x)′＝coS x.
1
??
1
???
1
?
1
2.解：(1)y′＝
??
e
?
x
?
′＝
?
e
?
x
ln
e
＝－
e
x
＝－e
－
x
.
??????
1
－ln 10
??
1
???
1
?
(2)y′＝
??
10
?
x
?
′＝
?
10
?
x
ln
10
＝
10
x

??????
＝－10
－
x
ln 10.
(3)∵y＝lg 5是常数函数，∴y′＝(lg 5)′＝0.
1
3
(4)∵y＝3 lgx＝lg x，∴y′＝(lg x)′＝.
xln 10
x
(5)∵y＝2coS
2
2
－1＝coS x，∴y′＝(coS x)′＝－Sin x.
3.解： (1)y′＝(x
3
) ′e
x
＋x
3
(e
x
)′＝3x
2
ex
＋x
3
e
x
＝x
2
(3＋x)e
x
.
111
(2)∵y＝x－
2
Sin x，∴y′＝x′－
2
(Sin x)′＝1－
2
coS x.
1
(3)y′＝(x
2
＋log
3
x)′＝(x
2
) ′＋(log
3
x)′＝2x＋
xln 3
.
?e
x＋1?′?e
x
－1?－?e
x
＋1??e
x
－1?′
(4)y′＝

?e
x
－1?
2
e
x?e
x
－1?－?e
x
＋1?e
x
－2e
x< br>＝＝
x
.
?e
x
－1?
2
?e－1?
2
?cos x?′·x－cos x·?x?′
?
cos x
?
4.解：(1)y′＝
?
x
?
′＝
x
2
??
＝
－x·sin x－cos x
xsin x＋cos x
＝－
.
x
2
x
2
2
x

(2)y′＝(xSin x)′＋(x)′＝Sin x＋xcoS x＋
1
2x
.
?1＋x?
2
?1－x?
22＋2x
4
(3)∵y＝
＋＝＝－2，
1－x1－x1－x1－x－4?1－x?′
4
?
4
?
∴y′＝
?
1－x
－2
?
′＝＝
.
?1－x?
2
?1－x?
2
??
1
???
1
?
(4)y′＝
?
l g x－
x
2
?
′＝(lg x)′－
?
x
2
?
′
????
12
＝
xln 10
＋
x
3
.
5.解：

如图，当曲线y＝e
x
在点P(x
0
，y
0
)处的切线与直线y＝x平行
时，点P到直线y＝x的距离最近．则曲线y＝e
x
在点P(x
0
，y
0
)
处的切线斜率为1，又y ′＝(e
x
)′＝e
x
，∴ex
0
＝1，得x
0< br>＝0，代
2
入y＝e
x
，得y
0
＝1，即P(0,1 )．利用点到直线的距离公式得最小距离为
2
.
π1
6.解：∵y＝coS x，∴y′＝(coS x)′＝－Sin x，∴曲线在点P
3
，
2
处的切 线
ππ3
|
的斜率为k＝y′x＝
3
＝－Sin
3
＝－
2
，∴过点P且与切线垂直的直线的斜率为
23123
?
π?
23123
?
x－
3
?
，即，∴满足题意的直线方程 为y－＝
x－y＋
323
?
32
－
9
π＝0.
?
1
7.解： (1)设y＝u
2
，u＝1－2x
2
，
1
??
1
??
1
2
uu－
???
则y′＝
2
′(1 －2x
)′＝
2
·(－4x)
2
?
????
－2 x
11
2
＝
2
(1－2x)－
2
(－4x)＝ .
1－2x
2
(2)设y＝e
u
，u＝Sin x，
则y< br>x
′＝y
u
′·u
x
′＝e
u
·coS x＝e
Sin x
coS x.
π
(3)设y＝Sin u，u＝2x＋
3
，
π
??
则y
x
′＝y
u
′·u
x
′＝coS u·2＝2coS
?
2x＋
3
?
.
??

(4)设y＝5log
2
u，u＝2x＋1，
10
则y′＝5(log
2
u)′(2x＋1)′＝
uln 2
＝
8.解：(1)设y＝u
2
，u＝－2x＋1，
则y′＝y< br>u
′·u
x
′＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4.
(2)设y＝ln u，u＝4x－1，
14
则y′＝y
u
′·u
x
′＝
u
·4＝.
4x－1
(3)设y＝2
u
，u＝3x＋2，
则y′＝y
u
′·u
x
′＝2
u
ln 2·3＝3ln 2·2
3x
＋
2
.
(4)设y＝u，u＝5x＋4，
则y′＝y
u
′·u
x
′＝
1
2u
·5＝
5
.
25x＋4
10
.
?2x＋1?ln 2
π
(5)设y＝Sin u，u＝3x＋
6
，
π
??
则y′＝y
u
′·u
x
′＝coS u·3＝3coS
?
3x＋
6
?
.
??
(6)法一：设y＝u
2
，u＝coS x，
则y′＝y
u
′·u
x
′＝2u·(－Sin x)
＝－2coS x·Sin x＝－Sin 2x；
法二：∵f(x)＝coS
2
x＝
1＋cos 2x
11
＝
2
＋
2
coS 2x，
2
?
11
?
所以f′(x)＝
?
2
＋
2
cos 2x
?
′
??
1
＝0＋
2
·(－Sin 2x)·2＝－Sin 2x.
9.解： (1)y′＝(x1＋x
2
)′
＝x′1＋x
2
＋x(1＋x
2
)′
＝
?1＋ 2x
2
?1＋x
2
x
2
1＋x＋＝
.
1 ＋x
2
1＋x
2
2
π
??
π
??
(2)∵y＝xcoS
?
2x＋
2
?
Sin
?
2x ＋
2
?

????
1
＝x(－Sin 2x)coS 2x＝－
2
xSin 4x，

?
1
?< br>∴y′＝
?
－
2
xsin 4x
?
′
??
1x
＝－
2
Sin 4x－
2
coS 4x·4
1
＝－
2
Sin 4x－2xcoS 4x.

x
?
x
??
2
x
?
sinsin
?
′
??
10.解：(1)y′＝
3
?
′＝2Sin
3
·
?
??
3
?
xx
?
x
?
12 x
＝2Sin
3
·coS
3
·
?
3
?
′＝
3
Sin
3
.
??
(2)y′＝(Sin
3
x＋Sin x
3
)′＝(Sin
3
x)′＋(Sin x
3
)′
＝3Sin
2
xcoSx＋coS x
3
·3x
2
＝3Sin
2
xcoS x＋3x
2
coS x
3
.
0－?1－x
2
?′
(3)y′＝
＝
1－x
2
1
x?1－x
2
?－
2
1－x
2
11
－
2
?1－x
2?－
2
?1－x
2
?′
1－x
2

＝＝
x
.
?1－x
2
? 1－x
2
( 4)y′＝x′ln(1＋x)＋x
[
ln?1＋x?
]
′
＝ln(1＋x)＋
x
.
1＋x
11.解： 由曲线y＝f(x)过(0,0)点，可得ln 1＋1＋b＝0，故b＝－1.由f(x)＝
ln(x ＋1)＋x＋1＋ax＋b，得f′(x)＝
1113
＋＋a，则f′(0)＝1＋
2
＋a＝
2
＋
x＋1
2x＋1
33
a，此即为曲线y ＝f(x)在点(0,0)处的切线的斜率．由题意，得
2
＋a＝
2
，故a＝ 0.
12.解析：选A 依题意得y′＝e
－
2x
·(－2)＝－2e－
2x
，y′
|
x
＝
0
＝－2e
－< br>2
×
0
＝－2.曲线y＝e
－
2x
＋1在点(0,2 )处的切线方程
是y －2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－
2x＋2 、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x
?
22
?
的交点 坐标是
?
3
，
3
?
，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标 是(1,0)，结合图象可得，
??
121
这三条直线所围成的三角形的面积等于2
×1×
3
＝
3
.