高中数学典型例题解析

.
任意角三角函数
三、经典例题导讲
[例1] 若A、B、C是
?ABC
的三个内角，且
A?B?C(C?
)
，则下列结论中正确的 个数
是（ ）
①.
sinA?sinC
②.
cotA?cotC
③.
tanA?tanC
④.
cosA?cosC

A．1 B.2 C.3 D.4
错解：
?A?C
∴
sinA?sinC
，
tanA?tanC
故选B
错因：三角形中大角对大边定理不熟悉，对函数单调性理解不到位导致应用错误
正解：法1< br>?A?C
在
?ABC
中，在大角对大边，
?c?a,?sinC?si nA

法2 考虑特殊情形，A为锐角，C为钝角，故排除B、C、D，所以选A .
[例2]已知
?
,
?
角的终边关于
y
轴对称，则
?
与
?
的关系为 .
错解：∵
?
,?
角的终边关于
y
轴对称，∴
?
2
?
?
?
2
?
?
2
+
2k
?
，（
k? z)

错因：把关于
y
轴对称片认为关于
y
轴的正半轴对称.
正解：∵
?
,
?
角的终边关于
y
轴对称
∴
?
?
?
2
?
?
2
?k
?
,(
k?Z
)
即
?
?
?
?
?
?2k
?
,(k?z)

说明：（1）若
?
,?
角的终边关于
x
轴对称，则
?
与
?
的关系为
?
?
?
?2k
?
,(k?Z)

（2）若
?
,
?
角的终边关于原点轴对称，则
?
与
?
的关系为
?
?
?
?(2k?1)
?
,(k?Z)

（3）若
?
,
?
角的终边在同一条直线上，则
?
与
?
的关系为
?
?
?
?k
?
,(k?Z)< br>
3
?
4
?,cos??
，试确定
?
的象限.
2525
?
3
?
4
?
错解：∵
sin??0,cos???
0
，∴是第二象限角，即
25252
[例3] 已知
sin
?
2k
?
??
2
?2k
?
?
?
,k?z.

从而
4k
?
?
?
?4k
?
?2
?
,k ?z.

故
?
是第三象限角或第四象限角或是终边在
y
轴负半轴上的角. < br>?
?
3
?
4
是第二象限角是正确的，由
sin??0 ,cos???
0
即可确定，
22525
?
3
?
4
而题中
sin?,cos??
不仅给出了符号，而且给出了具体的函数值，通过其值 可进
2525
??
一步确定的大小，即可进一步缩小所在区间.
22
错因：导出
.

.
正解：∵
sin< br>?
2
?
3
?
4
?
?0,cos???
0
，∴是第二象限角，
5252
又由
sin
?
2
?
323
?
3
??
??sin
知
2k
?
???2k
?
?
?
,k?z

524
42
4k
?
?
3
?
?
?
?4k
??2
?
,k?z
，故
?
是第四象限角.
2
[例4]已知角
?
的终边经过
P(?4a,3a)(a?0)
，求
s in
?
,cos
?
,tan
?
,cot
?
的值.
错解：
?
x
??
4a,y
?
3a,
?
r
?
x
2
?
y
2
?
5a
?sin
?
?
3a3?4a43a3?4a4
?,cos?
???,tan
?
???,cot
?
???

5a55a5?4a43a3

错因：在求得
r
的过程中误认为
a
?
0

正解：若
a?0
，则
r?5a
，且角
?
在第二象限
3a3?4a43a3?4a4
?,cos
?
???,tan
????,cot
?
???

5a55a5?4a43a3
若a?0
，则
r??5a
，且角
?
在第四象限
3a3? 4a43a3?4a4
?sin
?
???,cos
?
??,tan< br>?
???,cot
?
???

?5a5?5a5?4a43a 3
?sin
?
?
说明：（1）给出角的终边上一点的坐标，求角的某个三解函 数值常用定义求解；
（2）本题由于所给字母
a
的符号不确定，故要对
a< br>的正负进行讨论.
[例5] （1）已知
?
为第三象限角，则
?
是第 象限角，
2
?
是第 象限角；
2
3
?
,k?Z

2
（2）若
?
??4
，则
?
是第 象限角.
解：（1）
?
?
是第三象限角，即
2
k
?
?
?
?
?
?
2
k
?
?
?k
?
?
3
?k
?
?
?
,k?Z
，
4k
?
?2
?
?2
?
?4k
?
?3
?
,k?Z

224
?
当
k
为偶数时，为第二象限角
2
?
当
k
为奇数时，为第四象限角
2
?
而
2
?
的终边落在第一、二象限或
y
轴的非负半轴上.
? ?
3
?
??4??
?
，所以
?
为第二象限角. < br>2
?
?
点评：
?
为第一、二象限角时，为第一、三象限角，< br>?
为第三、四象限角时，为第二、
22
（2）因为
?
四象限角 ，但是它们在以象限角平分线为界的不同区域.
[例6]一扇形的周长为20
cm
， 当扇形的圆心角
?
等于多少时，这个扇形的面积最大？最大
面积是多少？
.

.
解：设扇形的半径为
rcm
，则扇形的弧长
l?(20?2r)cm

1
(20
?
2
r
)
?r??
(
r ?
5)
2
?
25

2
l
2
所以当
r?5cm
时，即
l
?10
cm
,
?
?? 2
时
S
max
?25cm
.
r
扇形的面积
S?
点评：涉及到最大（小）值问题时，通常先建立函数关系，再应用函数求最值的方法确定最
值的条件及相应的最值.
[例7]已知
?
是第三象限角，化简
1?sin
?
1?sin
?
?
。
1?sin
?
1? sin
?
(1?sin
?
)
2
(1?sin
?)
2
1?sin
?
?1?sin
?
2sin
?
?
解：原式＝＝
?
22
cos
?
cos
?
1?sin
?
1?sin
?
又
?
是第三象限角，
?cos
?
?0

所以，原式＝
?
2sin
?
??2tan
?
。 < br>cos
?
点评：三角函数化简一般要求是：（1）尽可能不含分母；（2）尽可能不含根 式；（3）尽可能
使三角函数名称最少；（4）尽可能求出三角函数式的值.本题的关健是如何应用基 本关系式
脱去根式，进行化简.
[例8] 若角
?
满足条件
sin 2
?
?0,cos
?
?sin
?
?0
，则
?
在第（ ）象限
A.一 B.二 C.三 D.四
解：
?
?
sin2
?
?0
?
si n
?
cos
?
?0
?
sin
?
?0
?
?
?
?
?
?
角在第二象限.故选B.
?cos
?
?sin
?
?0
?
cos
?
?sin
?
?
cos
?
?0
[例9] 已知
cos
?
??cos
?
，且
tan
?
?0
.
（1）试判断
sin(cos
?
)
的符号；
cos(si n
?
)
（2）试判断
lg(sin
?
?cos
?< br>)
的符号.
解：（1）由题意，
?1?cos
?
?0
，
1?sin
?
?0

?sin(cos
?
)? 0,cos(sin
?
)?0
，所以
sin(cos
?
)< br>?0
.
cos(sin
?
)
（2）由题意知
?为第二象限角，
sin
?
?cos
?
?1
，所以
lg(sin
?
?cos
?
)?0
.
四、典型习题导练
1．已知钝角
?
的终边经过点
P
?
sin2
?,sin4
?
?
，且
cos
?
?0.5
，则< br>?
的值为 ）
A．
arctan
?
?

?
1
?
?
B．
arctan
?
?1
?

?
2
?
C．
?
?arctan
13
?
D．

24
.

.
2．角α的终边与角β的终边关于y轴对称，则β为（ ）
A.-α B.л-α C.（2kл+1）л-α(k∈Z) D.kл-α（k∈Z）
3.若sinαtgα≥0,k∈Z，则角α的集合为（ ）
?
?
??
，2k
?
+] B.( 2k
?
－,2k
?
+)
2222
?
?
C.( 2k
?
－，2k
?
+)∪
?
2k
?
?
?
?
D.以上都不对
22
4．当0＜x＜
?
时,则方程cos (
?
cosx)=0的解集为( )
A．[2k
?
－

A.
?
?
?
?
?
2
?
?
?
?
5
?
?
?
?
2
?
?
B. C. D.
,,
????

???
?
66
?
?< br>33
?
?
3
?
?
3
?
5．下列四个 值:sin3,cos3,tg3,ctg3的大小关系是( )
3＜tg3＜ctg3＜sine 3＞cos3＞tg3＞ctg3
3＜tan3＜cos3＜sin3 3＞tan3＞cos3＞cot3
6．已知x∈(0,
?
),则下面四式: 中正确命题的序号是 .
2
①
sinx＜x＜tgx
②
sin(cosx)＜cosx＜cos(sinx)
33
③
sin
x+cosx＜1
④
cos(sinx)＜sin(cosx)＜cosx
7．有以下四组角：(1) k
?
+
ππππ
；(2)k
?
-；(3)2k
?< br>±；(4)-k
?
+(k∈z)其中终边相同
2222
的是（ ）
A.(1)和(2) B.(1)、(2)和(3)
C.(1)、(2)和(4) D.(1)、(2)、(3)和(4)
8．若角α的终边过点(sin30°，-cos30°),则sinα等于（ ）
1133
A. B.－ C.－ D.－

2223

角 函数 正弦 余弦 记忆口诀

函数名不变
符号看象限
2k
?
?
?

?
?
?

?
?

?
?
?

2
?
?
?

?
?
?

2
sin
?

－
sin
?

－
sin
?

sin
?

－
sin
?

cos
?


cos
?

－
cos
?

cos
?

－
cos
?

cos
?

sin
?


?
2



函数名不变
符号看象限
?
?

cos
?

sin
?

.

.
3
?
?
?

2
3
?
?
?

2
－
cos
?

－
cos
?

－
sin
?

sin
?


诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”.
3．诱导公式解决常见题型
（1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数；
（2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母.
二、疑难知识导析
1．三角变换的常见技巧
“1”的代换；
si n
?
?cos
?
，
sin
?
?cos
?< br>，
sin
?
?cos
?
三个式子，据方程思想
知一可 求其二（因为其间隐含着平方关系式
sin
2
?
?
cos
2
?
?
1
）；
2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察 题目的特征，灵活恰当地选用公式，
一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角；
3． 已知角
?
的某个三角函数值，求角
?
的其余5种三角函数值时，要注意公式的 合理选择.
在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进< br>行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.
三、典型例题导讲
1
，< br>?
?
（
0
，
?
），则
cot
??
__________
5
121
错解：两边同时平方，由
s in
?
?cos
?
??
得
与
sin
??cos
?
?
，
255
[例1]已知
sin
?
?
cos
?
?
(sin
?
?cos
?)
2
?sin
2
?
?2sin
?
?cos?
?cos
2
?
?4sin
?
cos
?
?(sin
?
?cos
?
)
2
?4sin
?cos
?
?
49
25
?sin
?
?cos?
??
7
5

433
，cos
?
?? ，进而可求
cot
?
.
解得：
cot
?
??

554
344
或
sin
?
??，cos
?< br>?，进而可求
cot
?
.
解得：
cot
?
? ?

553
∴
sin
?
?
错因：没有注意到条件< br>?
?(0,
?
)
时，由于
sin
?
?cos
?
?0

所以
sin
?
?cos
?
的值为正而导致错误.
1
，
?
?
（0，
?
），

5121
?0
与
sin
?
?cos
?
?
联立，
两边同时平方，有
sin
?
?cos
?
??

255
433
cos
?
??
，
求出
sin
?
?
，
∴
cot
?
??

554
正解：
sin
?
?cos
?
?
[ 例2]若sinA=asinB,cosA=bcosB,A、B为锐角且a＞1,0＜b＜1，求tanA的值
.

.
错解：由
?
?
sinA?asin B　　①
?
cosA?bcosB　　②
得tan A=
a
tan B
b
错因：对题目最终要求理解错误.不清楚最后结论用什么代数式表示
?
sinA?asinB　　①
222222
正解：由
?
①+②得asinB+bcosB=1
?
cosA?bcosB　　②
a
2
?11?b
2
1?b
2
2
∴cosB=
2
∴sinB=
2
∴tan 2B=
2

a?b
2< br>a?b
2
a?1
2
1?b
2
∵B为锐角 ∴tan B=
a
2
?1
①
a
a1?b
2
得tan A=tan B=
2
②
b
b
a?1
[例3]（05年高考 重庆卷）若函数
f(x)?
1?cos2x
4sin(?x)
2
?< br>xx
?asincos(
?
?
)
的最大值为2，
22
试确定常数
a
的值.
2cos
2
xxx
解:f( x)??asincos
4cosx22
1a
?cosx?sinx
221a
2
1
??sin(x?
?
),其中角
?
满 足sin
?
?

2
44
1?a
1a
2由已知有??4.
44
解之得,a??15.
点评：本试题将三角函数“
?
2
?
?
,
?
?
?
”诱导公式有机地溶于 式子中，考查了学生对基
础知识的掌握程度，这就要求同学们在学习中要脚踏实地，狠抓基础.
[例4] （05年高考北京卷）已知
tan
?
2
?
6s in
?
?cos
?
（1）
tan(
?
?
)
的值； （2）
的值．
43sin
?
?2cos
?
解：（1）∵ tan
=2，求
?
2
?
2?2
??
4
; =2, ∴
t an
?
?
?
1?4
2
3
1?tan
22
2tan
?
.

.
4
??1
?
1
4
?
tan
?
?1
=
3
所 以
tan(
?
?)?
??
；
4
1?tan
?
tan
?
1?tan
?
1?
4
7
4< br>3
4
6(?)?1
7
46sin
?
?cos
?
6tan
?
?1
3
（2）由(I), tan
α
=－, 所以==
?
.
33sin
?
? 2cos
?
3tan
?
?2
3(?
4
)?2
6
3
tan
?
?tan
点评：本题设计简洁明了，入手容易，但对 两角和与差的三角函数、同角间的基本关系式要
求熟练应用，运算准确.
[例5]化简：< br>sin(
?
4n?14n?1
?
?
?
)?cos(< br>?
?
?
)
44
(
n?z
)

错解：原式
?sin[n
?
?(
?
4
?
?
)]?cos[n
?
?(
?
4
?
?
)]

?sin(
?
?
?
)?cos(?
?
)?sin[ ?(?
?
)]?cos(?
?
)

44244
?< br>???
?cos(?
?
)?cos(?
?
)?0

44
错因：对三角函数诱导公式不完全理解，不加讨论而导致错误.
正解：原式?sin[n
?
?(
??
?
4
?
?
) ]?cos[n
?
?(
?
4
?
?
)]

（1）当
n?2k?1(k?z)
，时
原式
?sin[2k
?
?
?
?(
?
4
?
?
)]
+< br>cos[2k
?
?
?
?(
?
4
?
?
)]

?sin(?
?
)?cos(?
?
)?co s(?
?
)?cos(?
?
)
=0
4444
（2）当
n?2k(k?z)
，时
原式
?sin [2k
?
?(
?
?
?
?
?
4
?< br>?
)]
+
cos[2k
?
?(
?
4
?
?
)]

??sin(
?
?
?
)]+
cos(?
?
)
=0
44
?
?
?
1
?
2
?
?
?
?
?
?
， 则
cos
?
?2
?
?
=（ ）
?
6
?
3
?
3
?
?
[例6]（05年高考江苏卷）若< br>sin
?
A．
?
7117
B．
?
C．
D．
93 3
9
错解：
cos
?
?
?
?
7
?
2
?
?
?2
?
?
=
cos[
?< br>?(?2
?
)]
=
cos(?2
?
)
=1— 2
sin
2
(?
?
)
=

3369
?
3
?
?
?
2
?
?
?2
??
=
cos[
?
?(?2
?
)]

3
?
3
?
错因：诱导公式应用符号错.
正解：
cos
?
.

.
=—
co s(
?
3
?
2
?
)
=—1+2
sin2
(
?
6
?
?
)
=—
7
9< br>.故选A.
[例7]．（05年高考福建卷）已知
?
?
2
? x?0,sinx?cosx?
1
5
.
（1）求sin
x
－cos
x
的值；
3sin
2
x
（2）求
2
?2sin
xxx
2
cos
2
?cos
2
2
tanx?cotx的值.
解法一：（1）由
sinx?cosx?
11
5
,平 方得sin
2
x?2sinxcosx?cos
2
x?
25
,

即
2sinxcosx??
24
25
.? (sinx?cosx)
2
?1?2sinxcosx?
49
25
.

又
?
?
?
2
?x?
0,
?
sin
x?
0,cos
x?
0,sin
x?
c os
x?
0,
故
sinx?cosx??
7
5
.

3sin
2x
?sin
x
cos
x
?cos
2
x
2sin
2
x
?sinx?
（2）
2222
1
tanx?cotx
?
2
sinxcosx

cosx
?
sinx
?sinxcosx(2?cosx?sinx)

?(?
12
)?(2
1108

25
?
5
)??
125
?
解法二：（1）联立方 程
?
?
sinx?cosx?
1
5
,

①
?
?
sin
2
?cos
2
x?1.
②
由①得
sinx?
1
5
?
cos
x
,
将其代入②，整理得
25cos
2
x?5cosx?12?0,

?

?cosx??
34
sin
3
5
或
cosx?
5
.
?
?
?
2
?x?0, ?
?
?
x??
?
5
,
故
?
?
?
cosx?
4
5
.
sinx?cosx??
7
5
.

3sin
2
x
?sin
xxx
（2）
22< br>cos
2
?cos
2
2
tanx?cotx

2sin
2
x
?sinx?1
?
sin
2
xco sx
cosx
?
sinx

?sinxcosx(2?cosx?sinx)
?(?
3443108
< br>5
)?
5
?(2?
5
?
5
)??
1 25
.

.
点评：本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变 换、三角函数在各象限符号等基本
知识，以及推理和运算能力.
sinα
cos
2
?
22
[例8] (1)化简： ＋+cosαcscα
2
2
secα－1
csc
?
?1< br>2
(2)设sin(α+
π1
)=－,且sin2α＞0
24
求sinα,tanα
sinαcosα
22
解：原式=＋ +cosαcscα
22
tanαcotα
=cosα+sinα+cosαcscα
=1+cotα
=cscα
π11
)=- ∴cosα=- ∵sin2α＞0∴2kπ＜2α＜2kπ+π
244
2
2
2222
22
(2)解：由sin(α+
kπ＜απ
(k∈z) ∴α为第一象限或第二象限的角
2
1
∵cosα=- ＜0 ∴α为第三角限角
4
15sinα
tan α= = 15
4cosα
sinα=-1－cosα＝
2
点评：本题要求同学们熟练掌握同角三角函 数之间的关系，在求值过程中特别注
意三角函数值的符号的探讨.
[例9] 求函数的定义域.
解：由题意有

已知
sin(??< br>?727?
)?,cos2??,求sin?及tan(??
)
.
410253
解法一:由题设条件，应用两角差的正弦公式得
72?2
?sin(??)?(sin??cos?)

1042
.

.
即
sin??cos??
7
①
5

由题设条件，应用二倍角余弦公式得
77?cos2??cos
2
??sin
2
??(cos??sin?)(c os??sin?)??(cos??sin?)
255
1
故
cos??si n???
②
5
343
由①式和②式得
sin??,cos???
.因此，
tan???
，由两角和的正切公式 < br>554
3
?tan??3
4
?
43?3
?
4 8?253
.

tan(??)??
4
1?3tan?
11
334?33
1?
4
3?
解法二：由题设条件，应用二倍角余弦公式 得
793
?cos2??1?2sin
2
?
解得
sin< br>2
??,即sin???

25255
由
sin(??
?727
)?,可得sin??cos??

4105
77
?cos??0,且cos??sin???
0
，
55
3
故
?
在第二象限，于是
sin??
.
5
74
从而
cos??sin????
（以下同解法一）.
55
点评：
sin
?
?cos
?
，
sin
?
?cos
?
，
sin
?
?cos
?
三 个式子，据方程思想知一可求其二（因
由于
sin??
为其间隐含着平方关系式
sin
?
?
cos
?
?
1
），在求值过程中要注 意符号的讨论.
四、典型习题导练
1． 当0＜x＜л时,则方程cos (лcosx)=0的解集为( )
22
?
л
?
?
2 л
?
л
?
л
?
?
л5
?
л2A.
?
,
B. C. D.
,
????

???
33
6633
??
?
??
?
?
?
2．（05年高考全国卷Ⅰ）在
?ABC< br>中，已知
tan
①
tanA?cotB?1

22
③
sinA?cosB?1

A?B
?sin
C
，给出以下四个论断：
2
②
0?sinA?sinB?








2

222
④
cosA?cosB?sinC

其中正确的是
A．①③ B.②④
7．已知函数
f
(
x
)＝2sin
x
cos
x
＋cos2
x
．
C.①④ D.②③
.

.
(1) 求
f
(
2
?
?
)的值； (2) 设
?
∈(0，
?
)，
f
()＝，求sin
?
的值． < br>2
42
8．（05年高考湖南卷）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB） －sinC＝0，
sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.
9．（06年高考安徽卷）已知
（1）求
tan
?
的值；
3
?
10
?
?
?
?
,tan
?
? cot
?
??

43
5sin
2
（2）求
?
2
?8sin
?
2
cos
?
2
?11c os
2
?
2
?8
的值。
?
??
2sin
?
?
?
?
2
??

3.3三角函数的恒等变换
一、知识导学
1.两角和、差、倍、半公式
（1） 两角和与差的三角函数公式

sin(
?
?
?
)?sin
?
?sin
?
?cos
?
sin
?


cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?

tan(
?
?
?
)?
tan
?
?tan
?

1
?
tan
?
tan
?
（2） 二倍角公式

sin2
?
?2sin
?
cos
?


cos2
?
?cos
?
?sin
?
?2cos?
?1?1?2sin
?

2222
tan2
?
?
2tan
?

1?tan
2
?
（3） 半角公式
1?cos
?
1?cos
?
1?cos
?
2
?
2
?
，
cos
，
tan

??
222221?cos?
?
sin
?
1?cos
?

tan?

?
21?cos
?
sin
?

sin
2
?
?
4． 三角公式由角的拆、凑很灵活.如
2< br>?
?(
?
?
?
)?(
?
?
?
)
、
?
?(
?
?
?
)?
?
、
?
?
?
?
?
2
?
?
?
?
2
，
?
?
?
2
?(
?
?
?
2
)?(
?
2
?
?
)
等，注意到倍角的 相对性.
5．化为三角函数式，常见的思路为化“三同”即同名、同角、同次，切割化弦、特殊值与
特殊角的三角函数互化等.
6. 三角恒等式的证明包括无条件恒等式和有条件恒等式
(1)无条件恒等式证明,要认真分析等式两边三角函数的特点,角度和函数关系,找出差异寻找突破口.
.

.

三、典型例题导讲
[例1] 在?ABC中，2sinA+cosB=2，sinB+2cosA=
3
，则?C的大小应为( )
??
B．
63
错解：C
错因：求角C有两解后未代入检验.
正解：A
A．
2
C．
?
5
或
?

6
6
D．
?
2
?
或
33
[例2] 已知tan? tan?是方程x+3
3
x+4=0的两根， 若?，??(-
??
,
)，则?+?=（ ）
22
?

3
错解：B.
A． B．
?
2
或-
?

3
3
C．-
?
2
或
?

3
3

2
D．-
?

3
1
(sin23
?
?sin7
?
)
2
原式?
1cos7
?
?(cos23
?
?cos7
?
)
2
??

?
sin23?sin7

??
c os23?cos7
2sin15
?
cos8
?
?
2cos 15
?
?cos8
?
?tg15
?
?…（余同解法一）sin7
?
?
[例8]
化简sin
2
?
?s in
2
?
?cos
2
?
?cos
2
??
cos2
?
?
cos2
?

分析：对三角函数式化简的目标是：
（1）次数尽可能低；
（2）角尽可能少；
（3）三角函数名称尽可能统一；
（4）项数尽可能少.
观察欲化简的式子发现：
（1）次数为2（有降次的可能）；
（2）涉及的角有α、β、2α、2β，（需要把2α化为α，2β化为β）；
（3）函数名称为正弦、余弦（可以利用平方关系进行名称的统一）；
（4）共有3项（需要减少），由于侧重角度不同，出发点不同，本题化简方法不止一种.
解法一：（复角→单角，从“角”入手）
原式
?sin
2
1
2
?
?sin
2
?
?cos
2
?
?co s
2
?
??
(2cos
2
?
?
1)(2c os
2
?
?
1)

1
2

.

.




解法二： （从“名”入手，异名化同名）




.

.


解法三 （从“幂”入手，利用降幂公式先降次）




解法四 （从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方）


.

.



点评：在对三角式作变形时，以上四种方法，提供了四种变形的角度，这也是研究其他三
角问题时经常要 用的变形手法.
四、典型习题导练
1.已知集合M=
yy?sinx?cosx, x?R
?
，N=
?
yy?
?
sinxcosx,x?R?
则MUN等于（ ）
A．M B.N C.ф D.
y?2?y?2
2.若sinα+cosα=
2
,则tanα+cotα=( )
A.1 B.2 C.-1 D.-2
3.已知
?
?
?

л4α
＜α＜л＜,sinα=,则cos的值为( )
252
A.
5555
或- B.- C. D.以上都不对
2555
лθ4θθ4θ
,则
tan?tan?3tantan
= .
53333`
л13л
5.计算sinsin= .
1010
4.已知θ=
6．已知tanA·tanB=tanA+tanB+1，则cos( A+B)的值是（ ）
A．
?
2
2

B．
2
2
C．
?

2
2
D．
?
1
2

7．求值：__________
.

.
8.函数的最小值为（ ）
A. B. C. 0 D. 1
9．已知角A是△ABC的一个内角，且
sinA?cosA?

2
，则△ABC是（ ）
3
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．形状不确定
10.已知向量
a?(cos
?
,s in
?
),b?(cos
?
,sin
?
),|a?b|?< br> （1）求
cos(
?
?
?
)
的值；
（2）若
0?
?
?
25
.

5
?
2
,?
?
2
?
?
?0,且sin
?
??< br>5
,求sin
?
的值.
13
3.4三角函数的图像与性质
一、知识导学
1.三角函数线.设角
?
的终边与单位圆交于点
P
，过点
P
做
PM?x
轴于
M
，过点
A(1 ,0)
做单位圆的切线，与角
?
的终边或终边的反向延长线相交于点
T
，则有向线段
MP,OM,AP
分别叫做角
?
的正弦线，余弦线，正切线.
2.三角函数的图像
（1）
y?sinx,y?cosx,y?tanx,y?cotx
四种图像
（2）函数
y?Asin(
?
x?
?
)
的图像
①“五点作图法”
②图像变化规律
3.三角函数的定义域、值域及周期
4.三角函数的奇偶性和单调性
二、疑难知识导析
1.
y?Asin(< br>?
x?
?
)
+
B(A?0,
?
?0)
中，
A,B,
?
及
?
，对正弦函数
y?sinx
图像
的影响，应记住图像变换是对自变量而言.
?
?
?
个单位，应 得
y?sin2(x?
)
，而不是
y?sin(2x?)

66
6
?
2.用“五点法”作
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
图时，将
?
x?
?看作整体，取
0,
，
2
如：
y?sin2x
向右平移
.

.
?
,
3
?
,2
?
来求相应的
x
值及对应的
y< br>值，再描点作图.
2
3.
y?sinx,y?cosx,y?Asin(?
x?
?
)
的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形.
而y?tanx
图像只是中心对称图形，掌握对称中心和对称轴的求法及位置特征，充分
利用 特征求出中
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
的各个参数.
4.三角函数的定义域是研究其它一切性质的前提.求定义域实质上是 解简单的三角不等
式（组）.要考虑到分母不为零，偶次根式被开方数不小于零，对数的真数大于零、底
数大于零且不等于1，同时还要考虑到函数本身的定义域.可用三角函数图像或三角函数
线解不 等式（组）.
5.求三角函数的值域是常见题型.一类是
y?asinx?bcosx
型，这要变形成
y?a
2
?b
2
sin(x?
?
)
；二是含有三角函数复合函数，可利用换元、配方等方法转换
成一元二次函数在定区间上的值 域.
6.
y?Asin(
?
x?
?
)(A?0,
?
?0)
单调性的确定，基本方法是将
?
x?
?
看作整体，
如求增区间可由
2k
?
?
?
2
?
?
x?
?
?
2k
?
?
?
2
(k?z)解出
x
的范围.若
x
的系数为负
数，通常先通过诱导公式处理.
7.利用单调性比较函数值的大小.往往先利用对称型或周期性转化成同一单调区
间上的两个同名函数.

三、典型例题导讲
[例1] 为了得到函数
y?sin?
2x?
?
?
?
?
?
的图像，可以将函数y?cos2x
的图像（ ）
6
?
A 向右平移
??
??
B 向右平移 C 向左平移 D向左平移
6363
错解：A
错因：审题不仔细,把目标函数搞错是此题最容易犯的错误.
正解：B
[例2] 函数
y?sinx
?
1?tanx?tan
A
?
B
2
?
C
错解：A
错因：将函数解析式化为
y?tanx
后得到周期
T?
?
,而忽视了定义域的限制,导致出错.
正解：B
[例3]下列四个函数y=tan2x，y=cos2x，y=sin4x，y=c ot(x+
??
),其中以点(,0)为中心对
44
?
?
x
?
?
的最小正周期为( )
2
?
?
3
?
D
2
2
.

.
称的三角函数有（ ）个.
A．1 B．2 C．3
错解：B
错因：对三角函数图像的对称性和平移变换未能熟练掌握.
正解：D
[例4]函数
y?2sin(
A.
[0,
D．4
?
6
?
2
x
)(
x?
[0,
?
])
为增函数的区间是 ( )
?
3
]
B.
[
?
12
,
7
?
]

12
C.
[
?
3
,
5
?

]

6
D.
[
5
?
,
?
]

6
错解：B < br>7．（06年高考浙江卷）如图，函数y=2sin(π
x
＋φ),x∈R,(其中0≤ φ≤
的图象与y轴交于点（0，1）.
(1)求φ的值；
(2)设P是图象上的 最高点，M、N是图象与
x
轴的交点，求
PM与PN的夹角.



3.5解三角形及三角函数的应用
一、知识导学
1.解三角形的的常用定理:
(1) 内角和定理:
A?B?C?
?
结合诱导公式可减少角的个数.
?
)
2
abc
???2
R
（
R
指△ABC外接圆的半径 ）
sinAsinBsinC
111

(S?absinC?bcsinA?ac
sin
B
)

222
(2) 正弦定理:
(3) 余弦定理:
a
2
?b
2
?2abcosC?c
2
及其变形.
(4) 勾股定理:
Rt?ABC中a?b?c

2.解三角形是指已知三角形中的部分元素运用边角的关系求得其他的边角的问题.
三角函数 的应用是指用三角函数的理论解答生产、科研和日常生活中的实际应用问题.
他的显著特点是（1）意义 反映在三角形的边、角关系上，有直角三角形，也有斜三角形.
（2）函数模型多种多样，有三角函数， 有代数函数，有时一个问题中三角函数与代数函数
并存.解三角函数应用题一般首先审题，三角函数应用 题多以“文字语言，图形语言”并用
的方式，要通过审题领会其中的数的本质，将问题中的边角关系与三 角形联系起来，确定以
什么样的三角形为模型，需要哪些定理或边角关系列出等量或不等量关系的解题思 路；其次，
寻求变量之间的关系，也即抽象出数学问题，要充分运用数形结合的思想、图形语言和符号< br>语言等方式来思考解决问题；再次，讨论对数学模型的性质对照讨论变量的性质，从而得到
的是数 学参数值；最后，按题目要求作出相应的部分问题的结论.
二、疑难知识导析
.
222

.
1.对各类定理的应用要注意使用其变形逆用.同时充分利 用方程的思想知道其中的部分量可
求出其他量.
2.三角函数的应用主要是图像和性质的应用.
3.三角形中元素关系的应用与实际问题中的应用关键是如何建立数模结构.
三、经典例题导讲
[例1]已知方程
x
2
?
4
a x?
3
a?
1
?
0
（a为大于1的常数）的两根为
tan
?
，
tan
?
，
且
?
、
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
?
，则
tan
的值是_________________.
22
2
??
错解：
?
tan
?
,ta n
?
是方程
x
2
?
4
ax?
3
a ?
1
?
0
的两个根
?
tan
?
?tan
?
??4a
，
tan
?
?tan
?
?3a ?1

由
tan
?
?
?
?
?
=
tan
?
?tan
?
?4a
?
?
?< br>4
==可得
tan??
2.

1?tan
?
?tan
?
1?
?
3a?1
?
3
2
错因： 忽略了隐含限制
tan
?
,tan
?
是方程
x
2< br>?
4
ax?
3
a?
1
?
0
的两个负 根，从而导致错
误.
正解：
?a?1

?
tan
?
?tan
?
??4a
?0
，
tan
?
?tan
?
?3a?1?o


?
ta n
?
,tan
?
是方程
x
2
?
4
ax?
3
a?
1
?
0
的两个负根
又
?
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
?
?
,
?

?
?
,
?
?
?
?,0
?
即
?
?
?,0
?

22
22
??
???
2
?
tan
?
?tan
?
?4a
4
?
?
?
==可得
tan??
2.

1?t an
?
?tan
?
1?
?
3a?1
?
32
由
tan
答案: -2 .
?
?
?
?
?
=
[例2]在
?ABC
中，已知
a
，b，c是角A、B、C的对应边，则
①若
a?b
，则
f(x)?(sin A?sinB)?x
在R上是增函数；
②若
a?b?(acosB?bcosA)< br>，则
?
ABC是
Rt?
；
222
③
cosC?sinC
的最小值为
?2
；
3
?
，其中错误命题的序号是_____.
4
④若
cosA?cos2B
，则A=B；
⑤若
(1?t anA)(1?tanB)?2
，则
A?B?
错解：③④⑤中未考虑
0?C?
?
.
.

.
错因：④中未检验.
正解：错误命题③⑤.
①
a?b?sinA?sinB,?sinA?sinB?0

?f(x)?(sinA?sinB)x在R上是增函数。

②
a?b?c,a?b?c,则?ABC是Rt?
.
③
sinc? cosc?
222222
2sin(c?
?
4
),当sin(c?< br>?
4
)??1,
时最小值为
?2
.
显然
0?c?
?
,
.得不到最小值为
?2
.
④
cos2A?cos2B?i?2A?2B,A?B

或
2A ?2
?
?2B,A?
?
?B,A?B?
?
(舍) ，
?A?B
.
⑤
1?tanA?tanB?tanA?tanB?2,1? tanA?tanB?tanA?tanB

?
?
错误命题是③⑤.
[例3]函数f(x)=
错解：
?
?
tanA?tanB
?
?1，即tan(A?B)?1，?A?B?
1?tanA?tanB4

sinxcosx
的值域为______________.
1?sinx?cos x
?
?
2121
?
?,?
?

2222
?
t?1
错因：令
t?sinx?cosx
后忽视
t??1
,从而
g(t)???
1

2
???
2121?
??
正解：
?
??,?1
?
?
?
? 1,?
?

2222
????
[例4] （06年高考江苏卷）cot20?cos10??3sin10?tan70??2cos40?
＝
【思路点拨】本题考查三角公式的记忆及熟练运用三角公式计算求值
解：
cot20?cos10??3sin10?tan70??2cos40?
< br>cot20
0
cos10
0
3sin10
0
sin7 0
0
0
??2cos40
＝

00
sin20co s70
cos20
0
cos10
0
?3sin10
0
cos20
0
?2cos40
0
＝
0
sin20
.

.
cos20
0(cos10
0
?3sin10
0
)
0
??2cos4 0
sin20
0
2cos20
0
(cos10
0
s in30
0
?sin10
0
cos30
0
)
??2 cos40
0

0
sin20
2cos20
0
si n40
0
?2sin20
0
cos40
0
?
sin 20
0
?2
【解后反思】方法不拘泥,要注意灵活运用,在求三角的问题中,要注意这 样的口决“三看”
即(1)看角,把角尽量向特殊角或可计算角转化，(2)看名称,把一道等式尽量化 成同一名称或
相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，(3)看 式
子,看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用,如果不满足转化一下角或转换一下
名称,就可以使用.
[例5] 在锐角△ABC中，A＜B＜C,且B=60°,
(1?c os2A)(1?cos2C)
=
3?1
,求证：a+
2b?2c.

2
解：∵B=60° ∴A+C=120° cos(A+C)=-
1

2
又由已知
2cos
A
?2cos
C
=
2 2
3?1
∵锐角△ABC中，cosA＞0，cosC＞0，
2
∴cosAcosC=
3?13?1
sinAsinC=
44
3
即C－A=30°
2
∴cos(C－A)=
∴A=45° B=60° C=75°
∴a+
2
b=2R(sin45°+
2
sin60°)=2·2R
2 ?6
=2·2Rsin75°=2c
4
[例6]如图,在平面有点A、B、P、Q， 其中
AB?3
，
AP?PQ?QB?1,
设△APB与
△PQB面积 为S、T，求S+T的取值范围.
解：设∠BAP=α α∈[0,
22
л
]
2
∠BQP=β,在△PAB,△PBQ中
由余弦定理cosβ=cosα-1
∴S+T＝(
22
3
1
22
sinα)+(sinβ)
2
2
.

.

＝－
1
2
73
(cos
?
－)+
28< br>23
22
∴当cosα=1时，S+T有最小值
23?3

4
当cosα=
1
23
时，S+T有最大值
22
7

8
[例7]已知函数
f
(
x
)=sin(?
x
+? )，
x
?R，(其中?>0)的图像与
x
轴在原点右侧的第一个交点
为N（6,0）,又
f
(2+
x
)=f(2－
x
),
f
(0)<0,求这个函数的解析式.
解：
?
f(2+x)=f(2-x)
?
f(x)关于x=2对称，又x轴在原点右侧的第一个交点为N（6,0）
2
?
?< br>T
=6-2=4，即
T
=16，
?
?
?
=< br>.
T
84
3
?
?
将N（6,0）代入f(x)=s in(x+?)得：sin(+?)=0，
4
8
5
?
?
得：?=2k
?
+或?=2k
?
+(k?Z),
44< br>5
?
5
?
?
f(0)<0,
?
?=2k
?
+
(k?Z),满足条件的最小正数?=,
44
5< br>?
?
?
所求解析式f(x)=sin(
x+).
84
?

[例8] 已知△ABC的周长为6，
BC,CA,AB
成等比数列，求
（1）△ABC的面积S的最大值；
（2）
BA?BC
的取值范围.

解

设
BC,CA,AB
依次为a，b，c，则a+b+c=6，b?=ac，
a
2
?c
2
?b
2
a
2
?c
2
? ac2ac?ac1
???
,
由余弦定理得
cosB?
2ac2a c2ac2
?
a?c6?b
故有
0
?B?
，又
b? ac??,
从而
0?b?2

322
111
?
（1）所以
S?acsinB?b
2
sinB??2
2
?sin?3
，即
S
max
?3

2223
a
2?c
2
?b
2
(a?c)
2
?2ac?b
2< br>?
（2）所以
BA?BC?accosB?

22
(6? b)
2
?3b
2
??(b?3)
2
?27


?
2

?0?b?2,?2?BA?BC?18
，
.

.

四、典型习题导练
1.在Rt△ABC中,C=90°,则sinAcos2(4 5°－
BAA
)-sincos
222
11
A.有最大值和最小值0 B.有最大值但无最小值
44
1
C.即无最大值也无最小值 D.有最大值但无最小值
2

л
)的图像 ( )
4
лллл
A.向右平移 B.向左平移 C.向右平移 D.向左平移
8844
2.要得到y=sin2x的图像,只需将y=cos(2x-
3．电流强度I（安）随时间t（秒）变化的函数
I=
A?sin(
?
t ?
?
6
1
所示，则当
t?
秒时，电流强度是 安.
50


4.在△ABC中,sin
)(
A?
0,
?
?
0)
的图像如图
ABC1
sinsin
=,则△ABC的形状
2228
为 ．
5.直角三角形的周长为定值2
l
,则斜边的最小值是 .
6．如果方程x-4xcosθ+2=0与方程2x+4xsin2θ-1=0有一根，互为倒数求 θ值，
其中0＜θ＜π.
22
7. 如图，已知一半径为1，圆心角为
求该矩形的最大面积.
?
的扇形中，有一个一边在半经上的内接矩形ABCD，
3
8．在
?ABC中，a、b、c
分别是角A、B、C的对边，设
a?c?2b
，
A? C?
的值.



?
3
，求sinB
.