最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套

最新人教版高中数学选修2-2综合测试题及答案2套
模块综合检测(A)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合 题目要求的)
2－i
1．复数z＝(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
2＋i
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
2－i?2－i?
2
4－4i－1
34
解析： ∵z＝＝＝＝－i，
555
2＋i?2＋i??2－i?
34
，－
?
，在第四象 限． ∴复数z对应的点的坐标为
?
5
??
5
答案： D
2．函数f(x)＝x
3
＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为( )
A．10
C．－1
B．5
3
D．－
7
3
解析： f′(x)＝3x
2
＋4，f′(1)＝7，f(1) ＝10，y－10＝7(x－1)，y＝0时，x＝－.
7
答案： D
3．类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是( )
①平行于同一直线的两条直线平行；
②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；
③如果一条直线与两条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．
A．①②③
C．①
B．①③
D．②③
解析： 类比①的结论为：平行于同一个平面 的两个平面平行，成立；类比②的结论为：
一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂 直，成立；类比③的结论为：
如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，成立．
答案： A
4．函数y＝x
3
－3x
2
－9x(－2A．极大值5，极小值－27
C．极大值5，无极小值
B．极大值5，极小值－11
D．极小值－27，无极大值
解析： y′＝3x< br>2
－6x－9＝0，得x＝－1，x＝3，当x<－1时，y′>0；当x>－1时，y′<0.

当x＝－1时，y
极大值
＝5，x取不到3，无极小值．
答案： C
1
5．函数y＝4x
2
＋的单调递增区间是( )
x
A．(0，＋∞)
1
，＋∞
?
C．
?
?
2
?
B．(－∞，1)
D．(1，＋∞)
3
1
8x－1
1
解析： 令y′＝8x－
2
＝2
>0，即(2x－1)(4x
2
＋2x＋1)>0，且x≠0，得x>.
xx2
答案： C
6．下列计算错误的是( )
A．
?
?
π
－
π
sin xdx＝0 B．
?
?
1
0
2
xdx＝
3
C．cos xdx＝2cos xdx D．
?
?
π
－
π
sin
2
xdx＝0
解析： 由微积分基本定理或定积分的几何意义易得结果．
答案： D
1117．用数学归纳法证明＋＋?＋>1(n∈N
＋
)时，在验证n＝1时，左边的代
n＋1n＋23n＋1
数式为( )
111
A．＋＋
234
1
C．
2
11
B．＋
23
D．1
111111
解析： 当n＝1时，不等式左边为＋＋＝＋＋.
1＋11＋23×1＋1
234
答案： A
8．函数y＝ax
3
－x在(－∞，＋∞)上的减区间是[－1,1]，则( )
1
A．a＝
3
C．a＝2
B．a＝1
D．a≤0
解析： x∈[－1,1]，y′＝3ax
2
－1≤0，且y′|
x
＝
±1
＝0，
1
∴3a＝1，a＝.
3
答案： A < br>9．若z
1
，z
2
∈C，则z
1
z
2
＋z
1
z
2
是( )
A．纯虚数
C．虚数
B．实数
D．不能确定

解析： 设z
1
＝a＋b i，z
2
＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z
1
z
2
＋z
1
z
2
＝(a＋bi)(c－di)＋(a
－bi)(c＋di )＝(2ac＋2bd)∈R.
答案： B
10．设z＝log
2
(m< br>2
－3m－3)＋ilog
2
(m－3)(m∈R)，若z对应的点在直线x－ 2y＋1＝0上，
则m的值是( )
A．±15
C．－15
B．15
D．15
解析： log
2
(m
2
－3m－3)－2lo g
2
(m－3)＋1＝0，
m
2
－3m－3m
2
－3m－3
1
log
2
＝－1，＝，m＝±15，
2
?m－3?
2
?m－3?
2
而m>3，所以m＝15.
答案： B
11．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x) >2，则f(x)>2x＋4的解集
为( )
A．(－1,1)
C．(－∞，－1)
解析： 设m(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则m′(x)＝f′(x)－2>0，
∴m(x)在R上是增函数．
∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，
∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，
即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．
答案： B
12．按照下列三种化合物的结构式及分子式的规律，写出后一种化合物的分子式是
( )
B．(－1，＋∞)
D．(－∞，＋∞)

A．C
4
H
9

C．C
4
H
11

B．C
4
H
10

D．C
6
H
12

解析： 后一种化合物应有4个C和10个H，
所以分子式是C
4
H
10
.
答案： B

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)
－1＋i
13．已知复数z＝－1，则在复平面内，z所对应的点在第__________ 象
1＋i
限．
－1＋i
解析： z＝－1＝－1＋i.
1＋i
答案： 二
14．垂直于直线2x－6y＋1＝0并且与曲线y＝x
3
＋3x
2
－5相切的直线方程是________．
解析： 设切点为P (a，b)，函数y＝x
3
＋3x
2
－5的导数为y′＝3x
2＋6x，切线的斜率k
＝y′|
x
＝
a
＝3a
2
＋6a＝－3，得a＝－1，代入到y＝x
3
＋3x
2
－5，得b＝－3， 即P(－1，－3)，
y＋3＝－3(x＋1)，3x＋y＋6＝0.
答案： 3x＋y＋6＝0
15．已知函数f(x)＝x
3
＋ax
2
＋bx (a，b∈R)的图象如图所示，它与直线y＝0在原点处相
27
切，此切线与函数图象所围区 域(图中阴影部分)的面积为，则a的值为________．
4

解析： 由题意可知，f′(x)＝3x
2
＋2ax＋b，f′(0)＝0
∴b＝0， x
4
ax
3
?
－
a
a
4
27
－
a
32
?
∴f(x)＝x(x＋a)，有＝
∫
0
[0－(x＋ax)]dx＝－
?
4
＋
3
?
|
0
＝，∴a＝±3.
412
2
又－a>0?a<0，得a＝－3.
答案： －3
111
16．若Rt△ABC中两直角边为a，b，斜边c上的高为h ，则
2
＝
2
＋
2
，如图，在正方
hab
1 111
体的一角上截取三棱锥P－ABC，PO为棱锥的高，记M＝
2
，N＝
2
＋
2
＋
2
，那么
POPAPBPC
M，N的大小 关系是________．
解析： 在Rt△ABC中，c
2
＝a
2
＋b
2
①，由等面积法得ch＝ab，
111
∴c
2
· h
2
＝a
2
·b
2
②，①÷②整理得
2
＝
2
＋
2
.
hab
222
类比得，S
2< br>由等体积法得S
△
ABC
·PO＝
△
ABC
＝S△
PAB
＋S
△
PBC
＋S
△
PAC
③，
1
PA·PB·PC，
2
1
∴S
2
PO2
＝PA
2
·PB
2
·PC
2
④，
△
ABC
·
4
③÷④整理得M＝N.

答案： M＝N
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要 的文字说明、证明过程或演
算步骤)
17．(本小题满分12分)已知曲线y＝5x，求：
(1)曲线上与直线y＝2x－4平行的切线方程；
(2)求过点P(0,5)且与曲线相切的切线方程．
解析： (1)设切点为(x
0
，y
0
)，由y＝5x，
5
得y′|x＝x
0
＝.
2x
0
∵切线与y＝2x－4平行，
∴
52525
＝2，∴x
0
＝，∴y
0
＝， 164
2x
0
25
2525
x－
?
，即2x－ y＋＝0. 则所求切线方程为y－＝2
?
?
16
?
48
( 2)∵点P(0,5)不在曲线y＝5x上，
5
故需设切点坐标为M(x
1
，y
1
)，则切线斜率为.
2x
1
y
1
－5y
1
－55x
1
－5
5
又∵切线斜率为，∴＝＝，
x
1
x
1
x< br>1
2x
1
∴2x
1
－2x
1
＝x
1
，得x
1
＝4.
5
∴切点为M(4,10)，斜率为，
4
5
∴切线方程为y－10＝(x－4)，即5x－4y＋20＝0.
4< br>18．(本小题满分12分)设复数z满足|z|＝1且(3＋4i)z是纯虚数，求复数z.
解析： 设z＝a＋bi(a，b∈R)，由|z|＝1，得a
2
＋b
2
＝1.① < br>(3＋4i)z＝(3＋4i)(a＋bi)＝3a－4b＋(4a＋3b)i是纯虚数，则3a－4b＝ 0.②
?
联立①②解得
?
3
b＝
?
5
4
a＝，
5

?
或
?
3
b＝－
?< br>5
.
4
a＝－，
5


4343
所以z＝＋i或z＝－－i.
5555
19．(本小题满分12分 )已知函数f(x)＝ax
3
＋bx＋1的图象经过点(1，－3)且在x＝1处，
f (x)取得极值．求：
(1)函数f(x)的解析式；(2)f(x)的单调递增区间．
解析： (1)由f(x)＝ax
3
＋bx＋1的图象过点(1，－3)得a＋b＋1＝－3，

∵f′(x)＝3ax
2
＋b，
又f′(1)＝3a＋b＝0，
??
?
a＋b＝－4
?
a ＝2
∴由
?
得
?
，
?
3a＋b＝0
?
??
b＝－6

∴f(x)＝2x
3
－6x＋1.
(2)∵f′(x)＝6x
2
－6，
∴由f′(x)>0得x>1或x<－1，
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)．
114
20．(本小题满分12分)已知a>b>c，求证：＋≥.
a－bb－ca－c
a－ca－ca－b＋b－ca－b＋b－cb－ca－b
证明： 已知a>b>c，因为＋＝＋＝2＋＋≥2
a－bb－ca－bb－ca－bb－c
＋2
b－ca－b
·＝4，
a－bb－c
a－ca－c
114
所以＋≥4，即＋≥.
a－bb－ca－bb－ca－c
21．(本小题满分13分)用总长14.8 m的钢条做一个长方体容器的框架．如果所做容器
的底面的一边长比另一边长多0.5 m，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容
积．
14.8
解析： 设该容器底面的一边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，此容器的高为h＝
4
－x－ (x＋0.5)＝3.2－2x(0于是，此容器的容积为V(x)＝x(x＋0. 5)(3.2－2x)＝－2x
3
＋2.2x
2
＋1.6x，其中04
由V′(x)＝－6x
2
＋4.4x＋1.6＝0，得x＝1或x ＝－(舍去)．
15
因为V(x)在(0,1.6)内只有一个极值点，且x∈(0,1)时 ，V′(x)>0，函数V(x)单调递增；x
∈(1,1.6)时，V′(x)<0，函数V(x)单 调递减．
所以，当x＝1时，函数V(x)有最大值V(1)＝1×(1＋0.5)×(3.2－2× 1)＝1.8(m
3
)，h＝3.2
－2＝1.2(m)．
即当高为1.2 m时，长方体容器的容积最大，最大容积为1.8 m
3
.
x
2
2 2．(本小题满分13分)设函数f(x)＝，给定数列{a
n
}，其中a
1
＝a>1，a
n
＋
1
＝f(a
n
)(n
2?x－1 ?
∈N
＋
)．
(1)若{a
n
}为常数列，求a的值；
(2)判断a
n
与2的大小，并证明你的结论．
解析： (1)若{a
n
}为常数列，则a
n
＝a.

由a< br>n
＋
1
＝f(a
n
)，得a＝f(a)．
x
2
a
2
因为f(x)＝，所以a＝.
2?x－1?2?a－1?
又a>1，所以a＝2(a－1)，解得a＝2.
(2)当a＝2时，由(1)知a
n
＝2.
a
2
n
当a≠2时，因为a
1
＝a，a
n
＋
1
＝f(a
n
)＝，
2?a
n
－1?
a
2
a
21
所以a
2
＝＝.
2?a
1
－1?2?a－1?a
2
－4a＋4?a－2?
2
a
2
所以a
2< br>－2＝－2＝＝>0，
2?a－1?2?a－1?2?a－1?
即a
2
>2.
?a
2
－2?
2
a
2
2
因为a
3
－2＝－2 ＝>0，
2?a
2
－1?2?a
2
－1?
所以a
3
>2.
猜想当n≥2时，a
n
>2.
下面用数学归纳法证明：
①n＝2时，a
2
>2，显然猜想成立．
②假设当n＝k(k≥2)时，猜想成立，即a
k
>2.
a
2k
当n＝k＋1时，a
k
＋
1
＝f(a
k
)＝ ，
2?a
k
－1?
a
2
?a
k
－2?< br>2
k
－4a
k
＋4
所以a
k
＋
1< br>－2＝＝.
2?a
k
－1?2?a
k
－1?
由a< br>k
>2，知a
k
＋
1
－2>0，所以a
k
＋
1
>2.
根据①和②可知，当a≠2时，对于一切不小于2的正整数n都有a
n
>2.
综上所述，当a＝2时，a
n
＝2；当11
<2，a
n
>2(n≥2)；当a>2时，a
n
>2.

模块综合检测(B)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出 的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．已知复数z的共轭复数z＝1＋2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限
C．第三象限
B．第二象限
D．第四象限
解析： 求出复数z，再确定z对应的点的坐标．
∵z＝1＋2i，∴z＝1－2i，∴z在复平面内对应的点位于第四象限．

答案： D
2．已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函 数y＝f′(x)的图象如图所示，
则该函数的图象是( )


解析： 根据导函数值的大小变化情况，确定原函数的变化情况．从导函数的图象可以
看出，导函数值先增大后减 小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图象的变化率也先增大后减小，
在x＝0时变化率最大．A项， 在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，
故错误；D项，变化率是越来越小的，故 错误．B项正确．
答案： B
1
?
x
3．“因为指数函数y＝a
x
是增函数(大前提)，而y＝
?
?
3
?
是指数函 数(小前提)，所以函数
1
?
x
y＝
?
?
3
?
是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )
A．大前提错误导致结论错
C．推理形式错误导致结论错
B．小前提错误导致结论错
D．大前提和小前提错误导致结论错
解析： 推理形式没有错误，而大前提“y＝a
x
是增函数”是不正确的，当0＝a
x
是减函数；当a>1时 ，y＝a
x
是增函数．
答案： A
1＋bi
4．若复数z＝(b∈R，i是虚数单位)是纯虚数，则复数z的共轭复数是( )
2＋i
3
A．i
5
C．i
3
B．－i
5
D．－i
1＋bi?1＋bi??2－i?2＋b2b－1
解析： 因为 z＝＝＝＋i是纯虚数，所以2＋b＝0且2b－
55
2＋i?2＋i??2－i?