高中数学试题(理科)参考答案

高中数学试题(理科)参考答案

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算。每小题5分,满分40分。
1．C 2．B 3．B 4．D
5．A 6．D 7．D 8．D
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算。多空题每题6分，单空题每题4分，满分36分。
9．
{x|x??2}
，
{x|x?3}


10．2，
7


12．4，
?4

14．[
1?2
，

1
11．2，
(2
n
?1)

2
13．2
1?5
]
2
15．2
三、解答题：本大题共5小题，共74分。
16．本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力。
满分14分。
(Ⅰ) 由
acosB?bcosA
及正弦定理得
sinAcosB?sinBcosA
， .........1分
所以
sin(A?B)?0
，

故
B?A?
π
， .........3分
6
所以
c?3a
，由余弦定理得
aa< br>π
16?c
2
?()
2
?2c?cos
，
226
解得
c?
821
． .........6分
7
aa
(Ⅱ) 由
A?B
知
c?2acosA
，及
16?c
2
?()
2
?2c?cosA
，解得
22
a
2
?
64
． .........8分
2
1?8cosA

所以
?ABC
的面积
164sinAcosA
． .........10分
S?acsinA?
2
2sinA?9cos
2
A

由基本不等式得
S?
32
，.........13分
3

当且仅当
sinA?3cosA
时，等号成立．
所以
?ABC
面积的最大值为
32
． .........14分
3
17．本题主要考查空间线、面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用，同时考查空
间想象能力和运算求解能力。满分15分。
(Ⅰ) 设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E．由四边形ABCD是等腰梯形得
CE＝
所以BE＝DE，从而得
∠DBC＝∠BCA＝45°，.........5分
所以∠BOC＝90°，即
AC⊥BD． .........6分
由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC． .........7分
方法一：
(Ⅱ) 作OH⊥PC于点H，连接DH．
由(Ⅰ)知DO⊥平面PAC，故DO⊥PC．

所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥OH，PC⊥DH．

故∠DHO是二面角A< br>－
PC
－
D的平面角，所以∠DHO＝60°． .........11分

在Rt△DOH中，由DO＝
2
，得OH＝
B
A
O
E
(第17题图)
C
P
BC?AD
＝1， DE＝
DC
2
?CE
2
＝3，.........3分
2
H
D
6
． .........12分
3
在Rt△PAC中，
x
3
PAOH
＝．设PA＝x，可得 ＝．.........14分
2
6
PCOC
x?18
322322
，即 AP＝． .........15分
1111
解得x＝
方法二：
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知AC⊥BD．以O为原点，OB，OC所在直线为x，y轴，建立空间直角坐标系< br>O－xyz，如图所示．.........8分
由题意知各点坐标如下：
A(0，－
2
，1)， B(
22
，0， 0)，
C(0，
22
，0)， D(－
2
，0， 0)．.........9分
由PA⊥平面ABCD，得PA∥z轴，故设点P(0，－
2
，t) (t＞0)．
设m＝(x，y，z)为平面PDC的法向量，
B
x
(第17题图)
A
O
C
y
D
z
P
由
CD
＝(－
2
，－
22
，0)，< br>PD
＝(－
2
，
2
，－t) 知
?
?
?2x?22y?0,

?
?
?
?2x?2y?tz?0.
取y＝1，得

32
)． .........12分
t
又平面PAC的法向量为n＝(1，0，0)，于是 .........13分
|m?n|
2
1
|cos< m，n>|＝＝＝．
|m|?|n|
2
18
5?
2
t
m＝(－2，1，
322322
，即 AP＝． .........15分
1111
18．本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数、不等式性质等基础知识，同时考查推理
论证能力 ，分析问题和解决问题的能力。满分15分。
(Ⅰ) 由题意得
解得t＝
2a2
?b
2
f(x)?x?a??3a,x?
?
0,??
?
．.........2分
x?a
所以，当
2a
2
?b
2
?a
2
时，即当
a
2
?b
2
时 ，函数
f(x)
的单调递增区间为
?
0,??
?
；.... .....5分
22
当
a
2
?b
2
时，函数f(x)
的单调递增区间为
?
2a?b?a,??
． .........7分
?
?
(Ⅱ)由
f(x)
的单调性得 < br>?
b
2
a
2
?b
2
,
?
? ,
M(a,b)?
?
a
?
22a
2
?b
2
?3a,a
2
?b
2
.
?
b
2
由
???1
与
a
2
?b
2
得
a
.........10分

0?a?1
， .........12分
由
22a
2
?b
2
?3a?? 1
与
a
2
?b
2
得
1?a?3?22
． .........14分
综上，
a
的取值范围为
0,3?22
?
?
． .........15分
19．本题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识， 同时考查解析几何
的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。
(Ⅰ)由直线
O A
斜率
k
1
?2
，得直线
OA
的方程为
y?2x
， .........2分
代入椭圆方程得
x
2
?
2
，
9
?
所以
OA?x
2
?(2x)
2
?
10
． .........5分
3
(Ⅱ) 设点
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，直线
A B
的方程为
y?kx?b
．

?
x
2
2
?
?y?1,
由
?
2
消去
y
得
?
y?kx?b,
?
(1?2k
2
)x
2
?4kbx?2b
2
?2?0
． .........7分
故
??16k
2
?8b
2
?8?0
，且
4kb
?
x?x??,
12
?
?2k
2
?1
?
2
?
xx?
2b?2
.
12
?
2k< br>2
?1
?
① .........9分


由
k
1
?k
2
?k
1
k
2
?1< br>得



x
2
y
1
? x
1
y
2
?y
1
y
2
?x
1x
2
，
将
y
1
?kx
1
? b
，
y
2
?kx
2
?b
代入得

(k
2
?2k?1)x
1
x
2
?b(k?1)(x
1
?x
2
)?b
2
?0
，
b
2
??2k
2
?4k?2
． .........12分

②
将①代入②得
联立
??0
与
b
2
?0
得
2
?
?
4k?4k?1?0,
.........13分
?
2
?
?
?2k?4k?2?0,


解得
k
的取值范围为
?
1?2
?
1?2,
?
?
?
2
??
?
1?2
?
,1?2?
?
．.........15分
?
2
??
20．本 题主要考查数列的递推公式与单调性、不等式性质等基础知识，同时考查推理论证能
力、分析问题和解决 问题的能力。满分15分。
(Ⅰ)由题意知
a
n
?0
，故
a
n?1
?
1
1
2
??1
， .........6分
1
2a
n
?1
a
n
?
2

?
1
?
所以数列
?
a
n
?
?
为 单调递减数列．
2
??
1
(Ⅱ) 因为
a
1
? 1
，
a
2
?
，所以，当
n?3
时
3

a
n
?
得
11
?
，
26
12
?a
n
?
，
33
故
a
n
?
1
(n?N*)
． .........8分
因为
故
所以
3
a
n?2
?a
n?1
2
a2a
?
6
， .........11分
n?1
?a
?
nn
?311

a
6
1
n?1
?a
n
?a
2
?a
1
?(11
)
n?
．.........13分

1?(
6
)
n
S
n
?a
2
?a
1
?
11
?
22
?
5
(n?N*)
． .........15分
1?
6
153
11