高中数学专题训练

导数知识点

考试要求：
（1）了解导数概念的某些实际背景
（2）理解导数的几何意义
（3）掌握函数的导数公式
（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、
极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值．
（5）会利用导数求某些简单实际问题的最大值和最小值．

知识要点
导数的概念 导数的几何意义、物理意义
常见函数的导数
导
数
导数的运算
导数的运算法则
函数的单调性
导数的应用 函数的极值
函数的最值
1.导数的几何意义：
函数在点处 的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，也就是说，曲线在点
P
处的切
线的斜 率是，切线方程为
2． 导数的四则运算法则：

（为常数）

3.函数单调性：
⑴函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，
如果＞0，则为增函数；

如果＜0，则为减函数.
⑵常数的判定方法；
如果函数在区间内恒有=0，则为常数.
4. 极值的判别方法：（极值是在附近所有的点，都有＜，则是函数的极大值，极小值同理）
当函数在点处连续时，
①如果在附近的左侧＞0，右侧＜0，那么是极大值；
②如果在附近的左侧＜0，右侧＞0，那么是极小值.
也就是说是极值点的充分条件是点两侧导数异号，而不是=0. 此外，函数不可导的点也
可能 是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有
可能极大值比极小值 小（函数在某一点附近的点不同）.
注①： 若点是可导函数的极值点，则=0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点是
极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.
例如：函数，使=0，但不是极值点.
②例如：函数，在点处不可导，但点是函数的极小值点.
5. 极值与最值区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行
比较.
6. 几种常见的函数导数：
I.（为常数）
（）
II.

1、(广东卷)函数是减函数的区间为( )
（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）
2.（
全国卷Ⅰ）函数，已知在时取得极值，则=（ ）
（A）2 （B）3 （C）4 （D）5
3. （湖北卷）在函数的图象上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是
（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0

4．(江西)已知函数的图象如右图所示(其 中是函数的导函数)，下面四个
图象中的图象大致是( C）
1


②
①
-
-
O

-
1

2

2

2

1

1

2


4

2

1

-2

-1

O

1


4

2

O

-2

-1

-2

-1

O

1

1

2


-2

-2

-2

-2

-1

O

2


A

B

C

D


5.(
浙江)
函数
y
＝
a x
＋1的图象与直线
y
＝
x
相切，则
a
＝( )
(A) (B) (C) (D)1
6.
(重庆卷)
曲线
yx
3
在点(1,1)处的切线与
x
轴、直线
x
面积为______83____。
7.（江苏卷）（14）曲线在点（1,3）处的切线方程是
8. (

全国卷III
)
曲线在点（1，1）处的切线方程为x+y-2=0
9. （北京卷）过原点作曲线
y
＝
e
的切线，则切点的坐标为 (1,
e
)； ，切线的斜率为
x
2
2所围成的三角形的
e
．




高中数学专题训练—二次函数与幂函数

一、选择题
1．“
a
＝1”是“函数
f
(
x)＝
x
2
－2
ax
＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 A
解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的 位置，若函数
f
(
x
)
＝
x
2
－2
ax
＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴
x
＝
a
≤1 ，故“
a
＝1”
是“函数
f
(
x
)＝
x< br>2
－2
ax
＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．
2．一次函数
y
＝
ax
＋
b
与二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
在同一坐标系中的图象大< br>致是( )

答案 C
解析 若
a
>0，A不符合条件 ，若
a
<0，D不符合条件，若
b
>0，对B，∴对

称轴－<0，不符合，∴选C.
3．函数
y
＝
x
α
(x
≥1)的图象如图所示，
α
满足条件( )

A．
α
<－1
B．－1<
α
<0
C．0<
α
<1
D．
α
>1
答案 C
1
解析 类比函数
y
＝
x
即可．
2
4． 若函数
f
(
x
)＝
ax
2
＋
bx
＋
c
满足
f
(4)＝
f
(1)，那么( )
A．
f
(2)>
f
(3)
B．
f
(3)>
f
(2)
C．
f
(3)＝
f
(2)
D．
f
(3)与
f
(2)的大小关系不确定
答案 C
解析 ∵
f
(4)＝
f
(1)
5
∴对称轴为，∴
f
(2)＝
f
(3)．
25．已知函数
y
＝
x
2
－2
x
＋3在闭区间[ 0，
m
]上有最大值3，最小值2，则
m
的取值范围是( )
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．[1,2] D．(－∞，2]
答案 C
解析 由函数的单调性和对称轴知，1≤
m
≤2，选C.

6 ．(2010·安徽卷)设
abc
＞0，二次函数
f
(
x
) ＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图象可能是
( )

答案 D
解析 若
a
＞0，
b
＜0，c
＜0，则对称轴
x
＝－
b
a
b
＞0，函数< br>f
(
x
)的图象与
y
2
a
轴的交点(
c,
0)在
x
轴下方．故选D.
7．已知
f
(
x
)＝
ax
2
＋2
ax
＋4(0<
a
<3 )，若
x
1
<
x
2
，
x
1
＋x
2
＝1－
a
，则( )
A．
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
)
B．
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)
C．
f
(
x
1
)＝
f
(
x
2< br>)
D．
f
(
x
1
)与
f
(
x
2
)的大小不能确定
答案 B
x
1
＋
x
2
1－
a
1
解析 解法 1：设
A
(
x
1
，
f
(
x
1))，
B
(
x
2
，
f
(
x
2
))，∵＝∈(－1，)，
222
又对称轴
x
＝－1，∴
A B
中点在对称轴右侧．∴
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)，故选B.(本方法充
分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性： 对称轴已知)．

2
解法2：作差
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)＝(
ax
2
1< br>＋2
ax
1
＋4)－(
ax
2
＋2
ax2
＋4)＝
a
(
x
1
－
x
2
)(
x
1
＋
x
2
＋2)＝
a
(
x
1
－
x
2
)(3－
a
)
又0<
a
<3，∴
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)<0，即
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)，故选B.
二、填空题
8．已知
y
＝( cos
x
－
a
)
2
－1，当cos
x
＝－ 1时
y
取最大值，当cos
x
＝
a
时，
y
取最小值，则
a
的范围是________．
?
－
a
≤0
解析 由题意知
?

－1≤
a
≤1
?
∴0≤
a
≤1
9．抛物 线
y
＝8
x
2
－(
m
－1)
x
＋
m
－7的顶点在
x
轴上，则
m
＝________.
答案 9或25
m
－1
?
2
??
m
－1
?
2
?
＋
m
－7－8·
??
解析 y
＝8
?
x
－
16
???
16
??
m
－1
?
2
?
＝0，∴
m
＝9或2 5. ∵顶点在
x
轴∴
m
－7－8·
?
?
16?
1
10．(2010·衡水调研)设函数
f
1
(
x< br>)＝
x
，
f
2
(
x
)＝
x
－1
，
f
3
(
x
)＝
x
2
，则< br>2
f
1
(
f
2
(
f
3
(2 010)))＝________.
1
答案
2010
解析
f
3
(2010)＝2010
2

f
2
( 2010
2
)＝(2010
2
)
－1
＝2010
－ 2

11
f
1
(2010
－2
)＝(2010－2
)＝2010
－1
＝.
22010
11．在函数
f
(
x
)＝
ax
2
＋
bx
＋
c< br>中，若
a
，
b
，
c
成等比数列且
f
(0)＝－4，则
f
(
x
)有最________值(填“大”或“小”)， 且该值为________．
答案 大 －3
解析 ∵
f
(0)＝
c
＝－4，
a
，
b
，
c
成等比，∴
b< br>2
＝
a
·
c
，∴
a
<0

3
减函数，那么最小的正整数
a
＝________.
答案 3
13．方程
x
2
－
mx
＋1＝0的两根为
α
，
β
，且
α
>0,1<
β
<2，则实数
m
的取
值范围是________．
5
答案 2<
m
<
2
解析 令
f
(
x
)＝
x
2
－
mx
＋1
?
f
1
由题意知
?
?
f
2
三、解 答题
<0
>0
b
2
∴
f
(
x
) 有最大值，最大值为
c
－＝－3.
4
a
1－
α
1 2．已知幂函数
f
(
x
)＝
x
在(－∞，0)上是增函数， 在(0，＋∞)上是

5
?2<
m
<
.
2
27
14．已知函数
f
(
x
)＝－
x
m
，且
f
(4)＝－.
x
2

(1)求
m
的值；
(2)判断
f
(
x
)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明．
答案 (1)
m
＝1 (2)递减
7
解析 (1)∵
f
(4)＝－，
2
27
∴－4
m
＝－.∴
m
＝1.
42
2
(2)
f
(
x
)＝－
x
在(0，＋∞) 上单调递减，证明如下：
x
任取0<
x
1
<
x
2
，则
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)＝(－< br>x
1
)－(－
x
2
)
x
1
x2
＝(
x
2
－
x
1
)(
2
2 2
x
1
x
2
＋1)．
2
＋1>0. ∵0<x
1
<
x
2
，∴
x
2
－
x< br>1
>0，
2
x
1
x
2
∴
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)>0，∴
f
(
x
1
)>
f
(
x
2
)，
即
f
(
x
)＝－
x
在(0，＋∞)上单调递减．
x
15．(2011·山东省实验中学)已知对于任意实数
x
，二次函数f
(
x
)＝
x
2
－4
ax
＋2
a
＋12(
a
∈R)的值都是非负的，求函数
g
(
a)＝(
a
＋1)(|
a
－1|＋2)的值域．
9
答案 [－，9]
4
2
解 由条件知
Δ
≤0，即(－4
a
)－4(2
a
＋12)≤0，
3
∴－≤
a
≤2.
2
3
①当－≤
a
<1时，
2
g
(
a
)＝(
a
＋1)(－
a
＋3)＝－
a
2
＋2
a
＋3＝－(
a
－1)
2
＋4，
∴由二次函数图象可知，
9
－≤
g
(
a
)<4.
4
②当1≤
a
≤2时，
g
(
a
)＝(a
＋1)
2
，
∴当
a
＝1时，
g
(
a
)
min
＝4；
当
a
＝2时，
g(
a
)
max
＝9；
∴4≤
g
(
a
)≤9.
9
综上所述，
g
(
a
)的值域为[－，9]．
4
1
1．若函数
f
(
x
)＝log(
x
2－ 6
x
＋5)在(
a
，＋∞)上是减函数，则
a
的取值范2
围是( )
A．(－∞，1] B．(3，＋∞)
C．(－∞，3) D．[5，＋∞)
答案 D

解析
f
(
x
)的减区间为(5，＋∞)，若
f
(
x
)在(
a
，＋∞) 上是减函数，则
a
≥5，
故选D.
2．设
b
>0，二次函 数
y
＝
ax
2＋
bx
＋
a
2－1的图象为 下列图象之一，则
a
的
值为( )

A．1 B．－1

答案 B
解析 ∵
b
>0，∴不是前两个图形，
b
从后两个图形看－>0，∴
a
<0.
2
a
故应是第3个图形．
∵过原点，∴
a
2－1＝0.结 合
a
<0.∴
a
＝－1.
3.

如图所示，是 二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图象，则|
OA
|·|
OB
|等于( )
B．－
C．± D．无法确定
答案 B
解析 ∵|
OA
|·|
OB
|＝|
OA
·
OB
|＝|
x
1
x< br>2
|＝||＝－(∵
a
<0，
c
>0)．
4．已知 函数
f
(
x
)＝
x
2
－2
x
＋2 的定义域和值域均为[1，
b
]，则
b
＝( )
A．3 B．2或3
C．2 D．1或2
答案 C
解析 函数在[1，＋∞)上单增
∴
b
＝
b
2
－2
b
＋2解之得：
b
＝2或1(舍)．
5．函数
y
＝－
x
2－2
a x
(0≤
x
≤1)的最大值是
a
2，则实数
a
的取 值范围是
( )
A．0≤
a
≤1 B．0≤
a
≤2
C．－2≤
a
≤0 D．－1≤
a
≤0
答案 D
解析
f
(
x
)＝－
x
2－2
ax
＝－(
x
＋
a
)2＋
a
2
若
f
(
x
) 在[0,1]上最大值是
a
2，
则0≤－
a
≤1，即－1≤
a
≤0，故选D.



1．若二次函数
f
(
x
)满足
f
(x
＋1)－
f
(
x
)＝2
x
，
f(0)＝1，则
f
(
x
)＝________.
答案
x
2
－
x
＋1
解析 设
f
(
x
)＝
ax
2
＋
bx
＋
c
，∵
f< br>(0)＝1，∴
c
＝1，
f
(
x
＋1)－
f
(
x
)＝2
ax
＋
a
＋
b
＝2< br>x

∴
a
＝1，
b
＝－1.
c
a
c
a
c
a
c
a

∴
f
(
x
)＝
x
2
－
x
＋1.

2．若函数
f
(
x
)＝(
a
－1)
x
2< br>＋(
a
2
－1)
x
＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上< br>f
(
x
)是( )
A．减函数
B．增函数
C．常函数
D．可能是减函数，也可能是常函数
答案 D
解析 函数
f
(
x
)是偶函数，∴
a
2
－1＝0
当
a
＝1时，
f
(
x
)为常函数
当a
＝－1时，
f
(
x
)＝－
x
2
＋1 在[0，＋∞)为减函数，选D.
3．已知
f
(
x
)＝(
x
－
a
)(
x
－
b
)－2(
a
<
b
)，并且
α
、
β
是方程
f
(
x
)＝0的两
个根(
α
<
β
)，则实数
a
、
b
、
α
、
β
的大小关系可能是( )
A．
α
<
a
<
b
<
β
B．
a
<
α
<
β
<
b

C．
a
<
α
<
b
<
β
D．
α
<
a
<
β
<
b

答案 A
解析 设
g
(
x
)＝(
x
－
a
) (
x
－
b
)，则
f
(
x
)＝
g< br>(
x
)－2，分别作出这两个函数的
图象，如图所示，可得
α
<
a
<
b
<
β
，故选A.

4．设f
(
x
)＝
x
2＋
bx
＋
c
，且
f
(－1)＝
f
(3)，则( )
A．
f
(1)＞
c
＞
f
(－1) B．
f
(1)＜
c
＜
f
(－1)
C．
f
(1)＞
f
(－1)＞
c
D．
f
(1)＜
f
(－1)＜
c

答案 B
b
－1＋3
解析 由
f
(－1)＝
f
(3)得－＝＝1，
22
所以
b
＝－2，则
f
(
x
)＝
x
2＋
bx＋
c
在区间(－1,1)上单调递减，所以
f
(－1)
＞
f
(0)＞
f
(1)，而
f
(0)＝
c
，所以< br>f
(1)＜
c
＜
f
(－1)．
5．对一切实数x
，若不等式
x
4
＋(
a
－1)
x
2
＋1≥0恒成立，则
a
的取值范围
是( )
A．
a
≥－1 B．
a
≥0
C．
a
≤3 D．
a
≤1
答案 A
解析 令
t
＝
x
2
≥0，则原不等式转化为
t
2
＋ (
a
－1)
t
＋1≥0，当
t
≥0时恒成
立． < br>2
令
f
(
t
)＝
t
＋(
a
－1)
t
＋1 则
f
(0)＝1>0
a
－1
(1)当－≤0即
a
≥1时恒成立
2
a
－1
(2)当－>0即
a
<1时．
2
由
Δ
＝(
a
－1)
2
－4≤0 得－1≤
a
≤3
∴－1≤
a
<1
综上：
a
≥－1.
6．若二次函数
f
(
x
)＝
ax
2
＋
bx
＋
c
满足
f
(
x
1
)＝
f
(
x
2
)，则
f< br>(
x
1
＋
x
2
)等于

___ _____．
答案
c

解析 ∵
f
(
x
2
)＝
f
(
x
1
)，∴
x
2
＋
x
1
＝－，∴
f
(
x
1
＋
x2
)＝
f
(－)＝
c
.

b
a
b
a
高中数学专题训练—变化率与导数

一、选择题
fx
0
＋
Δx
－
fx
0
＝( )
Δx
A．
a
B．－
a

1 ．若
f
′(
x
0
)＝
a
≠0，则li
Δx
m
→0
1
D．－
a
答案 A
2．(20 10·衡水调研)已知函数
f
(
x
)＝－cos
x
＋ln< br>x
，则
f
′(1)的值为( )
A．sin1－1 B．1－sin1
C．1＋sin1 D．－1－sin1
答案 C
1
解析 ∵
f
(
x
)＝－cos
x
＋ln
x
，∴
f
′(
x
)＝＋sin
x
，∴f
′(1)＝1＋sin1.
x
3．若曲线
y
＝
f< br>(
x
)在点(
x
0
，
f
(
x
0
))处的切线方程为2
x
＋
y
－1＝0，则( )
A．
f
′(
x
0
)>0 B．
f
′(
x
0
)<0
C．
f
′(
x
0
)＝0 D．
f
′(
x
0
)不存在
答案 B
解析 切线 方程为
y
＝－2
x
＋1，∴
f
′(
x
0< br>)＝－2<0
4．(2010·新课标全国)曲线
y
＝
x
3
－2
x
＋1在点(1,0)处的切线方程为( )
A．
y
＝
x
－1 B．
y
＝－
x
＋1
C．
y
＝2
x
－2 D．
y
＝－2
x
＋2
答案 A
解析 由题可知，点(1 ,0)在曲线
y
＝
x
3
－2
x
＋1上，求导可得< br>y
′＝3
x
2
－2，
所以在点(1,0)处的切线的斜率k
＝1，切线过点(1,0)，根据直线的点斜式可得
在点(1,0)的曲线
y< br>＝
x
3
－2
x
＋1的切线方程为
y
＝
x
－1，故选A.
5．
f
(
x
)与
g
(
x
)是定义在R上的两个可导函数，若
f
(
x
)，
g
(
x
)满足
f
′(
x
)
＝
g
′(
x
)，则
f
(
x
)与
g
(< br>x
)满足( )
A．
f
(
x
)＝
g
(
x
)
B．
f
(
x
)＝
g
(
x
)＝0
C．
f
(
x
)－
g
(
x
)为常数 函数
D．
f
(
x
)＋
g
(
x
) 为常数函数
答案 C
11
6．(2010·全国卷Ⅱ)若曲线
y
＝
x
－在点(
a
，
a
－)处的切线与两个坐标轴
2 2
围成的三角形的面积为18，则
a
＝( )
A．64 B．32
C．16 D．8

答案 A
1311
解析 求导得y
′＝－
x
－(
x
>0)，所以曲线
y
＝x
－在点(
a
，
a
－)处的切
2222
131 1
线
l
的斜率
k
＝
y
′|
x
＝< br>a
＝－
a
－，由点斜式得切线
l
的方程为
y
－
a
－＝－
a
2222
331
－(
x
－< br>a
)，易求得直线
l
与
x
轴，
y
轴的截距分 别为3
a
，
a
－，所以直线
l
222
13191< br>与两个坐标轴围成的三角形面积
S
＝×3
a
×
a
－＝
a
＝18，解得
a
＝64.
22242
4
7．( 2010·辽宁卷)已知点
P
在曲线
y
＝
x
上，
α
为曲线在点
P
处的切线
e
＋1
的倾斜角，则
α的取值范围是( )
A．[0，，)
442
π
3
π
3
π
C．(，] D．[，
π
)
244
答案 D
解析 设曲线在点
P处的切线斜率为
k
，则
k
＝
y
′＝
－4
2
－1≤tan
α
＜0，所以
3
π
≤
α
＜
π
.
4
－4
e
x
1＋
e
x< br>2
＝
π
) B．[
ππ
－4
，
1
e
x
＋
x
＋2
e
因为
e
x
＞0， 所以由均值不等式得
k
≥
e
x
×
x
＋2
e
1
，又
k
＜0，∴－1≤
k
＜0，即
1
8 ．下列图象中，有一个是函数
f
(
x
)＝
x
3
＋< br>ax
2
＋(
a
2
－1)
x
＋1(
a
∈R，
a
≠0)
3
的导函数
f
′(
x)的图象，则
f
(－1)＝( )

1
B．－
3
15
D．－或
33
答案 B
222
解析
f
′(
x
)＝
x
＋2
ax
＋
a< br>－1＝(
x
＋
a
)－1
∴
y
＝
f
′(
x
)是开口向上，以
x
＝－
a
为对称轴(－< br>a
，－1)为顶点的抛物线．
∴(3)是对应
y
＝
f
′(
x
)的图象
∵由图象知
f
′(0)＝0，对称轴
x
＝－
a
>0.
∴
a
2
－1＝0，
a
<0 ∴
a
＝－1
1
3
∴
y
＝
f
(
x
)＝
x
－
x
2
＋1
3
1
∴
f
(－1)＝－选B.
3

二、填空题
9．曲线
y
＝tan
x
在
x
＝－
答案
y
＝2
x
＋
π
4
处的切线方程为______
－1
2
sin
x
cos
2
x
＋sin< br>2
x
1
π
解析
y
′＝()′＝＝，所以在
x
＝－处的斜率为2，
cos
x
cos
2
x
cos
2
x
4
曲线
y
＝tan
x
在
x< br>＝－－1.
42
10．已知
f
(
x
)＝
x
2
＋3
xf
′(2)，则
f
′(2)＝________.
答案 －2
解析 由题意，得
f
′(
x
)＝2
x
＋3
f
′(2)
∴
f
′(2)＝2×2＋3
f< br>′(2)，∴
f
′(2)＝－2.
11．曲线
y
＝
x
3
＋3
x
2
＋6
x
－10的切线中，斜率最小的 切线方程为
______________．
答案 3
x
－
y
－11＝0
解析
y
′＝3
x
2
＋6
x
＋6＝3(
x
＋1)
2
＋3≥3
当且仅当
x
＝－1时取等号，当
x
＝－1时
y
＝－ 14
∴切线方程为
y
＋14＝3(
x
＋1)
即3
x
－
y
－11＝0
1
12．已知函数
y
＝
f
(
x
)的图象在点
M
(1，
f< br>(1))处的切线方程是
y
＝
x
＋2，
2
则
f
(1)＋
f
′(1)＝______
答案 3
1
解析 在点
M
(1，
f
(1))处的切线方程是
y
＝
x< br>＋2，
2
1
∴点
M
在
y
＝
x
＋2上．
2
15
∴
f
(1)＝·1＋2＝.
22
1
f
′(1)＝，∴
f
(1)＋
f
′(1)＝3.
213．(09·江西)设函数
f
(
x
)＝
g
(
x
)＋
x
2
，曲线
y
＝
g
(
x< br>)在点(1，
g
(1))处的
切线方程为
y
＝2
x< br>＋1，则曲线
y
＝
f
(
x
)在点(1，
f< br>(1))处的切线的斜率为
________．
答案 4
解析 依题意得< br>f
′(
x
)＝
g
′(
x
)＋2
x< br>，
f
′(1)＝
g
′(1)＋2＝4.
三、解答题
14．(2011·济南统考)点
P
是曲线
x
2
－
y－2ln
x
＝0上任意一点，求点
P
到直线
y
＝
x
－2的最短距离．
答案 2
11
解析
y
＝
x
2
－2ln
x
＝
x
2
－ln
x
(
x
>0)，
y
′＝2
x
－，令
y
′＝ 1，即2
x
－＝
π
π
处的切线方程为
y
＝2
x
＋
π
xx

1
1，解得
x
＝1或
x
＝－(舍去)，故过点(1,1)且斜率为1的切线为：
y
＝
x< br>，其到
2
直线
y
＝
x
－2的距离2即为所求． 15．已知曲线
C
：
y
＝
x
3
－3
x
2
＋2
x
，直线
l
：
y
＝
kx< br>，且直线
l
与曲线
C
相切
于点(
x
0
，
y
0
)(
x
0
≠0)，求直线
l
的方 程及切点坐标．
133
答案
y
＝－
x
，(，－)
428
y
0
解析 ∵直线过原点，则
k
＝(
x
0
≠0)．
x
02
由点(
x
0
，
y
0
)在曲线
C上，则
y
0
＝
x
3
0
－3
x
0
＋2
x
0
，
y
0
2
∴＝
x< br>0
－3
x
0
＋2.又
y
′＝3
x
2
－6
x
＋2，
x
0
2
∴在(
x
0
，
y
0
)处曲线
C
的切线斜率应为
k
＝
f
′(
x
0
)＝3
x
2
0
－6< br>x
0
＋2.∴
x
0
－3
x
0
＋2＝ 3
x
2
0
－6
x
0
＋2.
3
整 理得2
x
2
－3
x
＝0.解得
x
＝(
x< br>0
≠0)．
000
2
31
这时，
y
0＝－，
k
＝－.
84
133
因此，直线
l
的 方程为
y
＝－
x
，切点坐标是(，－)．
428

1．设
f
0
(
x
)＝sin
x
，
f1
(
x
)＝
f
′
0
(
x
)，
f
2
(
x
)＝
f
′
1
(
x
)，…，
f
n
＋1
(
x
)＝
f
′
n
(
x
)，
n
∈N，则
f
2011(
x
)＝( )
A．sin
x
B．－sin
x

C．cos
x
D．－cos
x

答案 D
解析
f
1
(
x
)＝(sin
x
)′＝cos
x
，
f
2
(
x
)＝(cos
x
)′＝－sin
x
，
f< br>3
(
x
)＝(－sin
x
)′＝－cos
x
，
f
4
(
x
)＝(－cos
x
)′＝sin
x
，
f
5
(
x
)＝(sin
x
)′＝
f
1
(
x
)，
f
6
(
x
)＝
f
2
(
x
)，…，
f
n
＋4
(
x
)＝
f
n
(
x
)，可知周期为4.
∴
f
2011
(
x
)＝
f
3
(
x
)＝－cos
x
.
2．已知曲线
S
：
y
＝3
x
－
x
3
及点
P
(2,2)，则过点
P
可向
S
引切线，其切线条
数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 D
解析 显然
P
不在
S
上，设切点为(
x
0，
y
0)，
由
y
′＝3－ 3
x
2
，得
y
′|
x
＝
x
0＝3 －3
x
2
0
切线方程为：
y
－(3
x
0 －
x
3
0)＝(3－3
x
2
0)(
x
－< br>x
0)
∵
P
(2,2)在切线上
∴2－(3
x< br>0－
x
3
0)＝(3－3
x
2
0)(2－
x
0)
即
x
3
0－3
x
2
0＋2＝0 < br>(
x
0－1)(
x
2
0－2
x
0－2)＝0
由
x
0－1＝0得
x
0＝1

由
x
2
0－2
x
0－2＝0得
x
0＝1±3.
∵有三个切点，∴由
P
向
S
作切线可以作3条．
sin< br>θ
3
3cos
θ
2
3．(09·安徽)设函数
f(
x
)＝
x
＋
x
＋tan
θ
，其中< br>θ
∈[0，
32
5
π
]，则导数
f
′(1) 的取值范围是________．
12
答案 [2，2]
解析 ∵
f′(
x
)＝sin
θ
·
x
2
＋3cos
θ
·
x
，
∴
f
′(1)＝sin
θ
＋ 3cos
θ
＝2sin(
θ
＋
∵
θ
∈[0，
π
3
)．
5
πππ
3
ππ
2
]，∴< br>θ
＋∈[，]，∴sin(
θ
＋)∈[，1]．
12334324．曲线
y
＝
x
(
x
＋1)(2－
x
)有两条平行于
y
＝
x
的切线，则二切线之间距离
为_______ _．
16
答案 2
27
解析
y
＝
x
(
x
＋1)(2－
x
)＝－
x
3
＋
x2
＋2
x

y
′＝－3
x
2
＋2x
＋2，令－3
x
2
＋2
x
＋2＝1得
1
x
1＝1或
x
2＝－
3
114
∴两个切点分别为(1,2)和(－，－)
327
5切线方程为
x
－
y
＋1＝0和
x
－
y
－＝0
27
5
|1＋|
27
162
d
＝＝ 27
2
1－
a
5．(2010·山东卷，文)已知函数
f
(
x
)＝ln
x
－
ax
＋－1(
a
∈R)．
x
当a
＝－1时，求曲线
y
＝
f
(
x
)在点(2，
f
(2))处的切线方程．
2
解析 当
a
＝－1时，
f
(
x
)＝ln
x
＋
x
＋－1，
x
∈(0，＋∞)．
x
所以
f
′(
x
)＝
x
＋
x
－2
，
x
∈(0，＋∞)，
x
2
2
因此
f
′(2)＝1，
即曲线
y
＝
f
(
x
)在点(2，
f
(2))处的切线斜率为 1.
又
f
(2)＝ln 2＋2，
所以曲线
y
＝
f
(
x
)在点(2，
f
(2))处的切线方程为
y
－(ln 2＋2)＝
x
－2，
即
x
－
y
＋ln 2＝0.

1．(2011· 海淀区)设函数
f
(
x
)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线
y
＝
f
(
x
)在
x
＝5处的切线的斜率为_____ ___．
答案 0

解析 由题意得
fΔx
－
f< br>0
Δx
f
0－
Δx
－
f
0
＝－f
′(0)，
f
′(0)＝0，
－
Δx
因此
f
′(5)＝0.



f
5＋
Δx
－
f
5
＝lim
Δx
→0
Δx
fΔx
－
f
0
＝
f
′(0)， 且
f
′(0)＝lim ＝－
－
lim
Δx
→0
Δx
→0
Δx
f
′(5)＝lim
Δx
→0
高中数学专题训练—函数的单调性和最值

一、选择题 < br>1．函数
y
＝
x
2
－6
x
＋10在区间(2 ,4)上是( )
A．递减函数 B．递增函数
C．先减后增 D．先增后减
答案 C
解析 对称轴为
x
＝3，函数在(2,3]上为减函数，在[3,4)上为增函数．
fx< br>2
－
fx
1
2．下列函数
f
(
x
) 中，满足“对任意
x
1
，
x
2
∈(0，＋∞)，都有
x
2
－
x
1
<0”的是( )
1
A．
f
(
x
)＝ B．
f
(
x
)＝(
x
－1)
2

x
C．
f
(
x
)＝e
x
D．
f
(
x
)＝ln(
x
＋1)
答案 A
fx
2
－
fx
1
解析 满足<0其实就是
f
(
x
)在(0，＋∞)上为减函数，故
x
2
－
x
1
选A.
3．若
f
(
x
)＝
x
2
＋2(
a
－1)
x
＋2在区间(－∞，4)上是减函数，那么实数
a
的
取值范围是( )
A．
a
<－3 B．
a
≤－3
C．
a
>－3 D．
a
≥－3
答案 B
解析 对称轴
x
＝1－
a
≥4.∴
a
≤－3.
4．下列函数中既是偶函数，又是区间[－1,0]上的减函数的是( )
A．
y
＝cos
x
B．
y
＝－|
x
－1|
2－
x
C．
y
＝ln D．
y
＝
e
x
＋
e
－
x

2＋
x
答案 D
5．函数
y
＝log
a
(
x
2
＋2
x
－3)，当
x
＝2时，
y< br>>0，则此函数的单调递减区间
是( )
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)

答案 A
解析 当< br>x
＝2时，
y
＝log
a
(2
2
＋2·2－ 3)
∴
y
＝log
a
5>0，∴
a
>1
由复合函数单调性知
?
x
＋2
x
－3>0
单减区 间须满足
?
，解之得
x
<－3.
?
x
<－16．已知奇函数
f
(
x
)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，且不 等式
fx
1
－
fx
2
>0对任意两个不相等的正实数
x
1
、
x
2
都成立．在下列不等式中，
x
1－
x
2
正确的是( )
A．
f
(－5)>
f
(3) B．
f
(－5)<
f
(3)
C．
f
(－3)>
f
(－5) D．
f
(－3)<
f
(－5)
答案 C
fx
1
－
fx
2
解析 由>0对任意两个不相等的正实数< br>x
1
、
x
2
都成立，可
x
1
－x
2
知，
f
(
x
)在(0，＋∞)上为增函数，又f
(
x
)为奇函数，故
f
(
x
)在(－∞，0 )上也
为增函数，故选C.
7．函数
f
(
x
)在区间(－ 2,3)上是增函数，则
y
＝
f
(
x
＋5)的一个递增区间 是
( )
A．(3,8) B．(－7，－2)
C．(－2，－3) D．(0,5)
答案 B
解析 令－2<
x
＋5<3，得：－7<
x
<－2.
?
x
＋4
x
，
x
≥0，
8．(09·天津)已知函数
f
(
x
)＝
?
2
?
4
x
－
x，
x
＜0.
2
2


若
f
( 2－
a
2
)＞
f
(
a
)，则
实数
a
的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
C．(－2,1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案 C
解析
y
＝
x
2
＋4
x
＝(
x
＋2)< br>2
－4在[0，＋∞)上单调递增；
y
＝－
x
2
＋4
x
＝－(
x
－2)
2
＋4在(－∞，0)上单调递增． < br>又
x
2
＋4
x
－(4
x
－
x
2
)＝2
x
2
≥0，
∴
f
(2－
a< br>2
)＞
f
(
a
)?2－
a
2
＞a
?
a
2
＋
a
－2＜0?－2＜
a
＜ 1，故选C.
11
9．(2010·北京卷)给定函数①
y
＝
x< br>；②
y
＝log(
x
＋1)；③
y
＝|
x< br>－1|；④
22
y
＝2
x
＋1
，其中在区间(0,1 )上单调递减的函数的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案 B
解析 ①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中

1
的函数是由函数
y
＝log
x
向左平移1个单位 而得到的，因原函数在(0，＋∞)
2
上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数< br>y
＝
x
－1的图象保留
x
轴上方的部分，下方的图象翻折到< br>x
轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题
意；④中的函数为指数函数，其底数大于1 ，故其在R上单调递增，不符合题意，
综上可知选择B.
二、填空题
10．给出下列命题
1
①
y
＝在定义域内为减函数；
x
②
y
＝(
x
－1)
2
在(0，＋∞)上是增函数；
1
③
y
＝－在(－∞，0)上为增函数；
x
④
y
＝
kx
不是增函数就是减函数．
其中错误命题的个数有________．
答案 3
解析 ①②④错误，其中④中若
k
＝0，则命题不成立．
11．函数
f
(
x
)＝|log
a
x
|(0<
a
<1)的单调递增 区间是________．
答案 [1，＋∞)
解析 函数图象如图

2
12．函数
f
(
x
)＝－
x
＋|
x|的递减区间是________．
?
1
??
1
?
答案
?
－，0
?
与
?
，＋∞
?

?
2
??
2
?
解析 数形结合
13．在给出的下列4个条件中，
?
0<
a
<1
?
0<
a
<1
?
① ②
?

?
x
∈－∞，0
?
x
∈0，＋∞
?
a
>1
③
?
?
a
∈－∞，0


?
a
>1
④
?
?
x
∈0，＋∞



1
能 使函数
y
＝log
a
2
为单调递减函数的是________．
x
(把你认为正确的条件编号都填上)．
答案 ①④
解析 利用复合函数的性质，①④正确．
14．若奇函数
f
(
x
)在(－ ∞，0]上单调递减，则不等式
f
(lg
x
)＋
f
(1)> 0的
解集是________．
1
答案 (0，)
10
解析 因 为
f
(
x
)为奇函数，所以
f
(－
x
)＝ －
f
(
x
)，又因为
f
(
x
)在(－∞，
0]上单调递减，所以
f
(
x
)在[0，＋∞)上也为单调递减函数 ，所以函数
f
(
x
)在R
上为单调递减函数．
不等式f
(lg
x
)＋
f
(1)>0可化为
f
(lg
x
)>－
f
(1)＝
f
(－1)，所以lg
x<－1，解

得0<
x
<
1
.
10(2010·深圳)若函数
h
(
x
)＝2
x
－＋在(1 ，＋∞)上是增函数，则实数
k
的
x
3
取值范围是________ ．
答案 [－2，＋∞)
解析 由
h
′(
x
)＝2＋< br>2
≥0，得
k
≥－2
x
2
，由于－2
x2
在[1，＋∞)内的最大
值为－2，于是，实数
k
的取值范围是[－2 ，＋∞)．
三、解答题
15．(2011·惠州调研)已知
f
(
x
)＝
kk
k
x
x
x
－
a
(x
≠
a
)．
(1)若
a
＝－2，试证
f(
x
)在(－∞，－2)内单调递增；
(2)若
a
>0且f
(
x
)在(1，＋∞)内单调递减，求
a
的取值范围．
答案 (1)略 (2)0<
a
≤1
解析 (1)证明 任设
x
1
<
x
2
<－2，
x
1
x
2
2
x
1
－
x
2
则
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)＝－＝.
x
1
＋2
x
2
＋2
x
1
＋2
x
2
＋2
∵(
x
1
＋2)(
x
2
＋ 2)>0，
x
1
－
x
2
<0，∴
f
(x
1
)<
f
(
x
2
)，
∴
f
(
x
)在(－∞，－2)内单调递增．
(2)解 任设1<
x
1
<
x
2
，则
x
1
x
2
ax
2
－
x
1
f
(
x
1
)－
f
(
x
2
)＝－＝.
x
1－
ax
2
－
ax
1
－
ax
2
－
a
∵
a
>0，
x
2
－
x
1>0，
∴要使
f
(
x
1
)－
f
(< br>x
2
)>0，只需(
x
1
－
a
)(
x
2
－
a
)>0恒成立，∴
a
≤1.
综上所述知0<
a
≤1.
16．函数
f
(
x)对任意的
a
、
b
∈R，都有
f
(
a
＋
b
)＝
f
(
a
)＋
f
(
b)－1，并且当
x
>0时，
f
(
x
)>1.
(1)求证：
f
(
x
)是R上的增函数；
(2)若
f
(4)＝5，解不等式
f
(3
m
2
－
m
－2)<3.
4
答案 (1)略 (2){
m
|－1<
m
<}
3
解 (1)证明：设
x
1
，
x
2
∈R，且
x
1
<
x
2
，则
x
2
－
x
1
>0，∴
f< br>(
x
2
－
x
1
)>1.
f
(x
2
)－
f
(
x
1
)＝
f
[ (
x
2
－
x
1
)＋
x
1
]－f
(
x
1
)
＝
f
(
x
2< br>－
x
1
)＋
f
(
x
1
)－1－f
(
x
1
)＝
f
(
x
2
－< br>x
1
)－1>0.
∴
f
(
x
2
) >
f
(
x
1
)．
即
f
(
x
)是R上的增函数．
(2)∵
f
(4)＝
f
(2＋2)＝
f
(2)＋
f
(2)－1＝5，
∴
f
(2)＝3，
∴原不等式可化为
f
(3
m< br>2
－
m
－2)<
f
(2)，
∵
f
(
x
)是R上的增函数，
4
∴3
m
2
－
m
－2<2，解得－1<
m
<，
3