高中数学立体几何大题综合

大成培训立体几何强化训练


1.如图，在四面体ABCD中，CB＝CD , AD⊥BD，点E , F分别是AB , BD的中点.
求证：（Ⅰ）直线EF∥平面ACD； （Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD.
B



F

E

D




CA




2.如图， 在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，E、F分别是A1
B、A
1
C的中点，点D在B
1
C
1
上，< br>A
1
D⊥B
1
C
求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC； （Ⅱ）平面A
1
FD⊥平面BB
1
C
1
C.

C
1
A
1

D

F
B
1

E


C
A


B





3. 如图， 直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，∠ACB＝90°，M 、N分别为A
1
B、B
1
C
1
的中点.
（Ⅰ）求证：BC∥平面MNB
1
； （Ⅱ）求证：平面A
1
CB⊥平面ACC
1
A
1
．


C
1

N

A
1
B
1



M

C

B
A






1

4. 如图，在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，AC＝BC＝CC
1
，AC⊥BC, 点D是AB的中点.
（Ⅰ）求证：CD⊥平面A
1
ABB
1
； （Ⅱ）求证：AC
1
∥平面CDB
1
；

A
D

B




A
1


B
1


5. 如图， 已知正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
的所有棱长都为2，D 为CC
1
中点，Ｅ为BC的中点.
（Ⅰ）求证：BD⊥平面AB
1
E； （Ⅱ）求直线AB
1
与平面BB
1
C
1
C所成角的正弦值；
（Ⅲ）求三棱锥C－ABD的体积.













6. 如图，在正方体A BCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，F为AA
1
的中点.
求证：（Ⅰ）A
1
C∥平面FBD； （Ⅱ）平面FBD⊥平面DC
1
B.

D
1
C
1

A
1
B
1



F

C
D

A
B








2
C
C
1

7. 如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，E、F为棱AD、AB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面CB
1
D
1
； （Ⅱ）求证：平面CAA
1
C
1
⊥平面CB
1
D
1
；

D
1

A
1



D

E

A
F


C
1
B
1
C
B
8. 正三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，点D是BC的中点，BC＝
2
BB
1
, 设B
1
D
?
BC
1
＝F.
（Ⅰ）求证：A
1
C∥平面AB
1
D； （Ⅱ）求证：BC
1
⊥平面AB
1
D.









9.一个正三棱柱的三视图如图所示,求这个三棱柱的表面积和体积.
B
D
C
F
B
1
C
1
AA
1






3

10、如图所示,在三棱柱A BC—A
1
B
1
C
1
中,D点为棱AB的中点. 求证:AC
1
∥平面CDB
1
.


11、如图 所示，在棱长为2的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
、
F
分别为
DD
1
、
DB
的
中点．
（Ⅰ）求证：
EF
平面
ABC
1
D
1
；
（Ⅱ）求证：
EF?B
1
C
；
（Ⅲ）求三棱锥
V
B
1
?EFC
的体积．





12．如图，四边形
ABCD
是正方形，
PB
?平面
ABCD
，
MA
?平面
ABCD
，
PB
＝
AB
＝2
MA
． 求证：
（1）平面< br>AMD
∥平面
BPC
；（2）平面
PMD
?平面
PB D
．














D
F
A
B
C
A
1
E
D
1
B
1
C
1
P
M
F
A
E
D
C
B



4

13.如图，
E
、F
分别为直角三角形
ABC
的直角边
AC
和斜边
AB< br>的中点，沿
EF
将
?AEF
折起到
?A'EF
的位置 ，连结
A'B
、
A'C
，
P
为
A'C
的中 点．
（1）求证：
EP
平面
A'FB
；
（2）求证：平面
A'EC?
平面
A'BC
；
A'
（3）求证：
AA'?
平面
A'BC
．
P

E

C
A





F
B
14、如图所示，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
AB?BB
1
，
AC
1
?
平面
A
1
BD,D
为
AC
的
中点．
（1）求证：
B
1
C
平面
A
1
BD
；
（2）求证：
B
1
C
1
?
平面< br>ABB
1
A
1
；
（3）设
E
是
C C
1
上一点，试确定
E
的位置使平面
A
1
BD?< br>平面
BDE
，并说明理由．


B
1



A
1




B

D

A


15、如图,在直四棱柱ABCD-A1
B
1
C
1
D
1
中, A
1
C
1
⊥B
1
D
1
, E,F分别是AB,
BC的中点.(1)求证：EF∥平面A
1
BC
1；(2)求证：平面D
1
DBB
1
⊥平面
A
1
BC
1
.









A
E

B

C
1

C
D
1
A
1
B
1
D

C
F

C
1

5

16．如图,在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中,
?ACB?90
，
E,F,G分别是
AA
1
,AC,BB
1
的中
点，且
CG ?C
1
G
.(Ⅰ)求证：
CG平面BEF
；
(Ⅱ)求证：
CG?
平面
AC
11
G
.








17、如图， 四面体ABCD中，O，E分别为BD，BC的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝
AD＝2
．（1）求证：AO⊥平面BCD；








18、如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底 面ABCD，PA=AB=1，AD=
3
，点
F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（1）求三棱锥E－PAD的体积；
（2）点E为BC的中点时，试判断EF与平面PAC的位置
关系，并说明理由；
（3）证明：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF．














6
0

19、如图，已知AB?平面ACD，DEAB，△ACD是正三角形，AD = DE = 2AB，且F是CD
的中点.
E
⑴求证：AF平面BCE；
⑵求证：平面BCE?平面CDE.
B




A



D
C
F




20、如图，
ABCD
为矩形，
CF?
平面< br>ABCD
，
DE?
平面
ABCD
，
AB?4a,B C?CF?2a,P
为
AB
的中点．
（1）求证：平面
PCF?
平面
PDE
；
（2）求四面体
PCEF
的体积．








21、如图，直四棱柱
ABC?D
11
F
E
D
A
P
B
C
ABC
，
D
四边形ABCD
是梯形，
1
中
AD

BC,AD?CD,E是< br>AA
1
上的一点。
（1） 求证：
CD?ACE
;
（2） 若平面
CBE
交
DD
1
于点
F
, 求证：
EFAD












7

22． 在长方体
A BCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
AB?BC?2
，过
A
1
、C
1
、B
三点的的平面 截去长
方体的一个角后.得到如图所示的几何体
ABCD?A
1
C
1
D
1
，且这个几何体的体积为
（1）求
A
1
A的长；
（2）在线段
BC
1
上是否存在点
P
，使直线
A
1
P
与
C
1
D
垂直，
如果存在，求线段
A
1
P
的长，如果不存在，请说明理由.






23已知三棱锥A—BPC中，AP⊥PC， AC⊥BC，M为AB中点，
D为PB中点，且△PMB为正三角形．
（1）求证：DM∥平面APC；
（2）求证：平面ABC⊥平面APC；
（3）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积．







24． 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA＝PB．底面ABCD
是菱形，且 ∠ABC＝60°，点M是AB的中点，点E在
棱QD上，满足DE＝2PE．求证：
（1）平面PAB⊥平面PMC；
（2）直线PB∥平面EMC．







40
.
3
P

E

A

M

B

C

D




8

25.如图，正三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，已知
AB?AA
1
，
M
为CC
1
的中点．
（Ⅰ）求证：
BM?AB
1
； （Ⅱ）试在棱
AC
上确定一点
N
，使得
AB
1

平面
BMN
．






26．如图，平面
ABCD
?
平面
PAD
,△
AP D
是直角三角形，
?APD?90
0
，四边形
ABCD
是直 角梯形,其中
BCAD
,
?BAD?90
,
AD?2BC
,
O是AD的中点

(1)求证：
CD平面PBO
；


B



C
M
C
1
A
A
1
B
B
1
C


(2)求证:
平面PAB?平面PCD
.



A



O



P



第16题图








27．(本小题满分14分)
如图，在直四棱柱
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
A
1
C
1
?B
1
D
1
，
E,F
分别
是
AB,BC
的中点.
（Ⅰ）求证：
EF
平面
A
1
BC
1
； < br>（Ⅱ）求证：平面
D
1
DBB
1
?
平面
A< br>1
BC
1
.









A
1
D


D
1
C
1
B
1
D

A
E

B
第15题
C
F


9

28．(本小题满分14分)

直棱柱
ABC D
，
?
1
A
1
B
1
C
中
1
D
，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°
AB?2AD?2CD ?2
．
（1）求证：AC⊥平面BB
1
C
1
C；
（2）在A
1
B
1
上是否存一点P，使得DP与平面BCB
1与平面ACB
1
都平行？证明你的结论．







29、如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B< br>1
C
1
中，
AB?AC
，点
D
在边
BC
上，
AD?C
1
D
。
⑴求证：
AD?
平面
BCC
1
B
1
； < br>⑵如果点
E
是
B
1
C
1
的中点，求证：A
1
E
平面
ADC
1
.






30、 如图，棱柱ABCD-A
1
B< br>1
C
1
D
1
的底面ABCD为菱形，平面AA
1C
1
C⊥平面ABC D．
（1）证明：BD⊥AA
1
；
（2）证明：平面AB
1
C平面DA
1
C
1

（3）在直线CC
1
上是否存在点P，使BP平面DA
1
C
1
？若存在，求出点P的位置；若不
存在，说明理由．
















10

31 、如图，在棱长为2的正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1D
1
中，
E
为
BC
的中点，
F
为DC
1
的中点.
（1）求证：
BD
1
平面
C
1
DE
；
（2）求三棱锥
A?BDF
的体积.







A
1
F
D
1
B
1
C
1
D
E
A
（第16题）
C
B
32.如图，在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E,P
分别是
BC,A< br>1
D
1
的中点，M、N分别是
AE,CD
1
的中点 ，
AD?AA
1
?a,AB?2a

（1）求证：
MN
面
ADD
1
A
1

（2）求三棱锥
P?DEN
的体积






33. 如图，已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为2，E、F分别是
A
1
B
1
、
CC
1
的中点，
过
D
1
、E、F作平面
D
1
EGF
交
BB
1
于G..
（1）求证：
EG
∥
D
1
F
；
（2）求正方体被平面
D
1
EGF
所截得的几何体
A
1

D
1

E
G
D
A
B
B
1

F
C
C
1

ABGEA
1
?DCFD
1
的体积.




11

34. 如图， 在长方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，AB=AD=1,AA
1
=2,
D
1
C
1
B< br>1
G
G是CC
1
上的动点。
（Ⅰ）求证：平面ADG⊥平面CDD
1
C
1

（Ⅱ）判断B
1
C
1
与平面ADG的位置关系，并给出证明；

D
A
1






A
B
C
35、 如图，已知空间四边形
ABCD
中，
BC?AC,AD?BD
，
E
是
AB
的中点．
求证：（1）
AB?
平面CDE；
（2）平面
CDE?
平面
ABC
．
（3）若G为
?ADC
的重心,试在线段AE上确定一点F,使得GF平面C

A


E


B
C



D


36 如图，在正三棱柱ABC－ A
1
B
1
C
1
中，点D在边BC上，AD⊥C
1< br>D．
（1）求证：AD⊥平面BC C
1
B
1
；
A
1
B
1
E
（2）设E是B
1
C
1上的一点，当
EC
1
的值为多少时，
C
1
B
1
A
1
E∥平面ADC
1
？请给出证明．




A
D
B
12
C

37、
如图，四边形
ABCD
是正方 形，
PB
?平面
ABCD
，
MA
?平面
ABCD< br>，
PB
＝
AB
＝2
MA
．
求证：（1）平 面
AMD
∥平面
BPC
；（2）平面
PMD
?平面
PBD
．








D




38.已知某几何体的三视图如下图所示，其中左视图是边长
为2的正三角形，主视图是矩 形且AA
1
=3，设D为AA
1
的中点。
（1）作出该几何体的直观图并求其体积；
（2）求证：平面BB
1
C
1
C⊥平面BDC
1
；
（3）BC边上是否存在点P，使AP平面BDC
1
？
若不存在，说明理由；若存在，证明你的结论。






P
M
F
A
E
C
B
C
C
1
A
1
B
1
C
1
俯视图
A
1
C
A
B

C
A
主视图
B

左视图
A
39 如图，三棱 柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的底面是边长为a的正三 角形，侧面
ABB
1
A
1
是菱形且垂直
于底面，∠
A
1
AB
＝60°，M是
A
1
B
1
的中点 ．

（1）求证：BM⊥AC；
（2）求三棱锥
M?A
1
CB
的体积．







13

40 如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面A BCD，
PD=DC，点E是PC的中点，点F在PB上，EF⊥PB。
错误！未找到引用源。
（I）求证：PA平面BDE；
（II）求证：PB⊥平面DEF；









??
41. 已知直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，A
1
C与底面ABC所成的角为，AB=BC=
2
，∠ABC=，
42
设E、F分别是AB、A
1
C的中点。
(1)求证：BC⊥A
1
E；
(2)求证：EF∥平面BCC
1
B
1
；









42、已知正方体
ABCD -A
1
B
1
C
1
D
1
，
O
是底
ABCD
对角线的
交点.
证明：（1）
C
1O∥
面
AB
1
D
1
； (2）
A
1
C?
面
AB
1
D
1
．
A
1
B
1
C
1
F
B
E
A
C
D
1
C
1
A
1
B
1



A
D
C
O
B

14

43．如图为正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
切去一个三棱锥B
1
—A< br>1
BC
1
后得到的几何体．
（1） 若点O为底面ABCD的中心， 求证：直线D
1
O∥平面A
1
BC
1
；
（2）
．
求证：平面A
1
BC
1
⊥平面BD
1
D．




44、如图，在多面体ABCDE中，AE⊥ABC，BD∥AE，且 AC＝AB＝BC＝BD＝2，AE＝1，F在CD
上
（1）求多面体ABCDE的体积；（2）若F为CD中点,求证：EF⊥面BCD；
(3)当

E






4 5、如图，在正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中，棱长为a,E为棱CC
1
上的的动点．
（1）求证：A
1
E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC
1
的 中点时，求证：平面A
1
BD⊥平面EBD；（3）求
V
A
1






DF
的值= 时，能使AC ∥平面EFB，并给出证明。
FC
F
D
A
C
B
_
BDE
。
D
1
C
1
B< br>1
A
1
E
C
D
A
B
15

46、 如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD,
且PB=PC=
5
.
（Ⅰ）求证：AB⊥CP；
（Ⅱ）求点
B
到平面
PAD
的距离；












47、如图，在棱长均为4的三棱柱
ABC?A
1
B
1
C< br>1
中，
D
、
D
1
分别是BC和
B
1
C
1
的中点.
（1）求证：
A
1
D
1< br>∥平面
AB
1
D
；
O
（2）若平面ABC⊥平面< br>BCC
1
B
1
，
?B
1
BC?60
，求三棱锥
B
1
?ABC
的体积。







48、在直三棱柱ABC－A
1
B
1
C
1
中，∠ABC＝90°, E、F分别为A
1
C
1
、B
1
C
1
的中点, D为棱
CC
1
上任一点.
（Ⅰ）求证：直线EF∥平面ABD；
（Ⅱ）求证：平面ABD⊥平面BCC
1
B
1
.
A

C
B



D
A
1

E
F
B
1
第16题
C
1
16