2014年高中数学计算题专项练习三

2014年高中数学计算题专项练习三

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2014年高中数学计算题专项练习三


一．解答题（共30小题）
1．计算：
（1）
（2）

2．计算：
（1）lg1 000+log
3
42﹣log
3
14﹣log
4
8；
（2）．
．
；

3．（1）解方程：lg（x+1）+lg（x﹣2）=lg4；
（2）解不等式：2

4．（1）计算：2××
1
﹣
2x
＞．
（2）计算：2log
5
10+log
5
0.25．

5．计算：
（1）
（2）

6．求log
8
9 ×log
3
32﹣log
125
5的值．

7．（1）计算．
．
；
（2）若

8．计算下列各式的值
（1）0.064
，求的值．
﹣（﹣）+16
00.75
+0.25
（2）lg5+（log
3
2）?（log
8
9）+lg2．

9．计算：
2
（1）lg2+lg5?lg20﹣1；
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（2）


．
10．若lga、lgb是方程2x﹣4x+1=0的两个实根，求

11．计算（Ⅰ）
2
的值．
（Ⅱ）

12．解方程：

13．计算：
（Ⅰ）
．
．
（Ⅱ）

14．求值：（log
6
2）+log
6
3×log
6
12．

15．（1）计算
2
．
（2）已知

16．计算
（Ⅰ）
，求的值．
；
（Ⅱ）0.0081﹣（

）+??．
17．（Ⅰ）已知全集U={1， 2，3，4，5，6}，A={1，4，5}，B={2，3，5}，记M=（?
U
A）∩B， 求集合M，并写出
M的所有子集；
（Ⅱ）求值：

18．解方程：log
2
（4﹣4）=x+log
2
（2

2
xx+1
．
﹣5）
19．（Ⅰ）计算（lg2）+lg2?lg50+lg25；
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（Ⅱ）已知a=，求

20．求值：
（1）lg14﹣+lg7﹣lg18
÷．
（2）

21．计算下列各题：
2
（1）（lg5）+lg2×lg50；
（2）已知a﹣a=1，求

22．（1）计算
2
﹣
1
．
的值．
；
（2）关于x的方程3x﹣10x+k=0有两个同号且不相等的实根，求实数k的取值范围．

23．计算题
（1）
（2）

24．计算下列各式：（式中字母都是正数）
（1）
（2）．




25．计算：（1）
（2）lg25+lg2×lg50+（lg2）．

2
；
26．已知x+y=12，xy=27且x＜y，求的值．

27．（1）计算：；
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（2）已知a=log
3
2，3
b
=5，用a，b表示．

28．化简或求值：
（1）；
（2）．

29．计算下列各式的值：
（1）；

30．计算
（1）l g20﹣lg2﹣log
2
3?log
3
2+2
log

（2）（﹣1）
0
+（）+（）．

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2）． （

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2014年高中数学计算题专项练习三

参考答案与试题解析


一．解答题（共30小题）
1．计算：
（1）
（2）．
；

考点： 有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）利用指数幂的运算法则即可得出；
（2）利用对数的运算法则即可得出．
解答：
解：（1）原式=
=
=．

（2）原式=
=
=．


点评： 熟练掌握指数幂的运算法则、对数的运算法则是解题的关键．

2．计算：
（1）lg1000+log
3
42﹣log
3
14﹣log
4
8；
（2）．

考点： 有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）利用对数的运算性质即可得出；
（2）利用指数幂的运算性质即可得出．
解答：
解：（1）原式=；
（2）原式=．
点评： 熟练掌握对数的运算性质、指数幂的运算性质是解题的关键．

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3．（1）解方程：lg（x+1）+lg（x﹣2）=lg4；
（2）解不等式：2
1
﹣
2x
＞．

考点： 对数的运算性质；指数函数单调性的应用．
专题： 计算题．
分析：
（1）原方程可化为lg（x+1）（x﹣2）=lg4且可求
（ 2）由题意可得2
解答：
1
﹣
2x
＞=2，结合指数函数单调性可求x的范围
﹣
2
解：（1）原方程可化为lg（x+1）（x﹣2）=lg4且
∴（x+1）（x﹣2）=4且 x＞2
2
∴x﹣x﹣6=0且x＞2
解得x=﹣2（舍）或x=3
（ 2）∵2
1
﹣
2x

＞=2
﹣
2
∴1﹣2x＞﹣2
∴
点评： 本题主要考查了对数的运算性 质的应用，解题中要注意对数真数大于0的条件不要漏掉，还考查了指数函
数单调性的应用．

4．（1）计算：2××
（2）计算：2log
5
10+log
5
0.25．

考点： 对数的运算性质．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： （1）把各根式都化为6次根下的形式，然后利用有理指数幂的运算性质化简；
（2）直接利用对数式的运算性质化简运算．
解答：
解（1）计算：2××
=
=
==6；


（2）2log
5
10+log
5
0.25
=
=log
5
100×0.25
=log
5
25
=2log
5
5=2．
点评： 本题考查了指数式的运算性质和对数式的运算性质，解答的关键是熟记有关运算性质，是基础的运算题．
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5．计算：
（1）
（2）

考点： 对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析： （1）利用有理指数幂的运算法则，直接求解即可．
（2）利用对数的运算形状直接求解即可．
解答：
解：（1）
；
．
=0.2﹣1+2=5﹣1+8=12 …（6分）
（2）
=
=
=…（12分）
点评： 本题考查指数与对数的运算性质的应用，考查计算能力．

6．求log
8
9×log
3
32﹣log
125
5的值．

考点： 对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析： 利用对数的运算性质进及对数的换底公式行求解即可
解答：
解：原式==
﹣
13



==3
点评： 本题主要考查了对数的运算性质的基本应用，属于基础试题

7．（1）计算．
（2）若，求的值．

考点： 对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析： （1）把对数式中底数和真数的数4、8、27化为乘方的形式， 把底数的分数化为负指数幂，把真数的根式
化为分数指数幂，然后直接利用对数的运算性质化简求值；
（2）把已知条件两次平方得到x+x
﹣
1
与x+x，代入
2
﹣
2
得答案．
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解答：
解：（1）
=
=

=2﹣4﹣1=﹣3；
（2）∵
﹣
1
，∴
22
﹣
2
，∴x+x= 5．
﹣
1
则（x+x）=25，∴x+x=23
∴=．
点评： 本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，是基础的计算题．

8．计算下列各式的值
（1）0.064﹣（﹣）+16
00.75
+0.25
（2）lg5+（log
3
2）?（log
8
9）+lg2．

考点： 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题： 计算题．
分析： （1）化小数指数为分数指数，0次幂的值代1，然后利用有理指数幂进行化简求值；
（2）首先利用换底公式化为常用对数，然后利用对数的运算性质进行化简计算．
解答：
解：（1）0.064﹣（﹣）+16
00.75
+0.25
=
=（0.4）﹣1+8+0.5
=2.5﹣1+8+0.5
=10；
（2）lg5+（log
3
2）?（log
8
9）+lg2
=
=1+
=1+=．


﹣
1

点评： 本题考查了对数的运算性质，考查了有理指数幂的化简与求值，是基础的运算题．

9．计算：
2
（1）lg2+lg5?lg20﹣1；
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（2）

．

考点： 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题： 计算题．
分析： （1）把lg5化为1﹣lg2，lg20化为1+lg2，展开平方差公式后整理即可； < br>（2）化根式为分数指数幂，化小数指数为分数指数，化负指数为正指数，然后进行有理指数幂的化简求值 ．
2
解答：
解：（1）lg2+lg5?lg20﹣1
2
=lg2+（1﹣lg2）（1+lg2）﹣1
22
=lg2+1﹣lg2﹣1=0；
（2）
=
=
23

=2?3﹣7﹣2﹣1=98．
点评： 本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数的运算性质，解答的关键是熟记有关性质，是基础题．

10．若lga、lgb是方程2x﹣4x+1=0的两个实根，求
2
的值．

考点： 对数的运算性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
专题： 计算题；转化思想．
分析：
2
lga、lgb是方程2x﹣4x+1=0的两个实 根，先由根与系数的关系求出，再利用对数的运算性
质对
解答：
解：，
化简求值．

=（lga+lgb）（lga﹣lgb）
2
=2[（lga+lgb）﹣4lgalgb]
=2（4﹣4×）=4
点评： 本题考查对数的运算性质，求解的关键是熟练掌握对数的运算性质，以及一元二次方程的根与系数的关系．

11．计算（Ⅰ）
2
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（Ⅱ）

．

考点： 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题： 计算题．
分析： （1）根据对数运算法则化简即可
（2）根据指数运算法则化简即可
解答：
解：（1）原式=
（2）原式==
点评： 本题考查对数运算和指数运算，注意小 数和分数的互化，要求能灵活应用对数运算法则和指数运算法则．属
简单题

12．解方程：

考点： 对数的运算性质．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： 利用对数的运算性质可脱去对数符号，转化为关于x的方程即可求得答案．
解答：
解：∵，
．
∴log
5
（x+1）+log
5
（x﹣3）=log
5
5，
∴（x+1）?（x﹣3）=5，其中，x+1＞0且x﹣3＞0
解得x=4．
故方程的解是4
点评： 本题考查对数的运算性质，考查方程思想，属于基础题．

13．计算：
（Ⅰ）
（Ⅱ）

．
考点： 对数的运算性质；运用诱导公式化简求值．
专题： 计算题；函数的性质及应用．
分析： （I）利用诱导公式，结合特殊角的三角函数值即可求解
（II）利用对数的运算性质及指数的运算性质即可求解
解答：
解：（I）（每求出一个函数值给（1分），6分
（II）（每求出一个式子的值可
给（1分），12分）
点评： 本题主要考查了诱导公式在三角化简求值中的应用及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题
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14．求 值：（log
6
2）+log
6
3×log
6
12．

考点： 对数的运算性质．
分析：
先对后一项：log
63×log
6
12利用对数的运算法则进行化简得到：log
6
3+lo g
6
3×log
6
2，再和前面一项提取公因
式log
6< br>2后利用对数的运算性质：log
a
（MN）=log
a
M+log< br>a
N进行计算，最后再将前面计算的结果利用
log
6
2+log6
3=1进行运算．从而问题解决．
解答：
解：原式=（log
6< br>2+log
6
3）log
6
2+log
6
3
=log
6
2+log
6
3=1．
2
∴（log
6
2）+log
6
3×log
6
12=1．
点评： 本小题主要考查对数的运算性质、对数的运算性质的应用等基础知识，考查运算求解能力．属于 基础题．对
2
数的运算性质：log
a
（MN）=log
a
M+log
a
N； log
a
=log
a
M﹣log
a
N；log
a
M=nlog
a
M等．

15．（1）计算
n
（2）已知，求的值．

考点： 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题： 计算题．
分析： （1）化根式为分 数指数幂，把对数式的真数用同底数幂相除底数不变，指数相减运算，然后利用对数式的
运算性质化简；
（2）把给出的等式进行平方运算，求出x+x，代入要求的式子即可求得
解答：
解（1）
﹣
1
的结果．
=
=
=；
，
，
﹣
1


（2）由
得：
所以，x+2+x=9，
﹣
1
故x+x=7，
所以，．
点评： 本题考查了有理指数幂的化简与求值，考查了对数式的运算性质，解答的关键是熟记有关性质，是基础题．

16．计算
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（Ⅰ）

；
（Ⅱ）0.0081﹣（

）+??．
考对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
点
：
专函数的性质及应用．
题
：
分（Ⅰ）利用对数的运算法则，由已知条件能求出结果．
析（Ⅱ）利用指数的运算法则，由已知条件，能求出结果．
：
解解：（Ⅰ）
答
==
：
=
===﹣．
（Ⅱ）0 .0081﹣（）+??=[（0.3）
]
4
﹣[（）]
3
+=0. 3﹣+3=．
点本题考查指数和对数的运算法则，是基础题，解题时要认真解答，避免出现计算上的低级错误．
评
：

17．（Ⅰ）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，A={ 1，4，5}，B={2，3，5}，记M=（?
U
A）∩B，求集合M，并写出
M的 所有子集；
（Ⅱ）求值：．

考点： 对数的运算性质；交、并、补集的混合运算．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （I）利用集合的运算法则即可得出．
（II）利用对数的运算法则即可得出．
解答： 解：（Ⅰ）∵U={1，2，3，4，5，6}，A={1，4，5}，
∴C
U
A={2，3，6}，
∴M=（?
U
A）∩B={2，3，6}∩{2，3，5}={2，3}．
∴M的所有子集为：?，{2}，{3}，{2，3}．
（Ⅱ）===．
点评： 本题考查了集合的运算法则、对数的运算法则，属于基础题．

18．解方程：log
2
（4﹣4）=x+log
2
（2


xx+1
﹣5）
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考点： 对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析：
利用对数的运算法则将方程变形为，将对数式化为指数式得到，通过换元
转化 为二次方程，求出x的值，代入对数的真数检验．
解答：
解：log
2
（ 4
x
﹣4）=x+log
2
（2
x+1
﹣5）即为
xx+1
log
2
（4﹣4）﹣log
2
（2﹣5）=x
即为
所以
令t=2即
x

解得t=4或t=1
所以x=2或x=0（舍）
所以方程的解为x=2．
点评： 本题考查对数的真数 大于0、对数的运算法则、二次方程的解法，解题过程中要注意对数的定义域，属于基
础题．

19．（Ⅰ）计算（lg2）+lg2?lg50+lg25；
（Ⅱ）已知a=，求÷．
2

考点： 对数的运算性质；根式与分数指数幂的互化及其化简运算．
专题： 计算题．
分析： （Ⅰ）利用对数的运算法则进行运算，利用结论lg2+lg5=0去求．
（Ⅱ）先将根式转化为同底 的分数指数幂，利用指数幂的运算性质，化为最简形式，然后在将a值代入求值．
解答： 解：（Ⅰ）原式=lg2（lg2+lg50）+lg25=2lg2+lg25=lg100=2．

（Ⅱ）原式=．
∵a=，∴原式=．
点评： 本题考查对数的四则运算法则，根式 与分数指数幂的互化，以及同底数幂的基本运算性质，要求熟练掌握
相应的运算公式．

20．求值：
（1）lg14﹣+lg7﹣lg18
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（2）

．

考点： 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题： 计算题．
分析： （1）应用和、差、积、商的对数的运算性质计算即可；
（2）利用指数幂的运算性质（a）=a
解答：
解：（1）∵lg14﹣+lg7﹣lg18
mnmn
计算即可．
=（lg7+lg2）﹣2（lg7﹣lg3）+lg7﹣（lg6+lg3）
=2lg7﹣2lg7+lg2+2lg3﹣lg6﹣lg3
=lg6﹣lg6=0．（4分）
（2）∵
=﹣1﹣
=﹣+
+
=．（8分）
点评： 本题考查对数与指数的运算性质，关键在于熟练掌握对数与指数幂的运算性质进行计算，属于中档题．

21．计算下列各题：
2
（1）（lg5）+lg2×lg50；
（2）已知a﹣a=1，求

考点： 对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．
专题： 计算题．
分析： （1）直接利用对数的运算性质，求出表达式的值；
﹣
1
的值．
（2）通过a﹣a=1，求出a+a
2
﹣12
﹣
2
的值，然后化简
2
，求出它的值
解答： < br>解：（1）（lg5）+lg2×lg50=（lg5）+lg2×（lg5+1）=lg5（lg2+l g5）+lg2=1；
﹣
12
﹣
2
（2）因为a﹣a=1，所以a+a﹣2=1，
2
﹣
2
∴a+a=3，

=
=0．
点评： 本题主要考查对数的运算性质和有理数指数幂的化简求值的知识点，解答本题的关键是熟练对数 的运算性
质，此题难度一般．

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22．（1）计算
2
；
（2）关于x的方程3x﹣10x+k=0有两个同号且不相等的实根，求实数k的取值范围．

考点： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
专题： 计算题．
分析： （1）转化为分数指数幂，利用指数幂的运算法则进行计算；
（2）由维达定理的出k的关系式，解不等式即可．
解答：
（1）解：原式=
=
=a（∵a≠0）
=1（2分）
0

（2）解：设3x﹣10x+k=0的根为x
1
，x
2

由x
1
+，x
1
?
2
由条件
点评： 本题考查根式和分数指数幂的转化、指数的运算法则、及二次方程根与系数的关系，属基本运算的考查．

23．计算题
（1）
（2）


考点： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算；对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析： （1）根据分数指数与根式的互化以及幂的乘方运算法则，还有零指数、负指数的运算法则，化简可得值；
（2）运用对数运算性质及对数与指数的互逆运算化简可得．
24
解答：
解：（1）原式=﹣（﹣2）×（﹣2）+﹣=﹣64++1﹣=﹣；
（2）原式=+log
3
﹣log
3
﹣3=log
3
83224×8
﹣l og
3
﹣9=﹣9．
32
点评： 考查学生灵活运用根式与分数指数幂互化及其化简运算的能力，以及分母有理化的应用能力．

24．计算下列各式：（式中字母都是正数）
（1）
（2）．


考点： 根式与分数指数幂的互化及其化简运算；有理数指数幂的化简求值．
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专题： 函数的性质及应用．
分析：
（1）利用
（2）利用立方和公式即可得出．
解答：
解：（1）原式=
=
=
=
=．
?



及其根式的运算法则即可；

（2）原式=
=
=．

点评： 熟练掌握根式的运算法则、立方和公式是解题的关键．

25．计算：（1）
（2）lg25+lg2×lg50+（lg2）．

考点： 有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析：
；
2
（1）由指数幂的含义和运算法则，，=|3﹣π|，求解
即可．
（2）利用对数的运算法则，各项都化为用lg2表达的式子即可求解．
解答：
解：（1）
2
=
2
=1+2+π﹣3=π
（2）lg25 +lg2×lg50+（lg2）=2﹣2lg2+lg2（2﹣lg2）+（lg2）=2．
点评： 本题考查指数和对数式的化简和求值、考查指数和对数的运算法则、属基本运算的考查．

26．已知x+y=12，xy=27且x＜y，求的值．

考点： 有理数指数幂的运算性质．
专题： 计算题．
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分析： 利用已知条件求出x﹣y的值，利用分母有理化直接求解所求表达式的值．
解答： 解：∵x+y=12，xy=27
∴（x﹣y）=（x+y）﹣4xy=12﹣4×27=36 （3分）
∵x＜y∴x﹣y=﹣6 （5分）
222
∴=== （9分）
== （12分）
点评： 本题考查有理指数幂的运算，考查计算能力．
< br>27．（1）计算：
（2）已知a=log
3
2，3=5，用a，b表示
b
；
．

考点： 有理数指数幂的运算性质；对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析：
（1）根据指数幂的运算性质和恒等式a
0=1、0
a
=1，进行化简求值；
（2）根据指对互化的式子把3=5化成对数式，再把
拆成3×2×5后，再进行求解．
解答：
解：（1）原式=
（2）∵3=5∴b=log
3
5
∴
b
b
化为分数指数幂的形式，由对数的运算性质将30
（7分）
（14分）
点评： 本题考查了指数和对数运算性质的应用，常用的方法是将根式化为分数指 数幂的形式，指数式和对数式互
化，以及将真数拆成几个数的积或商的形式．

28．化简或求值：
（1）
（2）

考点： 有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析： （1）由原式有意义，得到a≥1，然后把各根式进行开平方和开立方运算，开方后合并即可．
（2）直接运用对数式的运算性质进行求解计算．
解答： 解：（1）因为a﹣1≥0，所以a≥1，
；
．
所以
（2）
=a﹣1+|1﹣a|+1﹣a=|1﹣a|=a﹣1；
=2lg5+2lg2+lg5（1+lg2）+（lg2）
2
=2（lg2+lg5）+lg5+lg2（lg5+lg2）=2+lg5+lg2=3．
点评： 本题考查了有理指数幂的化简求值，考查了对数的运算性质，解答此题的关键是由根式有意义得到a的取
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值范围，此题是基础题．

29．计算下列各式的值：
（1）； （2）．

考点： 有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．
专题： 计算题．
分析： （1）根据分数指数与根式的互化以及幂的乘方运算法则，还有零指数、负指数的运算法则，化简可得值；
（2）运用对数运算性质化简可得．
解答：
解：（1）原式=；
．
点评： 考查学生灵活运用根式与分数指数幂互化及其化简运算的能力，以及分母有理化的应用能力．

30．计算
（1）lg20﹣lg2﹣log
2
3?log< br>3
2+2
log

（2）（﹣1）+（
0
）+（）．

考点： 有理数指数幂的化简求值；对数的运算性质．
专题： 函数的性质及应用．
分析： （1）利用对数的运算法则、对数的换底公式及其对数恒等式即可得出；
（2）利用指数幂的运算法则即可得出．
解答：
解：（1）原式==1﹣1+=；
（2）原式=1
=
=


=2．
点评： 数列掌握对数的运算法则、对数的换底公式及其对数恒等式、指数幂的运算法则是解题的关键．

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