高中数学逻辑专题训练

§1–2 简易逻辑
一、命题
1.2.1 如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的( )．
(A) 否命题必是真命题 (B) 否命题必是假命题
(C) 原命题必是假命题 (D) 逆否命题必是真命题
解析 一个命题的逆命题与否命题真假相同，答案为A．

1.2.2 命题“对任意的x∈R，x
3
－x
2
＋1≤0”的否定是( )．
(A) 不存在x∈R，x
3
－x
2
＋1≤0
(B) 存在x∈R，x
3
－x
2
＋1≤0
(C) 存在x∈R，x
3
－x
2
＋1>0
(D) 对任意的x∈R，x
3
－x
2
＋1>0
解析 “对任意的x∈R， x
3
－x
2
＋1≤0”的否定是“存在x∈R，使得x
3
－ x
2
＋1>0”，答
案为C．

1.2.3 与命题“若a?M，则b?M”等价的命题是( )．
(A) 若b∈M，则a?M (B) 若b?M，则a∈M
(C) 若b∈M，则a∈M (D) 若a?M，则b∈M
解析 逆否命题与原命题互为等价命题，原命题的逆否命题为“若b∈M，则a∈M”，
所以，答案为C．

1.2.4 设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：“当f(k)≥k< br>2
成立时，总可以推出
f(k＋1)≥(k＋1)
2
成立”，那么，下 列命题总成立的是( )．
(A) 若f(3)≥9成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k
2
成立
(B) 若f(5)≥25成立，则当k≤5时，均有f(k)≥k
2
成立
(C) 若f(7)<49成立，则当k≥8时，均有f(k)2
成立
(D) 若f(4)＝25成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k
2
成立
解析 由25>1 6得f(4)＝25使得f(4)≥4
2
成立，由已知可得当k≥4时，均有f(k)≥k2
成立，
答案为D．

1.2.5 命题“若x
2
<1，则－1(A) 若x
2
≥1，则x≥1或x≤－1 (B) 若－12
<1
(C) 若x>1或x<－1，则x
2
>1 (D) 若x≥1或x≤－1，则x
2
≥1
解析 命题“若x
2
<1，则－ 12
≥1”，答案为
D．

1.2.6 在原命题“若A∪B≠B，则A∩B≠A”与它的逆命题、否命题、逆否命题这 四个命
题中，真命题的个数是 ．
解析 原命题的逆否命题为“若A∩B＝A，则A∪ B＝B”．当A∩B＝A时，任取x∈A＝
A∩B，必有x∈B，则A?B，必有A∪B＝B成立，所以 ，逆否命题和原命题都是真命题．
原命题的否命题为“若A∪B＝B，则A∩B＝A”，同上，可知否 命题和逆命题也都是真
命题．所以，在这四个命题中，真命题的个数是4．

1.2.7 若a，b都是非零实数，证明：|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．
解析 若|a|＋|b |＝|a＋b|，则(|a|＋|b|)
2
＝|a＋b|
2
，a
2< br>＋b
2
＋2|a||b|＝a
2
＋b
2
＋2ab，于 是，|ab|
＝ab，可得ab>0；
若ab>0，则 或于是，|a|＋|b|＝|a＋b|．
所以，当a，b都是非零实数时，|a|＋|b|＝|a＋b|与ab>0等价．

1.2.8 已知A和B都是非空集合，证明：“A∪B＝A∩B”与“A＝B”是等价的．
解析 若A∪B＝A∩B，则任取x∈A，必有x∈A∪B＝A∩B，于是，x∈A∩B，则x∈B，< br>所以，A?B，同理可得B?A，于是，A＝B；若A＝B，则显然有A∪B＝A∩B，所以，“A∪B< br>＝A∩B”与“A＝B”是等价的．

1.2.9 已知a，b，c是实数，则与“a，b，c互不相等”等价的是( )．
(A) a≠b且b≠c (B) (a－b)(b－c)(c－a)≠0
(C) (a－b)
2
＋(b－c)
2
＋(c－a)
2
≠0 (D) a
2
，b
2
，c
2
互不相等
解析 由于不相等关系不具有传递性，当a≠b且b≠c，a与c可能相等；
由(a－b)
2
＋(b－c)
2
＋(c－a)
2
≠0可得a＝b，b＝c，c＝a中至少有 一个不成立，即(a－b)
2
＋(b－c)
2
＋(c－a)
2
≠0等价于“a，b，c不全相等”，而不能等价于“a，b，c互不相等”；
a＝－1，b＝0， c＝1，此时a，b，c互不相等，但a
2
＝c
2
，所以，“a，b，c互不 相等”
与“a
2
，b
2
，c
2
互不相等”不是等价 的；
a≠b等价于a－b≠0，“a，b，c互不相等”等价于a－b≠0，b－c≠0，c－a≠0 同时成立，
所以，“a，b，c互不相等”与“(a－b)(b－c)(c－a)≠0”等价，答案为B ．

1.2.10 命题“若ab＝0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为 ．
解析 原命题的逆否命题为“若a、b均不为零，则ab≠0”．

1.2.11 给出下列四个命题：① 若x
2
＝y
2
，则x＝y；② 若x≠y，则x
2
≠y
2
；③ 若x
2
≠y
2
，
则x≠y；④ 若x≠y且x≠－y，则x
2
≠y
2
，其中真命题的序号是 ．
解析 由x
2
＝y
2
可得x＝y或x＝－y，命题①不成立；若x＝ －y≠0，此时x≠y，而x
2
＝
y
2
，于是，命题②不成立；若x
2
≠y
2
时有x＝y，则可得x
2
＝y
2
，矛盾，于是，命题③成立；
对于x≠y且x≠－y，如果x
2
＝y
2
，则有x＝y或x＝－y，即x＝y与x＝－y至少有一个成立，
矛盾，于是，命题④成立．所以，上 述四个命题中，真命题的序号是③和④．

1.2.12 已知命题p：方程x
2< br>＋mx＋1＝0有两个不等的负实根．命题q：方程4x
2
＋ 4(m
－2)x＋1＝0没有实根．若“p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范围．
2
解析 当命题p为真时，应有解得m>2．当命题q为真时，应有Δ＝16(m－2)－16 <0，
解得11，使“p且q”为假的m的取
值范围是m≤2或m≥3，所以，使两者同时成立的m的取值范围是m≥3或1
1.2.13 某人要在一张3×3的表格中填入9个数(填的数有正有负)，他要
a
11
a
12
a
13

使得表中任意一行的三个数之和为正，而任意一列 的三个数之和为负．求证：
a
21
a
22
a
23

他一定不能写出满足要求的数表．
解析 若此人能写出满足要求的 数表，则由a
11
＋a
12
＋a
13
>0，a
21
＋a
22
＋
a
31
a
32
a
33

a
23
>0，a
31
＋a
32< br>＋a
33
>0可得数表中的九个数之和为正；同时，又有a
11
＋a< br>21
＋a
31
<0，a
12
＋a
22
＋a< br>32
<0，a
13
＋a
23
＋a
33
<0， 则数表中的九个数之和为负，矛盾，所以，此
人一定不能写出满足要求的数表．

1.2.14 设a，b∈R，A＝{(x，y)|y＝ax＋b，x∈Z} ，B＝{(x，y)|y＝3x
2
＋15，x∈Z}，C
＝{(x，y)|x
2
＋y
2
≤144}都是平面xOy内的点的集合．求证：不存在a，b，使得A∩B ≠?，且
点(a，b)∈C同时成立．
解析 设满足要求的a，b存在，则P(a，b)∈C，即a
2
＋b
2
≤144．
由得ax＋b－(3x
2
＋15)＝0，在aOb平面内，原点到直线ax＋b－(3 x
2
＋15)＝0的距离是
＝3≥12，其中等号当且仅当3，即x
2
＝3时成立，但它与x∈Z矛盾，所以，使A∩B≠?成立
的(a，b)必有 >12，与a
2
＋b
2
≤144矛盾，所以，满足要求的a，b不存在．

1.2.15 中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”，“平行关系”等等，如果集合 A
中元素之间的一个关系“~”满足以下三个条件：
(1) 自反性：对于任意a∈A，都有a~a；
(2) 对称性：对于a，b∈A，若a~b，则有b~a；
(3) 传递性：对于a，b，c∈A，若a~b，b~c，则有a~c，则称“~”是集合A的一个等
价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系(自反性不成立)，
请你再列出三个等价关系： ．
解析 由集合、角、向量的性质可知，“集合相等”、“角相等”、“向量相等”都是满足
要求的等价关系．

1.2.16 已知函数f(x)在R上是增函数，a，b∈R．写出命题“若a＋b>0， 则f(a)＋f(b)>f(－
a)＋f(－b)”的逆命题，并判断其真假．若所写命题是真命题，给 出证明；若所写命题是假
命题，给出反例．
解析 所求逆命题为：已知函数f(x)在R上是 增函数，a，b∈R．若f(a)＋f(b)>f(－a)＋
f(－b)，则a＋b>0．该命题是真命 题．证明如下：
若a＋b≤0，即a≤－b，由函数f(x)在R上是增函数得f(a)≤f(－b) ，同理f(b)≤f(－a)，由
此可得f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)，与已知条件矛 盾．所以，a＋b>0．

二、充分条件和必要条件
1.2.17 两个圆“周长相等”是“面积相等”的( )．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析 两个圆周 长相等，则由2πr
1
＝2πr
2
得两圆半径r
1
＝r2
，则两圆面积相等，反之亦
然，所以，两个圆“周长相等”是“面积相等”的充要条件， 答案为C．

1.2.18 P：四边形四条边长相等，Q：四边形是平行四边形，则P是Q的( )．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析 当四边形的四条边长相同时，它是菱形，一定是平行四边形；反之，一个平行四
边形的四条边长不一定都 相等，所以，P是Q的充分不必要条件，答案为A．

1.2.19 已知a，b，c，d都是实数，则“a＝b且c＝d”是“a＋c＝b＋d”的( )．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件

(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析 对于实数a，b，c，d，如果a＝b且c＝d，则有a－b＝0，c－ d＝0，则a＋c－
(b＋d)＝(a－b)＋(c－d)＝0，于是，a＋c＝b＋d；反之，如果a ＝1，b＝2，c＝4，d＝3，有
a＋c＝b＋d，但此时a≠b，c≠d，所以，“a＝b且c＝d ”是“a＋c＝b＋d”的充分不必要条
件，答案为A．

1.2.20 已知a，b，c是实数，则“a＝b”是“ac＝bc”的( )．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析 如果a＝b，则a－b＝0，于是，ac－bc＝(a－b)c＝0，可得ac＝bc；反之，如果
c＝ 0，a＝1，b＝2，此时有ac＝bc，但a≠b，所以，“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条
件，答案为A．

1.2.21 设m，n是整数，则“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的( )．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析 如果m，n均为偶数，则m＋n一定是偶数；反之，如果m＝1，n＝3，m＋n＝4
为偶数，但此时m 和n都不是偶数，所以，“m，n均为偶数”是“m＋n是偶数”的充分而
不必要条件，答案为A．

1.2.22 设集合A，B是全集U的两个子集，则AB是?
U
A∪B＝U
的( )．
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
题1.2.22

解析 由表示集合U，A ，B关系的图形可知当AB时必有?
U
A∪B＝U成立，反之，
当A＝B时，也有?< br>U
A∪B＝U成立，即A是B的真子集不是?
U
A∪B＝U成立的必要条件，< br>所以，答案为A．

1.2.23 对于集合M和P，“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的( )．
(A) 充分不必要条件
(B) 必要不充分条件
题1.2.23

(C) 充要条件
(D) 既不充分也不必要条件
解析 由表示集合M，P的图形可知当x∈M或x∈P时不一 定有x∈M∩P，而当x∈M∩P
时必有x∈M或x∈P，所以，“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P” 的必要不充分条件，答案为B．

1.2.24 如果x，y是实数，那么“cos x＝cos y”是“x＝y”的( )．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析 当cos x＝cos y时，不一定有x＝y，而当x＝y时，必有 cos x＝cos y，所以，

“cos x＝cos y”是“x＝y”的必要不充分条件，答案为B．

1.2.25 使不等式(1－|x|)(1＋x)>0成立的充要条件为( )．
(A) x<－1或x>1 (B) －1(C) x>－1且x≠1 (D) x<1且x≠－1
解析 此不等式等价于或解得－1
1.2.26 一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是( )．
(A) ab>0 (B) ab<0 (C) ac>0 (D) ac<0
解析 若一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0有一个正数根x
1
和一个负数根x2
，则x
1
x
2
＝<0，
则ac<0；反之，若ac< 0，一元二次方程的判别式Δ＝b
2
－4ac>0，此方程一定有两个实数根，
且两根 之积为<0，这两个实数根一定是一个正数和一个负数，所以，一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0有一个正数根和一个负数根的充要条件是ac<0，答案为D．

1.2.27 “x>1”是“<1”的( )．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析 若x>1，则－1＝<0， 即<1；反之，如果x<0，则有<1，此时，x>1不成立，所以，
“x>1”是“<1”的充分不必 要条件，答案为A．

1.2.28 已知x是实数，则“x≠1”是“x
2
－4x＋3≠0”的( )．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析 如果x＝3，则x≠1，此时x
2
－4x＋3＝(x－ 1)(x－3)＝0；反之，如果x
2
－4x＋3≠0，
即(x－3)(x－1)≠0 ，则x≠3且x≠1，所以，“x≠1”是“x
2
－4x＋3≠0”的必要不充分条件，答案为B．

1.2.29 “一个正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的( )．
(A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件
(C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件
解析 如果一个正整数的个位数是5，即此正整数一定可表示成10k＋5(k是非负整数)，
它一定是5的倍 数；反之，可写成10n(n是正整数)的正整数一定是5的倍数，但它的个位
数不是5，所以，“一个 正整数的个位数字是5”是“这个正整数是5的倍数”的充分不必要
条件，答案为A．

1.2.30 对于集合A，B，下列四个命题中正确的是( )．
(A)“A不是B的子集”的充要条件是“对任意x∈A都有x?B”
(B) “A不是B的子集”的充要条件是“A∩B＝?”
(C) “A不是B的子集”的充要条件是“B不是A的子集”
(D) “A不是B的子集”的充要条件是“存在x∈A，使得x?B”
解析 由于A不是B的子集，则至少存 在一个x
0
∈A有x
0
?B，并不要求对任意的x∈A
有x?B，但 是，对任意x∈A都有x?B，则A一定不是B的子集，所以，“对任意x∈A都有
x?B”是“A不是 B的子集”的充分不必要条件．

若A不是B的子集，不一定有A∩B＝?，例如A＝{ 1，2，3}，B＝{2，3}，反之，当A∩B
＝?时，不一定能推出A不是B的子集，例如A＝?， 则A必是B的子集，所以，“A∩B＝
?”是“A不是B的子集”的既不充分也不必要条件．
由A不是B的子集不一定能推出B不是A的子集，例如A＝{1，2，3}，B＝{2，3}，
反之亦然 ，所以，“B不是A的子集”是“A不是B的子集”的既不充分也不必要条件．
根据子集的概念可知“存在x∈A，使得x?B”是“A不是B的子集”的充要条件．
所以，答案为D．

1.2.31 已知函数f(x)＝(a
2
－ 1)x
2
＋(a－1)x＋3，则f(x)>0对任意的x∈R恒成立的充要
条件是 ．
解析 当a＝1时，f(x)＝3>0恒成立．而当a＝－1时，f(x)＝－2x＋3不是对一切 x∈R
都有f(x)>0成立．
当a≠±1时，使f(x)>0对一切x∈R都成立的充要条 件是解得a>1或a<－，所以，使f(x)>0
对任意的x∈R恒成立充要条件是a≥1或a<－．

1.2.32 证明：“关于x的方程ax
3
＋bx
2
＋ cx＋d＝0有一个根为－1”的充要条件是“a
＋c＝b＋d”．
解析 若a＋c＝b＋d ，则方程ax
3
＋bx
2
＋cx＋d＝0即为ax
3
＋bx
2
＋cx＋a＋c－b＝0，于
是，a(x
3
＋1)＋b(x
2
－1)＋c(x＋1)＝0，(x＋1)[a(x
2
－x＋1)＋b(x－1)＋ c]＝0，所以，x＝ －1
是方程ax
3
＋bx
2
＋cx＋d＝ 0的一个根；反之，如果x＝－1是方程ax
3
＋bx
2
＋cx＋d＝0的一
个根，则有a×(－1)
3
＋b×(－1)
2
＋c×(－1)＋d＝ 0，于是，a＋c＝b＋d，所以，“关于x的方程
ax
3
＋bx
2
＋cx＋d＝0有一个根为－1”的充要条件是“a＋c＝b＋d”．

1.2.33 (1) 证明：是的充分不必要条件；
(2) 指出成立的充要条件．
解析 (1) 当a>3且b>3时，必有a＋b>6，ab>9成立．
反之，在a＋b>6且ab>9的条件下，不一定有a>3且b>3成立，如a＝1，b＝10．
所以，是的充分不必要条件．
(2) 成立的充要条件是

1.2.34 证明：A?B是(A∩C)?(B∩C)的充分不必要条件．
解析 当A?B时，任取x∈B∩C有x ∈B且x∈C，于是有x∈A且x∈C，则x∈A∩C，
所以，A?B是(A∩C)?(B∩C)的充分 条件，而C＝?使(A∩C)?(B∩C)成立，但B不一定是A
的子集，所以，A?B是(A∩C)? (B∩C)充分不必要条件．

1.2.35 “a≠b”是否为“关于x的方程a(ax－ 1)＝b(bx－1)有解”的充要条件?若是，请
予以证明；若不是，请指出它是什么条件?并请说明 理由．
解析 对于未知数是x的方程(a
2
－b
2
)x＝a－b， 如果a＝1而b＝－1，此时有a≠b，而
原方程是0×x＝2，此方程无解，于是，“a≠b”不是“ 关于x的方程a(ax－1)＝b(bx－1)有解”
的充分条件；反之，如果a＝b，则关于x的方程 (a
2
－b
2
)x＝a－b即为0×x＝0，此方程的解

集为R，则“a≠b”不是“关于x的方程a(ax－1)＝b(bx－1)有解”的必要条件，即“a≠b ”
是“关于x的方程a(ax－1)＝b(bx－1)有解”的既不充分也不必要条件．

1.2.36 如果系数a
1
，b
1
，c
1
和a< br>2
，b
2
，c
2
都是非零常数的方程a
1
x
2
＋b
1
x＋c
1
＝0和a
2
x
2
＋b
2
x＋c
2
＝0的解集分别是A和B，求证：“”是“A＝B ”的充要条件．
解析 充分性：若x
0
∈A，即x
0
是方程a1
x
2
＋b
1
x＋c
1
＝0的根，则a
1
＋b
1
x
0
＋c
1
＝0，而
非零实数 a
1
，b
1
，c
1
和a
2
，b
2
，c
2
满足，设＝k≠0，则可得k(a
2
＋b
2
x
0
＋c
2
)＝0，于是a
2
＋b
2
x< br>0
＋c
2
＝0，即x
0
是方程a
2
x
2
＋b
2
x＋c
2
＝0的根，即x
0
∈B，则A ?B，同理可证B?A，所以A
＝B．
必要性：若x
1
，x
2是方程a
1
x
2
＋b
1
x＋c
1
＝0 的根，x'
1
，x'
2
是a
2
x
2
＋b< br>2
x＋c
2
＝0的根，则
x
1
＋x
2
＝－，x
1
x
2
＝，x'
1
＋x'
2
＝ －，x'
1
x'
2
＝，由A＝B得x
1
＋x
2＝x'
1
＋x'
2
且x
1
x
2
＝x'
1
x'
2
，则－
＝－且，所以有．