高中数学附加题专项练习

附加题
矩阵
1（2010南通二模）
?
cos
?
若点A（2，2）在矩阵
M?
?
?
sin
?
?s in
?
?
对应变换的作用下得到的点为B（－2，2），
cos
?< br>?
?
求矩阵M的逆矩阵．
?
2
??
?2
? ?
2cos
?
?2sin
?
??
?2
?
解 ：
M
??
?
??
，即
?
，……………………… ………………4
?
222sin
?
?2cos
?
??
2
?
????????
分
所以
?
分
所以
M?
?
?
1
分
?
01
?
?
．
10
?
?10
?
?
0?1
??
cos90??sin90?
?
另解：
M?
?
旋转变换矩阵，
?
?
?
sin90?cos90?
?
，看作绕原点O逆时针旋转90°
10
????
?
cos (?90?)?sin(?90?)
??
01
?
于是
M
?1
?
??
?
?
?10
?
．
sin(?90 ?)cos(?90?)
????
?
0?1
??
01
??
10
?
?1
?1
．由，得
M?
MM?
?
?10
?
．………………………10
?
01
?
0
?
???
??
?
cos
?
?sin
?< br>??1,
?
cos
?
?0,
解得
?
… …………………………………………6
?
sin
?
?cos
?
?1.
?
sin
?
?1.
另解：
M?
0?1 ＝1
?0
，
M
?1
?
?
2（2010苏锡常二模）
?
31< br>?
已知矩阵
A
=
?
，求
A
的特征值
?
1
，
?
2
及对应的特征向量
α
1
,α< br>2
．
?
?
0?1
?
解：矩阵
A
的特征多项式为
f(
?
)
=
?
?3
0
?1
=
(
?
?3)(
?
?1)
， ……………………………2分
?
?1
令
f(
?
)
=0，得到矩阵
A的特征值为
?
1
=3，
?
2
=
?1
． ………………4分
?
31
?
当
?
1
=3时，由< br>??
?
0?1
?
?
3x?y?3x,
?
x< br>??
x
?
=3，得，∴
y?0
，取
x?1
， 得到属于特征值3
?
?
y
??
y
?
?y?3y????
?
?
1
?
的一个特征向量
α
1
=
??
； ……………………………7分
?
0
?
?
31
?
当
?
2
=
?1时，由
??
?
0?1
?
?
x
?
?y
?
=
?
??
?
3x?y??x,
?
x
?
，得，取
x?1
，则
y??4
，得到属于特征
?
?
y
?
?y??y
??
?

?1
?
值
?1
的一个特征向量
α
2
=
? ?
． ……………………………10分
?
?4
?
3（2010苏北四市二模）
0
?
，求矩阵
M
的特征值及其相应的特征向量
1
?
?
?
?20
矩阵
M
的特征多项式为
f(
?
)??
?
2
?3
?
?2
，………… ２分
?1
?
?1
令
f(
?
)?0
，解得
?
1
?1,
?
2
?2
， ………………………………………４分
（?x?0?y?0,
?
?
-2）
解得
x?0
，……６分
?
?x?(
?
?1)y?0,?
0
?
所以矩阵
M
属于特征值1的一个特征向量为
??
；………………………８分
?
1
?
将
?
1
?1
代入二元一次方程组
?
?
2
已知矩阵
M=
?
?
1
?
1
?
同理，矩阵
M
属于特征值2的 一个特征向量为
??
．……………………10分．
?
1
?
极坐标与参数方程
1（2010南通二模）
< br>已知极坐标系的极点O与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，曲线C
1
：
?
x?4t
2
,
?
（t∈R）交于A、B两点．求证：OA ⊥OB．
?
cos(
?
?)?22
与曲线C
2
：
?
y?4t
4
?
解：曲线
C
1
的直角坐标 方程
x?y?4
，曲线
C
2
的直角坐标方程是抛物线
y2
?4x
，…4
分
设
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
，将这两个方程 联立，消去
x
，
得
y
2
?4y?16?0?y
1
y
2
??16
，
y
1
?y
2
?4
．……………………………………6
分
?x
1
x
2
?y
1
y
2
?(y
1
?4)(y
2
?4 )?y
1
y
2
?2y
1
y
2
?4(y1
?y
2
)?16?0
．…………8
分
uuuruu ur
∴
OA?OB?0
，
?
OA?OB

2（2010苏锡常二模）
．已知曲线
C
的方程
y
2?3x
2
?2x
3
，设
y?tx
，
t
为参数，求曲线
C
的参数方程．解：将
y?tx

代入
y
2
?3x
2
?2x
3
，
得
t
2
x
2
?3x
2
?2x
3
，即
2x
3
?(3?t
2
)x
2
． ………………………………4分
当 x=0时，y=0；
3?t
2
当
x?0
时，
x?
． ………………………………………6分
2
3t?t
3
从而
y?
． ………………………………………8分
2
?
3?t
2
x?,
?
?
2
∵原点
(0,0)
也满足
?
，
3
3t?t
?y?
?
?2
?
3?t
2
x?,
?
?< br>2
∴曲线C的参数方程为
?
（
t
为参数）． ……………………………10分
3
3t?t
?
y?
?
?2
3（2010苏北四市二模）
在极坐标系中，直线
l
的极坐标方程为
?
?
?
3
?
?
?R
?
，以极点为原点， 极轴为
x
轴的正
?
x?2cos
?
,
半轴建立平面 直角坐标系，曲线
C
的参数方程为
?
（
?
为参数），求直线
l
与
y?1?cos2
?
?
曲线
C
的交点 P的直角坐标.
?
因为直线
l
的极坐标方程为
?
??
?
?R
?

3
所以直线
l
的普通方 程为
y?3x
，……………………………………………３分
?
x?2cos
?
,
又因为曲线
C
的参数方程为
?
（
?< br>为参数）
?
y?1?cos2
?
1
2
所以曲线C
的直角坐标方程为
y?x
?
x?
?
?2,2
?
?
， ………………………６分
2
?
x?0,
?
?
x?23,
联立解方程组得
?
或
?
，…………………… ……………………８分
?
y?0,
?
?
y?6
?
?
x?23,
根据
x
的范围应舍去
?
,故
P
点的直角坐标为
(0,0)
．……………10分
?
?
y?6
随机变量的概率
1（2010南通二模）
一 个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到红
球得2分，取到黑 球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．
（1）写出甲总得分ξ的分布列；
（2）求甲总得分ξ的期望E（ξ）．

解：（1）甲总得分情况有6分，7分 ，8分，9分四种可能，记
?
为甲总得分．
54
??
1
?
2
??
3
?
?
?
3
?
?
27
，
P
(
?
?7)
?C
3
，
????
?
55125
5125
????
??
2
?
C
3
?
3
2

P
(
?
?6)
P
(
?
?8)
?
8
? ?
36
??
2
?
，
P
(
?
?9)
?
?
2
?
?
．………………………4分
??3
?
?
551255125
??????
23
?

P（x＝
?
）
6 7 8 9
27
125

54
125

36
125

8
125

……………………………………………7
分
（2）甲总得分
ξ
的期望
36
54368
E
（
ξ
）＝
6?
27
?7?
＝．……………………10分
?

8??9?
5
5
2（2010苏锡常二模）
一个袋中装有黑球，白球和红球共n(
n?N
*
)个，这些球除颜色外完全相同．已知 从袋
中任意摸出1个球，得到黑球的概率是
2
．现从袋中任意摸出2个球．
5
4
（1）若n=15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设
?
表示摸出的2个球
7
中红球的个数,求随机变量
?
的概率分布及数学期望E
?
；
（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少?
解：（ 1）设袋中黑球的个数为
x
(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，
则
P(A)?
x2
?
．
155
∴
x?6
． …………………………………………………1分
设袋中白球的个数为
y
(个)，记“ 从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”
为事件B，则
P(B)?1?
2
C
15?y
2
C
15
?
4
，
7
∴
y
2
?29y?120?0
， ∴
y?5
或
y?24
(舍)．
∴红球的个数为
15?6?5?4
(个)． …………………………………3分
∴随机变量
?
的取值为0，1，2，分布列是

?

P

0 1 2
11

21
44

105
2

35
?
的数学期望
E
?
?
1144256
． …………6分
?0??1??2?
211 0535105
2
（2）设袋中有黑球
z
个，则
z?n(n?5,1 0,15,
…）．
5
设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，
2
C
3
则P(C)?1?
C
n
5
2
n
?
1661
??， …………………………………8分
2525n?1
3（2010苏北四市二模）
7
．
10
某电视台综艺频道组织的闯关游戏，游戏规定前两关至少过一关才有资格闯第三关，闯关者
闯第一关成功 得3分，闯第二关成功得3分，闯第三关成功得4分．现有一位参加游戏者单
当
n?5
时，
P(C)
最大，最大值为
独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为
1
1
1
、、，记该参加者闯三关所得总分为
2
3
4
?
．
（1）求该参加者有资格闯第三关的概率；
（2）求
?
的分布列和数学期望．
⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第 三关成功的概率分别为
p
1
?
该参加者有资格闯第三关为事件
A．
11
1
、
p
2
?
、
p
3
?
，
4
23
2
；………………………………4分
3
(2)由题意可知，
?
的可能取值为
0
、
3
、< br>6
、
7
、
10
，
则
P(A)?p
1
(1?p
2
)?(1?p
1
)p
2
?p
1
p
2
?
P(
?
?0)?(1?p
1
)( 1?p
2
)?
1
，
3
113
??
， < br>488
P(
?
?3)?p
1
(1?p
2
)( 1?p
3
)?(1?p
1
)p
2
(1?p
3
)?
1
P(
?
?6)?p
1
p
2
(1? p
3
)?
，
8
P(
?
?7)?p
1(1?p
2
)p
3
?(1?p
1
)p
2
p
3
?
所以
?
的分布列为
1111
，
??
，
P(
?
?10)?p
1
p
2
p
3
?
1224824
?

p

0

1

3
1
3
3
8
3

3

8
1
8
1
8
6

7

1

8
10

1

8
1

24
………………………………………………8分
所以
?
的数学期 望
E
?
?0??3??6??7??10?
11
?3
……… …………10分
246

空间坐标系
1（2010苏锡常二模） < br>如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中 ，AB=AC=a，
AA
1
?b
，点E，F分别在棱
BB
1
，
?BAC?90
o
，
11
b
CC
1上，且
BE?BB
1
，
C
1
F?CC
1
．设
?
?
．
33
a
（1）当
?
=3时，求异面直线
AE
与
A
1
F
所成角的大小；
（2）当平面
AEF
⊥平面
A
1
EF
时，求
?< br>的值．
．解：建立如图所示的空间直角坐标系
A?xyz
．
z
C
1


B
1

F
（1）设 a=1，则AB=AC=1，
AA
1
?
3，各点的坐标为
A
1

A(0,0,0)
,
E(1,0,1)
，
A< br>1
(0,0,3)
，
F(0,1,2)
．
uuur
uuuur
AE?(1,0,1)
，
A
1
F?(0,1,?1)．…………2分
uuuruuuur
uuuruuuur
∵
AE?A< br>1
F?2
,
AE?A
1
F??1
，
uuu ruuuur
AE?A
1
F
?11
∴
cos
AE, A
1
F
?
uuu
??
．
ruuuur
?
2
2?2
AEA
1
F
uuruur
r
uu ur
uuuu
∴向量
AE
和
A
1
F
所成的 角为
120
o
，
A
B
E
C
y
x
（第22题图）
∴异面直线
AE
与
A
1F
所成角为
60
．…4分
0
b
2b
（2）∵
E(a,0,)
，
F(0,a,)
，
3
3
uuurr
b
uuu
2b
∴
AE?(a,0,),AF?(0,a,)
．
33
设平面
AEF
的法向量为
n
1
(x,y,z)
，
uuur
uuur
则
n
1
?AE?0
，且
n
1
? AF?0
．
即
ax?
bz2bz
?0
，且
ay??0
．
33
b2b
,y??
．
3a3a
令
z?1
，则
x??
∴
n
1
?(?
b2b
?
2< br>?
,?,1)
=
(?,?,1)
是平面
AEF
的一个 法向量． ………6分
3a3a33
2bb2
??
,,1)
=(,,1)
是平面
A
1
EF
的一个法向量． ………8分 3a3a33
同理，
n
2
?(

∵平面
A EF
⊥平面
A
1
EF
，
2
?
2
2
?
2
∴
n
1
?n
2
?0
．∴< br>???1?0
．
99
3
解得，
?
?
． < br>2
∴当平面
AEF
⊥平面
A
1
EF
时，?
?
3
． ………………………10分
2
数学归纳法
1（2010南通二模）
| a
n
|≤2
?
． 设数列{a
n
}满足a
1
＝a，a
n
＋
1
＝a
n
2
＋a
1
，
M?
?
a?Rn?N*，
（1）当a∈（－∞，－2）时，求证：
a?
M；
（2）当a∈（0，
（3）当a∈（
1
］时，求证：a∈M；
4
1
，＋∞）时，判断元素a与集合M的关系，并证明你的结论．
4
证明：（1）如果
a??2
，则
a
1
?|a|?2
，a?M
． ………………………………………2
分
（2） 当
0?a≤
时，
a
n
≤
（
?n≥1
）．
事实上，〔〕当
n?1
时，
a
1
?a≤
．
设
n?k?1
时成立（
k≥2
为某整数），
则〔〕对n?k
，
a
k
≤a
k?1
*
1
41
2
1
2
2
?
1
?
11
?a ≤
??
??
．
?
2
?
42
2
由 归纳假设，对任意n∈N，|a
n
|≤
分
（3） 当
a?
1
时，
a?M
．证明如下：
4
1
＜2，所以a∈M．…………………………6
2
对于任意
n≥1
，
a
n
?a?
1
2
，且
a
n?1
?a
n
?a
．
4
111
2
对于任意
n≥1
，
a
n?1
?a
n
?a
n
?a
n
? a?(a
n
?)
2
?a?≥a?
，
244
则< br>a
n?1
?a
n
≥a?
1
．
4
1
所以，
a
n?1
?a?a
n?1
? a
1
≥n(a?)
．
4

当
n?
2 ?a
1
时，
a
n?1
≥n(a?)?a?2?a?a?2
， 即
a
n?1
?2
，因此
a?M
．
1
4< br>a?
4
…………………………………………………10分

直线与抛物线
1（2010苏北四市二模）
如图，已知抛物线
M:x?4 py(p?0)
的准线为
l
，
N
为
l
上的一个动点 ，过点
N
作抛物
线
M
的两条切线，切点分别为
A
，
B
，再分别过
A
，
B
两点作
l
的垂线，垂 足分别为
C
，
D
．
（1）求证：直线
AB
必经过
y
轴上的一个定点
Q
，并写出点
Q
的坐标；
（2 ）若
?ACN
，
?BDN
，
?ANB
的面积依次构成等差数 列，求此时点
N
的坐标．
解法一：（1）因为抛物线的准线
l
的方 程为
y??p
，所以可设点
N,A,B
的坐标分别为
2
x< br>2
y
1
)
，
(x
2
，y
2
)
，则
x?4py
1
，
x?4py
2
， 由
x?4py
，得
y?
，
(x
1
，
，
(m ，?p）
4p
2
1
2
2
2
x
1
2
?p
y
1
?px
1
x
x
4p
?< br>求导数得
y
?
?
，于是，即
?
1
，
x
1
?m2p
2p
x
1
?m2p
22
化 简得
x
1
?2mx
1
?4p?0
，
22
同理可得
x
2
?2mx
2
?4p?0
，
y
B
E
Q
2
22
所以
x
1
和
x
2
是关于
x
的方程
x?2mx?4p?0
两个实数根，所以
x
1,2
?m?m?4p
，且
x
1< br>x
2
??4p
．
22
A
O
x
N
D
C
y
2
?y
1
(x?x
1
)
中， 在直线< br>AB
的方程
y?y
1
?
x
2
?x
1
令
x?0
，
y?y
1
xy?xyxx(x?x)xxx
1
?
2112
=
?
1212
??
1 2
?p
为定值， 得
y?y
1
?
2
x
2< br>?x
1
x
2
?x
1
4p(x
2
?x
1
)4p
所以直线
AB
必经过
y
轴上的一个定点< br>Q(0，p)
，即抛物线的焦点．……………5分
(2)由（1）知
x
1
?x
2
?2m
，所以
N
为线段
CD
的 中点，取线段
AB
的中点
E
，
因为
Q
是抛物线的 焦点，所以
AQ?AC，BQ?BD
，所以
AC?BD?AB
，
1 11
所以
S
?ANB
?S
?ANE
?S
?BNE< br>?EN?CN?EN?DN?EN?(CN?DN)

222
AC?BDAB?CN
?EN?CN??CN?
，
22AC?CNAQ?CNBD?DNBQ?CN
??
又因为
S
?ACN?
，
S
?BDN
?
，
2222
AQ?CNB Q?CNAB?CN
所以，，成等差数列，即
AQ，BQ，AB
成等差数列，
222
即
0?x
1
，x
2
?0，x
2
? x
1
成等差数列，所以
x
2
?2x
1
?2x
2
，
x
2
??2x
1
，
所以
x
1
x
2
??2x
1
?(m?m?4p)(m?m?4p)??4p
，
x
1
??2p
，
222222

x
1
?x
2
2
??p
，
22
x?x2
2
p
，所以所求点
N
的坐标为
(?p，?p）
．
x
1
??2p
时，
x
2
?22p
，
m?
12
?
22
2
x
1
?2p
时 ，
x
2
??22p
，
m?
……………………………………… ……………………………………10分

解法二：（1）因为已知抛物线的准线
l< br>的方程为
y??p
，所以可设点
N，A，B
的坐标分别
2?4py
2
，
y
1
)
，
(x
2，y
2
)
，则
x
1
2
?4py
1，
x
2
为
(m，
，
(x
1
，
?p）
设过
N
点与抛物线相切的直线方程为
y?p?k(x?m)
， 与抛物线方程
x?4py
联立，消
去
y
得
x?4pkx?4 pmk?4p?0
，
因为直线与抛物线相切，所以
??16pk?16(pmk?p )?0
，即
pk?mk?p?0
，解
2222
22
2
m?m
2
?4p
2
22
得
k
1，
，此时 两切点横坐标分别为
x
1，
2
?
2
?2pk?m?m?4p
，
2p
y?y
1
(x?x
1
)
中，令< br>x?0
得 在直线
AB
的方程
y?y
1
?
2
x
2
?x
1
y?yxy?xyxx(x?x)xx
y?y< br>1
?
21
x
1
?
2112
=
?1212
??
12
?p
为定值，
x
2
?x< br>1
x
2
?x
1
4p(x
2
?x
1< br>)4p
所以直线
AB
必经过
y
轴上的一个定点
Q(0 ，p)
，即抛物线的焦点．……………5分
m?m
2
?4p
2（2）由（1）知两切线的斜率分别为
k
1，
，则
k
1
?k
2
??1
，所以
AN?BN
，
2
?
2p
2p
连接
QN
，则直线
QN
斜率为
k
QN
??
，
m
2
y
2
?y
1
x
2
?x
1
2
x?x
2mm
又因为直线
AB
的斜率
k
AB
?
，
??
21
??
x
2
?x
1
4p(x
2
?x
1
)4p4 p2p
2pm
???1
， 所以
k
QN
?k
AB< br>??
m2p
所以
QN?AB
，又因为
AQ?AC，BQ?BD
，所以
?ACN≌?AQN，?BDN≌?BQN
，
所以
?AQN ，?BQN
和
?ANB
的面积成等差数列，所以
AQ，BQ，AB
成 等差数列，
所以
0?x
1
，x
2
?0，x
2?x
1
成等差数列，所以
x
2
?2x
1
?2x
2
，
x
2
??2x
1
，
所以
x
1
x
2
??2x
1
?(m?m?4p)(m?m?4p)? ?4p
，
x
1
??2p
，
222222
x
1
?x
2
2
??p
，
22
x?x
2
p
，
x
1
??2p
时，
x
2
?22p
，
m?
12
?
22< br>2
p，?p）
所以所求点
N
的坐标为
(?
． ………………………………10分
2
x
1
?2p
时，
x< br>2
??22p
，
m?