全国高中数学联赛试题及答案

2004年全国高中数学联合竞赛试题
第 一 试

时间：10月16日

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、设锐角
?
使关于x的方程
x?4xcos
?
?cot
?
?0
有重根，则
?< br>的弧度数为（ ）
A.
2
?

6
B.
2
?
12
2
or
5
?

12
C.
?
6
or
5
?

12
D.
?

12
2、已知
M?{(x,y) |x?2y?3},N?{(x,y)|y?mx?b}
。若对所有
m?R,均有M
A .
?
?
N??
，则b的取值范围是（ ）
B.
?
?
?
?
66
?
,
?

22
?
?
?
?
66
?
,

?
?
22
?
C.
(?
2323
,]

33
D.
?
?
?
2323
?
,
?

3??
3
3、不等式
log
2
x?1?
A.
[2,3)

1
log
1
x
3
?2?0
的解集为（ ）
2
2
C.
[2,4)
D.
(2,4]
B.
(2,3]

4、设O点在
?ABC
内部，且有
OA ?2OB?3OC?0
，则
?ABC
的面积与
?AOC
的面积
的比为（ ）
A. 2 B.
3

2
C. 3 D.
5

3
5、设三位数
n?abc
，若以a ，b，c为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，
则这样的三位数n有（ ）
A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个
6、顶点为P的 圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，
O为底面圆的圆心，
AB?OB
，垂足为B，
OH?PB
，垂足为H，且PA=4，C为PA的
中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长是（ ）
A.
5

3
B.
25

3
C.
6

3
D.
26

3
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7、在平面直角坐标系xoy中，函 数
f(x)?asinax?cosax(a?0)
在一个最小正周期长的
区间上的图 像与函数
g(x)?a
2
?1
的图像所围成的封闭图形的面积是______ __________。
8、设函数
f:R?R,满足f(0)?1
，且对任意x,y?R,都有

f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2
，则
f(x)
=_____________________。

9、如图、正方体
ABCD?A
1< br>B
1
C
1
D
1
中，
二面角
A?B D
1
?A
1
的度数是____________。



A
2
D1
C1
A1
F
E
DB1
C
B
10、设p是给定的奇质数，正整数k使得
k?pk
也 是一个正整数，则k=____________。
11、已知数列
a
0
, a
1
,a
2
,...,a
n
,...,
满足关系式
(3?a
n?1
)(6?a
n
)?18,且a
0
? 3
，则
1
的值
?
a
i?o
i
n
是 _________________________。
12、在平面直角坐标系XOY中，给定两 点M（－1，2）和N（1，4），点P在X轴上移动，
当
?MPN
取最大值时，点P 的横坐标为___________________。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）

13、一项“过关游戏”规则规定 ：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的
点数之和大于
2
，则算过关 。问：
（Ⅰ）某人在这项游戏中最多能过几关？
（Ⅱ）他连过前三关的概率是多少？ （注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静
止后 ，向上一面的点数为出现点数。）

14、在平面直角坐标系xoy中，给定三点
A (0,),B(?1,0),C(1,0)
，点P到直线BC的距离
是该点到直线AB，AC距 离的等比中项。
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）若直线L经过
?ABC
的内心（设为D），且与P点的轨迹恰好有3个公共点，求L
的斜率k的取值范围。
15、已 知
?
,
?
是方程
4x?4tx?1?0(t?R)
的两个不 等实根，函数
f(x)?
域为
?
?
,
?
?
。
（Ⅰ）求
g(t)?maxf(x)?minf(x)
；
（Ⅱ）证明： 对于
u
i
?(0,
2
n
4
3
2x?t的定义
x
2
?1
?
2
)(i?1,2,3)
， 若
sinu
1
?sinu
2
?sinu
3
?1,< br>
则
1113
???6
。
g(tanu
1
)g(tanu
2
)g(tanu
3
)4

二○○四年全国高中数学联合竞赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分 和0分两档，填空题只设
9分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分 ，
不要再增加其他中间档次。
2、如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正 确，在评卷时可
参照本评分标准适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、解：因方程
x?4xc os
?
?cot
?
?0
有重根，故
??16cos
?
?4cot
?
?0

22
0?
?
?
?2
?
?

?2
,?4cot
?
(2sin2
?
?1)?0
得
sin2
?
?
1

2
?
6
或2
?
?
5
?
?
5
?
，于是
?
?
。 故选B。
或
61212
2、解：
MN??
相当 于点（0，b）在椭圆
x
2
?2y
2
?3
上或它的内部故选A。
2b
2
66
??1,???b?
。
32 2
331
?
?
log
2
x?1?log
2
x???0
3、解：原不等式等价于
?

222
?
?
log
2
x?1?0
?
3
2
1
?
t?t ??0
设
log
2
x?1?t,则有
?
2

2
?
?
t?0
即
0?log
2
x?1?1,?2 ?x?4
。
解得
0?t?1
。
故选C。

4、解：如图，设D，E分别是AC，BC边的中点，
则
A
OA?OC?2 OD
2(OB?OC)?4OE
(1)
(2)

D
由（1）（2）得，
OA?2OB?3OC?2(OD?2OE)?0
，
即
OD与OE
共线，


BE
O
C

且
|OD|?2|O E|?
S
?AEC
3
S
3?2
?,?
?ABC??3
， 故选C。
S
?AOC
2S
?AOC
2
解法2 如图建立坐标系
xo
?
y
，分别设
A(a,0),B(0,b),C(c,0),O(x, y)
，
则
OA?(a?x,?y),OB?(?x,b?y),OC?(c?x,?y)

y< br>B
b
由
OA?2OB?3OC?0
得，
y?
，
3
S
b
?
?ABC
??3
， 故选C
S
?AOC
y
O
y
Co'
D
A
x

5、解：a，b，c要能构成三角形的边长，显然均不为0。即
a,b,c?{1,2,... ,9}

（1）若构成等边三角形，设这样的三位数的个数为
n
1
， 由于三位数中三个数码都相同，所
1
以，
n
1
?C
9
?9
。
（2）若构成等腰（非等边）三角形，设这样的三位数的个数为
n
2
，由于三位数中只有2个
不同数码。设为a、b，注意到三角形腰与底可以置换，所以可取的 数码组（a，b）共有
2C
9
。
但当大数为底时，设a>b，必须满足
b?a?2b
。此时，不能构成三角形的数码是
a
b
9
4，3
2，1
8
4，3
2，1
7
3，2
1
6
3，2
1
5
1，2
4
1，2
3
1
2
1
1

2
共20种情况。
同时，每个数码组（a，b）中的二个数码填上三个数位，有
C
3
种情况。
222
故
n
2
?C
3
(2C
9
? 20)?6(C
9
?10)?156
。 综上，
n?n
1
?n
2
?165
。
2

6、解：
AB?OB,AB?OP,?AB?PB,又OH?PB

?面PA B?面POB,?OH?HC,OH?PA
。C是PA中点，
?OC?PA

?当HO?HC时S
?HOC
最大，
也即
V
O?HPC
?V
P?HCO
最大。
此时，

1
HO?2,故HO=OP,??HPO?30
0
2
，
26
?OB?OP?tan30
0
?
3
故选D。





二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7 、解：
f(x)?
12
?
，振幅为
a
2
?1sin (ax?
?
),其中
?
?arctan
，它的最小正周期为
aa
a
2
?1
。由
f(x)
的图像与
g(x)的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为
2
?
2
?
、宽为
a
2
?1
的长方形，故它的面积是
aa

8、解：
a
2
?1
。
对?x,y?R,有f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2,

?有f(xy?1)?f(y)f(x)?f(x)?y?2

?
f(x)f (y)?f(y)?x?2
=
f(y)f(x)?f(x)?y?2

即
f(x)?y?f(y)?x,令y?0,得f(x)?x?1
。
9、解：连结
D
1
C,作CE?BD
1
，垂足为E，延长CE交
A
1
B
于F，则
FE?BD
1
，连结AE，
由对称性知
AE?BD
1
,??FEA
是二面角
A?BD
1
?A
1
的平面角。
D1
C1
连结AC，设AB=1，
则
AC?AD
1
?2,BD
1
?3.

A 1
F
E
D
C
A
2
B1
在Rt?ABD1
中，
AE?

AB?AD
1
2
，
?
BD
1
3
4
?2
1
在
?AE C中,cos?AEC?
AE?CE?AC
?
2AE?AC
?
3??
4
2AE?CE2AE
2
2
3
2222
B
??AEC?120
0
,而?FEA是?AEC
的补角，
??FEA ?60
0
。

p?p
2
?4n
2
22
10、解：设
k?pk?n,n?N ,则k?pk?n?0,k?
，从而
p?4n
2
2*22
是平方数， 设为
m,m?N,则(m?2n)(m?2n)?p

2*2

?< br>p
2
?1
m?
?
?
m?2n?1
?
2

p是质数，且p?3,?
?
,解得
?
2
2p?1
?
m?2n?p
?
n?
?
?4
p?m2 p?(p
2
?1)(p?1)
2
?k??,故k?
。（负值舍去）
244

11、解：设
b
n
?
111
,n ?0,1,2,...,则(3?)(6?)?18,

a
n
b
n?1
b
n
即
3b
n ?1
?6b
n
?1?0.?b
n?1
?2b
n
?, b
n?1
?
1
3
11
?2(b
n
?)
33
故数列
{b
n
?}
是公比为2的等比数列， < br>1
3
b
n
?
n
111111
?2
n
(b
0
?)?2
n
(?)??2
n?1
?b
n
?(2
n?1
?1)
。
33a
0
333nn
?
1
n?2
11
i?1
1
?
2( 2
n?1
?1)
?b?(2?1)??(n?1)
???
i
?
2?1
?
?
3
?
2?n?3
?
。
a33
i?o
i
i?0i?0
??

12、解：经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3－x上，设圆心为
S（a，3－a），则圆S的方程为：
(x?a)?(y?3?a)?2(1?a)

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大，所以，当
?MPN取最大值时，经过M，N，P三点的圆S必与X轴相切于点P，即圆S的方程中的
22
22 2
a值必须满足
2(1?a)?(a?3),
解得 a=1或a=－7。
即对应的切点分别为
P(1,0)和P(?7,0)
，而过点M，N，
p'
的 圆的半径大于过点M，
'
N，P的圆的半径，所以
?MPN??MP'N
，故 点P（1，0）为所求，所以点P的横坐标
为1。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分）


13、解：由于骰子是均匀的正方体，所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。

45
（Ⅰ）因骰子出现的点数最大为6，而
6? 4?2,6?5?2
，因此，当
n?5
时，n次出现
的点数之和大于
2
n
已不可能。即这是一个不可能事件，过关的概率为0。所以最多只能连
过4关。 .......5分
（Ⅱ）设事件
A
n
为“第n关过关失败”，则对立事件
A
n
为“第n关过关成功”。
第n关游戏中，基本事件总数为
6
个。
第1关：事件
A
1
所含基本事件数为2（即出现点数为1和2这两种情况），
n
?
过此关的概率为：
P(A
1
)?1?P(A
1
)?1?
22
?
。
63
第2关：事件
A
2
所含基本事件数为方程
x?y?a
当a分别取2，3，4时的正整数解组数之
111
和。即有
C
1
?C
2
?C
3
?1 ?2?3?6
（个）。
?
过此关的概率为：
P(A
2
)? 1?P(A
2
)?1?
65
?
。
2
66
........10分
第3关：事件
A
3< br>所含基本事件为方程
x?y?z?a
当a分别取3，4，5，6，7，8时的正整
222222
数解组数之和。即有
C
2
?C
3
?C
4
?C
5
?C
6
?C
7
?1?3?6?10?1 5?21?56
（个）。
?
过此关的概率为：
P(A
3
) ?1?P(A
3
)?1?
5620
。
?
3
627
2520100
故连过前三关的概率为：
P(A
1
)?P( A
2
)?P(A
3
)???
。
?
3627243
（说明：第2，3关的基本事件数也可以列举出来）

.........15分
........20分
44
(,)
点
Pxy
(x?1),y??(x?1),y?0
。
33
11
到AB、AC、BC的距离依次为
d
1
?|4x?3y?4|,d
2
?|4x?3y?4|,d
3
?|y|
。依设，
55
14、解：（ Ⅰ）直线AB、AC、BC的方程依次为
y?
d
1
d
2
?d
3
2
,得|16x
2
?(3y?4)
2
|?25y
2
，即
16x
2
?(3y?4)
2
?25y
2
?0,或16x
2
?(3y?4)
2
?25y
2
?0
，化简得点P的轨迹方程为
圆S：
2x?2y?3y?2?0与双曲线T:8x?17y?12y?8?0


（Ⅱ）由前知，点P的轨迹包含两部分
圆S：
2x?2y?3y?2?0

与双曲线T：
8x?17y?12y?8?0



22
22
2222
......5分
①
②

因为B（－1，0）和C（1，0）是适合题设条件的点，所以点 B和点C在点P的轨迹上，
且点P的轨迹曲线S与T的公共点只有B、C两点。
1
由
d
1
?d
2
?d
3
，解得
D(0,)，且知它在圆S上。
?ABC
的内心D也是适合题设条件的点，
2
直线L 经过D，且与点P的轨迹有3个公共点，所以，L的斜率存在，设L的方程为
1
y?kx?

2
H
③
y
G
D
B
P
E
o
Q
C
F
x

（i）当k=0时，L与圆S相切，有唯一的公共点D；此时，直线
y?
1
平行于x轴 ，表明L
2
与双曲线有不同于D的两个公共点，所以L恰好与点P的轨迹有3个公共点。... ...10分
（ii）当
k?0
时，L与圆S有两个不同的交点。这时，L与点P的 轨迹恰有3个公共点只
能有两种情况：
情况1：直线L经过点B或点C，此时L的斜率k??
1
，直线L的方程为
x??(2y?1)
。
2
代 入方程②得
y(3y?4)?0
，解得
E(,)或F(-,)
。表明直线BD 与曲线T有2个交
点B、E；直线CD与曲线T有2个交点C、F。
故当
k??

54
33
54
33
1
时，L恰好与点P的轨迹有3个公共点。 ......15分
2
1
情 况2：直线L不经过点B和C（即
k??
），因为L与S有两个不同的交点，所以
2< br>?
8x
2
?17y
2
?12y?8?0
?
L 与双曲线T有且只有一个公共点。即方程组
?
有且只有一组实数
1
?
y?kx?
?2
解，消去y并化简得
(8?17k)x?5kx?
22
25
?0

4
2
该方程有唯一实数解的充要条件是
8?17k?0

或
(?5k)?4(8?17k)
22

⑤
④
25
?0

4

解方程④得
k??
2342
，解方程⑤得
k??
。
172

综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集
{0,?

12342
,?,?}
。
2172
......20分
22
15、解：（Ⅰ）设
?
?x
1
?x
2
??
,则4x
1
?4tx
1
?1?0,4x
2
? 4tx
2
?1?0,


2
?4(x
1
2
?x
2
)?4t(x
1
?x
2
)?2?0,? 2x
1
x
2
?t(x
1
?x
2
)?
1
?0

2
则
f(x
2
)?f(x
1< br>)?
2x
2
?t2x
1
?t
(x
2
?x
1
)
?
t(x
1
?x
2
)?2x1
x
2
?2
?

?
2
?
22 2
x
2
?1x
1
?1(x
2
?1)(x
1
?1)
1
?0?f(x
2
)?f(x
1
)?0
2
.......5分
又
t(x
1
? x
2
)?2x
1
x
2
?2?t(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
?
故
f(x)
在区间
?
?
,
?
?
上是增函数。
?
?
?
?t,
??
??,

?g(t)? maxf(x)?minf(x)?f(
?
)?f(
?
)?
(
?
?
?
)
?
t(
?
?
?
)?2
??
?2
?
1
4
?
2
?
2
?
?
2
?
?
2
?1
5
??
t< br>2
?1
?
t
2
?
?
22
2
?
8t?1(2t?5)
?
??

2
25
16t?25
2
t?
16

（Ⅱ）证：
......10分
8216
(
2
?3)?24cosu
i
cosu
i
cosu
i
cosu< br>i
g(tanu
i
)??
2
16
16?9cosu< br>i
?9
2
cosu
i
?
216?24166
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2
u
i
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2
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i
33
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1
2
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i
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2
u
i
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....15分
?
166
i?1
166
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i
)
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sinu
i?1
3
i
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i
?(0,),i ?1,2,3
2
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?3
?
sinu
i
?(
?
sinu
i
)
2
?1
，而均值不等式
2
i?1i?1
33
与柯西不等式中，等号不能同时成立，
?


111113
???(75?9?)?6

g(tanu
1
)g(tanu
2
)g(tanu
3
)
166
34
......20分.

2004年全国高中数学联赛加试试卷
考生注意： 1、 本试卷共三大题，全卷满分150分．
2、 卷面的第1页、第3页、第5页印有试题，第2页、第4页、第6页是空
白页，留作答题用．
3、 用钢笔、签字笔或圆珠笔作答．
4、 解题书写不要超出装订线．
一．（本题满分50分）
在锐角三角形
ABC
中，
AB
上的高
CE
与
AC
上的高
BD
相交于点
H
，以
DE
为直径
的圆分别交
AB
、
AC
于
F
、
G
两点，
FG
与
AH
相交于点
K．已知
BC?25
，
BD?20
，
BE?7
，求
AK
的长．

C



D


G

H

K

B
AFE

二．（本题满分50分）
在平面直角坐标系
xOy
中，
y
轴正半轴上的点列
?
A
n
?
与曲线
y?2x
（< br>x?0
）上的
点列
?
B
n
?
满足
O A
n
?OB
n
?
1
，直线
A
n
B
n
在
x
轴上的截距为
a
n
，点
B
n
的横坐标为
b
n
，
n
n?N
*
．


*
（I）证明
a
n
?a
n?1
?4
，
n?N
．
（II）证明有
n
0
?N
，使得对
? n?n
0< br>，都有
*
b
2
b
3
??
b
1
b
2
?
b
n
b
n?1
??n?2004
．
b
n?1
b
n

三．（本题满分50分）
对于整数
n?4
，求出最小的整数
f
?
n
?
，使得 对于任何正整数
m
，集合
的任一个
f
?
n
?
元子集，均有至少
3
个两两互素的元素．
,m?n?
?
1
?
m,m?1,

一个处处像别人表明自己优秀的，恰恰证明了他（她）并不优秀，或者说缺什么，便炫耀什么。
真正的优秀，并不是指一个人完美无缺，偶像般的光芒四射。而是要真实地活着，真实地爱着。
对生活饱有热情，满足与一些小确幸，也要经得起诱惑，耐得住寂寞，内心始终如孩童般的纯真。
要知道，你走的每一步，都是为了遇见更好的自己，都是为了不辜负所有的好年华。
一个真实的人，一定也是个有担当的。

不论身处何地，居于何种逆境，他（她）们都不会畏惧坎坷和暴风雨的袭击。因为知道活着的意义，就是真实的直 面风浪。
生而为人，我们可以失败，却不能败的没有风骨，甚至连挑战的资格都不敢有。
人当如玉，无骨不去其身。生于尘，立于世，便该有一颗宽厚仁德之心，便有一份容天下之事的气度。
一个真实的人，但是又不会过于执着。
因为懂得，水至清则无鱼，人至察则无徒的道理。完美主义 者最大的悲哀，就是活得不真实，不知道审时度势，适可而止。
一扇窗，推开是艳阳天，关闭，也 要安暖向阳。不烦不忧，该来的就用心珍惜，坦然以对；要走的就随它去，无怨无悔。
人活着，就 是在修行，最大的乐趣，就是从痛苦中寻找快乐。以积极的状态，过好每一天，生活不完美，我们也要向美而生。
一个真实的人，一定是懂爱的。
时光的旅途中，大多数都是匆匆擦肩的过客。只有那 么微乎其微的人，才可以相遇，结伴同行。而这样的结伴一定又是基于志趣相投，心性相近的品性。
最好的爱，不是在于共富贵，而是可以共患难，就像一对翅膀，只有相互拥抱着才能飞翔。爱似琉璃，正是因为纯 粹干净，不沾染俗世的美。
懂爱的人，一定是真实的人。正是因为懂得真爱的不易，所以更是以真 面目面对彼此，十指紧扣，甘愿与爱的人把世间各种风景都看透，无论风雨，安暖相伴。
一个真实的人，定然是有着大智慧的。
人生在世，什么都追求好，追求完美，虽然这是一种积极的 思想，却会很累，不仅自己累，身边人也会因为你而累。到最后就会在疲于奔命中，丧失自我。
“ 兰居幽谷，虽孤独亦芬芳；梅开偏隅，虽寂静亦流香，”这便是一份淡泊和沉稳。一些事尽力了就好，无愧别人， 无愧己心，认真地活着，便是不辜负。
因为懂得，人生的风景，最终是回归到心灵的本源。和谐共生，平等友爱，才是对生命的尊重和对自己的珍视。