高中数学：2018年数学高考真题

ruize


2018年数学高考真题






2018年数学高考真题
对应学生用书P105

剖析解读
高考 全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷都是教育部按照普通高考考试大纲统一命题，适用于
不同省份的考生．在难度上会有一 些差异，在试卷结构，命题方向上基本都是相
同的．
“稳定是高考的主旋律”．在今年的高考 试卷中，试题分布和考核内容没有
太大的变动，三角、数列、立体几何、圆锥曲线、函数与导数等都是历 年考查的
重点．每套试卷都注重了对数学通性通法的考查，淡化特殊技巧，都是运用基本
概念分 析问题，基本公式运算求解、基本定理推理论证、基本数学思想方法分析
和解决问题，这有利于引导中学 数学教学回归基础．试卷难度结构合理，由易到
难，循序渐进，具有一定的梯度．今年数学试题与去年相 比整体难度有所降低．
“创新是高考的生命线”．与历年试卷对比，Ⅰ、Ⅱ卷解答题顺序有变，这也体现了对于套路性解题的变革，单纯地通过模仿老师的解题步骤而不用心理解
归纳，是难以拿到高 分的．在对数据处理能力以及应用意识和创新意识上的考查
有所提升，也符合当前社会的大数据处理热潮 和青少年创新性的趋势．

ruize < br>全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷对必修4三角函数、三角恒等变换的考查，相对来说难度
不大，综合性较低，但 比去年难度有所提高，位置有所移后，其中，全国Ⅰ卷文
科把三角函数放到第11题，略微有一点难度， 是一个很明显的例子；但是对于平
面向量的考查，全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷通常放在填空题第1题或选择题中间 的位置，
难度相对于去年有所降低，2017年把基本平面向量放到第12题的位置，综合性
较 强．
其他自主命题省市高考题对于三角函数、三角恒等变换的考查，难度都不大，
而平面向量 的考查难度各省市有较大区别，比如：天津卷、江苏卷、北京卷、浙
江卷等较难，要求学生有较强的分析 问题、转化问题的能力以及运算能力．下面
列出了2018年全国Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ卷及各地区必修4所考查全 部试题，请同学们根据
所学必修4的知识，测试自己的能力，寻找自己的差距，把握高考的方向，认清< br>命题的趋势！(说明：有些试题带有综合性，是与以后要学的内容的小综合试题，
同学们可根据目 前所学习的内容，有选择性的试做！ )

穿越自测
一、选择题
1
1．(2018·全国卷Ⅲ，文4)若sinα＝
3
，则cos2α＝( )
8778
A．
9
B．
9
C．－
9
D．－
9

★答案★ B
27
解析 cos2α＝1－2sin
2
α＝1－
9
＝
9
．故选B．
2．(2018·全国卷Ⅱ，文4理4)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a

ruize
－b)＝( )
A．4 B．3 C．2 D．0
★答案★ B
解析 因为a·(2a－b)＝2a
2< br>－a·b＝2|a|
2
－(－1)＝2＋1＝3．所以选B．
3．(2018·全国卷Ⅲ，文6)函数f(x)＝
ππ
A． B． C．π D．2π
42
★答案★ C
sinx
cosx
tanx1
解析 由已知得f(x)＝＝＝sinxcos x＝
sinx
2
2
sin2x，f(x)的最小正周
1＋tan2
x
1＋
cosx
2π
期T＝
2
＝π．故选C ．
4．(2018·全国卷Ⅱ，文10)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则 a的最
大值是( )
ππ3π
A．
4
B．
2
C．
4
D．π
★答案★ C
π
解析 ∵f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋
4
，
π π3π
∴由2kπ≤x＋
4
≤π＋2kπ(k∈Z)，得－
4
＋2k π≤x≤
4
＋2kπ(k∈Z)，因此[0，
π3π3π3π
a]?－
4
，
4
，∴a>0且a≤
4
，即a的最大值为
4
．故选C．

5．(2018·全国卷Ⅱ，理10)若f(x)＝cosx－sinx在[－ a，a]是减函数，则a的
tanx
的最小正周期为( )
1＋tan
2
x

ruize
最大值是( )
ππ3π
A．
4
B．
2
C．
4
D．π
★答案★ A
?
π
?
解析 ∵f(x)＝cosx－sinx＝2cos
?
x＋
4
?
，
??
ππ3π
∴由2kπ≤x＋
4
≤π＋2kπ(k∈Z)得－
4
＋2kπ≤x≤
4
＋2kπ(k∈Z)，因此[－a，
?
π3π?
a]?
?
－
4
，
4
?
．
??
π3πππ
∴－a4
，a≤
4
，∴0< a≤
4
，从而a的最大值为
4
，选A．
ππ
6．(201 8·天津高考，文6)将函数y＝sin2x＋
5
的图象向右平移
10
个单位 长度，
所得图象对应的函数( )
ππ
A．在区间－
4
，
4
上单调递增
π
B．在区间－
4
，0上单调递减
ππ
C．在区间
4
，
2
上单调递增
π
D．在区间
2
，π上单调递减
★答案★ A
ππ
解析 将函数y＝sin2x＋
5
的图象向右平移
10
个单位长度后，得到函数y＝
ππ
sin2x的图象，该函数在区间－
4
，< br>4
上单调递增．故选A．
ππ
7．(2018·天津高考，理6)将函数y＝ sin2x＋
5
的图象向右平移
10
个单位长度，

r uize
所得图象对应的函数( )
3π5π
A．在区间
4
，
4
上单调递增
3π
B．在区间
4
，π上单调递减
5π3π
C．在区间
4
，
2
上单调递增
3π
D．在区间
2
，2π上单调递减
★答案★ A
ππ
解析 将函数y＝sin2x＋
5
的图象向右平移
10
个单位长度后，得到函数y＝
ππ
sin2x的图象，函数y＝sin2x的单调递增区间为k π－
4
，kπ＋
4
，k∈Z，单调递减
π3π3π5π
区间 为kπ＋
4
，kπ＋
4
，k∈Z，故其在区间
4
，
4
上单调递增．故选A．
8．(2018·全国卷Ⅰ，文8)已知函数f(x)＝2cos< br>2
x－sin
2
x＋2，则( )
A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
★答案★ B
352π
解析 根据题意，有f(x)＝
2
cos2x＋
2
，所以函数f(x)的最小正周期为T＝
2
＝
35
π，且最大值为f(x)< br>max
＝
2
＋
2
＝4．故选B．
9．(2018· 全国卷Ⅰ，文11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负

ruize
2
半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos2α＝
3
，则| a－b|＝( )
1525
A．
5
B．
5
C．
5
D．1
★答案★ B
解析 根据题给条件，可知O，A，B三点共线，从而得到b＝2a，因为cos2α
＝2co s
2
α－1＝2·
5
5
．故选B．

10．(2 018·北京高考，文7)在平面坐标系中，AB，CD，EF，GH是圆
x
2
＋y< br>2
＝1上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角α以Ox为始边，OP为终边，
若t anαA．AB B．CD C．EF D．GH
★答案★ C
解析 解法一：由三角函数线知，在第一象限内，同角的正切线最长 ，排除
A，B；当角α的终边位于第三象限时，正切值为正，正弦、余弦值为负，排除选
项D．
解法二：设角α的终边与单位圆的交点坐标为(x，y)，由任意角的三角函数
y?x－1?< br>yyy
定义得
x
x
x< br>2
，排除选项D，由
x
x
>0，进
而得x， y异号．故选C．
11．(2018·全国卷Ⅰ，文7理6)在△ABC中，AD为BC边上的中线， E为AD
1
2
215
2
－1＝，解得a＝，即|a|＝
35 5
，所以|a－b|＝|a－2a|＝
a
2
＋1

ru ize
→
的中点，则EB＝( )
3
→
1
→
1
→
3
→
A．
4
AB
－
4
AC B．
4
AB
－
4
AC

3
→
1< br>→
1
→
3
→
C．
4
AB
＋
4
AC D．
4
AB
＋
4
AC


★答案★ A
→
＝AB
→
－AE
→
＝AB
→
－
1
AD
→
＝AB
→
－
1
( AB
→
＋AC
→
)
解析 根据向量的运算法则，可得EB
2 4
3
→
1
→
＝
4
AB
－
4
AC
，故选A．
12．
(2018·天津高考，文8)在如图的平面图形中，已 知OM＝1，ON＝2，∠MON
→
＝2MA
→
，CN
→
＝ 2NA
→
，则BC
→
·OM
→
的值为( ) ＝120°，BM
A ．－15 B． －9 C． －6 D． 0
★答案★ C
→
＝2MA
→
，CN
→
＝2NA
→
，可得 MN∥BC，且BC＝3MN，解析 连接MN，由BM
→
＝3MN
→
，所以 BC
→
·OM
→
＝3MN
→
·OM
→
＝3 (ON
→
－OM
→
)·OM
→
＝3(ON
→
·OM
→
－OM
→
2
)＝
所以BC
3×(1×2 ×cos120°－1
2
)＝－6．故选C．

13．(2018·天津高 考，理8)如图所示，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD
→
·BE
→
的最小⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则AE
值为( )
21325
A．
16
B．
2
C．
16
D．3

ruize
★答案★ A
解析 解法一：连接DB．根据余弦定理可得DB＝3．由题易知△BCD为
→
＝λD C
→
，0≤λ≤1，则AE
→
＝AD
→
＋DE
→< br>＝AD
→
＋λDC
→
，正三角形，所以DC＝3．设DE
→< br>＝AE
→
－AB
→
＝AD
→
＋λDC
→－AB
→
，所以AE
→
·BE
→
＝(AD
→< br>＋λDC
→
)·(AD
→
＋λDC
→
－AB
→
)＝AD
→
2
BE
→
·AB
→
＋λ2
DC
→
2
－λDC
→
·AB
→
，< br>→
2
＝1，
→
·AB
→
＝－
1
，< br>→
2
＝3，
→
·DC
→
＝1×3－AD其中ADAD DCAB
2
333133
→→
cos30°＝
2
，所以AE
·BE
＝3λ
2
－
2
λ＋
2
，该式当λ＝
4
时取得最小值，最小值为
16
－
8
321
＋2
＝
16
． 故选A．

1333
解法二：如图所示 ，易知A0，－
2
，B
2
，0，C0，
2
，D－
2
，0．
3
设Em，3m＋
2
于是：
→
·BE< br>→
＝(m，3m＋2)·m－
3
，3m＋
3

AE< br>22
33
＝mm－
2
＋(3m＋2)3m＋
2

＝4m
2
＋33m＋3
3321
＝4m＋
8
2
＋
16

3
其中m∈－
2
，0，
33
→
·BE
→
取最小值
21
．故选A． 所以当 m＝－
8
时，AE
16
14．(2018·浙江高考，9)已知a，b，e是 平面向量，e是单位向量．若非零向

ruize
π
量a与e的夹角为
3
，向量b满足b
2
－4e·b＋3＝0，则|a－b|的最小值是( )
A．3－1 B．3＋1
C．2 D．2－3
★答案★ A
解析
π
建立平面直角坐标系，设e＝(1，0)，向量a与e的夹角为，则向量a的终
3< br>点在射线y＝3x(x>0)上．设向量b＝(x，y)，则x
2
＋y
2
－4x＋3＝0，即(x－2)
2
＋y
2
＝1，则|a－b|表示圆上任意 一点P到射线y＝3x(x>0)上任意一点A的距离，显
然当A，P，C三点在同一条直线上，且AC 垂直于射线y＝3x(x>0)时，|a－b|
取得最小值，最小值为|AC|－1＝3－1．故选A．
二、填空题
5π1
15．(2018·全国卷Ⅱ，文15)已知tanα－
4
＝
5
，则tanα＝________．
3
★答案★
2

5π
tanα－tan
4
5π
解析 tanα －
4
＝
tanα－1
13
5π
＝
1＋tanα＝
5
，解方程得tanα＝
2
．
1＋tanα·tan
4
16．(2018·全国卷Ⅲ，文13理13)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝ (1，
λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________．
1
★答案★
2

解析 由题可得2a＋b＝(4，2)，∵c∥(2a＋b)，c＝(1，λ)， ∴4λ－2＝0，即

ruize
1
λ＝
2
． 17．(2018·全国卷Ⅱ，理15)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，则sin (α＋β)
＝______．
1
★答案★ －
2

解析 解法一：因为sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，所以(1－sinα)
2
＋ (－cosα)
2
1111
＝1，所以sinα＝
2
，cosβ＝< br>2
，因此sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝
2
×2
－cos
2
α
1111
＝
4
－1＋sin< br>2
α＝
4
－1＋
4
＝－
2
．
解法 二：由(sinα＋cosβ)
2
＋(cosα＋sinβ)
2
＝1，得2＋ 2sin(α＋β)＝1，所以sin(α
1
＋β)＝－
2
．
π< br>18．(2018·全国卷Ⅲ，理15)函数f(x)＝cos3x＋
6
在[0，π]的 零点个数为______．
★答案★ 3
ππ19π
解析 ∵0≤x≤π，∴
6
≤3x＋
6
≤
6
．
πππ3 π
由题可知，当3x＋
6
＝
2
，3x＋
6
＝
2
，
π5π
或3x＋
6
＝
2
时，f(x)＝0．
π4π7π
解得x＝
9
，
9
，或
9
．
π
故函数f(x)＝cos3x＋
6
在[0，π]上有3个零点．
19．(2018·江苏高考，9)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2 ]

ruize
πx
cos
?
?
2
，0上，f(x)＝
?
1
x＋
?
?
2< br>，－22
★答案★
2


则f[f(15)]的值为______．
解析 由f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，得 f(15)＝f(－1＋4×4)＝f(－1)，又－1∈(－2，
1111π1
0]，所以f (15)＝f(－1)＝－1＋
2
＝
2
．而
2
∈(0，2] ，所以f[f(15)]＝f
2
＝cos
2
×
2
＝
π2
cos
4
＝
2
．
20．(2018·北京高考，文9 )设向量a＝(1，0)，b＝(－1，m)．若a⊥(ma－b)，
则m＝________．
★答案★ －1
解析 ∵a＝(1，0)，b＝(－1，m)，∴ma－b＝(m＋1，－m )，又∵a⊥(ma－
b)，∴a·(ma－b)＝m＋1＝0，即m＝－1．
πππ
21．(2018·江苏高考，7)已知函数y＝sin(2x＋φ)－
2
<φ<
2
的图象关于直线x＝
3
对称，则φ的值为________．
π
★答案★ －
6

π2πππ
解析 由题意得，sin2 ×
3
＋φ＝±1，则
3
＋φ＝
2
＋kπ(k∈Z)，所以φ ＝－
6
＋kπ(k
πππ
∈Z)，又－
2
<φ<
2
，故φ＝－
6
．
ππ
22．(2018·北京高考，理11)设函 数f(x)＝cosωx－
6
(ω>0)．若f(x)≤f
4
对任意
的实数x都成立，则ω的最小值为________．

ruize
2
★答案★
3

ππ2
解析 结合余弦函数的图象得4
ω－
6
＝2kπ，k∈Z，解得ω＝8k＋
3
，k∈Z．又< br>2
∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值，最小值为
3
．
23．( 2018·江苏高考，12)在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y＝2x上在
→
·CD
→
第一象限内的点，B(5，0)，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB
＝0，则点A的横坐标为________．
★答案★ 3
解析 因为点A 为直线l： y＝2x上在第一象限内的点，所以可设A(a，2a)(a>0)，
y＝2x，
?
?
a＋5
则AB的中点为C
2
，a，又DB⊥AD，所以由
?
1
y＝－
?
2
?x－5?，
?


→＝(5－a，－2a)，CD
→
＝
－a－3
，2－a，又AB
→
·CD
→
＝0，所解得D(1，2)，则AB
2
－a－3
以 (5－a)·
2
＋(－2a)(2－a)＝0，解得a＝3或a＝－1．又a>0，所以a＝3 ，
则点A的横坐标为3．
三、解答题
24．(2018·北京高考，文16)已知 函数f(x)＝sin
2
x＋3sinxcosx．
(1)求f(x)的最小正周期；
π3
(2)若f(x)在区间－
3
，m上的最大值为
2
，求m的最小值．
1－cos2x
3311π1
解 (1)f(x)＝＋
sin2x＝sin2 x－cos2x＋
＝sin2x－
222226
＋
2
，

ruize
2π
所以f(x)的最小正周期为T＝
2
＝π．
π1
(2)由(1)知f(x)＝sin2x－
6
＋
2
．
ππ5ππ
因为x∈－
3
，m，所以2x－
6
∈－
6
，2m－
6
．
π3ππ
要使f(x)在－
3
， m上的最大值为
2
，即sin2x－
6
在－
3
，m上的最大 值为1，
πππ
只需2m－
6
≥
2
，即m≥
3
，
π
所以m的最小值为
3
．
45
25．(2018·江苏高 考，16)已知α，β为锐角，tanα＝
3
，cos(α＋β)＝－
5
．
(1)求cos2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
4sinα
解 (1)因为tanα＝
3
，tanα＝
cosα
，
4
所以sinα＝
3
cosα．
9
因为sin
2
α＋cos
2
α＝1，所以cos
2
α＝
25
，
7
因此cos2α＝2cos
2
α－1＝－
25
．
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
5
又因为cos(α＋β)＝－
5
，
25
所以sin(α ＋β)＝1－cos
2
?α＋β?＝
5
，
因此tan(α＋β)＝－2．

ruize
42tanα24因为tanα＝
3
，所以tan2α＝＝－
7
，
1－tan< br>2
α
tan2α－tan?α＋β?
2
因此，tan(α－β)＝ta n[2α－(α＋β)]＝＝－
11
．
1＋tan2αtan?α＋β?
2 6．(2018·浙江高考，18)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负
34
半轴 重合，它的终边过点P－
5
，－
5
．
(1)求sin(α＋π)的值；
5
(2)若角β满足sin(α＋β)＝
13
，求cosβ的值．
34
解 (1)由角α的终边过点P－
5
，－
5
，
4
得sinα＝－
5
，
4
所以sin(α＋π)＝－sinα＝
5
．
34
(2)由角α的终边过点P－
5
，－
5
，
3
得cosα＝－
5
，
512
由sin(α＋β)＝13
得cos(α＋β)＝±
13
．
由β＝(α＋β)－α得
cosβ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα，
5616
所以cosβ＝－
65
或cosβ＝
65
．