高中数学选修测试题

2012-2013年下学期期中模拟试题
（高二数学理科选修2-2部分）
一、
选择题：(本大题共12小题，每小题5分， 共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的)
1、 曲线
y?x
2
在(1,1)处的切线方程是（ ）
A
2x?y?3?0
B
2x?y?3?0
C
2x?y?1?0
D.
2x?y?1?0

线

2、
定义运算
a b
c d
?ad?bc
，则符合条件
1 ?1
z zi
?4?2i
的复数
z
为（ ）Ａ．
3?i

封

Ｂ．
1?3i
Ｃ．
3?i
Ｄ．
1?3i

3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确的是（ ）
A． 假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角
Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝角
4.观察按下列顺序排列的等式：
9?0?1?1< br>，
9?1?2?11
，
9?2?3?21
，
9?3?4?31
，…，
猜想第
n(n?N)
个等式应为（ ）
*
姓
名

考
号

Ａ．
9(n?1)?n?10n?9
Ｂ．
9(n?1)?n?10n?9

Ｃ．
9n?(n?1)?10n?1
Ｄ．
9(n?1)?(n?1)?10n?10

密

5、曲线
y?cosx
?
0≤x≤
Ｂ．
2
Ｃ ．
?
?
3π
?
3π
x
与轴以及直线所围图形的面积 为（ ）Ａ．
4

x?
?
2
?
2
Ｄ．
3

班
级

5

2
6、平面几何中，有边长为
a
的正三角形内任一点到三边距离之和为定值
3
a
，类比上述命题，
2
学
校

棱长为
a
的正四面体内任一点到四个面的距离之和为（ ）Ａ．
465
a
Ｂ．
a
Ｃ．
a
334
Ｄ．
6
a

4
7、若
f(x
0
)??3< br>'
，则
h?0
lim
f(x
0
?h)?f(x
0
?3h)
?
h
（ ）
A．
?3
B．
?12
C．
?9
D．
?6

8、复数z=
5
,则
z
是（ ）
3?4i
A．25 B．5 C．1 D．7 < br>9、一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后

再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移 动（1步的距离为1
个单位长度）．令
P(n)
表示第
n
秒时机器人 所在位置的坐标，且记
P(0)?0
，则下列结论中错误的是
（ ）
Ａ．
P(3)?3
Ｂ．
P(5)?1
Ｃ．
P(2007)?P(2006 )
Ｄ．
P(2003)?P(2006)

10、如图是导函数
y? f

(x)
的图象，那么函数
y?f(x)
在下面哪个区间是减函数< br>
A.
(x
1
,x
3
)
B.
(x
2
,x
4
)
C.
(x
4
,x
6
)
D.
(x
5
,x
6
)

1111
??? ?
nn?1n?2n?3
1111111
Ｃ．
??
Ｄ．
???

2342345
11、设
S(n)??
111 1
*
，当时，（ ）Ａ．Ｂ．
S(2)?
(n?N)?
n?22
n223
12、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位 置拉到离平衡位置6cm处，则克
服弹力所做的功为（ ）
(A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J
13. 曲线
y?x
在点
(1,1)
处的切线与
x
轴、直线
x?2
所围成的三角形的面积为（ ）
（A）
3
8754
（B） （C） （D）
3333
14. 已知直线
y?kx
是
y?lnx
的切线，则
k
的值为（ ）
（A）
1122
（B）
?
（C） （D）
?

eeee
15. 有一段“三段论”推理是这样的：
对于可导函数
f(x)
，如果
f
?
(x
0
)?0
，那么
x?x
0
是函数
f(x)
的极值点，因为函数
f(x)?x
3
在
x?0
处的 导数值
f
?
(0)?0
，所以，
x?0
是函数
f( x)?x
3
的极值点.
以上推理中（ ）
A．大前提错误 B． 小前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确
16. 在复平面内, 复数1 + i与
1?3
i分别对应向量
OA
和
OB
, 其中
O
为坐标原点,则
AB
=（ ）
A.
2
B.
2
C.
10
D.
4

*
n?k(k?N)
时该命题成立，那么可推得当
n?
k?1
时该命题也17. 某个命题与正整数有关，若当

成立，现已知当
n?5
时该命题不成立，那么可推得( )
(A)当
n?6
时，该命题不成立 (B)当
n?6
时，该命题成立
(C)当
n?4
时，该命题成立 (D)当
n?4
时，该命题不成立
3
18. 若点P在曲线y＝x
3
－3x
2
＋(3－3)x＋上移动，经过点P的切线的倾斜角为α，则角α的取值范 围
4
是( )
2π2π
ππππ
2π
A．[0，) B．[0，)∪[，π) C．[，π) D．[0，)∪(，]
2233223
二、填空 题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
19、
?
1
0
(1?(x?1)
2
?2x)dx?

456

12

20、设
Z
1
= i + i+ i+…+ i

,
Z
2
= i
4
· i
5
·i
6
·…· i
12
，
则Z
1
，
Z
2
关系为


32
21．已知
f(x)?x?3x?a
（
a
为 常数），在
[?3，3]
上有最小值
3
，那么在
[?3，3]
上
f(x)
的最大值是

32
a
??
－ ∞，
?
内单调递减，则
a
的取值范围是
22．
函数
g
(
x
)＝
ax
＋2(1－
a
)
x
－3
ax
在区间
?
3
??
________．

三、解答题：本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
2
23、（本小题10分）
F(x)?
?
(t?2t?8)dt(x?0)
．
0
x< br>（1）求
F(x)
的单调区间；（2）求函数
F(x)
在
[1 ，3]
上的最值．
24．（本小题10分）设
y?f(x)
是二次函数，方 程
f(x)?0
有两个相等的实根，且
f
?
(x)?2x?2
．
（1）求
y?f(x)
的表达式；
（2）若直线
x??t( 0?t?1)
把
y?f(x)
的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求
t
的值．
25、（本小题10分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１ ８０元时，房间会全部
住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间 每天需花费２０元的
各种维护费用。房间定价多少时，宾馆利润最大？
*
26、（本 小题10分）已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?1?na
n
(n?N)
．
（1） 计算
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
；
（2） 猜想
a
n
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
答题卷

（满分：150分；时间：120分钟）
一、选择题（每题5分，共60分）
题
号
答
案
1

2 3

4

5

6

7

8

9

10 11 12

得
分

评卷
人

二、填空题（每题5分，共20分）
13、 14、
15、 16、
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
得分
得分


得分
得分

得分

得分


评卷人
评卷人


评卷人
评卷人

评卷人

评卷人


17、
18、
19、
20、
21
22、
参考答案
4 5
D
6
B
7
B
8
C
9
D
10 11 12
B C D
得
分

题
号
答
案
13、
1
D
2 3
评卷
人

A Ｂ B
?
?1

14、
Z
1
=
Z
2
15、
57
16、 91
4
17、（本小题10分）已知等腰梯形
OABC
的顶点
A，B
在复平面上对应的复数分别为
1?2i
、
?2?6i
，
且
O
是坐标原点，
OA∥BC
． 求顶点
C
所对应的复数
z
．
解：设
z?x?yi(x，y?R)
．
由
OA∥BC
，< br>OC?AB
，得
k
OA
?k
BC
，
z
C
?z
B
?z
A
，
?
2y?6
?1
?
x?2
，
即
?

?
x
2
?y
2
?3
2
?4
2
，
?
OA? BC
，
?x??3
，
y?4
舍去．
?z??5
．
18、（本小题12分）
F(x)?
x
?
0
(t
2
?2t?8)dt(x?0)
．

（1）求
F(x)
的单调区间；
（2）求函数
F(x)
在
[1，3]
上的最值．
解：依题 意得，
F(x)?
2
?
1
32
?
x
1322
(t?2t?8)dt?t?t?8t?x?x?8x
，定义域是
(0，? ?)
．
0
??
?
0
3
?
3
?< br>x
（1）
F
?
(x)?x?2x?8
,
令
F
?
(x)?0
，得
x?2
或
x??4
，
令
F
?
(x)?0
，得
?4?x?2
，
由于定义域是
(0，??)
，
?
函数的单调增区间是
(2 ，??)
，单调递减区间是
(0，2)
．
（2）令
F
?< br>(x)?0
，得
x?2(x??4舍)
，
由于
F(1)??
2028
，
F(2)??
，
F(3)??6
，
33
28
．
3
?F(x)
在
[1，3]
上的最大值是
F(3)??6
，最小值是
F(2)??
19．（本小题12分 ）设
y?f(x)
是二次函数，方程
f(x)?0
有两个相等的实根，且f
?
(x)?2x?2
．
（1）求
y?f(x)
的表达式；
（2）若直线
x??t(0?t ?1)
把
y?f(x)
的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求
t的值．
解：（1）设
f(x)?ax?bx?c(a?0)
，
则
f
?
(x)?2ax?b
．
由已知
f
?
(x)?2x?2
，得
a?1
，
b?2
．
2
?f(x)?x
2
?2x?c
．
又方程
x?2x?c?0
有两个相等的实数根，
2
???4?4c?0
，即
c?1
．
故
f(x)?x?2x?1
；
（2）依题意，得
2
??t
?1
(x
2
?2x?1)dx?
?
(x
2
?2x?1)dx
，
?t
0

?
1
?
?
?
x
3
?x
2
?x
??
3
?
?t
?1
?
1
?
?
?
x
3
?x
2
?x
?
?
3
?
0
?t
，
32
整理，得
2t?6t?6t?1?0
，即
2(t?1)?1?0
，
3
?t?1?
1
．
3
2
20、（本小题12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每天１８０元时 ，房间会全部
住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆每间每天需花 费２０元的
各种维护费用。房间定价多少时，宾馆利润最大？
解：设每个房间每天的定价为
x
元，那么宾馆利润
L(x)
=(50?
=
?
x?180
)(x?20)

10
1
2
x?70x?1360,180?x?680.

10
1
'
令
L(x)??x?70?0,
解得
x?350< br>.
5
当
x?(180,350)
时，
L(x)?0,

当
x?(180,680)
时
L(x)?0

因此, x?350
时是函数
L(x)
的极大值点,也是最大值点.所以,当每个房间每天 的定价为350元
时,宾馆利润最大
21、（本小题满分12分）
证明：要证'
'
a
b
?
b
a
?a?b
，
ab(a?b)

ab(a?b)

只需证
aa?bb?< br>即证
(a?b?ab)(a?b)?
即证
a?b?ab?ab

2
即证
a?b?2ab
，即
(a?b)?0

该式显然成立，所以
a
b
?
b
a
?a?b

*
22、（本小题12分）已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?1?na
n
(n?N)
．
（1）计算
a
1
，
a
2
，
a
3< br>，
a
4
；

（2）猜想
a
n
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
解：（ 1）依题设可得
a
1
?
（2）猜想：
a
n
?
11111111
，
a
2
??
，
a
3
?
，
a
4
?
；
???
21?262?3123?4204?5
1
．
n(n?1)
证明：①当
n?1
时，猜想显然成立．
②假设
n?k(k?N)
时，猜想成立，
即
a
k
?
*
1
．
k(k?1)
那么，当
n?k?1
时，
S
k?1
?1?(k?1)a
k? 1
，
即
S
k
?a
k?1
?1?(k?1)ak?1
．
又
S
k
?1?ka
k
?
所以
k
，
k?1
k
?a
k?1
?1?(k?1)a
k?1
，
k?1
11
?
．
(k?1)(k?2)(k?1)[(k?1)? 1]
从而
a
k?1
?
即
n?k?1
时，猜想也成立 ．
故由①和②，可知猜想成立．