高中数学直线方程练习题集

高中数学直线方程练习题

一．选择题（共 12 小题）

1．已知 A（﹣2，﹣1）， B（2 ，﹣3），过点 P（1，5）的直线 l 与线段 AB 有交点，

则 l 的斜率的范围是（

）

A．（﹣∞，8]﹣B．[2， +∞）

C．（﹣∞，8]﹣∪[2，+∞） D．（﹣∞，8）﹣∪（2， +∞）

2．已知点 A（1，3）， B（﹣2，﹣1）．若直线 l：y=k （x﹣2）+1 与线段 AB 相交，

则 k 的取值范围是（

）

A． [

，+∞）

B．（﹣∞，2]﹣C ．（﹣∞，2]﹣∪[

，+∞） D．[﹣2，

]
3．已知点 A（﹣1，1）， B（2，﹣2），若直线 l：x+my+m=0 与线段 AB （含端点）

相交，则实数 m 的取值范围是（

）

A．（﹣∞，]∪[2，+∞） B．[

，2]

C．（﹣∞，2]∪﹣[﹣，+∞） D．[﹣ ，﹣2]

4．已知 M（ 1，2），N（4，3 ）直线 l 过点 P（2 ，﹣1）且与线段 MN 相交，那么

直线 l 的斜率 k 的取值范围是（

）

A．（﹣∞，3]﹣∪[2，+∞） B．[﹣， ] C．[﹣3，2] D．（﹣∞，﹣]∪[

+∞）

5．已知 M（﹣2，﹣3），N（3 ，0），直线 l 过点（﹣1，2）且与线段 MN 相交，则直

线 l 的斜率 k 的取值范围是（

）

A．

或 k≥5

B．

C．

D．

6．已知 A（﹣2，

），B（2，

），P（﹣1， 1），若直线 l 过点 P 且与线段

AB 有公共点，则直线 l 的倾斜角的范围是（

）

A．

B．

C．

D．

∪




































，

7．已知点 A（2，3）， B（﹣3，﹣2），若直线 l 过点 P（1，1）与线段 AB 始终没






有交点，则直线

l 的斜率

k 的取值范围是（















）




A．

＜k＜ 2




B． k＞ 2 或

k＜

C．k＞


D．k＜2










8．已知

O 为△ABC

内一点，且






，

，若

B，O，D

三点共

线，则

t 的值为（






）




A．





B．

C．

D．


9．经过（ 3，0），（ 0， 4）两点的直线方程是（

）

A． 3x+4y ﹣12=0 B ． 3x﹣4y+12=0 C ．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y ﹣12=0



10 ．过点（ 3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是（



）

A． 2x+y=0 B ．x+y+3=0



C． x﹣y+3=0 D．x+y+3=0 或 2x+y=0



11

．经过点 M（ 1， 1）且在两轴上截距相等的直线是（

A． x+y=2 B．x+y=1 C．x=1 或 y=1 D． x+y=2 或 x﹣y=0


）

12

．已知△ABC 的顶点 A（ 2，3），且三条中线交于点 G（4，1），则 BC 边上的

中点坐标为（

A．（5，0）








）


B．（6，﹣1）

C．（ 5，﹣3）

D．（ 6，﹣3）

二．填空题（共 4 小题）



13 ．已知直线 l
1
： ax+3y+1=0 ， l
2
： 2x+ （a+1） y+1=0 ，若 l
1
∥l
2
，则实数 a 的值




是

．


14

．直线 l
1
：（3+a ）x+4y=5 ﹣3a 和直线 l
2
：2x+（ 5+a ）y=8 平行，则 a=

15

．设直线 l

：x+my+6=0


1

．

1

2

和 l：

（m﹣2） x+3y+2m=0 ，当 m=

2

时， l

∥l ，

当 m=



时， l
1
⊥l
2
．

16 ．如果直线（ 2a+5 ）x+（ a﹣2） y+4=0 与直线（ 2﹣a）x+（ a+3 ）y﹣1=0 互相垂



直，则 a 的值等于








．

三．解答题（共 11 小题）



17 ．已知点 A（1 ，1 ），B（﹣2，2 ），直线 l 过点 P（﹣1，﹣1）且与线段 AB 始终有




交点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为



．

18 ．已知 x，y 满足直线 l：x+2y=6 ．



（ 1）求原点 O 关于直线 l 的对称点 P 的坐标；



（ 2）当 x∈[1，3]时，求




的取值范围．

19 ．已知点 A（ 1， 2）、B（5，﹣1），



（ 1）若 A，B 两点到直线 l 的距离都为 2，求直线 l 的方程；



（ 2）若 A， B 两点到直线 l 的距离都为 m（ m＞0），试根据 m 的取值讨论直线




l 存在的条数，不需写出直线方程．


20 ．已知直线 l 的方程为 2x+（1+m ）y+2m=0 ，m∈R，点 P 的坐标为（﹣1， 0）．







（ 1）求证：直线 l 恒过定点，并求出定点坐标；
（ 2）求点 P 到直线 l 的距离的最大值．
21 ．已知直线方程为（ 2+m）x+（1 ﹣2m ）y+4 ﹣3m=0 ．



（ Ⅰ）证明：直线恒过定点 M；



（ Ⅱ）若直线分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于




A， B 两点，求△AOB 面积的最小

值及此时直线的方程．



22 ．已知光线经过已知直线 l
1
： 3x﹣y+7=0 和 l
2
：2x+y+3=0 的交点 M，且射到 x

轴上一点 N（1，0）后被 x 轴反射．







（ 1）求点 M 关于 x 轴的对称点 P 的坐标；
（ 2）求反射光线所在的直线 l
3
的方程．
（ 3）求与 l
3
距离为

的直线方程．



23 ．已知直线 l：y=3x+3



求（ 1）点 P（ 4，5）关于 l 的对称点坐标；



（ 2）直线 y=x ﹣2关于 l 对称的直线的方程．



24 ．已知点 M（3，5），在直线 l：x﹣2y+2=0 和 y 轴上各找一点

P 和 Q，使△MPQ




的周长最小．



25 ．已知直线 l 经过点 P（ 3，1），且被两平行直线 l
1
；x+y+1=0 和 l
2
：x+y+6=0



截得的线段之长为 5，求直线 l 的方程．



26 ．已知直线 l：5x+2y+3=0 ，直线 l′经过点 P（2，1）且与 l 的夹角等于 45 ，



求直线 l'的一般方程．



27．已知点 A（2，0），B（0，6），O 为坐标原点．



（ 1）若点 C 在线段 OB 上，且∠ACB=




，求△ABC 的面积；

（ 2）若原点 O 关于直线 AB 的对称点为 D，延长 BD 到 P，且 |PD|=2|BD| ，已知
直线 L： ax+10y+84 ﹣108 =0 经过点 P，求直线 l 的倾斜角．

高中数学直线方程练习题



参考答案与试题解析








一．选择题（共

12 小题）





1．（2016

秋 ?滑县期末）已知

A（﹣2，﹣1），B（2，﹣3），过点

P（ 1， 5）的直线






l 与线段 AB 有交点，则 l 的斜率的范围是（ ）A．（﹣



∞，8]﹣B．[2， +∞） C．（﹣∞，8]﹣∪[2，+∞）
D．（﹣∞，8）﹣∪（2， +∞）

【分析】 利用斜率计算公式与斜率的意义即可得
出．【解答】 解： k
PA
= =2， k
PB
= =﹣8，


∵直线l 与线段 AB 有交点，∴l 的斜率的范围是

k≤8﹣，或 k≥2．

故选： C．

【点评】 本题考查了斜率计算公式与斜率的意义，考查了推理能力与计算能力，

属于中档题．

2．（2016

秋 ?碑林区校级期末）已知点 A（1，3），B （﹣2，﹣1）．若直线 l： y=k

（ x﹣2） +1

与线段 AB 相交，则 k 的取值范围是（

）

A． [

，+∞）

B．（﹣∞，2]﹣C ．（﹣∞，2]﹣∪[

，+∞） D．[﹣2，
【分析】由直线系方程求出直线

l 所过定点，由两点求斜率公式求得连接定点与

线段 AB 上点的斜率的最小值和最大值得答案．

【解答】 解：∵直线 l：y=k （x﹣2） +1 过点 P（ 2， 1），

连接 P 与线段 AB 上的点 A（1，3）时直线 l 的斜率最小，为

，

]

连接 P 与线段 AB 上的点 B（﹣2，﹣1）时直线 l 的斜率最大，为

．

∴k 的取值范围是

．

故选： D．

【点评】 本题考查了直线的斜率，考查了直线系方程，是基础题．

3．（2016 秋 ?雅安期末）已知点

A（﹣1，1），B（2 ，﹣2），若直线 l：x+my+m=0

与线段 AB（含端点）相交，则实数 m 的取值范围是（

）

A．（﹣∞，]∪[2，+∞） B．[

，2]

C．（﹣∞，2]﹣∪[﹣，+∞） D．[﹣ ，﹣2]

【分析】 利用斜率计算公式、斜率与倾斜角的关系及其单调性即可得出．

【解答】 解：直线 l： x+my+m=0 经过定点 P（0，﹣1），

k
PA
=

=﹣2，k
PB
=

=﹣．

∵直线l： x+my+m=0 与线段 AB（含端点）相交，

∴

≤

≤2﹣，

∴

．

故选： B．

斜率与倾斜角的关系及其单调性，

考查了推

理能力与计算能力，属于中档题．

4．（2016 秋 ?庄河市校级期末）已知

M（1，2）， N（4，3）直线 l 过点 P（ 2 ，

﹣1）且与线段 MN 相交，那么直线 l 的斜率 k 的取值范围是（

）

A．（﹣∞，3]﹣∪[2，+∞） B．[﹣， ] C．[﹣3，2] D．（﹣∞，﹣]∪[
+∞）

【分析】画出图形，由题意得

所求直线 l 的斜率 k 满足 k≥k
PN
或 k≤k
PM
，用直














































【点评】本题考查了斜率计算公式、














，

线的斜率公式求出 k
PN
和 k
PM
的值，解不等式求出直线 l 的斜率 k 的取值范围．




【解答】 解：如图所示：



由题意得，所求直线 l 的斜率 k 满足 k≥k
PN
或 k≤k
PM
，



即 k≥ =2，或 k≤ =﹣3，



∴k≥2，或 k≤3﹣，



故选： A．


































【点评】 本题考查直线的斜率公式的应用，体现了数形结合的数学思想．








5．（2013 秋 ?迎泽区校级月考）已知

M（﹣2，﹣3），N（ 3， 0），直线 l 过点（﹣1，



2）且与线段 MN 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（



）

A．




或 k≥5

B．

C．

D．

【分析】 求出边界直线的斜率，作出图象，由直线的倾斜角和斜率的关系可得．



【解答】 解：（如图象）即 P（﹣1，2），



由斜率公式可得 PM 的斜率 k
1
=

直线 PN 的斜率 k
2
=




=5，


= ，

当直线 l 与 x 轴垂直（红色线）时记为

l′，

可知当直线介于

l′和 PM 之间时， k≥5 ，



当直线介于 l′和 PN 之间时， k≤﹣，



故直线 l 的斜率 k 的取值范围是： k≤﹣，或 k≥5




故选 A




































【点评】本题考查直线的斜率公式， 涉及数形结合的思想和直线的倾斜角与斜率




的关系，属中档题．








6．（2004 秋?南通期末）已知 A（﹣2，



），B（2，

），P（﹣1， 1），若

直线 l 过点 P 且与线段 AB 有公共点，则直线


l 的倾斜角的范围是（

）

A．



B．

D．

∪

C．




【分析】先求出直线的斜率的取值范围，

再根据斜率与倾斜角的关系以及倾斜角



的范围求出倾斜角的具体范围．



【解答】 解：设直线 l 的斜率等于 k，直线的倾斜角为



α

由题意知， k
PB
=




=﹣ ，或 k
PA
=

α，则 α∈[0， π），tan α=k，

=﹣

设直线的倾斜角为

由图知 0°≤α≤120 °或 150 °≤α＜ 180 °



故选： D．































【点评】本题考查直线的倾斜角和斜率的关系， 直线的斜率公式的应用， 属于基



础题．








7．已知点 A（2，3）， B（﹣3，﹣2），若直线 l 过点 P（1，1）与线段 AB 始终没



有交点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围是（



）

D．k＜2

A．

＜k＜ 2




B． k＞ 2 或 k＜

C．k＞

【分析】 求出 PA ， PB 所在直线的斜率，数形结合得答案．



【解答】 解：点 A（2，3）， B（﹣3，﹣2），若直线 l 过点 P（1，1），



∵直线PA 的斜率是



=2，

=

．

直线 PB 的斜率是




如图，



∵直线l 与线段 AB 始终有公共点，



∴斜率k 的取值范围是（

，2）．




故选： A．

【点评】本题考查了直线的倾斜角和直线的斜率， 考查了数形结合的解题思想方



法，是基础题．








8．（2017 ?成都模拟）已知 O 为△ABC 内一点，且




，

，若

B， O，D 三点共线，则 t 的值为（



）

A．




B．

C．

D．

【分析】以 OB ，OC 为邻边作平行四边形 OBFC ，连接 OF 与 BC 相交于点 E，



E 为 BC 的中点．由




，可得

=2 =2

，点 O 是直线 AE 的

中点．根据



，B，O，D 三点共线，可得点 D 是 BO 与 AC 的交点．过点

O 作 OM ∥BC 交 AC 于点 M，则点 M 为 AC 的中点．即可得出．



【解答】 解：以 OB ，OC 为邻边作平行四边形 OBFC ，连接 OF 与 BC 相交于



点 E，E 为 BC 的中点．



∵




，∴

=2 =2

，

∴点O 是直线 AE 的中点．



∵



，B，O，D 三点共线，

∴点D 是 BO 与 AC 的交点．

过点 O 作 OM∥BC 交 AC 于点 M，则点 M 为 AC 的中点．



































则 OM= EC= BC， = ，
∴DM= MC ，
∴AD= AM= AC ，
∴t= ．
故选： B．
【点评】本题考查了向量共线定理、


向量三角形与平行四边形法则、

平行线的性

质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．








9．（ 2016 秋?沙坪坝区校级期中） 经过（ 3，0），（ 0，4）两点的直线方程是 （



）

A． 3x+4y ﹣12=0 B ． 3x﹣4y+12=0 C ．4x﹣3y+12=0 D．4x+3y ﹣12=0




【分析】 直接利用直线的截距式方程求解即可．



【解答】解：因为直线经过（3，0），（0，4）两点，所以所求直线方程为：




，

即 4x+3y ﹣12=0 ．



故选 D．




【点评】 本题考查直线截距式方程的求法，考查计算能力．








10 ．（ 2016 秋?平遥县校级期中）过点（ 3，﹣6）且在两坐标轴上的截距相等的直

线的方程是（



）

A． 2x+y=0 B ．x+y+3=0



C． x﹣y+3=0 D．x+y+3=0 或 2x+y=0




【分析】当直线过原点时，用点斜式求得直线方程．当直线不过原点时，设直线



的方程为 x+y=k ，把点（ 3，﹣6）代入直线的方程可得 k 值，从而求得所求的直




线方程，综合可得结论．



【解答】 解：当直线过原点时，方程为

y=﹣2x，即 2x+y=0 ．



当直线不过原点时，设直线的方程为



x+y=k ，把点（ 3，﹣6）代入直线的方程可

得 k=﹣3，



故直线方程是

x+y+3=0 ．



综上，所求的直线方程为

x+y+3=0 或 2x+y=0 ，



故选： D．



【点评】本题考查用待定系数法求直线方程，



体现了分类讨论的数学思想，

注意

当直线过原点时的情况，这是解题的易错点，属于基础题．








11 ．（2015 秋?运城期中）经过点 M（1，1）且在两轴上截距相等的直线是 （



）

A． x+y=2 B．x+y=1



C．x=1 或 y=1 D． x+y=2 或 x﹣y=0

【分析】分两种情况考虑，第一：当所求直线与两坐标轴的截距不为



0 时，设出

该直线的方程为 x+y=a ，把已知点坐标代入即可求出



a 的值，得到直线的方程；

y=kx ，把已知

第二：当所求直线与两坐标轴的截距为

0 时，设该直线的方程为



点的坐标代入即可求出 k 的值，得到直线的方程， 综上，得到所有满足题意的直




线的方程．

【解答】 解：①当所求的直线与两坐标轴的截距不为



0 时，设该直线的方程为

x+y=a ，



把（ 1，1）代入所设的方程得： a=2，则所求直线的方程为



x+y=2 ；

②当所求的直线与两坐标轴的截距为



0 时，设该直线的方程为

y=kx ，

把（ 1，1）代入所求的方程得： k=1，则所求直线的方程为 y=x．



综上，所求直线的方程为：

x+y=2 或 x﹣y=0 ．



故选： D．



【点评】 此题考查直线的一般方程和分类讨论的数学思想，要注意对截距为



0

和不为 0 分类讨论，是一道基础题．








12 ．（ 2013 春?泗县校级月考）已知△ ABC 的顶点 A（ 2，3），且三条中线交于点



G（ 4， 1），则 BC 边上的中点坐标为（



）

A．（5，0）




B．（6，﹣1）

C．（5，﹣3）

D．（6，﹣3）

【分析】 利用三角形三条中线的交点到对边的距离等于到所对顶点的距离的一



半，用向量表示即可求得结果．




【解答】 解：如图所示，；



∵△ABC 的顶点 A （2，3 ），三条中线交于点

G（4，1），



设 BC 边上的中点 D（x，y），则


=2

，

∴（4﹣2，1﹣3）=2 （x﹣4，y﹣1），



即



，

，

解得




即所求的坐标为

D（5，0）；

故选： A．































【点评】本题考查了利用三角形三条中线的交点性质求边的中点坐标问题，

是基



础题．








二．填空题（共 4 小题）



13 ．（ 2015 ?益阳校级模拟）已知直线

l
1
：ax+3y+1=0 ，l
2
：2x+ （ a+1）y+1=0 ，



若 l
1
∥l
2
，则实数 a 的值是

﹣3 ．



【分析】 根据 l
1
∥l
2
，列出方程 a（ a+1 ）﹣2×3=0，求出 a 的值，讨论 a 是否满足



l
1
∥l
2
即可．



【解答】 解：∵l
1
∥l
2
，



∴a（a+1）﹣2×3=0 ，



即 a+a﹣6=0，


2
解得 a= ﹣3，或 a=2；



当 a=﹣3 时， l
1
为：﹣3x+3y+1=0 ，


l
2
为： 2x﹣2y+1=0 ，满足 l
1
∥l
2
；



当 a=2 时， l
1
为： 2x+3y+1=0 ，



l
2
为： 2x+3y+1=0 ， l
1
与 l
2
重合；

所以，实数 a 的值是﹣3．



故答案为：﹣3．




【点评】本题考查了两条直线平行， 斜率相等，或者对应系数成比例的应用问题，




是基础题目．








14 ．（ 2015 秋?天津校级期末）直线



l
1
：（3+a ）x+4y=5 ﹣3a 和直线 l
2
：2x+（ 5+a ）

y=8 平行，则 a=



﹣7 ．

【分析】根据两直线平行的条件可知， （3+a ）（5+a ）﹣4×2=0，且 5﹣3a≠8．进而




可求出 a 的值．



【解答】 解：直线 l
1
：（3+a）x+4y=5 ﹣3a 和直线 l
2
：2x+（ 5+a ）y=8 平行，



则 （ 3+a）（ 5+a ）﹣4×2=0，









即 a+8a+7=0 ．
解得， a=﹣1或 a=﹣7．
又∵5﹣3a ≠8，
2
∴a≠1
﹣．∴a=﹣7．





故答案为：﹣7．
【点评】 本题考查两直线平行的条件，其中 5﹣3a≠8 是本题的易错点．属于基
础题．































15 ．（ 2015 秋?台州期末）设直线




l
1
：x+my+6=0
时， l
1
⊥l
2
．

和 l
2
：（ m﹣2）x+3y+2m=0

，当

m= ﹣1

时， l
1
∥l
2
，当 m=

【分析】 利用直线平行、垂直的性质求解．



【解答】 解：∵直线 l
1
：x+my+6=0 和 l
2
：（ m﹣2）x+3y+2m=0 ，



l
1
∥l
2
，



∴



= ≠ ，
解得 m=﹣1；



∵直线l
1
：x+my+6=0 和 l
2
：（m﹣2）x+3y+2m=0 ，



l
1
⊥l
2
，



∴1×（m﹣2）+3m=0 ，



解得 m=

；



故答案为：﹣1，

．




【点评】本题考查实数的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意



直线的位置关系的合理运用．










16 ．（ 2016 春? 2a+5 ）与直线（ 2 ﹣a）x+


信阳月考）如果直线（

x+（

a ﹣2）y+4=0

（ a+3）y﹣1=0

互相垂直，则

a 的值等于










a=2

或 a=﹣2

．









【分析】 利用两条直线互相垂直的充要条件，得到关于


a 的方程可求．


【解答】解：设直线（ 2a+5 ）x+（a﹣2）y+4=0 为直线 M；直线（ 2﹣a）x+（ a+3 ）



y﹣1=0 为直线 N



①当直线 M 斜率不存在时，即直线

M 的倾斜角为 90°，即 a﹣2=0，a=2 时，直线



N 的斜率为 0 ，即直线 M 的倾斜角为 0°，故：直线 M 与直线 N 互相垂直，所以



a=2 时两直线互相垂直．



②当直线 M 和 N 的斜率都存在时， k
M
=（

，k
N
=

要使两直线互相垂直，

即让两直线的斜率相乘为﹣1，故： a=﹣2．



③当直线 N 斜率不存在时，显然两直线不垂直．



综上所述： a=2 或 a= ﹣2



故答案为： a=2 或 a= ﹣2



【点评】本题考查两直线垂直的充要条件，若利用斜率之积等于﹣ 1，应注意斜率




不存在的情况．








三．解答题（共 11 小题）



17 ．（ 2016 秋?兴庆区校级期末）已知点



A（1，1）， B （﹣2，2），直线 l 过点 P

k≤3﹣，或

（﹣1，﹣1）且与线段 AB 始终有交点，则直线 l 的斜率 k 的取值范围为



k≥1

．




【分析】 由题意画出图形，数形结合得答案．



【解答】 解：如图，





















∵A（1，1），B（﹣2，2），直线 l 过点 P（﹣1，﹣1），



又




，

∴直线l 的斜率 k 的取值范围为 k≤3﹣，或 k≥1．



故答案为： k≤3﹣，或 k≥1．




【点评】 本题考查直线的斜率，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

18 ．（ 2015 春?乐清市校级期末）已知 x，y 满足直线 l： x+2y=6 ．



（ 1）求原点 O 关于直线 l 的对称点 P 的坐标；



（ 2）当 x∈[1，3]时，求




的取值范围．

【分析】（1）设对称后的点


P（ a， b），根据点的对称即可求原点 O 关于直线 l

的对称点 P 的坐标．



（ 2）根据斜率公式可知，表示的为动点（

x， y）到定点（ 2， 1）的两点的斜率




的取值范围．



【解答】 解：（1）设原点 O 关于直线 l 的对称点 P 的坐标为（ a，b），






则满足






，解得 a=

，b= ，故

；

（ 2）当 x∈[1，3]时，



的几何意义为到点

C（ 2， 1 ）的斜率的取值范围．








当 x=1 时， y= ，当 x=3 时， y= ，
由可得 A（1， ），B（3， ），
从而 k
BC
=



=

，k
AC
=

=﹣，

，+∞）

∴k 的范围为（﹣∞，﹣]∪[
































【点评】本试题主要是考查了直线的方程以及点关于直线对称点的坐标的求解和

斜率几何意义的灵活运用．








19 ．（ 2016 秋?浦东新区校级月考）已知点

A（1，2）、B（5，﹣1），



（ 1）若 A，B 两点到直线 l 的距离都为 2，求直线 l 的方程；



（ 2）若 A， B 两点到直线 l 的距离都为 m（ m＞0），试根据 m 的取值讨论直线



l 存在的条数，不需写出直线方程．


【分析】（1）要分为两类来研究，一类是直线

L 与点 A（1，2）和点 B（5，﹣1）



两点的连线平行，一类是线

L 过两点 A（1，2）和点 B（5，﹣1）中点，分类解




出直线的方程即可；








（ 2）根据 A， B 两点与直线 l 的位置关系以及 m 与两点间距离 5 的一半比较，


得到满足条件的直线．

【解答】 解：∵|AB|=

=5，

|AB| ＞2，





















∴A 与 B 可能在直线 l 的同侧，也可能直线 l 过线段 AB 中点，



①当直线 l 平行直线 AB 时： k
AB
=






，可设直线 l 的方程为

y=﹣ x+b

依题意得：





=2 ，解得： b=

或 b= ，


故直线 l 的方程为： 3x+4y ﹣1=0 或 3+4y ﹣21=0 ；



②当直线 l 过线段 AB 中点时：AB 的中点为（3 ， ），可设直线 l 的方程为 y﹣=k




（ x﹣3）




依题意得：





=2，解得： k=

，

故直线 l 的方程为：




x﹣2y ﹣=0；

（ 2） A，B 两点到直线 l 的距离都为 m（m＞0），AB 平行的直线，满足题意得

一定有 2 条，



经过 AB 中点的直线，







若 2m ＜|AB| ，则有 2 条；
若 2m=|AB| ，则有 1 条；
若 2m ＞|AB| ，则有 0 条，
∵|AB|=5 ，


综上：当 m＜2.5 时，有 4 条直线符合题意；








当 m=2.5 时，有 3 条直线符合题意；
当 m＞2.5 时，有 2 条直线符合题意．
【点评】本题考查点到直线的距离公式， 求解本题关键是掌握好点到直线的距离
公式与中点坐标公式， 对空间想像能力要求较高， 考查了对题目条件分析转化的
能力







20 ．（ 2015 秋?眉山校级期中）已知直线 l 的方程为 2x+ （1+m ）y+2m=0 ，m∈



R，点 P 的坐标为（﹣1，0）．







（ 1）求证：直线 l 恒过定点，并求出定点坐标；
（ 2）求点 P 到直线 l 的距离的最大值．
【分析】（1）把直线方程变形得， 2x+y+m （y+2 ）=0，联立方程组

，




求得方程组的解即为直线

l 恒过的定点．



（ 2）设点 P 在直线 l 上的射影为点 M，由题意可得 |PM| ≤|PQ|，再由两点间的距
离公式求得点 P 到直线 l 的距离的最大值


【解答】（1）证明：由 2x+ （1+m ）y+2m=0 ，得 2x+y+m （y+2）=0 ，

∴直线l 恒过直线 2x+y=0 与直线 y+2=0 的交点 Q，



解方程组




，得 Q（ 1，﹣2），

∴直线l 恒过定点，且定点为

Q（1，﹣2）．







（ 2）解：设点 P 在直线 l 上的射影为点 M ，则 |PM| ≤|PQ|，
当且仅当直线 l 与 PQ 垂直时，等号成立，
∴点P 到直线 l 的距离的最大值即为线段 PQ 的长度，等于

=2 ．



【点评】本题考查了直线系方程问题， 考查了点到直线的距离公式，

正确理解题



意是关键，是中档题．








21 ．（ 2010 秋?常熟市期中）已知直线方程为（

2+m ）x+（1﹣2m ）y+4﹣3m=0 ．



（ Ⅰ）证明：直线恒过定点 M；



（ Ⅱ）若直线分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于



A， B 两点，求△AOB 面积的最小

值及此时直线的方程．



【分析】（Ⅰ ）直线方程按 m 集项，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，



即可证明：直线恒过定点

M；



（ Ⅱ）若直线分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于

A， B 两点，说明直线的斜率小于



0，设出斜率根据直线过的定点，写出直线方程，求出△


AOB 面积的表达式，利

用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．



【解答】（Ⅰ）证明：（2+m ）x+（1 ﹣2m ）y+4 ﹣3m=0 化为（ x﹣2y﹣3）m= ﹣2x﹣y﹣4．（3




分）



得




∴直线必过定点（﹣1，﹣2）．（6 分）

（ Ⅱ）解：设直线的斜率为 k（k＜0），则其方程为 y+2=k （ x+1），
∴OA=| ﹣1|， OB=|k ﹣2|，（ 8 分）


S
△AOB
= ?OA?OB=

|（ ﹣1）（k﹣2）|= |﹣

∵k＜0，∴k﹣＞0，

∴S
△AOB
= [﹣



|..（ 10 分）


]= [4+（﹣）+（﹣k）]≥4．


当且仅当﹣ =﹣k，即 k= ﹣2时取等号．（13 分）




∴△AOB 的面积最小值是 4 ，（14 分）



直线的方程为 y+2= ﹣2（ x+1），即 y+2x+4=0 ．（15 分）



【点评】本题是中档题，考查直线恒过定点的知识， 三角形面积的最小值的求法，



基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．








22 ．（ 2016 秋 ?枣阳市校级月考）已知光线经过已知直线



l
1
： 3x﹣y+7=0

和 l
2
：

2x+y+3=0 的交点 M，且射到 x 轴上一点 N（1，0）后被 x 轴反射．



（ 1）求点 M 关于 x 轴的对称点 P 的坐标；



（ 2）求反射光线所在的直线

l
3
的方程．



（ 3）求与 l
3
距离为



的直线方程．

【分析】（1）联立方程组，求出 M 的坐标，从而求出 P 的坐标即可；



（ 2）法一：求出直线的斜率，从而求出直线方程即可；法二：求出直线



PN 的

方程，根据对称性求出直线方程即可；



（ 3）设出与 l
3
平行的直线方程，根据平行线的距离公式求出即可．


【解答】 解：（1）由




得

，∴M（﹣2，1）．

所以点 M 关于 x 轴的对称点 P 的坐标（﹣2，﹣1）． ?（4 分）

（ 2）因为入射角等于反射角，所以∠ 1= ∠2．


直线 MN 的倾斜角为 α，则直线 l
3

的斜斜角为 180 °﹣α.

线 l
3
的斜率

．


，所以直

故反射光线所在的直线

l
3
的方程为：

解法二：


．即



．?（9 分）

因为入射角等于反射角，所以∠ 1= ∠2．

根据对称性∠1=∠3，∴∠2=∠3．

所以反射光线所在的直线

直线 PN 的方程为：




l
3
的方程就是直线 PN 的方程．

，整理得：


．



故反射光线所在的直线

l
3
的方程为


（ 3）设与 l
3

平行的直线为





．?（9

分）

，




根据两平行线之间的距离公式得：





，解得 b=3 ，或

，

所以与 l
3




为：

，或

．?（ 13 分）

【点评】 本题考查了点对称、直线对称问题，考查求直线方程，是一道中档题．








23 ．（ 2015 秋?嘉峪关校级期末）已知直线

l： y=3x+3



求（ 1）点 P（ 4，5）关于 l 的对称点坐标；



（ 2）直线 y=x ﹣2关于 l 对称的直线的方程．



【分析】（1）设点 P（4，5）关于直线 y=3x+3 对称点 P′的坐标为（ m，n），得



到关于 m，n 的方程组，求得 m、n 的值，可得 P′的坐标；



（ 2）求出交点坐标，在直线 y=x﹣2上任取点（ 2，0），得到对称点坐标，求出直

线方程即可．



【解答】解：（ 1）设点 P（4，5）关于直线 y=3x+3 对称点 P′的坐标为（ m，n），






则由






，求得 m=﹣2，n=7 ，故 P′（﹣2，7）．

（ 2）由




，解得：交点为

，

在直线 y=x﹣2 上任取点（ 2， 0），



得到对称点为




，

所以得到对称的直线方程为

7x+y+22=0






























【点评】本题主要考查求一个点关于某直线的对称点的坐标的方法，




利用了垂直、


和中点在对称轴上这两个条件，属于中档题．







24 ．（ 2014 秋?宜秀区校级期中）已知点



M （ 3， 5），在直线 l：x﹣2y+2=0 和 y

轴上各找一点 P 和 Q，使△MPQ 的周长最小．



【分析】 本题实际是求点 M 关于 l 的对称点 M
1
，点 M 关于 y 轴的对称点 M
2
，



求得直线 M
1
M
2
的方程，



与 y 轴交点为 Q ，与直线 l： x﹣2y+2=0 的交点为 P．



【解答】解：由点 M（ 3，5）及直线 l，可求得点 M 关于 l 的对称点 M
1
（5，1）．同



样容易求得点 M 关于 y 轴的对称点 M
2
（﹣3，5）．



据 M
1
及 M
2
两点可得到直线 M
1
M
2
的方程为 x+2y ﹣


7=0 ．得交点 P（ ， ）．
令 x=0 ，得到 M
1
M
2
与 y 轴的交点 Q
（0， ）．解方程组

x+2y ﹣7=0 ，



x﹣2y+2=0 ，



故点 P（

， ）、Q（0，

）即为所求．














【点评】 本题考查直线关于直线对称的问题，三角形的几何性质，是中档题．








25 ．（2010 ?广东模拟）已知直线 l 经过点 P（3，1），且被两平行直线



l
1
；x+y+1=0

和 l
2
：x+y+6=0 截得的线段之长为 5，求直线 l 的方程．



【分析】 法一如图，若直线 l 的斜率不存在，直线 l 的斜率存在，利用点斜式方



程，分别与 l
1
、l
2
联立，求得两交点


A、 B 的坐标（用

k 表示），再利用 |AB|=5

可求出 k 的值，从而求得 l 的方程．



法二：求出平行线之间的距离，结合 |AB|=5 ，设直线 l 与直线 l
1
的夹角为 θ，求出
直线 l 的倾斜角为 0°或 90°，然后得到直线方程．就是用 l
1
、l
2
之间的距离及 l 与
l
1
夹角的关系求解．



法三：设直线 l
1
、 l
2
与 l 分别相交于 A（x
1
，y
1
），B（ x
2
，y
2
），



则通过求出 y
1
﹣y
2
，x
1
﹣x
2
的值确定直线


l 的斜率（或倾斜角），从而求得直线 l 的

方程．



【解答】 解：解法一：若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=3 ，



此时与 l
1
、 l
2
的交点分别为 A′（3，﹣4）或 B′（ 3，﹣9），



截得的线段 AB 的长 |AB|=| ﹣4+9|=5 ，符合题意．



若直线 l 的斜率存在，则设直线

l 的方程为 y=k （x﹣3）+1 ．

解方程组



得

，﹣

）．

A（




解方程组



得

，﹣

）．

B（




由 |AB|=5 ．


得（



﹣

）+（﹣

2
+

）=5．

22
解之，得 k=0 ，直线方程为 y=1 ．



综上可知，所求 l 的方程为 x=3 或 y=1．








解法二：由题意，直线 l
1
、l
2
之间的距离为 d=




=

，

且直线 L 被平行直线 l
1
、 l
2
所截得的线段 AB 的长为 5，





设直线 l 与直线 l
1
的夹角为 θ，则 sinθ=




=

，故 θ=45 °．

由直线 l
1
： x+y+1=0 的倾斜角为 135 °，知直线 l 的倾斜角为 0°或 90 °，



又由直线 l 过点 P（ 3， 1），故直线 l 的方程为： x=3 或 y=1．








解法三：设直线

l 与 l
1
、l
2
分别相交 A（x
1
， y
1
）、B（x
2
，y
2
），则 x
1
+y
1
+1=0 ，



x
2
+y
2
+6=0 ．



两式相减，得（ x
1
﹣x
2
）+（y
1
﹣y
2
）=5．①



又（ x
1
﹣x
2
） +（y
1
﹣y
2
）=25 ．②




22
联立①、②可得





或

由上可知，直线 l 的倾斜角分别为

0°或 90°．

故所求的直线方程为 x=3 或 y=1．


















【点评】本题是中档题，考查直线与直线的位置关系，直线与直线所成的角，直



线的点斜式方程，斜率是否存在是容易出错的地方，注意本题的三种方法．








26 ．（ 2009 秋?重庆期末）已知直线 l：5x+2y+3=0 ，直线 l′经过点 P（2，1）且



与 l 的夹角等于 45 ，求直线 l'的一般方程．



【分析】设出直线 l′的斜率为 k′，通过直线的夹角公式求出直线的斜率，然后求



出直线的方程．



【解答】 解：设直线 l′的斜率为 k′，





则





，?（7 分）

，?（10 分）




直线 l′：7x ﹣3y﹣11=0 和 3x+7y ﹣13=0 ；?（ 13 分）



【点评】本题是基础题，考查直线方程的求法，夹角公式的应用，注意夹角公式



与到角公式的区别，考查计算能力．








27．已知点 A（2，0），B（0，6），O 为坐标原点．



（ 1）若点 C 在线段 OB 上，且∠ACB=




，求△ABC 的面积；

（ 2）若原点 O 关于直线 AB 的对称点为 D，延长 BD 到 P，且 |PD|=2|BD| ，已

知直线 L： ax+10y+84 ﹣108 =0 经过点 P，求直线 l 的倾斜角．



【分析】（1）依据条件求出 AC 的斜率，可得点 C 的坐标，即得边长

BC ，点 A




的横坐标就是三角形的高，代入三角形的面积公式进行计算．







（ 2）利用对称的特点，待定系数法求出原点 O 关于直线 AB 的对称点 D 的坐标，
由题意可得=2 ，把相关向量的坐标代入， 利用两个向量相等的条件求出点
P 的坐标，再把点 P 的坐标代入代入直线 l 的方程，求出 a，即得直线 l 的斜率，



由斜率求直线 l 的倾斜角．



【解答】解：（ 1）∵点C 在线段 OB 上，且∠ACB=




，∴∠ACO=

，故 AC 的

倾斜角为



，

得 b=2 ，即点 C（0，2），

×4×2=4 ．

故 AC 的斜率为﹣1，设点 C（0，b），由﹣1=



BC=4 ，点 A 到 BC 的距离为 2，故△ABC 的面积为



（ 2）设 D（ m，n），点 P（c，d），AB 的方程 + =1，即






3x+y ﹣6=0 ，

由






得 m=

， n= ，故 D（ ，

），

=（




﹣c， ﹣d），

=（﹣ ，

，


），

由题意知， =2

∴ ﹣c=﹣ ， ﹣d=

故 P（




，解得 c= ，d=﹣ ，


，﹣ ），把 P（

，﹣ ）代入直线 l：ax+10y+84 ﹣108

=0 ，






得 a? +10 ?+84 ﹣108 =0，即得 a=10 ．
∴直线l 的斜率为=﹣ ，故直线 l 的倾斜角为 120 °．
【点评】本题考查直线的倾斜角的定义， 倾斜角与斜率的关系； 点关于直线的对



称点的坐标求法，两个向量相等时向量坐标间的关系．


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