高中数学数列公式视频教学视频教学设计-高中数学必修二一二单元测试题
4
x
1. 设
f
?
x
?
?
x
,求和
4?2
?
1
?
f
??
?
2007
??
?
2
?
f
??
?
?
?
2007
??
?
2006
?
f
??<
br>.
2007
??
2.在一个有限的实数列中,任意7个连续项之和都是负数,
而
任意连续11项之和都是正数,试问这样的数列最多有多少项?证明
你的结论.
3
.已知
f(x)?x
2
?px?q
,求证
f(1),f(2),f(
3)
中至少有一个不小
于.
4.已知
ab?0
,解函数方程
af(x)?bf(?x)?c(1?x)
.
5.设
f
?
x?
?ax
2
?bx?c
,
a,b,c
为实数,如果对于
所有适合
?1?x?1
的
x
值,都有
?1?f
?
x
?
?1
成立,则对这些
x
的值有
?4?2ax?b?4.
6.证明
n
3
?n
2
?n?1
对任何正整
数
n
都是整数,并且用3除时
余2.
???
??
7.已知
a, b
为非零的不共线向量,设条件M:b?a?b
;条件N:
3
2
1
2
1
2
??
????
对一切
x?R
不等式
a?xb?a?b
恒成立
.则M成立是N成立的什么条
件?证明你的结论.
8.设多项式
f
?
x
?
?a
0
x
n
?a
1
x
n?
1
?
?
?a
n?1
x?a
n
的系数都是整数,并<
br>且有一个奇数
?
及一个偶数
?
使得
f
?
?<
br>?
及
f
?
?
?
都是奇数,求证方程
f
?
x
?
?0
没有整数根.
9.设
P(x)?a
k
x
k
?a
k?1
x
k?1
??a
1<
br>x?a
0
,式中各系数
a
j
(j?0,1,?,k)
都是
整数.今设有4个不同的整数
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
使
p(x
i
)(i?1,2,3,4)
都
等于2.试
证明对于任何整数
x,p(x)
必不等于1,3,5,7,9
中的任何一个.
10.已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?a
2
?1,a
n?2
?a
n?1
?
a
n
,求数列的通项.
11.用任意的方式,给平面上的每一个点染上黑色或白色.求证:
一定存在一个边长为1或
3
的正三角形,它的三个顶点是同色的.
12.已
知凸四边形
ABCD
,求证这个凸四边形一定可以被
AB,BC,CD,DA
为直径的半圆共同覆盖.
13.在
?ABC
中,设
AB?AC
,过
A
作
?ABC
的外接圆的切线
l
,又
F
.
以
A
为圆心,
AC
为半径作圆分别交线段
AB
于
D
,交直线
l
于
E
、证
明:
DE、DF
通过
?ABC
内心和一个旁心.
14.设
H
是锐角△
ABC
的垂心,由
A
向以
BC
为直径的圆作切线
AP,AQ
,切点分别为
P,Q
.求证:
P,H,Q
三点共线..
15.在
等边
?ABC
所在的平面上找这样的一点
P
,使
?PAB,?PBC
,?PAC
都是等腰三角形,那么具有这样性质的点有几个.
16.过圆外一点
P<
br>作圆的两条切线和一条割线,切点为
A
、
B
.所
作割线交圆于
C
、
D
两点,
C
在
P
、
D
之间.在弦
CD
上取一点
Q
,使
?DAQ??PBC
.求
证:
?DBQ??PAC
.
17.将平面上每一个点都以红、蓝两色之一着色,证明
,存在这
样的两个相似三角形,它们的相似比为2007,并且每一个三角形的
三个顶点同色.
18.在坐标平面上顶点坐标均为整数的点叫做整点多边形,求证,
整点凸五边形内必有整点.
19.如图,菱形
ABCD
的内切圆
O
与各边
分别切于E,F,G,H
,在弧
EF
与弧
GH
上分别
作⊙O的切
线交
AB
于
M,
交
BC
于
N
,交
CD
于
P
,交
DA
于
Q
.求证
MQNP.
20.平面上有6个点,任何3点都是一个不等边三角
形的顶点,
则这些三角形中有一个的最短边又是另一个三角形的最长边.
21.在正方体的8
个顶点处分别放上8个不同的正整数,如果他
们的和等于55,那么必定能找到一个侧面正方形,其相对
顶点所放
的数都是奇数.
22.设
d
是异于2,5,13的任一整数.
求证在集合
?
2,5,13,d
?
中
可以找到两个不同元素
a,b
,使得
ab?1
不是完全平方数.
23.设有
2n?1?
n?1
?
个茶杯,开始时,杯口都朝上,现把茶杯随意
翻转,规定每次
翻转偶数只(翻动过的还可以再翻动),证明,无论
翻动多少次,都不可能使杯口都朝下.
2
4.有100盏电灯,排成一横行,从左到右,我们给电灯编上号
码1,2,?,99,100.每盏灯
由一个拉线开关控制着.最初,电灯
全是关着的.另外有100个学生,第一个学生走过来,把凡是号码
为
1的倍数的电灯的开关拉了一下;接着第2个学生走过来,把凡是号
码为2的倍数的电灯的开
关拉了一下;第3个学生走过来,把凡是号
码为3的倍数的电灯的开关拉了一下,如此等等,最后那个学
生走过
来,把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下,这样过去之后,问
哪些灯是亮的?
25.证明对任意正整数
n
,分数
21n?4
不可约.
1
4n?3
26.记
a
1
,a
2
,?,a
24
?
的前24位数字为
?
?3.979323846264
,
为该2
4个数字的任一排列,求证
?
a
1
?a
2
??
a<
br>3
?a
4
?
?
?
a
23
?a
24
?
必为偶数.
27.用
?
?
n
?
表示
n
的约数个数,请对
?
?
1
?
?
?<
br>?
2
?
???
?
?
2007
?
的奇
偶
性作出证明.
28设
p
与
q
为正整数,满足
被1979整除.
29.用两种颜色给数轴染色,每一个点上只染一种颜色.求证,
存在同色两点,它们的距离为1或为2
.
30.有
n
个同学围坐在圆周上
?
n?4
?
,
若每个学生的两旁都是一
男一女,求证
n
是4的倍数.
31.如果从数1,
2,
?,
14中按由小到大的顺序取出
a
1
,
a
2
,
a
3
,
使同时满足
a
2
?a
1
≥3,
a
3
?a
2
≥3,那么,所有符合上述要求的不同
取
法有多少种?
32.证明:在任意6个人中,总可以找到3个人互相认识,或互
相
不认识,并且这种情况至少出现两个.
33.在一次乒乓球循环赛中,
n
名选手中没
有全胜的,证明,一
定可以从中找到3名选手
A,B,C
,使得
A
胜
B
,
B
胜
C
,
C
胜
A
.
34.甲乙两队各出7名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂
台赛,双方先由1号队员比赛
,负者被淘汰,胜者再与负方2号队员
比赛,依次类推,直到有一方队员全被淘汰为止,另一方获胜利,
形
成一种比赛过程,那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少?
35.设有
2n?
2n
的正方形方格棋盘,在其中任意的
3n
个方格中放
一枚棋子,求证,可以
选出
n
行
n
列,使得
3n
枚棋子都在这
n
行和
n
列
中.
36.凸
n
边形(
n?4
)玫瑰园的
n
个顶点各栽有1棵红玫瑰,每
p1111
求证
p
可
?1??????
q2313181319
两棵红玫瑰之间都有一条直小路相通,这些直小路没有出现“三线共
点”的情况——它们把花园
分割成许多不重叠的区域(三角形、四边
形,?),每块区域都栽有一棵白玫瑰或黑玫瑰.
⑴
求出玫瑰园里玫瑰总棵数
f(n)
的表达式.
⑵
花园里能否恰有99棵玫瑰?说明理由.
37.李明夫妇最近参加了一次集会,同时出席的还有三对夫
妻.一
见面,大家互相握手,当然夫妻之间不握手,也没有人与同一个人握
两次手.握手完毕后
,李明统计了包括妻子在内的7个人握手的次数,
发现恰好数字互不相同.请问,李明的妻子握了几次手
?
38.设
n
是正整数,我们说集合
?
1,2,?,2n
?
的一个排列
?
x
1
,x
2
,?,x
2n
?
具有性质
p
,是指在
?
1,2,?,2n?1
?
当中至少有一个
i
,使得
|x
i
?x
i?1
|?n
,
求证对于任何
n
,具有性质
p
的排列比不具有性
质
p
的排列的个数多.
39.运动会连续开了
n
天(
n
?1
),一共发了
m
枚奖章.第一天发
1枚以及剩下
m?1
枚的,第二天发2枚以及发后剩下的 ,以后每
天均按此规律发奖章.在最后一天即第
n
天发了剩下的
n
枚奖章,问
运动会开了多少天,一共发了多少枚奖章?
4
0.有17位科学家,每一个和其他人都通信,在他们的书信中
一共讨论3个题目,而每两个科学家仅仅
讨论一个题目,证明,至少
有3个科学家,他们互相讨论同一题目.
1
7
1
7
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