人教版高中数学必修5测试题及答案全套

(C){
x
|
x
＞2，或
x
＜－2
}
(D){
x
|
x
≥2，或
x
≤－2
}
< br>2．某村办服装厂生产某种风衣，月销售量
x
(件)与售价
p
(元件) 的关系为
p
＝300－2
x
，生产
x
件的成
本r
＝500＋30
x
(元)，为使月获利不少于8600元，则月产量
x
满足( )
(A)55≤
x
≤60
(C)65≤
x
≤70


(B)60≤
x
≤65
(D)70≤
x
≤75
3．国家为了加强对烟酒生产管理，实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元，不征收附加税时，每
年大约产销100万瓶；若政府征收附加税，每销售100元征税
r
元，则每年产销量减少10
r
万瓶，
要使每年在此项经营中所收附加税不少于112万元，那么
r
的取值范围为( )
(A)2≤
r
≤10
(C)2≤
r
≤8


(B)8≤
r
≤10
(D)0≤
r
≤8
4．若 关于
x
的不等式(1＋
k
2
)
x
≤
k4
＋4的解集是
M
，则对任意实常数
k
，总有( )
(A)2∈
M
，0∈
M
(C)2∈
M
，0
?
M

二、填空题
5．已知矩形的周长为36cm，则其面积的最大值为________.
6．不等式2x
2
＋
ax
＋2＞0的解集是R，则实数
a
的取值范围 是________.
7．已知函数
f
(
x
)＝
x
|
x
－2|，则不等式
f
(
x
)＜3的解集为_____ ___.
8．若不等式|
x
＋1|≥
kx
对任意
x
∈R均成立，则
k
的取值范围是________.
三、解答题
9．若直角三角形的周长为2，求它的面积的最大值，并判断此时三角形形状.

1 0．汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹
车距离”.刹车距离是分析事故的一个主要因素，在一个限速为40kmh的弯道上，甲乙两车相向
而行 ，发现情况不对同时刹车，但还是相撞了，事后现场测得甲车刹车的距离略超过12m，乙车的


(B)2
?
M
，0
?
M

(D)2
?
M
，0∈
M

22

刹车距离略超过10m.已知甲乙两种车型的刹车距离
s
(km)与车速x
(kmh)之间分别有如下关系：
s
甲
＝0.1
x
＋ 0.01
x
2
，
s
乙
＝0.05
x
＋0. 005
x
2
．问交通事故的主要责任方是谁？

Ⅲ 拓展训练题
11．当
x
∈[－1，3]时，不等式－
x
2
＋2
x
＋
a
＞0恒成立，求实数
a
的取值范围.



12．某大学印一份招生广告，所用纸张(矩形)的左右两边留有宽为4cm的空白，上下留 有都为6cm的
空白，中间排版面积为2400cm
2
.如何选择纸张的尺寸，才能使 纸的用量最小？



测试十三 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
Ⅰ 学习目标
1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.
2．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.
Ⅱ 基础训练题
一、选择题
1．已知点
A
(2，0)，
B
(－1，3)及 直线
l
：
x
－2
y
＝0，那么( )
(A)
A
，
B
都在
l
上方
(C)
A
在
l
上方，
B
在
l
下方
(B)
A
，
B
都在
l
下方
(D)
A
在
l
下方，
B
在
l
上方
?
x?0,
?
2．在平面直角坐标系中，不等式组
?
y?0 ,
所表示的平面区域的面积为( )
?
x?y?2
?
23

(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
3．三条直线
y
＝
x
，
y
＝－
x
，
y
＝2围成 一个三角形区域，表示该区域的不等式组是( )
?
y?x,
?
(A)
?
y??x,

?< br>y?2.
?
?
y?x,
?
(B)
?
y??x ,

?
y?2.
?
?
y?x,
?
(C)< br>?
y??x,

?
y?2.
?
?
y?x,< br>?
(D)
?
y??x,

?
y?2.
??
x?y?5?0,
?
4．若
x
，
y
满足约束 条件
?
x?y?0,
则
z
＝2
x
＋4
y< br>的最小值是( )
?
x?3,
?
(A)－6 (B)－10 (C)5 (D)10
5．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元，70元 的单片软件和盒装磁盘.根据
需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( )
(A)5种
二、填空题
6．在平面直角坐标系中，不等式组
?
?
x?0
所表示的平面区域内的点位于第________象限.
y?0
?
(B)6种 (C)7种 (D)8种
7．若不等式|2
x
＋
y
＋
m
|＜3表示的平面区域包含原点和点(－1，1)，则< br>m
的取值范围是________.
?
x?1,
?
8．已知 点
P
(
x
，
y
)的坐标满足条件
?
y?3 ,
那么
z
＝
x
－
y
的取值范围是________ .
?
3x?y?3?0,
?
?
x?1,
y
?9．已知点
P
(
x
，
y
)的坐标满足条件
?< br>y?2,
那么的取值范围是________.
x
?
2x?y?2? 0,
?
10．方程|
x
|＋|
y
|≤1所确定的曲线围成封 闭图形的面积是________.
三、解答题
11．画出下列不等式(组)表示的平面区域：
?
x?1,
?
(1)3
x
＋2
y
＋6＞0 (2)
?
y??2,

?
x?y?1?0.
?


24

12．某实验室需购某种化工原料10 6kg，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35kg，价格为140
元；另一种是每袋24kg ，价格为120元.在满足需要的前提下，最少需要花费多少元？



Ⅲ 拓展训练题
13．商店现有75公斤奶糖和120公斤硬糖，准备混合在一起装成每袋1公斤出售，有 两种混合办法：
第一种每袋装250克奶糖和750克硬糖，每袋可盈利0.5元；第二种每袋装500 克奶糖和500克
硬糖，每袋可盈利0.9元.问每一种应装多少袋，使所获利润最大？最大利润是多少 ？

14．甲、乙两个粮库要向
A
，
B
两镇运送大米，已 知甲库可调出100吨，乙库可调出80吨，而
A
镇需
大米70吨，
B
镇需大米110吨，两个粮库到两镇的路程和运费如下表：

路程(千米)

甲库 乙库
15
20
甲库
12
10
乙库
12
8
运费(元吨·千米)
A
镇
B
镇
20
25
问：(1)这两个粮库各运往
A
、
B
两镇多少吨大米，才能使总运费最省？此时总运费是多少？
(2)最不合理的调运方案是什么？它给国家造成不该有的损失是多少？


测试十四 不等式全章综合练习
Ⅰ基础训练题
25

一、选择题
1．设
a
，
b
，
c< br>∈R，
a
＞
b
，则下列不等式中一定正确的是( )
(A)
ac
2
＞
bc
2
(B)
?

1
a
1
b
(C)
a
－
c
＞
b
－
c
(D)|
a
|＞|
b
|
?
x?y?4?0,
?< br>2．在平面直角坐标系中，不等式组
?
2x?y?4?0,
表示的平面区域的面 积是( )
?
y?2
?
(A)
3
2
(B)3 (C)4 (D)6
3．某房地产公司要在一块圆形的土地 上，设计一个矩形的停车场.若圆的半径为10m，则这个矩形的面
积最大值是( )
(A)50m
2
(B)100m
2
(C)200m
2
(D)250m
2

x
2
?x ?2
4．设函数
f
(
x
)＝，若对
x
＞0恒有xf
(
x
)＋
a
＞0成立，则实数
a
的取值范 围是( )
2
x
(A)
a
＜1－2
2
(B)
a
＜2
2
－1 (C)
a
＞2
2
－1 (D)
a
＞1－2
2

5．设
a
，
b∈R，且
b
(
a
＋
b
＋1)＜0，
b
(
a
＋
b
－1)＜0，则( )
(A)
a
＞1
二、填空题
a
6．已知1＜
a< br>＜3，2＜
b
＜4，那么2
a
－
b
的取值范围是__ ______，的取值范围是________.
b
(B)
a
＜－1 (C)－1＜
a
＜1 (D)|
a
|＞1
7．若不等式
x
2
－
ax
－
b
＜0的解集为{
x
|2＜< br>x
＜3}，则
a
＋
b
＝________.
8．已 知
x
，
y
∈R
＋
，且
x
＋4
y< br>＝1，则
xy
的最大值为________.
9．若函数
f
(
x
)＝
2
x
2
?2ax??a
?
1的定义域为R，则
a
的取值范围为________.
10．三个同学对问题“ 关于
x
的不等式
x
2
＋25＋|
x
3
－5
x
2
|≥
ax
在[1，12]上恒成立，求实数
a
的取值范
围”提出各自的解题思路.
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值.”
乙说：“把不等式变形为左边含变量
x
的函数，右边仅含常数，求函数的最值.”
丙说：“把不等式两边看成关于
x
的函数，作出函数图象.”
参考上述解题 思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即
a
的取值范围是________.
26

三、解答题
11．已知全集
U
＝R，集合
A
＝{
x
| |x
－1|＜6
}
，
B
＝{
x
|
(1) 求
A
∩
B
；
(2)求(
U
A
)∪
B
.



12．某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可 得产
品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克.今预算 每日原
料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多 少千
克，才能使产品的日产量最大？



Ⅱ 拓展训练题 < br>13．已知数集
A
＝{
a
1
，
a
2
，…，
a
n
}(1≤
a
1
＜
a
2
＜…＜
a
n
，
n
≥2)具有性质
P
：对任意的i
，
j
(1≤
i
≤
j
≤
n
) ，
x?8
＞0}.
2x?1
a
i
a
j
与
a
j
a
i
两数中至少有一个属于
A
.
( 1)分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质
P
，并说明理由；
(2)证明：
a
1
＝1，且



a1
?a
2
?
?
?a
n
?1
?
?
?a
?1
?a
n
.
a
1
?1
?a
2n
27

测试十五 必修5模块自我检测题
一、选择题
1．函数
y?x
2
?
4
的定义域是( )
(A)(－2，2)
(C)[－2，2]


(B)(－∞，－2)∪(2，＋∞)
(D)(－∞，－2]∪[2，＋∞)
2．设
a
＞
b
＞0，则下列不等式中一定成立的是( )
(A)
a
－
b
＜0
(C)
ab
＜
a?b

2


(B)0＜＜1
(D)
ab
＞
a
＋
b

a
b
?
x?1,
?
3．设不等式组
?
y? 0,
所表示的平面区域是
W
，则下列各点中，在区域
W
内的点是( )
?
x?y?0
?
(A)
(,
)

(C)
(?,?
)

1
2
1
3
11
23


(B)
(?,)

(D)
(,?)

1
2
1
3
11
23
4．设等比数列{
a
n
}的 前
n
项和为
S
n
，则下列不等式中一定成立的是( )
(A)
a
1
＋
a
3
＞0 (B)
a
1
a
3
＞0 (C)
S
1
＋
S
3
＜0 (D)
S
1
S
3
＜0
5．在△
ABC
中 ，三个内角
A
，
B
，
C
的对边分别为
a
，
b
，
c
，若
A
∶
B
∶
C
＝1∶2∶3，则
a
∶
b
∶
c
等于( )
(A)1∶
3
∶2 (B)1∶2∶3 (C)2∶
3
∶1 (D)3∶2∶1
6．已知等差数列{
a
n
}的前20项和
S20
＝340，则
a
6
＋
a
9
＋
a< br>11
＋
a
16
等于( )
(A)31 (B)34 (C)68 (D)70
7．已知正数
x
、
y
满足
x＋
y
＝4，则log
2
x
＋log
2
y
的最大值是( )
(A)－4 (B)4 (C)－2 (D)2
8．如图，在限 速为90kmh的公路
AB
旁有一测速站
P
，已知点
P
距测 速区起点
A
的距离为0.08 km，
距测速区终点
B
的距离为0.05 km，且∠
APB
＝60 °.现测得某辆汽车从
A
点行驶到
B
点所用的时间
为3s，则此车的 速度介于( )
28

(A)60～70kmh
(C)80～90kmh
二、填空题
9．不等式
x
(
x
－1)＜2的解集为________.
10．在△
ABC
中，三个内角
A
，
B
，
C成等差数列，则cos(
A
＋
C
)的值为________.
11．已知{
a
n
}是公差为－2的等差数列，其前5项的和
S
5< br>＝0，那么
a
1
等于________.
12．在△
ABC
中，
BC
＝1，角
C
＝120°，cos
A
＝2
，则
AB
＝________.
3


(B)70～80kmh
(D)90～100kmh
?
x?0,y?0< br>?
13．在平面直角坐标系中，不等式组
?
2x?y?4?0
，所表示 的平面区域的面积是________；变量
?
x?y?3?0
?
z
＝
x
＋
3
y
的最大值是________.
14．如图，
n
2
(
n
≥4)个正数排成
n
行
n
列方阵，符号
a
ij
(1≤
i
≤
n
，1≤
j
≤
n
，
i
，
j
∈N)表示位于第
i< br>行第
j
列的正数.已知每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且各列数的公比 都等于
q
.若
a
11
＝
11
，
a
24
＝1，
a
32
＝，则
q
＝________；
a
ij
＝________.
24

三、解答题
15． 已知函数
f
(
x
)＝
x
2
＋
ax
＋6.
(1)当
a
＝5时，解不等式
f
(
x
)＜0； < br>(2)若不等式
f
(
x
)＞0的解集为R，求实数
a
的取值范围.

16．已知{
a
n
}是等差数列，
a2
＝5，
a
5
＝14.
29

(1)求{
a
n
}的通项公式；
(2)设{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝155，求
n
的值.

17．在△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是角
A
，
B
，
C
的对边 ，
A
，
B
是锐角，
c
＝10，且
(1)证明角C
＝90°；
(2)求△
ABC
的面积.

18． 某厂生产甲、乙两种产品，生产这两种产品每吨所需要的煤、电以及每吨产品的产值如下表所示.
若每天 配给该厂的煤至多56吨，供电至多45千瓦，问该厂如何安排生产，使得该厂日产值最大？

甲种产品
乙种产品

19．在△
ABC
中，
a
，
b
，
c
分别是角
A
，
B
，C
的对边，且cos
A
＝.
(1)求
sin
2
B?C
?cos2
A
的值；
2
1
3
cosAb4
??
.
cosBa3
用煤(吨)
7
3
用电(千瓦)
2
5
产值(万元)
8
11
(2)若
a
＝
3
，求
bc
的最大值.

20．数列{
a
n
}的前
n
项和是
S
n< br>，
a
1
＝5，且
a
n
＝
S
n
－1
(
n
＝2，3，4，…).
(1)求数列{
a
n
}的通项公式；
(2)求证：

11113
???
?
???

a
1
a2
a
3
a
n
5
30

31

参考答案
第一章 解三角形
测试一 正弦定理和余弦定理
一、选择题
1．B 2．C 3．B 4．D 5．B
提示：
4．由正弦定理，得sin
C
＝
3
2
，所以
C
＝60°或
C
＝120°，
当
C
＝60°时，∵
B
＝30°，∴
A
＝90°，△
ABC
是直角三角形；
当
C
＝120°时，∵
B
＝30°，∴< br>A
＝30°，△
ABC
是等腰三角形.
5．因为
A
∶
B
∶
C
＝1∶2∶3，所以
A
＝30°，
B＝60°，
C
＝90°，
由正弦定理
abc
sinA
?
sinB
?
sinC
＝
k
，
得
a＝
k
·sin30°＝
1
k
，
b
＝
k
·sin60°＝
3
2
2
k
，
c
＝
k
·sin90°＝
k
，
所以
a
∶
b
∶
c
＝1∶
3
∶2.
二、填空题
6．
26
3
7．30° 8．等腰三角形 9．
3?37
5
2
10．
2
4

提示：
8．∵
A
＋
B＋
C
＝π，∴－cos
A
＝cos(
B
＋
C< br>).∴2cos
B
cos
C
＝1－cos
A
＝cos (
B
＋
C
)＋1，
∴2cos
B
cos
C
＝cos
B
cos
C
－sin
B
sin
C
＋1，∴cos(
B
－
C
)＝1，∴
B
－
C
＝0，即
B
＝
C
.
9．利用余弦定理
b
2
＝
a
2
＋
c
2
－2
ac
co s
B
.
10．由tan
A
＝2，得
sinA?
2
ACBC
5
5
，根据正弦定理，得
sinB
?
si nA
，得
AC
＝
2
4
.
三、解答题
1 1．
c
＝2
3
，
A
＝30°，
B
＝90° .
12．(1)60°；(2)
AD
＝
7
.
13．如右图，由两点间距离公式，

32

得
OA
＝
(5
?
0)
2
?
(2< br>?
0)
2
?
29
，
同理得
OB?145,AB?232
.由余弦定理，得
cos
A< br>＝
OA
2
?AB
2
?OB
2
2
2? OA?AB
?
2
，
∴
A
＝45°.
14．(1 )因为2cos(
A
＋
B
)＝1，所以
A
＋
B＝60°，故
C
＝120°.
(2)由题意，得
a
＋
b
＝2
3
，
ab
＝2，
又
AB
2
＝
c
2
＝
a
2
＋
b
2
－2ab
cos
C
＝(
a
＋
b
)
2
－2
ab
－2
ab
cos
C

＝12－4－4×(
?
1
2
)＝10.
所以
AB
＝
10
.
(3)
S
△
ABC
＝
1
ab
sin
C
＝
1
33
22
·2·
2
＝
2
.
测试二 解三角形全章综合练习
1．B 2．C 3．D 4．C 5．B
提示：
5．化简(
a
＋
b
＋
c
)(b
＋
c
－
a
)＝3
bc
，得
b
2
＋
c
2
－
a
2
＝
bc
， < br>由余弦定理，得cos
A
＝
b
2
?c
2
?a
2
1
2bc
?
2
，所以∠
A
＝60°.
因为sin
A
＝2sin
B
cos
C
，
A
＋
B
＋
C
＝180°，
所以sin(
B
＋
C
)＝2sin
B
cos
C
，
即sin
B
cos
C
＋cos
B
sin
C
＝2sinB
cos
C
.
所以sin(
B
－
C
)＝0，故
B
＝
C
.
故△
ABC
是正三角形.
二、填空题

33

6．30° 7．120° 8．
24
5
9．
5
5
10．
3

三、解答题
11．(1)由余弦定理，得
c
＝
13
；
(2)由正弦定理，得sin
B
＝
239
13
.
12．(1)由
a
·
b
＝|
a
|·|
b
| ·cos〈
a
，
b
〉，得〈
a
，
b
〉＝6 0°；
(2)由向量减法几何意义，
知|
a
|，|
b
| ，|
a
－
b
|可以组成三角形，
所以|
a
－b
|
2
＝|
a
|
2
＋|
b
|
2
－2|
a
|·|
b
|·cos〈
a
，< br>b
〉＝7，
故|
a
－
b
|＝
7
.
13．(1)如右图，由两点间距离公式，
得
OA?
(5
?
0)
2
?
(2
?
0)
2
?
29
，
同理得
OB?145,AB?232
.
由余弦定理，得
co sA?
OA
2
?AB
2
?OB
2
2
2?O A?AB
?
2
,

所以
A
＝45°.
故
BD
＝
AB
×sin
A
＝2
29
. (2)
S
△
OAB
＝
1
2
·
OA·
BD
＝
1
2
·
29
·2
29
＝29.
14．由正弦定理
a
sinA
?
b
sinB< br>?
c
sinC
?2
R
，
得
a
2R
?sinA,
b
2R
?sinB,
c
2R
?sin
C
.
因为sin
2
A
＋sin
2
B＞sin
2
C
，
所以
(
a
2R
)< br>2
?(
b
2R
)
2
?(
c
2R)
2
，

34

即
a2
＋
b
2
＞
c
2
.
所以cosC
＝
a
2
?b
2
?c
2
2ab
＞0，
由
C
∈(0，π)，得角
C
为锐角.
15．( 1)设
t
小时后甲、乙分别到达
P
、
Q
点，如图，

则|
AP
|＝4
t
，|
BQ
|＝4t
，因为|
OA
|＝3，所以
t
＝
?
4
h
时，
P
与
O
重合.
故当
t
∈[0，
?
4
]时，
|
PQ|
2
＝(3－4
t
)
2
＋(1＋4
t
)
2
－2×(3－4
t
)×(1＋4
t
)×cos60°；
当
t
＞
?
4
h
时，|
PQ
|2
＝(4
t
－3)
2
＋(1＋4
t
)
2
－2×(4
t
－3)×(1＋4
t
)×cos120°.
故得|
PQ
|＝
48
t
2
?
24
t?< br>7
(
t
≥0).
(2)当
t
＝
?
?24
2?48
?
1
4
h
时，两人距离最近，最近距离为2 km.
16．(1)由正弦定理
a
sinA
?
b
sinB
?
c
sinC
?2
R
，
得
a
＝ 2
R
sin
A
，
b
＝2
R
sin
B
，
c
＝2
R
sin
C
.
所以等式cosBbcosB2R
cosC
??
2a?c
可化为
cosC
??
sinB
2?2RsinA?2RsinC
，
即
cosBsinB
cosC
??
2sinA?sinC
，
2sin
A
cos
B
＋sin
C
cos
B
＝－cos
C
·sin
B
，
故2sin
A
cos
B
＝－cos
C
sin
B
－sin
Ccos
B
＝－sin(
B
＋
C
)，
因为A
＋
B
＋
C
＝π，所以sin
A
＝sin(< br>B
＋
C
)，
故cos
B
＝－
1
2
，
所以
B
＝120°.
(2)由余弦定理，得
b
2
＝13＝
a
2
＋
c
2
－2
ac
×cos1 20°，
即
a
2
＋
c
2
＋
ac
＝13
又
a
＋
c
＝4，

35

解得
?
?
a?1
?
a?3
，或
?
. < br>c?3
c?1
?
?
11
3
33
所以
S
△
ABC
＝
ac
sin
B
＝×1×3×＝.
24
22
第二章 数列
测试三 数列
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．C 5．B
二、填空题
6．(1)
a?
2
1?(?1)
n
n
n?1
(或其 他符合要求的答案) (2)
a
n
?
2
(或其他符合要求的答案)
7．(1)< br>1
2
,
4
5
,
9
10
,
1 6
17
,
25
26
(2)7 8．67 9．
1
15
10．4
提示：
9．注意
a
n
的分母是1＋2＋3＋4＋5＝15.
10．将数列 {
a
n
}的通项
a
n
看成函数
f
(
n
)＝2
n
2
－15
n
＋3，利用二次函数图象可得答案 .
三、解答题
11．(1)数列{
a
n
}的前6项依次是11，8，5，2，－1，－4；
(2)证明：∵
n
≥5，∴－3
n
＜－15，∴14－3
n
＜－1，
故当
n
≥5时，
a
n
＝14－3
n
＜0.
12．(1)
a
109
10
?
3
,a
n< br>2
?3n?1n
4
?n
2
?1
n?1
?3
,a
n
2
?
3
；
(2)79
2
3
是该数列的第15项.
13．(1)因为
a
n
＝
n
－
1
n
，所以
a
1＝0，
a
2
＝
3815
2
，
a
3＝
3
，
a
4
＝
4
；
(2)因为a
n
＋1
－
a
n
＝[(
n
＋1)?
1
n?1
]－(
n
－
1
n
)＝1＋
1
n(n?1)

又因为
n
∈N
＋
，所以
a
n
＋1
－
a
n
＞0，即
a
n< br>＋1
＞
a
n
.
所以数列{
a
n
}是递增数列.

36

测试四 等差数列
一、选择题
1．B 2．D 3．A 4．B 5．B
二、填空题
6．
a
4
7．13 8．6 9．6
n
－1 10．35
提示：
10．方法一：求出前10项，再求和即可；
方法二：当
n
为奇数时，由题 意，得
a
n
＋2
－
a
n
＝0，所以
a1
＝
a
3
＝
a
5
＝…＝
a
2
m
－1
＝1(
m
∈N
*
).
当
n
为偶数时，由题意，得
a
n
＋2
－
a
n
＝2，
即
a
4
－
a
2
＝
a
6< br>－
a
4
＝…＝
a
2
m
＋2
－
a
2
m
＝2(
m
∈N
*
).
所以数列{
a
2
m
}是等差数列.
故
S
10
＝5
a
1
＋5
a
2
＋
5?(5?1)
2
×2＝35.
三、解答题
11．设等差数列{
a
n
}的公差是
d
，依题意得
?
?
a
1
?2d?7,
?
?
a
1
?3,
?
?
4a
4?3
解得
?
1
?2
d?24.
?
d?2.

∴数列{
a
n}的通项公式为
a
n
＝
a
1
＋(
n
－ 1)
d
＝2
n
＋1.
12．(1)设等差数列{
a
n
}的公差是
d
，依题意得
?
?
a
1
?9d?30,
?
a
1
?12,
?
a
1
?19d?50.
解得
?
?
d?2.

∴数列{
a
n
}的通项公式为
a
n< br>＝
a
1
＋(
n
－1)
d
＝2
n＋10.
(2)数列{
a
n
}的前
n
项和
S
n
＝
n
×12＋
n?(n?1)
2
×2＝
n
2
＋11
n
，
∴
S
n
＝
n< br>2
＋11
n
＝242，解得
n
＝11，或
n
＝－22(舍).
13．(1)通项
a
n
＝
a
1
＋(
n
－1)
d
＝50＋(
n
－1)×(－0.6)＝－0 .6
n
＋50.6.
解不等式－0.6
n
＋50.6＜0，得
n
＞84.3.

37

因为
n
∈N
*
，所以从第85项开始
a
n
＜0.
(2)
S
n
＝
na
1
＋
n(n?1)
n
2
d
＝50
n
＋(n?1)
2
×(－0.6)＝－0.3
n
2
＋50.3
n
.
由(1)知：数列{
a
n
}的前84项为正值，从第85项起为负值， 所以(
S
n
)
max
＝
S
84
＝－0 .3×84
2
＋50.3×84＝2108.4.
14．∵3
a
n
＋1
＝3
a
n
＋2，∴
a
n
＋1
－
a
n
＝
2
3
，
由等差数列定义知：数列{a
n
}是公差为
2
3
的等差数列.
记
a1
＋
a
3
＋
a
5
＋…＋
a
9 9
＝
A
，
a
2
＋
a
4
＋
a
6
＋…＋
a
100
＝
B
，
则
B
＝(
a
1
＋
d
)＋(
a
3
＋< br>d
)＋(
a
5
＋
d
)＋…＋(
a
9 9
＋
d
)＝
A
＋50
d
＝90＋
100< br>3
.
所以
S
100
＝
A
＋
B＝90＋90＋
100
3
＝213
1
3
.
测试五 等比数列
一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．B 5．D
提示：
5．当
a
1
＝0时，数列{
a
n
}是等差数列；当
a
1
≠0时，数列{
a
n
}是等比数列；
当
a
1
＞0时，数列{
a
n}是递增数列；当
a
1
＜0时，数列{
a
n
}是递减数 列.
二、填空题
6．－3 7．12 8．279 9．216 10．－2
提示：
10．分
q
＝1与
q
≠1讨论. < br>当
q
＝1时，
S
n
＝
na
1
，又∵ 2
S
n
＝
S
n
＋1
＋
S
n
＋2
，
∴2
na
1
＝(
n
＋1)
a< br>1
＋(
n
＋2)
a
1
，
∴
a
1
＝0(舍).
当
q
≠1，
Sn
＝
a
1
(1?q
n
)
1?q
.又∵ 2
S
n
＝
S
n
＋1
＋
S
n
＋2
，

38

∴2×
a
1
( 1?q
n
)
1?q
＝
a
1
(1?q
n?1
)a
1
(1?q
n?2
1?q
?
)
1?q
，
解得
q
＝－2，或
q
＝1(舍).
三、解答题
11．(1)
a
n
＝2×3
n
－1
； (2)
n
＝5.
12．
q
＝±2或±
1
2
.
?
13．由 题意，得
?
a?c?2b,
?
?
(a?1)(c?4)?(b?1)
2
，解得
?
a?2
?
a?11
?
?
b?5
?
?
a?b?c?15.
?
，或
?
b?5
.
?
c?8
?
?
c??1
51
14．( 1)设第4列公差为
d
，则
d?
a
54
?a
5?2
24
?
16
?
8
3
?
1
16.
故
a
44
＝
a
54
－
d
＝
5
16
?
1
16
?
1
4
，于是
q
2
＝
a
a
44
42
?
1
4
.
由于
a
ij
＞0，所以
q
＞0，故
q
＝
1
2
.
(2)在第4列中，
a
i
4
＝
a
24
＋(
i
－2)
d
＝
1
?
1
816
(
i
?2)?
1
16
i
.
由于第
i
行成等比数列，且公比
q
＝
12
，
所以，
a
ij
＝
a
i
4
·
q
j
－4
＝
1
16
i?(
1
2
)
j?4
?i?(
1
2
)
j
.
测试六 数列求和
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．A 5．C
提示：
1．因为
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＋
a
8
＝(
a
1＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
)q
4
＝1×2
4
＝16，
所以
S
8
＝(
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
a
4
)＋(
a
5
＋
a
6
＋
a< br>7
＋
a
8
)＝1＋16＝17.
2．参考测试四第14题答案.
3．由通项公式，得
a
1
＋
a
2
＝
a
3
＋
a
4
＝
a
5
＋
a
6
＝…＝－2，所以
S
100
＝50×( －2)＝－100.
4．
1
1?3
?
1
3?5
?
?
?
1
(2n?1)(2n?1)
?
1
2
(1?
1
3
)?
1
2
(
1
3
?< br>1
5
)?
?
?
1
2
(
1
2 n?1
?
1
2n?1
)

?
111111
2
[(1?
3
)?(
3
?
5
)?
?
?(
2n?1
?
2n?1
)]?
n
2n?1
.

39

5．由题设，得
a
n
＋2
－
a
n
＝3，所以数列{
a
2
n
－1
}、 {
a
2
n
}为等差数列，
前100项中奇数项、偶数项各有50项，
其中奇数项和为50×1＋
50?49< br>2
×3＝3725，偶数项和为50×2＋
50?49
2
×3＝377 5，
所以
S
100
＝7500.
二、填空题
6．
n?1?1
7．
n(n?1)
2
?
1
1
2
n
?
1
8．
3
(4
n
－1)
?
?
1,(a?0)
9．
?
?
n?1,(a?1)
?
10．
2?
1
2
n?1
?
n
2
n

?
1?a
n?1
?
1?a
,(a?
?
0, 且a?
?
1)
提示：
6．利用
1
n?1?n
?< br>n
?1?
n
化简后再求和.
8．由
a
n
＋ 1
＝2
a
n
，得
a
a
n?1
a
2
n?1
n
?
2
，∴
a
2
＝4，
n
故数列{
a
2
n
}是等比数列，再利用等比数列求和公式求和.
10．错位相减法.
三、解答题
11．由题意，得
a
n
＋1
－
a
n
＝2，所以数列{
a
n
}是等差数列， 是递增数列.
∴
a
n
＝－11＋2(
n
－1)＝2
n
－13，
由
a
n
＝2
n
－13＞0，得n
＞
13
2
.
所以，当
n
≥7时，
a
n
＞0；当
n
≤6时，
a
n
＜0.
当
n
≤6时，
S
n
＝|
a
1
|＋|
a
2
|＋…＋|
a
n
|＝－
a
1
－
a
2
－…－
a
n

＝－[
n
×(－11 )＋
n(n?1)
2
×2]＝12
n
－
n
2
；
当
n
≥7时，
S
n
＝|
a
1
|＋|
a
2
|＋…＋|
a
n
|＝－
a
1
－
a
2
－…－
a
6
＋
a
7
＋
a
8
＋…＋
a
n

＝(
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
)－2(
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
6
)
＝
n×(－11)＋
n(n?1)
2
×2－2[6×(－11)＋
6?52
×2]＝
n
2
－12
n
＋72.

40

S
n
＝
?
?
12n?n2
,(n?6)
?
n
2
?12n?72,(n?7)
(
n
∈N
*
).
12．(1)∵
f
(1)＝
n
2
，∴
a
1
＋
a
2
＋
a3
＋…＋
a
n
＝
n
2
. ①
所以当
n
＝1时，
a
1
＝1；
当
n≥2时，
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋…＋
a
n
－1
＝(
n
－1)
2
②
①－②得，
a
n
＝
n
2
－(
n
－1)
2
＝2
n
－1.(
n
≥2)
因为
n
＝1时，
a
1
＝1符合上式.
所以
a
n
＝2
n
－1(
n
∈N
*
). (2)
111111
a
??
?
????
?
?< br>
1
a
2
a
2
a
3
a
n< br>a
n?1
1?33?5(2n?1)(2n?1)
?
1
2(1?
1
3
)?
111111
2
(
3
?
5
)?
?
?
2
(
2n?1
?
2 n?1
)

?
1
2
[(1?
1
3
)?(
1111
3
?
5
)?
?
?(
2n? 1
?
2n?1
)]

?
11n
2
(1?< br>2n?1
)?
2n?1
.
13．因为
a
1111?(1?
1
n
?1?
2
?
4
?
?< br>?
2
n?1
?
2
n
)
?2?
1(
n?
2)
.
1?
1
2
n?1
2< br>所以
S
n
?a
1
?a
2
???a
n
?1?(2?
1
)?(2?
1
2
2
2
)? ??(2?
1
2
n?1
)

?1?2(n?1)?(
111
2
?
2
2
???
2
n?1
)
1
(1?
1
?2n?1?
2
2
n?1
)
?2n?2?
1
1?
1
2
n?1
.
2
14．(1)
a
n
＝2
n
；
(2)因为
b
n
＝2
nx
n
，
所以数列 {
b
n
}的前
n
项和
S
n
＝2
x
＋4
x
2
＋…＋2
nx
n
.
当
x
＝0时，
S
n
＝0；
当
x
＝1时，
S
n
＝2＋4＋…＋2
n
＝
n(2?2n)
2
＝
n
(
n
＋1)；
当
x
≠0且
x
≠1时，
S
n
＝2
x
＋4
x
2
＋…＋2
nx
n
，
xS
n
＝2
x
2< br>＋4
x
3
＋…＋2
nx
n
＋1
；

41

两式相减得(1－
x
)
S
n
＝2
x
＋2
x
2
＋…＋2
x
n
－2
nx
n
＋1
，
x(1?x
n
)
所以 (1－
x
)
S
n
＝2－2
nx
n
＋1，
1?x
2x(1?x
n
)2nx
n?1
?
即
S
n
?
.
1?x
(1?x)
2
(x? 1)
?
n(n?1),
综上，数列{
b
n
}的前
n
项和
S
n
?
?

?
2x(1?x
n
)2nx
n?1
?,(x?1)
?
?
(1?x)
2
1?x
?
测试七 数列综合问题
一、选择题
1．B 2．A 3．B 4．A 5．B
提示：
5．列出数列{
a< br>n
}前几项，知数列{
a
n
}为：0，－
3
，
3
，0，－
3
，
3
，0….不难发现循环规律，即
a1
＝
a
4
＝
a
7
＝…＝
a
3
m
－2
＝0；
a
2
＝
a
5
＝< br>a
8
＝…＝
a
3
m
－1
＝－
3；
a
3
＝
a
6
＝
a
9
＝… ＝
a
3
m
＝
3
.
所以
a
20
＝
a
2
＝－
3
.
二、填空题
331
11
6．
;
7．85 8．512 9．
n
2
－
n
＋2 10．2[1－()
n
]
24
3
22
三、解答题
11．(1)
a
1
?,a
2
??
3
4
3 3
.
,a
3
?
1664
3
4
(2)当< br>n
＝1时，由题意得
a
1
＝5
S
1
－3，所 以
a
1
＝；
当
n
≥2时，因为
a
n＝5
S
n
－3，
所以
a
n
－1
＝5
S
n
－1
－3；
两式相减得
a
n
－a
n
－1
＝5(
S
n
－
S
n
－1
)＝5
a
n
，
即4
a
n
＝－
a
n
－1
.
由
a
1
＝
3
≠0，得
a
n
≠0.
4
42