湖北卷高中数学题

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20XX年普通高等学校招生全国统一考试·文科数学(湖北卷)
第Ⅰ卷
一、选择 题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求 的.
1.(2010湖北,文1)设集合M={1,2,4,8},N={x|x是2的倍数},则M ∩N=( )
A.{2,4} B.{1,2,4} C.{2,4,8} D.{1,2,4,8}
答案:C
2.(2010湖北,文2)函数f(x)=
3
sin(
A.
x
π
－),x∈R的最小正周期为( )
24
C.2π D.4π
π

2
B.π
答案:D
3. (2010湖北,文3)已知函数f(x)=
?
A.4 B.?
log
3
x,x?0,
x
?
2,x?0,
则 f(f(
1
))=( )
9
D.-
1

4
C.-4
1

4
答案:B
4.(2010湖北,文4)用a,b,c表示三条不同的直线,γ表示平面,给出下列命题:
①若a∥b,b∥c,则a∥c;②若a⊥b,b⊥c,则a⊥c;③若a∥γ,b∥γ,则a∥b;④若a⊥ γ,b
⊥γ,则a∥b.
其中真命题的序号是( )
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
答案:C
5.(2010湖北,文5)函数y=
1
的定义域为( )
log
0.5
(4x?3)










A.(
3
,1)
4





C.(1,+∞)
3
,+∞)
4
3
D.( ,1)∪(1,+∞)
4
B.(
答案:A
6.(2010湖北,文6)现有6名同学去听同时进 行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择
其中的一个讲座,不同选法的种数是( )

A.5
6
B.6
5
C.
5?6?5?4?3?2

2
D.6×5×4×3×2
答案:A
7.(2010湖北,文7)已知等比数列{a
n
}中,各项都是正数,且a
1
,
1
a
3
,2a< br>2
成等差数列,则
2
a
9
?a
10
=( )
a
7
?a
8

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A.1+
2

答案:C
B.1-
2
C.3+2
2
D.3-2
2

8.(2010湖北,文8)已 知△ABC和点M满足
MA
+
MB
+
MC
=0,若存在实数 m使得
AB
+
AC
=m
AM
成立,则m=( )
A.2
答案:B
B.3 C.4 D.5
9.(2010湖北,文9)若直线y=x+b与曲线y=3-
4(x?x
2
)
有公共点,则b的取值范围是
( )
A.［1-2
2
,1+2
2
］
C.［-1,1+2
2
］










B.［1-
2
,3］
D.［1-2
2
,3］
答案:D
10.(2010湖北,文10 )记实数x
1
,x
2
,…,x
n
中的最大数为max{x< br>1
,x
2
,…,x
n
},最小数为
min{x
1
,x
2
,…,x
n
}.已知△ABC的三边边长为a,b,c( a≤b≤c),定义它的倾斜度为
l
=max{
abcabc
,,}·min {,,},则“
l
=1”是“△ABC为等边三角形”的( )
bcabca










B.必要而不充分的条件
D.既不充分也不必要的条件
A.充分而不必要的条件
C.充要条件
答案:B
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.
11 .(2010湖北,文11)在(1-x
2
)
10
的展开式中，x
4
的系数为________________.
答案:45
?
y?x,< br>?
12.(2010湖北,文12)已知z=2x-y,式中变量x,y满足约束条件
?
x?y?1,
则z的最大值为
?
x?2,
?
_______ _________.
答案:5
13.(2010湖北,文13)一个病人服用某种新药后 被治愈的概率为0.9,则服用这种新药的4
个病人中至少3人被治愈的概率为___________ _____(用数字作答).
答案:0.947 7
14.(2010湖北,文14)圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球（球的< br>半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示），则球的半径是
cm.

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答案:4
x
x
2
2
15.(2010湖北,文15)已知椭圆C:+y=1的两焦点 为F
1
,F
2
,点P(x
0
,y
0
)满足 0<
0
+y
0
2
<1,
2
2
则|PF1
|+|PF
2
|的取值范围为________________,直线
________________.
答案:［2,2
2
) 0
三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
2< br>x
0
x
+y
0
y=1与椭圆C的公共点个数为
2cos
2
x?sin
2
x
11
16.(2010湖北, 文16)已知函数f(x)=,g(x)=sin2x-.
2
24
(1)函数f(x)的图象可由函数g(x)的图象经过怎样的变化得出?
(2)求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值,并求使h(x)取得最小值的x的集合.
11
π
cos2x=sin(2x+)
222
1
π
=sin2(x+).
24
解:(1)f(x )=
所以要得到f(x)的图象只需要把g(x)的图象向左平移
上平移
π
个 单位长度,再将所得的图象向
4
1
个单位长度即可.
4
(2)h(x)=f(x)-g(x)
=
111
cos2x-sin2x+
224
2
π
1
cos(2x+)+,
2
44
2
1
1?22
π
=2kπ+π(k∈Z)时,h(x)取得最小值-+=.
4
2
44
=当2x+
h(x)取得最小值时,对应的x的集合为{x|x=kπ+
3π
,k∈ Z}.
8
17.(2010湖北,文17)为了了解一个小水库中养殖的鱼的有关情况,从这 个水库中多个不
同位置捕捞出100条鱼,称得每条鱼的质量(单位:千克),并将所得数据分组,画出 频率分布直方
图(如图所示).
6
5.6
5
4
3
2
1
0.4
频率
组距

1.00 1.05 1.10 1.15 1.20 1.25 1.30
质量(kg)

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分组

［1.00,1.05）
［1.05,1.10）
［1.10,1.15）
［1.15,1.20）
［1.20,1.25）
［1.25,1.30）
频率






(1)在题中表格中填写相应的频率;
(2)估计数据落在［1.15,1.30)中的概率为多少;
(3)将上面捕捞的100条 鱼分别作一记号后再放回水库,几天后再从水库的多处不同位置
捕捞出120条鱼,其中带有记号的鱼有 6条.请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数.
解:(1)根据频率分布直方图可知,频率=组距×(频率组距),故可得下表
分组
［1.00,1.05)
［1.05,1.10)
［1.10,1.15)
［1.15,1.20)
［1.20,1.25)
［1.25,1.30)
频率
0.05
0.20
0.28
0.30
0.15
0.02
(2)0.30+0.15+0.02=0.47,所以数据落 在［1.15,1.30)中的概率约为0.47.
(3)
120?100
=2 000,所以水库中鱼的总条数约为2 000条.
6
18.(2010湖北,文18)如图 ,在四面体ABOC中,OC⊥OA,OC⊥OB,∠AOB=120°,且
OA=OB=OC=1.
C
P
O
Q
B

(1)设P为AC的中点,Q在AB上且AB=3AQ,证明:PQ⊥OA;
(2)求二面角O-AC-B的平面角的余弦值.
解法一:(1)证明:在平面OAB内作ON⊥OA交AB于N,连结CN.
A
C
P
O
Q
N
B
A

在△AOB中,∵∠AOB=120°,且OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=30°.
在Rt△AON中,
∵∠OAN=30°,∴ON=
1
AN.
2
在△ONB中,∵∠NOB=120°－90°=30°=∠OBN,
∴NB=ON=
1
AN.
2

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又AB=3AQ,∴Q为AN的中点.
在△CAN中,∵P、Q分别为AC、AN的中点,
∴PQ∥CN.
由OA⊥OC,OA⊥ON知:OA⊥平面CON.
又NC
?
平面CON,∴OA⊥CN.
由PQ∥CN,知OA⊥PQ.
(2)连结PN,PO.
C
P
O
Q
N
B
A

由OC⊥OA,OC⊥OB知:
OC⊥平面OAB.
又ON
?
平面OAB,
∴OC⊥ON.
又由ON⊥OA知:ON⊥平面AOC.
∴OP是NP在平面AOC内的射影.
在等腰Rt△COA中,P为AC的中点,
∴AC⊥OP.
根据三垂线定理,知:AC⊥NP.
∴∠OPN为二面角O－AC－B的平面角.
在等腰Rt△COA中,OC=OA=1,∴OP=
2
.
2
在Rt△AON中,ON=OAtan30°=
∴在Rt△PON中,
PN=
OP
2
?ON
2
=
3
,
3
30
,
6
2
15
PO
∴cos∠OPN==
2
=. 5
PN
30
6
解法二:(1)证明:取O为坐标原点,以OA、OC所在 的直线为x轴、z轴,建立空间直角坐
标系O—xyz(如图所示),
z
C
P
A
O
Q
x
y
B

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则A(1,0,0),C(0,0,1),B(－
∵P为AC中点,
∴P(
1
3
,,0).
2
2

113
3
,0, ).∵
AB
=(－,,0）,
222
2
11
3
AB
=(－,,0）.
6
32
1
3
,,0）.
2
6
3
1
,－).
6
2
又由已知,可得
AQ
=
又
OQ
=
OA
+
AQ
=(
∴
PQ
=
OQ
－
OP
=(0,
∴
PQ
·
OA
=(0,
3
1
,－ )·(1,0,0)=0.
6
2
故
PQ
⊥
OA
.
(2)记平面ABC的法向量n=(n
1
,n
2
,n
3),则由n⊥
CA
,n⊥
AB
,且
CA
=(1,0,－1),
?
n
1
?n
3
?0,
?< br>得
?
3

3
n
2
?0.
?
?n
1
?
2
?
2
故可取n=(1,
3
,1).
又平面OAC的法向量为e=(0,1,0),
∴cos〈n,e〉=
(1,3,1)?(0,1,0)3
=.
5?15
15
.
5
二面角O－AC－B的平面角是锐角,记为θ, 则cosθ=
19.(2010湖北,文19)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a(单位:m
2
),其中有部分
旧住房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10 %建设新住房,同时也拆除
面积为b(单位:m
2
)的旧住房.
(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式;
(2)如果第五年末该地的住 房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%,则每年拆除的
旧住房面积b是多少?(计算时取1.1
5
=1.6)
解:(1)第1年末的住房面积为a·
11
－b=1 .1a－b(m
2
).
10

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11111111
－b)·－b=a·()
2
－b(1+)=1.21a－2 .1b(m
2
).
10101010
1
2
(2)第3年末 的住房面积为［a·()
2
－b(1+)］－b=a·()
3
－b［1++( )］,
1
111111
2
11
3
第4年末住房面积为a· ()
4
－b［1++()+()］,
10101010
第2年末的住房面积 为(a·
1?1.1
5
11
5
1111
2
113
11
45
第5年末住房面积为a·()－b［1++()+()+()］=1. 1a－b=1.6a
1?1.1
1010101010
－6b.
依题意可知 ,1.6a－6b=1.3a,解得b=
aa
,所以每年拆除的旧房面积为(m
2).
2020
20.(2010湖北,文20)已知一条曲线C在y轴右边,C上每一点 到点F(1,0)的距离减去它到
y轴距离的差都是1.
(1)求曲线C的方程.
(2)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有
FA·
FB
<0?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:(1)设P(x,y)是曲线C上任意一点,P(x,y)满足:
(x?1)
2
?y
2
－x=1(x>0),
化简得y
2
=4x(x>0).
(2)设过点M(m,0)(m>0)的直 线l与曲线C的交点为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y< br>2
).
?
x?ty?m,
设l的方程为x=ty+m,由
?
2
得y
2
－4ty－4m=0,
?
y?4x,
Δ=16(t
2
+m)>0,
于是
y
1
?y
2
?4t,
y
1
y
2
? ?4m.
①
又
FA
=(x
1
－1,y
1
),
FB
=(x
2
－1,y
2
),
FA
·
FB
< 0
?
(x
1
－1)(x
2
－1)+y
1
y
2
=x
1
x
2
－(x
1
+x
2< br>)+1+y
1
y
2
<0,②
y
2
又x=,于是不等式②等价于
4
y
1
yyy
·
2
+y
1
y
2
－(
1
+
2
)+1<0
4444
2222

(y
1
y2
)
2
1
+y
1
y
2
－［(y
1
+y
2
)
2
－2y
1
y
2
］ +1<0.③
16
4
由①式,不等式③等价于

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m
2
－6m+1<4t
2
.④
对任意实数t,4t
2
的最小值为0,所以不等式④对于一切t成立等价于m
2
－6m+1<0,
即3－2
2
2
.
由此可知,存在正数m,对 于过点M(m,0)且与曲线C有两个交点A,B的任一直线,都有
FA
·
FB
<0,且m的取值范围是(3－2
2
,3+2
2
).
21.(2 010湖北,文21)设函数f(x)=
1
3
a
2
x－x+bx+c ,其中a>0.曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的
32
切线方程为y=1.
(1)确定b,c的值;
(2)设曲线y=f(x)在点(x
1
,f(x< br>1
))及(x
2
,f(x
2
))处的切线都过点(0,2), 证明:当x
1
≠x
2
时,f′(x
1
)≠
f′(x
2
);
(3)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求a的取值范围.
解:(1)由f(x)=
1
3
a
2
x－x+bx+c得: f(0)=c,f′(x)=x
2
－ax+b,f′(0)=b.
32
又由 曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,得f(0)=1,f′(0)=0.
故b=0,c=1.
(2)证明:f(x)=
1
3
a
2
x－x+1,f′(x)=x
2
－ax.
32
由于点(t,f(t))处的切线方程为y－f(t)=f′(t)(x－t),而点(0 ,2)在切线上,所以2－f(t)=f′(t)
(－t),化简得
2
3
a
2
2a
t－t+1=0,即t满足的方程为t
3
－t
2+1=0.
3232
下面用反证法证明.
假设f′(x
1
) =f′(x
2
),由于曲线y=f(x)在点(x
1
,f(x
1))及(x
2
,f(x
2
))处的切线都过点(0,2),则下列
等式成立:
2
3
a
2
x
1
－x
1
+1=0, ①
32
2
3
a
2
x
2
－x
2< br>+1=0, ②
32
x
1
2
－ax
1
=x
2
2
－ax
2
.
由③得x
1
+x
2
=a.
③
由①－②得x1
2
+x
1
x
2
+x
2
2
=
3
2
a.④
4
a
2
3
2
3
2
)+a≥a,
244
又x
1
2
+x
1
x
2
+x
2
2
=(x
1
+x
2
)
2
－x
1
x
2
=a
2
－x
1
(a－x
1
) =x
1
2
－ax
1
+a
2
=(x
1
－
故由④得x
1
=
aa
,此时x
2
=与x
1
≠x
2
矛盾.所以f′(x
1
)≠f′(x
2
).
22
(3)由(2)知,过点(0,2)可作y=f(x)的三条切线,等价于方程2－ f(t)=f′(t)(0－t)有三个相异的
实根,即等价于方程
2
3
a< br>2
t－t+1=0有三个相异的实根.
32
2aa
设g(t)= t
3
－t
2
+1,则g′(t)=2t
2
－at=2t(t－ ).
322
由于a>0,故有

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t
g′(t)
g(t)
(－∞,0)
+
↗
0
0
极大值1
(0,
a
)
2
a

2
0
(
a
,+∞)
2
+
↗
－
↘
a
3
极小值1－ < br>24
a
3
由g(t)的单调性知:要使g(t)=0有三个相异的实根,当且仅 当1－<0,即a>2
3
3
.
∴a的取值范围是(2
3
3
,+∞).

24