高中数学联赛模拟试题(一)

选择题：（每小题6分，共36分）
方程6×(5a2＋b2)＝5c2满足c≤20的正整数解(a,b,c)的个数是
（A）1 （B）3 （C）4 （D）5
x
2
y?
x?1
（x∈R，x≠1）的递增区间是 函数
（A）x≥2
（C）x≤0








（B）x≤0或x≥2
（D）x≤
1?2
或x≥
2

过定点P(2,1)作直线l 分别交x轴正向和y轴正向于A、B，使△AOB（O为原点）的面积最小，
则l的方程为
（A）x＋y－3＝0 （B）x＋3y－5＝0
（C）2x＋y－5＝0 （D）x＋2y－4＝0
?
?
?
0,
??
若方程cos2 x＋
3
sin2x＝a＋1在
?
2
?
上有两个不同的实数解 x，则参数a的取值范围是
（A）0≤a＜1 （B）－3≤a＜1
（C）a＜1 （D）0＜a＜1
数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是
（A）42 （B）45 （C）48 （D）51
在1,2,3,4,5的排列a 1,a2,a3,a4,a5中，满足条件a1＜a2，a2＞a3，a3＜a4，a4＞a5的排
列的 个数是
（A）8 （B）10 （C）14 （D）16

填空题：（每小题9分，共54分）
1
1、表示不大于x的最大整数，则方程
2
×＝19x＋99的实数解x是 ．
2、设a1＝1，an+1＝2an＋n2，则通项公式an＝ ．
3、数799被2550除所得的余数是 ．
5< br>?
4、在△ABC中，∠A＝
3
，sinB＝
13
，则cos C＝ ．
5、设k、是实数，使得关于x的方程x2－(2k＋1)x＋ k2－1＝0的两个根为sin和cos，
则的取值范围是 ．
6、数
?
5?24
?
2n
（n∈N）的个位数字是 ．



（20分）
已知x、y、z都是非负实数，且x＋y＋z＝1．
求证：x(1－2x)(1－3x)＋y (1－2y)(1－3y)＋z(1－2z)(1－3z)≥0，并确定等号成立的条件．

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（20分）
求出所有的实数a，使得关于x的方程x2＋(a＋2002)x＋a＝0的两根皆为整数．
试求出所有的实数a，使得关于x的方程x3＋(－a2＋2a＋2)x－2a2－2a＝0有三个整数根．

（20分）
试求正数r的最大值，使得点集T＝{(x,y)|x、y∈R，且x 2＋(y－7)2≤r2}一定被包含于另
一个点集S＝{(x,y)|x、y∈R，且对任何∈R，都 有cos2＋xcos＋y≥0}之中．

第一试
一、选择题：
题号
答案
1
C
2
C
3
D
4
A
5
B
6
D

二、填空题：

1811587
1、
38
或
38
；
?
2、7×2n-1－n2－2n－3；
3、343；
53?12
26
； 4、


?
5、{|＝2n＋或2n－
2
，n∈Z} ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）．
1
?
1
?
1
?
?
x?y?
?
x?z?
?
y?z?
2
?< br>2
?
2
1
?
x?y?z?
?
y?0
??
z?0
3
或
?
z?0
三、证略，等号成立的条件是或< br>?
或
?
．
四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936， －1960，－2664，－4000，－2040；（2）a的
可能取值有－3，11，－1，9．

五、rmax＝
42
．











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第二试
一、（50分）
设a、b、c∈R，b≠ac，a≠－c，z是复数，且z2－(a－c)z－b＝0．
求证：< br>a
2
?b?
?
a?c
?
z
?1
ac ?b
的充分必要条件是(a－c)2＋4b≤0．

二、（50分）
如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB均是锐角，D
是BC边上的内点，且AD平分∠BAC，过点 D分别向两条直线AB、
AC作垂线DP、DQ，其垂足是P、Q，两条直线CP与BQ相交与点
K．求证：
AK⊥BC；
A
P
B
D
K
Q
C
AK?AP?AQ?

三、（50分）

n
2S
△ABC
BC
，其中
S
△ABC
表 示△ABC的面积．
给定一个正整数n，设n个实数a1,a2,…,an满足下列n个方程： a
i
4
?(j?1,2,3,
?
,n)
?
i? j2j?1
i?1
．
S?
?
i?1
n
确定和式
a
i
2i?1
的值（写成关于n的最简式子）．














参考答案
第一试
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一、选择题：
题号
答案
1
C
2
C
3
D
4
A
5
B
6
D

二、填空题：

1811587
1、
38
或
38
；
?
2、7×2n-1－n2－2n－3；
3、343；
53?12
26
； 4、


?
5、{|＝2n＋或2n－
2
，n∈Z} ；6、1（n为偶数）；7（n为奇数）．
1
?
1
?
1
?
?
x?y?
?
x?z?
?
y?z?
2
?< br>2
?
2
1
?
x?y?z?
?
??
y ?0
z?0z?0
?
?
3
三、证略，等号成立的条件是或或或
?
．
四、（1）a的可能取值有0，－1336，－1936，－1960，－2664， －4000，－2040；（2）a的
可能取值有－3，11，－1，9．

五、rmax＝
42
．

第二试
a?c??
?
a?c
?
?4b?i
z?
2
一、证略（提示：直接解出，通 过变形即得充分性成立，然后
2
利用反证法证明必要性）．

二、证略（提 示：用同一法，作出BC边上的高AR，利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP三线共点，
2S
△ ABC
从而AK⊥BC；记AR与PQ交于点T，则
BC
＝AR＞AT＞AQ＝AP， 对于AK＜AP，可证∠APK
＜∠AKP）．

S??
三、


1
?
2n?1
?
2
?1
．
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