2016年全国高中数学联赛试题

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2016年全国高中数学联赛试题
一、填空题
1． 设实数a满足
a<9a-11a<|a|
，则
a
的取值范围是_______ _____.
【解】由于
a<|a|,a<
，
0
a<9a-11a <|a|?
3
3
ì
?
a<9a
3
-11a,
解之得，
í
3
9a-11a<-a,
?
?
a?(
2310
,-)

33
2.设复数
z,w
满足
|z |=3
，
(z+w)(z-w)=7+4i
，其中i是虚数单位，
z,w分别是
z,w
的
共轭复数，则
(z+2w)(z-2w)
的模为 _____________.
【解】
(z+w)(z-w)=|z|
2
-|w|
2
+zw-zw=7+4 i,|z|
2
-|w|
2
蝄,|z|
2
-|w|
2
=7,zw-zw=4i
|z|=3
，
|z|
2
=9,|w |
2
=2
，
(z+2w)(z-2w)=|z|
2
-4|w|
2
+2(zw- zw)=9-8+8i=1+8i
，
|(z+2w)(z-2w)|=1+64=65
.
【点评】
z+z=2Rez,z-z=2Imz

log
3.正数< br>u,v,w
均不等于1，若
log
u
vw+
v
w=5 ,log
v
ulog+
w
v3=
.则
log
wu=
_______.
log
v
wlog
u
w=【解】
letlog
u
v=a
，
log
v
w= b
,由于
log
u
v鬃
Then
log
w
u=
lgvlgwlgw
=1
，
lgu lgvlgu
111
，
log
u
vw+log
v
w =a+b+ab=5,log
v
u+log
w
v=+=3
，
abab
log
w
u=
14
=
.
ab5
【点评】换元法.
4.袋子A中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸
币，现随机从两个袋子中各取两张纸币，则A中剩下的纸币面值之和大 于B中剩下的纸币
面值之和的概率是_________________.
【解】A中剩下 的纸币面值之和大于B中剩下的纸币
?
A中取走的纸币面值之和小于B中
取走的纸币之 和，
222
当袋子A中取走2张1元时，有
C
3
=3
种取 法，只要B不取2张1元即可，有
C
7
-C
3
=18
， < br>2
C
3
2
(C
7
-C
3
2
)
9
其余情况均不符合题意，故
P(A)==
.
22
C
5
C
7
35
文案大全

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5.设
P
为一圆锥的顶点，
A,B, C
是底面圆周上的三点，满足
?ABC90
0
，
M
为
AP
的中
点.若
AB=1,AC=2,AP=2
，则二面角
M-B C-A
的大小为______________.

【解】

1
2
MN2
tan==
2
=
,
=arctan
.
3
NB
3
?
1
3
4
6.设函数
f(x)=sin
4
kxkx
，其中
k
是一个正整数.若对任意实数
a
，均有
+cos
4
101 0
，则
{f(x)|ak
的最小值是 ___________.
【解】
2
1-coskx
kxkxkxkxk xkx1kx1
5
f(x)=sin
4
+cos
4
=(si n
2
+cos
2
)
2
-2sin
2
cos
2
=1-sin
2
=1-
1522
312kx
=+ cos
,
445
当且仅当
x=
5mp
(m?Z)
时，
f(x)
取到最大值，对于任意一个长为1的区间
(a,a+1)
至k
5p
<1,k>5p
.
k
少包含一个最大值点，从而
反之，当
k>5p
时，对于任意一个区间
(a,a+1)
均包含
f (x)
的一个完整周期，此时，
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{f(x)|a成立，
综上，正整数
k
的最小值为
[5p]+1=16
.
7.设
w
为正实数，若存在
a,b
(p?a
是_____________ _
【解】
sinwa+sinwb=2
，
sinwa=sinwb=1，
因为
p?a
b?2p)
，使得
sinwa+sinwb=2
，则
w
的取值范围
b?2p
，所以
wp?wawb?2wp
，
b?2p)
，使得
sinwa+sinwb=2
，则 若存在< br>a,b
(p?a
wp?2kp
pp
<2lp+?2wp
， < br>22
当
w?4
时，
[wp,2wp]
区间长度不小于4
p
，必存在
k,l
；
当
0时，
[wp,2wp]?(0,8p)
，
当
wp?
当
wp?
p
2
5p
2
9p
2
5p15
?2wp
，
w３且w
，无解，舍；
224
9p9
?2wp
，
＃w
24
5
；
2
p?
当
w
13p13913
?2wp
，
＃w，＃w4
，
2424
95
42
13
,+?)
.
4
abcabc
[,][
综上，
w稳
8.
9.（ 16分）若实数a、b、c满足
2+4=2
，
4+2=4
，求c的最小值.
【解】设
x=2y=2,z=2
，则
abc
x+y
2=z,x
2
+y=z
2
，则
y
2
1y
2
113
(z-y)+y=z-2yz+y+y=z,-2yz+y+1=0,z=+=++ 匙
22y24y4y4
5
c?log
2
3
.
3< br>2222423
3
2
【题目】在
DABC
中，已知：
AB?AC2BA?BC
【解】
AB?AC2BA?BC
3CA?CB
.求< br>sinC
的最大值.（A卷）
3CA?CB
，即
bccosA+2cacosB=3abcosC
，由余弦定理，
b
2+c
2
-a
2
c
2
+a
2
-b
2
a
2
+b
2
-c
2
bc+2ca=3ab，化简，得
2bc2ca2ab
a
2
+2b
2
=3c
2
，
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2a
2< br>b
2
a
2
+2b
2
2a
2
b
2
2
×
a
+
b
-+
a
2
+b< br>2
-c
2
33
33
?cosA===
3
2a b2ab2ab2ab
22
2
，
3
sinA=1-cos
2
A?

10.已知：
f(x)
为
求
f(1)f(
7
. < br>3
上的奇函数，
f(1)=1
，且对任意
x<0
，均有
f(
x
)=xf(x)
.
x-1
11111
)+f() f()+f()f()+
100299398
+f(
11
)f()
的 值.
5051
【解】先求函数
f(x)
的解析式.
因为对任意< br>x<0
，均有
f(
x
)=xf(x)
x-1
，令x=-
1
n
，则
f(
1
=)
n+1
-
f
1
--1
n
1
n
(
1
=)-< br>n
f
1
-(
n
11
，（叠乘）
=)f(
nn
)
111
f()f()f()
1
nn-1n-2
则
f()=
111
n
f()f()f()
n-1n-2n- 3
下面求
f(1)f(
原式=
1
f()
2
f(1) =
1
鬃
1
1
n-1n-2
f()
1
+f(
11
，
?1
2(n-1)!
11111
)+f()f() +f()f()+
100299398
+
1

49!50!
11
)f()
，
5051
111
+ ++
0!鬃99!1!98!2!鬃97!
=(
99!99!99!
+++< br>0!鬃99!1!98!2!鬃97!
49
+C
99
)
+1
99!
99!1
)
49!50!99!
012
=(C
99
+C
99
+C
99
+

1
0 12
=(C
99
+C
99
+C
99
+
2< br>2
98
=
99!
99
+C
99
)
1
99!
11.如图所示，在平面直角坐标系
xOy
中，
F
是
x
轴正半轴上一个动点，以
F
为焦点、
O
为
顶点作 抛物线
C
.设
P
是第一象限内
C
上的一点，
Q是
x
轴负半轴上一点，使得
PQ
是为
C
的切线，
文案大全

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x
2
+y
2=1
,两焦点
F
1
(-1,0)
，
F
2
(1,0)
，设直线
l:y=kx+b
， 【解】
2
ì
x
2
?
+
y
2
=
1,
?
2
?x
2
2(kx+b)
2
=2
，
(1+2k
2)x
2
+4kbx+(2b
2
-2)=0
，
í
?
y=kx+b,
?
?
由
A、B
不重合，故直线
l
的斜率存在，故
x
1
,x
2
是方程的两个不等实根， < br>D=16k
2
b
2
-4(1+2k
2
)(2b
2
-2)>0
，
2k
2
+1>b
2
①， k
AF
1
=
y
1
y
2
，
k< br>l
=k
，
k
BF
1
=
，
x
1
+1x
2
+1
y
1
y
+
2
= 2k
，
x
1
+1x
2
+1
由于直线
AF
1
,l,BF
1
的斜率依次成等差数列，所以
即
(kx1
+b)(x
2
+1)+(kx
2
+b)(x
1
+1)=2k(x
1
+1)(x
2
+1)
，
(k-b)(x
1
+x
2
+2)=0
，
若
k=b
，则直线
l:y=k(x+1)
经过
F
1
(-1, 0)
，与题意矛盾，
故
x
1
+x
2
=-2
，
由韦达定理，
x
1
+x
2
=-
由①，②得
4kb4kb1
=2b=k+
，故，②，
22
1+2k1+2k2 k
2k
2
+1>b
2
=(k+
2
1
21
，
)=k
2
+
2
+1
，
|k|>
2
2k4k
焦点
F
2
到直线
l
的距离为< br>d
，故
d=
|k+b|
1+k
2
=
1
1+k
2
|2k+
1
|=
2k
1
1+
1
k
2
|2+
1
|
，
2
2k
注意到
|k|>
2
，
2
令
t=
1
+1
，则
t?(1,3)
，
k
2
(3,2)
.
1t
2
313
故d=(+)=(t+)
在区间
[1,3]
上单调减，故
f(3)t222t

加试
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【题目】设
a
1
,a
2,
22
求
(a
1
-a
2
)(a
2-a
3
)
,a
2016
?
2
满足
9a
i
>11a
i+1
(i=1,2,,2015)
.
2(a
2015
-a
2016
)(a
2016
-a
1
2
)
的最大值.
【解】推广成一般情况：设
a
1,a
2
,
22
求
(a
1
-a
2
)(a
2
-a
3
)
,a
n
?
2
满足
9a
i
>11a
i+1
(i=1,2,,n)
.let
a
n+1
=a
1
.
2
(a
n-1
-a
n
)(a
n
-a
1
2
)
的最大值.
22
(a-a)(a-a)
2222
骣
a-a+a-a++a-a+ a-a
22
1223n-1nn1
(a-a)(a-a)?
琪
nn
骣
n
a
i
-a
i
2
琪
邋< br>琪
i=1i=1
n
1223n-1nn1
琪
桫
n琪
琪
琪
桫

骣
琪
n
n
(a- a
2
骣
琪
n
n
骣
琪
n
2
n
a
骣
a
i
+
=
琪
邋
i=1ii
)
=
琪
i
(1-a
i
)
琪琪i=1
?
琪
琪
?
琪
i=1
琪
1-a< br>i
桫
2
1
琪
琪
n
琪
4
n< br>,
桫
琪
琪
n
桫
琪
n
琪
桫
If and only if
(aa
222
1
-
2)=(a
2
-a
3
)==(a
2
n-1
-a< br>n
)=(a
n
-a
1
)
and
a
i
=1-a
i
,
So
a
1
i
=
2
(i=1,2,,n)
.
【 题目】如图所示，在
DABC
中，
X,Y
是直线
BC
上两点
(X,B,C,Y顺次排列)
，使得
BX?ACCY?AB
（2016全国高 中数学联赛加试2题）
设
DACX
，
DABY
的外心分别是
O
1
,O
2
，直线
O
1
O
2
与
AB,AC
分别交于
U,V
.
证明：
DAUV
是等腰三角形.

【证明】作
?BAC
平分线，交
BC
于
P
， BX?ACCY邹AB
BXAB
CY
=
AC
=
BPPC
=
PX
PY
拮BPPY=CP?PX
，
即
P
关于圆
ABY
的幂等于
P
关于圆
AXC
的幂，
P
在圆
ABY
与圆
AXC
的根轴上，
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n

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AP^O
1
O
2
，
DAUV
是等腰三角形. 【法2】分别作
O
1
,O,O
2
在
BC
上的射 影
D
1
,D,D
2
，

1
BX
DD
1
DD
1
BX
ABC
外接圆半径）（其中
R为 D
，
OO
1
===
2
=R
AB
sin行 D
1
O
1
OsinACBAB
2R
同理，
OO2
=R
CY
，因为
BX?ACCY?AB
，所以
OO< br>1
=OO
2
，
AC
90
0
-?OO
1
O
2
理
?AUV90
0
-?OO
2
O
1
， 因为，同
O
1
O^AC,?AVU
所以
?A VU?AUV
，
DAUV
是等腰三角形.
【题目】设
p,p+2
均为素数，
p>3
，定义数列
轾< br>pa
{a
n
}:a
1
=2,a
n
=a
n-1
+
犏
n-1
(n=2,3,)

犏
n其中
轾
x
表示不小于实数
x
的最小整数.
犏
证明：对于
n=3,4,,p-1,
均有
n|(pa
n-1
+1)< br>.
轾
pa
n-1
(n=2,3,)
，
犏
n
【证明】（数学归纳法）
对于整数数列
{a
n
}:a
1
=2,a
n
=a
n-1
+
犏
当
n=3
时，
a
2
=a
1
+
犏
轾< br>2p
=2+p
，
犏
2
p,p+2
均为素数，
pa
2
+1=p(2+p)+1=(p+1)
2
，
3|(p+1)
2
，
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当
3时，
(k=3,4,)
，均有
k|(pa
k-1
+1 )
成立，此时，
轾轾
papa+1pa+1
=
k-1
，
犏
k-1
==
犏
k-1
犏
kk
犏
k
轾
papa+1
pa
k-1
+1=p(a
k-2
+
犏
k-2
)+1=p(a
k-2
+
k-2
)+1

犏
k-1k-1
pa
k-2
(k-1)+p
2< br>a
k-2
+p+k-1(pa
k-2
+1)(p+k-1)
= =
,
k-1k-1
从而对于
3，有
p+n- 1p+n-1p+n-2
(pa
n-2
+1)=(pa
n-3
+1) =
n-1n-1n-2
p+n-1p+n-2p+32n(p+1)
n
=(p a
2
+1)=C
p+n
n-1n-23(p+n)(p+2)
pa< br>n-1
+1=
n
n|(p+n)(p+2)(pa
n-1
+1 )
， 因为
C
p+n
?
Z
，所以

n

，
(n,n+p)=(n,p)=1
，又因为
p+2
为 大于1的素数，所以
(n,p+2)=1
，所以
(n,n+p,p+2)=1
，所以，
n|pa
n
+1
.

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