高中数学选修2-2测试题

高中数学选修2—2测试题

一 、
选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给
出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的)
1、 曲线
y?x
2
在(1,1)处的切线方程是（ ）


号
线
考

名
姓

封

级
班

密

校
学
A.
2x?y?3?0
B.
2x?y?3?0

C.
2x?y?1?0
D.
2x?y?1?0

2、
定义运算
a b
c d
?ad?bc
，则符合条件
1 ?1
z zi
?4?2i
的复
数
z
为（ ）
Ａ．
3?i
Ｂ．
1?3i
Ｃ．
3?i
Ｄ．
1?3i

3、用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正
确的是（ ）
A． 假设至少有一个钝角 B．假设至少有两个钝角
Ｃ．假设没有一个钝角 Ｄ．假设没有一个钝角或至少有两个钝
角
4、观察按下列顺序排列的等式：
9?0? 1?1
，
9?1?2?11
，
9?2?3?21
，
9?3? 4?31
，…，猜想第
n(n?N
*
)
个等式应为
（ ）
Ａ．
9(n?1)?n?10n?9
Ｂ．
9(n?1)?n?10n?9

Ｃ．
9n?(n?1)?10n?1
Ｄ．
9(n?1)?(n?1)?10n?10

5、曲线
y?cosx?
?
0≤x≤
3π
?
3π
?
2
??
与
x
轴以及直线
x?
2
所围图形的
面积为（ ）
Ａ．
4
Ｂ．
2
Ｃ．
5
2
Ｄ．
3

6、平面几何中，有边长为
a
的正三角形内任一点到三边距 离之和为定
值
3
2
a
，类比上述命题，棱长为
a
的 正四面体内任一点到四个面的

距离之和为（ ）
Ａ．
4
a

3
f(x
0
)??3
'
Ｂ．
6
a

3
Ｃ．
5
a

4
Ｄ．
6
a

4
7、若，则
h?0
lim
f(x
0
?h)?f(x
0
?3h)
?
h
（ ）
A．
?3
B．
?12
C．
?9
D．
?6

8
、复数
z=
5
,
则
z
是（

）

3?4i
A
．
25 B
．
5 C
．
1 D
．
7 < br>9、一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让
机器人以先前进3步， 然后再后退2步的规律移动．如果将机器人放在数轴
的原点，面向正的方向在数轴上移动（1步的距离为 1个单位长度）．令
P(n)
表示第
n
秒时机器人所在位置的坐标，且记P(0)?0
，则下列结论中错误
的是（ ）
Ａ．
P(3)?3




Ｂ．
P(5)?1

Ｄ．
P(2003)?P(2006)
Ｃ．
P(2007)?P(2006)

10、如图是导函数
y?f

(x)
的图象，那么函数
y?f(x)
在下面哪个
区间是减函数
A.
(x
1
,x
3
)
B.
(x
2
,x
4
)
C.
(x
4
,x
6
)
D.
(x
5
,x
6
)

11、设
S(n )?
1111
????
nn?1n?2n?3
?
1
*
(n?N)
，当
n?2
时，
2
n

S(2) ?
（ ）
1

2
111
Ｃ．
??

234
Ａ．



11
?

23
1111
Ｄ．
???

2345
Ｂ．
12、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置
拉到离平衡位置6cm 处，则克服弹力所做的功为（ ）
(A)0.28J (B)0.12J (C)0.26J (D)0.18J
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横
线上．
1 3、
?
1
0
(1?(x?1)
2
?2x)dx?

45612

14、设
Z
1
= i + i+ i
+…+ i
关系为

3
,
Z
2
= i
4
· i
5
·i
6
·…· i
12
，
则Z
1
，
Z
2

2< br>15．已知
f(x)?x?3x?a
（
a
为常数），在
[?3 ，3]
上有最小值
3
，那么
在
[?3，3]
上
f( x)
的最大值是
16．仔细观察下面图形：图1是一个水平摆放的小正方体木块，图 2，图3
是由这样的小正方体木块叠放而成的，按照这样的规律放下去，至第七个叠
放的图形中 ，小正方体木块总数就是

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程
或演算步骤． 17、（本小题10分）已知等腰梯形
OABC
的顶点
A，B
在复平面上 对应的
复数分别为
1?2i
、
?2?6i
，且
O
是 坐标原点，
OA∥BC
．求顶点
C
所
对应的复数
z
．
18、（本小题12分）
F(x)?
?
x
0
(t2
?2t?8)dt(x?0)
．

（1）求
F(x)< br>的单调区间；（2）求函数
F(x)
在
[1，3]
上的最值．
19．（本小题12分）设
y?f(x)
是二次函数，方程
f(x)?0
有 两个相等的
实根，且
f
?
(x)?2x?2
．
（1）求
y?f(x)
的表达式；
（2）若直线
x??t(0?t ?1)
把
y?f(x)
的图象与两坐标轴所围成图形的
面积二等分，求
t
的值．
20、（本小题12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间定价为每< br>天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空
闲，如果游客居住房间 ，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。房间
定价多少时，宾馆利润最大？

21、（本小题满分12分）
已知
a
，
b
是正实数，求证 ：
a
b
?
b
a
?a?b

*
22 、（本小题12分）已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?1?na
n
(n?N)
．
（1） 计算< br>a
1
，
a
2
，
a
3
，
a< br>4
；
（2） 猜想
a
n
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
参考答案
题
号
答
案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12
得
分

评卷
人
D

A
Ｂ
B

D B B C D B C D

?
?1

14、
Z
1
=
Z
2
15、
57
16、 91
4
17、（本小题10分）已知等腰梯形
OABC
的顶点
A，B
在复平面上对应的
复数分别为
1?2 i
、
?2?6i
，且
O
是坐标原点，
OA∥BC
． 求顶点
C
所
13、
对应的复数
z
．
解：设
z?x?yi(x，y?R)
．
由
OA∥BC
，< br>OC?AB
，得
k
OA
?k
BC
，
z
C
?z
B
?z
A
，
?
2y?6
?1
?
x?2
，
即
?

?
x
2
?y
2
?3
2
?4
2
，
?
OA? BC
，
?x??3
，
y?4
舍去．
?z??5
．

18、（本小题12分）
F(x)?
（1）求
F(x)
的单调区间；
x
?
0
(t
2
?2t?8)dt(x?0)
．
3]
上的最值． （2）求函数
F(x)
在
[1，
解：依题 意得，
?
1
?
x
1
3
F(x)?
?
(t
2
?2t?8)dt?
?
t
3
?t
2
?8t
?
0
?x?x
2
?8x
，定义域是
03
?
3
?
x
(0，??)
．
（1）
F
?
(x)?x?2x?8
,
令
F
?
(x)?0
，得
x?2
或
x??4
，
令
F
?
(x)?0
，得
?4?x?2
，
2
??)
， 由于定义域是
(0，

?
函数的 单调增区间是
(2，??)
，单调递减区间是
(0，2)
．
（2） 令
F
?
(x)?0
，得
x?2(x??4舍)
，
由于
F(1)??
2028
，
F(2)??
，
F(3)?? 6
，
33
?F(x)
在
[1，3]
上的最大值是
F(3)??6
，最小值是
F(2)??
28
．
3
19． （本小题12分）设
y?f(x)
是二次函数，方程
f(x)?0
有两个相等 的
实根，且
f
?
(x)?2x?2
．
（1）求
y?f(x)
的表达式；
（2）若直线
x??t(0?t ?1)
把
y?f(x)
的图象与两坐标轴所围成图形的
面积二等分，求
t
的值．
解：（1）设
f(x)?ax?bx?c(a?0)
，
则
f
?
(x)?2ax?b
．
由已知
f
?
(x)?2x?2
，得
a?1
，
b?2
．
2
?f(x)?x
2
?2x?c
．
又方程
x?2x?c?0
有两个相等的实数根，
2
???4?4c?0
，即
c?1
．
故
f(x)?x?2x?1
；
（2）依题意，得
2
??t
?1
(x
2
?2x?1)dx?
?
(x
2
?2x?1)dx
，
?t
0
?
1
?
?< br>?
x
3
?x
2
?x
?
?
3
?
?t
?1
?
1
?
?
?
x
3?x
2
?x
?
?
3
?
0
?t
，
32
整理，得
2t?6t?6t?1?0
，即
2(t?1)?1 ?0
，
3

?t?1?
1
．
3
2

20、（本小题12分）某宾馆有５０个房间供游客居住，当每个房间 定价为每
天１８０元时，房间会全部住满；房间单价增加１０元，就会有一个房间空
闲，如果游 客居住房间，宾馆每间每天需花费２０元的各种维护费用。房间
定价多少时，宾馆利润最大？
解：设每个房间每天的定价为
x
元，那么宾馆利润
L(x)
=(50?
=
?
x?180
)(x?20)

10
1
2
x?70x?1360,180?x?680.

10
1
'
令
L(x)??x?70?0,
解得
x?350< br>.
5
当
x?(180,350)
时，
L(x)?0,

当
x?(180,680)
时
L(x)?0

因此, x?350
时是函数
L(x)
的极大值点,也是最大值点.所以,当每
个 房间每天的定价为350元时,宾馆利润最大
21、（本小题满分12分）
证明：要证'
'
a
b
?
b
a
?a?b
，
ab(a?b)

ab(a?b)

只需证
aa?bb?< br>即证
(a?b?ab)(a?b)?
即证
a?b?ab?ab

2
即证
a?b?2ab
，即
(a?b)?0

该式显然成立，所以
a
b
?
b
a
?a?b

*
22、（本小题12分）已知数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n
?1?na
n
(n?N )
．
（1）计算
a
1
，
a
2
，
a
3
，
a
4
；
（2）猜想
a
n
的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．
解：（ 1）依题设可得
a
1
?
111111
，
a
2
??
，
a
3
?
，
??
21?262?3
a
11
4
?
20
?
4?5
；
（2）猜想：
a
1
n
?
n(n?1)
．
证明：①当
n?1
时，猜想显然成立．
②假设
n?k(k?N
*
)
时，猜想成立，
即
a
1
k
?
k(k?1)
．
那么，当< br>n?k?1
时，
S
k?1
?1?(k?1)a
k?1
，
即
S
k
?a
k?1
?1?(k?1)a
k?1
．
又
S
k
?1?ka
k
?
k
k ?1
，
所以
k
k?1
?a
k?1
?1?(k?1 )a
k?1
，
从而
a
1
k?1
?
(k? 1)(k?2)
?
1
(k?1)[(k?1)?1]
．
即
n?k?1
时，猜想也成立．
故由①和②，可知猜想成立．




123?4