2018高中数学竞赛试题

2018年全国高中数学联赛浙江省预赛

1
．已知
a
为正实数，且
f(x)?
11

是奇函数，则
f(x)
的值域为
________.
?
x
aa?1
2018
n?1
2
．设数列
a
n
满足
a
1
?1

，
a
n?1
?5a
n
?1
(n=1
，
2
，
…
），则

??
?
a
n
?
________.
3
．已知
?
,
?
?
?
________.
?
?
12
?
?
4
?
3
?
???
,
?
?
，
cos
?
?
?
?
?
?
，
sin
?
?
?
?
?
，则
cos
?
?
?
?
?
4
?
1 34
?
5
?
4
???
4
．在八个数字
2< br>，
4
，
6
，
7
，
8
，
11
，
12
，
13
中任取两个组成分数
.
这些分数中有
________
个既约分数
.
?
z
??
1?
5
．已知虚数
z
满足
z
3
?1?0
，则
?
?
???
?
________.
?
z?1
??
z?1
?
uuuvuuuvuuuv
uuuvuuuv
6
．设
AB?10
.
若平面上点
P
满足，对于任意
t?R
,
有
AP?tAB?3
，则
PA?PB
的
最 小值为
________
，此时
PA?PB?
________.
7
．在
△ABC
中，
AB+AC=7,
且三角形的面积为
4 ,
则
sin∠A
的最小值为
________.
8
．设< br>f(x)?x?1?x?x?2
，则
f
20182018
uuuvuu uv
?
f(x)
?
?1?0
有
________
个 不同的解
.
9
．设
x，y?R
满足
x?6y?4x?y? 12?0
，则
x
的取值范围为
________.
10
． 四面体
P-ABC
，
PA?BC?
外接球的半径为
________ .
6
,
PB?AC?8
，
PC?AB?10
,
则该四面体
x
2
11
．已知动直线
l
与圆
O
：
x?y?1
相切，与椭圆
?y
2
?1
相交于不同的两点
A
，
9
22
B.
求原点到
AB
的中垂线的 最大距离
.
x?ax?b?1
，求
a
的取值范围
. 12
．设
a?R
，且对任意实数
b
均有
max
x?[0 ,1]
13
．设实数
x
1
，
x
2
，
…
，
x
2018
满足
x
2
n?1
2?x
n
x
n?2
(n=1
，
2
，
…< br>，
2016)
和
?
x
n
?1
，证明：
n?1
2018
x
1009
x
1010
?1
.
14
．将
2n(
n?2
)
个不同整数分成两组
a< br>1
，
a
2
，
…
，
a
n
；< br>b
1
，
b
2
，
…
，
b
n< br>.
证明：

1?i?n
1?j?n
?
a
i< br>?b
j
?
1?i?j?n
?
?
a
j
?a
i
?b
j
?b
i
?n。

?
试卷第1页，总2页

15
．如图所示将同心圆环均匀分成
n(
n?3
)
格
.
在内环中固定数字
1~n.问能否将数字
1~n
填入外环格内，使得外环旋转任意格后有且仅有一个格中内外环的数字 相同？



试卷第2页，总2页

参考答案
1
．
?
?，
?

【解析】

由
f
?
x
?
为奇函数可知?
11
?
?
22
?
111111
?
x
???
?x
，解得
a= 2
，即
f
?
x
?
??
x
，
aa?1aa?122?1
?
11
?
fx
由此得
??< br>的值域为
?
?，
?
.
?
22
?
5
2019
8077
2
．

?
1616
【解析】

11
?
5
n
1
?
?
，

由
a
n?1
?5a
n
?1?a
n?1
??5
?
a
n
?
?
?a
n
?
44
?< br>44
?
1
12
20185
2018
20185
2019
8077
2018
5?5???5??5?1???
.
所以
?
a
n
?
441641616
n?1
2018
????
3
．
?
56

65
【解析】

【详解】由
?
,
?
??
?
?
5
43
?
3
?
??
,
?
?
，
cos
?
?
?
?
??，

cos
?
?
?
?
?
?
， 得
sin
?
?
?
?
?
??
，
4< br>?
13
55
?
4
??
?
?
?
?
?
?
56
???
cos
?
??cos
?
?
?
cos
?
??sin
?
?
?
sin
?
???
.
??
?
??
?
所以
????
4
?
4
?
4
?
65
?? ?
故答案为：
?
4
．
36
【解析】

在
7
，
11
，
13
中任取一个整数与在
2
，
4
，
6
，
8
，
12
中任取一个整数构成既 约分数，共有
11
2C
3
C
5
?30

种；

2
在
7
，
11
，
13中任取两个整数也构成既约分数，共有
A
3
?6
中
.
56

65
合计有
36
种不同的既约分数
.
5
．
?1

答案第1页，总6页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
【解析】

z
3
?1?0?
?
z?1
?
z
2
?z?1?0?z
2
?z?1?0
，

?
z
?所以
??
?
z?1
?
2018
??
?
1
?
?
??
?
z?1
?
2018
?
z
2018
2
?1
2018
?
z
?
z< br>??
?
?
z
?
z
3
3
672
2
?1
z
1345
z
2
?1
???1
.
?z
6
．
?16
6
【解析】

uuuvuuuv
由
AP?tAB?3
可知点
P
到直线AB
的距离为
3.
设
AB
的中点为
O.
由极化恒等式得：

uuuv uuuv
1
uuuvuuuv
2
uuuvuuuv
PA?PB?PA ?PB?PA?PB
4
uuuvuuuv
此时
PA?PB?6
. < br>?
????
?
?
1
?
?
2PO
?< br>4
2
2
?10
2
?
?
1
?
36?100
?
??16
.
4
7
．
32

49
49
,
4
【解析】

由
AB?AC ?7?AB?AC?
又
1327
,
AB?AC?
时取等号
.
AB?ACsin?A?4?sin?A?
2492
8
．
3
【解析】

?
?x?3，x??1
?
x?1，?1?x?0
?

因为
f
?
x
?
?x?1?x?x?2?
?
3x? 1，0?x?2
?
?
?
x?3，x?2
由
f
?f
?
x
?
?
?1?0
得到
f
?
x
?
?2
，或
f
?
x
?
?0
.
1
，共
3
个解
.
3
由
f
?x
?
??2
，得一个解
x??1
；由
f
?x
?
?0
得两个解
x??3
，
x?
9
．
14?213?x?14?213

【解析】

由
x?6 y?4x?y?12?0?
令
x?y?2?cos
?
，

答案第2页，总6页
?
x?y?2?
??
2
y?3
?
2
?1
.

2
??
22y?3?sin
?
?x?
?
2?cos
?
?
?
?
3?sin
?
?
?14?52sin
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
，

13
??
所以
14?213?x?14?213
.
10
．
3

【解析】

将四面体还原到一个长方体 中，设该长方体的长、宽、高分别为
a
，
b
，
c
，

?
a
2
?b
2
?10
?
22222
则
?
b?c?8?a?b?c?12
，所以四面体外接球的半径为
3
.
?
a
2
?c
2
?6
?
4
1 1
．

3
【解析】

依題意可设
l
：y?kx?m
?
k?0
?
.
因为直线
l
与圆
O
相切，所以，
O
到直线
l
的距离为
1
， 即
m
1?k
2
?1

这样的直线必与椭圆交于不同的两点
A
?
x
1
，y
1
?
，
B
?
x
2
，y
2
?
，联立
?
得
1? 9k
?
2
y?kx?m，
2
?
x?9y?9?0

，

?
2
?
x
2
?18kmx?9m2
?9?0
,
得到
x
1
?x
2
??< br>m
??
9km
，
22
?

?
1?9k1?9k
?
??
18km
.
1?9k
2
所以
AB
的中点坐标为
?
?
AB
的中垂 线方程为
y?
m1
?
9km
?
8km
??x?x?ky??0
，

，化简得
??
2
1?9k
2
k
?
1?9k
2
?
1?9k
O
到直线中 垂线的距离
d?
8km
1?9k
2
.
1?k
2< br>将
m
1?k
2
=1
代入
d?
2
8k m
1?9k
2
得
d?
1?k
2
8k
1?k
2
，

由均值不等式，
1?9k?6k
，故
d?< br>41
，当且仅当
k?
时取等号
.
33
答案第3页，总6页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
所以，当
k?
1
10
，
m?
时，

3
3
4
.
3
原点到
AB
的中垂线的最大 距离为
12
．
a??3

【解析】

解
1
：
f
?
x
?
?x?ax?b
，对于
b?1 ?f
?
0
?
?1
，

2
所以只要考虑
b?1
.
（
1
）当
?
有

a
?0
时，即< br>a?0
，此时函数
f
?
x
?
的最值在拋物线的左右端 点取得，对任意
b?1
2
f
?
1
?
?1?a?b? f
?
0
?
?b
，所以
f
?
1
?< br>?1?a?b?1
，

解得
a?1

（
2
）当
0??
得，

2
?
a
?
?a
?1
.
而对
b= 0
有
f
?
1
?
?1?a?1
，
f
?
?
?
?
4
?
2
?
a1
?
时，即
?1?a?0
，此时函数
f
?
x
?
的最值 在拋物线的顶点和右端点取
22
（
3
）当
1a
???1时，即
?2?a??1
时，此时函数
f
?
x
?
的最值在拋物线的顶点和左端
22
2
?
a
?
?a
? 1
.
点取得，而对
b=0
有
f
?
0
?< br>?b?1
，
f
?
?
?
?
4
?
2
?
（
4
）当
?
a
?1
时，即
a??2
，此时函数
f
?
x
?
的最值在拋物线的左右端点取 得，对任意
2
b?1
有
f
?
0
?
?b?1
，所以
f
?
1
?
?1?a?b??1
,
解 得
a??3
.
综上或
a??3
.
x?ax?b?1，则有
m?b
，
m?1?a?b?2m?b?1?a?b?1?a
解2
：设
max
x?[0,1]
依题意，
2
1?a
2
?1?a?1
，或
a??3
.
13
．【解析】

证明：由条件
x
n
，x
n?2
同号
.
反证法，假设
x
1009
x
1010
?1
.
答案第4页，总6页

（
1）若
x
1009
，x
1010
同为正数，由
x
n
，x
n?2
同号可知
x
1
，
x
2
，
…
，
x
2018
同号
.
由
x
n?1
?x
n
x
n?2
?
2
x
n?1< br>x
n?2
xxx
??
1009
?
1010
?
1011

x
n
x
n?1
x
1008x
1009
x
1010
?x
1009
x
101 0
?x
1011
x
1008
?x
1011
x
1008
?1

x
1009
x
1009
x1008
x
1011
x
1012
x
1012
? ?????x
1007
x
1012
?1
.
同理
x
1007
x
1008
x
1007
x
1010
x
1011
x
1010
类似可证明：
x
1006
x
1013
?1
，
x
1005
x
1014
?1
，
…
，
x
1
x
2018
?1
.
因此
?
x
n?1
2018
n
?1
，矛 盾
.
（
2
）若
x
1009
，x
1010
同为负数，由
x
n
，x
n?2
同号可知
x
1
，
x
2
，
…
，
x
2018
均为 负数，仍然有

2
x
n?1
?x
n
x
n? 2
?
x
n?1
x
n?2
?
,
类似（
1
）可证得
.
x
n
x
n?1
14
．【解析】

证明：令
T
n
?
1?i?n
1?j?n
?
a
i?b
j
?
1?i?j?n
?
?
a
j
? a
i
?b
j
?b
i
，
?

下面用归纳法证明
T
n
?n
.
当
n=2
时，不妨设
a
1
2
，
b
1
2
，
a
2
2
.

T
2< br>?b
2
?a
1
?b
2
?a
2
?b< br>1
?a
1
?b
1
?a
2
?a
2?a
1
?b
2
?b
1
，

当
a
1
b
1
?T
2
?b
1
?a
1< br>+b
1
+b
2
?b
1
?a
2
2；

a
1
?b
1
?T
2
?b
2
?a
2
+a
1
+b
1
?2
.
假设对正整数
n
成立，对正整数
n+1
，

不妨设
a
1
?a
2
???a
n?1
，
b
1
?b
2
???b
n?1
，
a
n?1
?b
n?1
.
再设
b
k
?a
n?1
?bk?1
，则有
:
T
n?1
?
?
b
n ?1
?a
i
?
?
b
n?1
?b
i
?
?
a
n?1
?a
i

i?1i?1i?1nnn
?
?
b
n?1
?b
i
?b
n? 1
?a
n?1
?T
n

i?1
n
答案第5页，总6页

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
下证
?< br>b
i?1
n
n?1
?a
i
?
?
b< br>n?1
?b
i
?
?
a
n?1
?a
i
?
?
b
n?1
?b
i
?0
.
i ?1i?1i?1
nnn
由（
1
）
b
k
?a
n?1
?b
k?1
(k=1
，
2
，
…
，
n)
，得到
:
?
b
i?1
n
n?1?a
i
?
?
b
n?1
?b
i
?
?
a
n?1
?a
i
?
?
b
n?1
?b
i
?2
?
?
b
i
?a
n?1
?
?0

i?1i?1i?1i?k?1
nnnn
（
2< br>）若
a
n?1
?b
1
，则
?
b
i? 1
n
n?1
?a
i
?
?
b
n?1
?b
i
?
?
a
n?1
?a
i
?
?
b
n?1
?b
i
?
?
?
b
i?a
n?1
?
?0
.
i?1i?1i?1i?1
nnnn
15
．【解析】

设对 应于内环
1
，
2
，
…
，
n
的外环数字为< br>i
1
，
i
2
，
…
，
i
n< br>，它是数字
1
，
2
，
…
，
n
的一个 排
列
.
对
k=1
，
2
，
…
，n
，记外环数字
i
k
在按顺时针方向转动
j
k
格时，和内环数字相同，即

i
k
?k?j
k
modn,k=1
，
2
，
…
，
n.
根据题意，
j
1
，
j
2
，
…
，
j
n
应是
0
，
1
，
2
，
…
，
n-1
的排列
.
求和

?
?
i
k
?k< br>?
?
?
j
k
modn?
?
0?1?2???
?
n?1
?
?
modn?
k?1k?1
nn
1
n
?
n?1
?
modn
.
2
于是
n
必须是奇数
.
对于奇数
n
，我 们取
i
n
=n
，
i
m
=n-m
，
(m=1
，
2
，
…
，
n-1)
，可以验证
i
k
?k?j
k
modn

j
n
=0, j
n
-1
=2
，
j
n
-2
=4
，
…
，
j
n
n?1
?n?1
，

2
j
1
=n-2, j
n
-1
=n-4
，
j
3
=n-6
，
…
，
j
n?1
? 1
，

2
符合题目要求
.
答案第6页，总6页