2018全国高中数学联赛试题

2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分．
1.设集合
A?{1,2,3,L,99}
，< br>B?{2xx?A}
，
B?{x2x?A}
，则
BIC
的元素 个
数 .
解析：因为
A?{1,2,3,L,99}
，所以< br>B?{2,4,6,L,198}
,
C?{1,2,3,L,49}
,于是
BIC?{2,4,6,L,48}
，共
24
个元素.
2.设点< br>P
到平面
?
的距离为
3
，点
Q
在平面
?
上，使得直线
PQ
与
?
所成角不小
于
30o
且不大于
60
o
，则这样的点
Q
所构成的区域的面积 为 .
解析：过点
P
作平面
?
的垂线，这垂足为
O
，则点
Q
的轨迹是以
O
为圆心，分别
以
ON? 1
和
OM?3
为半径的扇环,于是点
Q
所构成的区域的面积为
S?S
2
?S
1
?

9
?
?
?
?8
?
.





M
P
N
N
O
O
M
?

3. 将
1,2,3,4,5,6
随机排成一行， 记为
a,b,c,d,e,f
，则
abc?def
是偶数的概率
为 .
解析：（直接法）将
1,2,3,4,5,6
随机排成一行，共有
A6
6
?720
种不同的排法，要使
abc?def
为偶数，abc
为与
def
同为偶数或
abc
与且
def
同为奇数.
（1）若
a,b,c
中一个偶数两个奇数且
d,e,f
中一个奇数两个偶数. 共
324
种情形；
（2）若
a,b,c
中一个奇数两个偶数且
d,e,f
中一个偶数两个奇数. 共
324
种情形；
共有
648
种情形.综上所述，
abc?def
是偶数的概率为6489
?
.
72010
（间接法）“
abc?def
是偶数”的对立事件为“
abc?def
是偶数”，
abc?def
是偶
数分成两种情况：“
abc
是偶数且
def
是奇数”或“
a bc
是奇数且
def
是偶数”，每

种情况有
A
3
3
?A
3
3
?36
种不同情形，共有
72中不同情形，
abc?def
是偶数的概率为
1?
729
?.
72010
x
2
y
2
4.在平面直角坐标系
xoy
中，椭圆
C
：
2
?
2
?1
（a?b?0
）的左、右焦点分别
ab
是
F
1
,F
2
，椭圆
C
的弦
ST
与
UV
分别平行于
x
轴和
y
轴，且相交于点
P
．已知线段
PU
、PS
、
PV
、
PT
的长分别为
1,2,3,6
，则
?PF
1
F
2
的面积为 .






解析：不妨设弦
ST
与
UV的交点位于第一象限，如图所示.则
ST?8
，
UV?4
，则
T
y

U
S
P
o

x

V
?
x
2
y
2
?1
?
?
点
P
的坐标为
(2,1)
.直线
x?2
被椭圆
C
截得的弦长为
UV?4
，由
?
a
2
b
2< br>得
?
x?2
?
?
x
2
y
2
ba?4
b(a?4)
?
2
?
2
?1
2
UV?2y?2?4
y
2
?
，，即.同理，由
ba?4?2a
?
ab
a
a
2
?
y?2
?
22
2
得
ab
2
?1?4b
.联立得
a
2
?2 0
，
b
2
?5
，所以
c
2
?15
，
c?15
，
?PF
1
F
2
的面积
1为
S??215?1?15
.
2
5.设
f(x)
是定 义在
R
上的以
2
为周期的偶函数，在区间
[0,1]
上严格 递减，且满足
?
1?x?2
f(
?
)?1
,
f(2
?
)?2
，则不等式组
?
的解集为 .
?1?f(x)?2
解析：
f(x)
是定义在
R
上的以
2
为周期的偶函数，
f(x)?f(?x)
,
f(x?2)?f(x)
,
f(x?2)?f(?x)
，函数的图像关于
x?1
对称，
f( x)
在区间
[0,1]
上严格递减，所以
f(x)
在区间
[ 1,2]
上严格递增.
f(
?
?2)?f(
?
)?1
,
1?
?
?2?2
且
f(8?2
?
)?f(2< br>?
)

?2
，
1?8?2
?
?2
.
1?f(x)?2
在
[1,2]
等价于
f(
?
?2 )?f(x)?f(8?2
?
)
，解之得

?
?2? x?8?2
?
.即不等式组
?
?
1?x?2
的解集为
[
?
?2,8?2
?
]
.
?
1?f(x)?2
6.设复数
z
满足z?1，使得关于
x
的方程
zx
2
?2zx?2?0
有实根，则这样的复数
z
的和为 .
解析：设复数
z?a?bi
，（
a,b?R
）.因为
z?1
，所以
a
2
?b
2
?1
.设方程
zx
2
?2zx?2

，则
zm
2
?2zm?2?0
，< br>(a?bi)x
2
?2(a?bi)x?2?0
，
?0
的实 根为
m
（
m?0
）
?
am
2
?2am?2 ?0
.由
bm
2
?2bm?0
得，
b?0
或
m?2
.
?
2
?
bm?2bm?0
（1）当
b ?0
时，又由
a
2
?b
2
?1
，得
a?1
或
a??1
.
当
a?1
时，
am
2?2am?2?0
可化为
m
2
?2m?2?0
，方程无实根，舍 去；
当
a??1
时，
am
2
?2am?2?0
可 化为
?m
2
?2m?2?0
，方程有实根.
此时，
z
1
??i
.
15
1
（2）当< br>m?2
时，代入
am
2
?2am?2?0
可得
a??
，又由
a
2
?b
2
?1
，
b?
或
4
4
b??
15
115115
i
，
z3
???i
. .此时
z
2
???
4
4444
3
综上所述，
z
1
?z
2
?z
3
??
.
2
uuuruuuruuur
7.设
O
为的
?ABC
外心，若
AO?AB?2AC
，则
sin?BAC
的值为 .
解析：延长
AC
到
E
，使得
CE?AC
.连接
OA
，
OC
，
OE
.作直径
BD
，连接< br>DE
.
uuuruuuruuuruuuruuuruuur
A
C
E
因为
AO?AB?2AC
，即
AO?AB?AE
，所以，
四边形
ABOE
为平行四边形，四边形
ODEA
为菱形.
设
AC?m
,则
OC?OA?OB?2m
.在
?AOC
中，
利用余弦定理可得：
cos?OAC?
B
D
O
15
1
，从而
sin?OAC?
.
4
4
1
又
?OAC??AOD?
?
，
cos?AOD??
.?AOD?2?BAO
, 利用二倍角公式可得
4
6
1
,从而
cos?AOD?cos2?BAO?2cos
2
?BAO?1??
，所以，
cos?BAO?
4
4

sin?BAO?
10
. 于是，
sin?BAC?sin(?BAO??OAC)

4
15611010
????
.
44444
?sin?B AO?cos?OAC?cos?BAO?sin?OAC
?
8.设整数数列
a
1
,a
2
,L,a
10
满足
a
10
?3 a
1
，
a
2
?a
8
?2a
5
且< br>a
i?1
?{1?a
i
,2?a
i
}
，
i?1,2,L,9
，则这样的数列的个数为 .
解析：因为
a
i?1
?{1?a
i
,2?a
i
}
，所以
a
i?1
?1?a
i
或
a
i?1
?2?a
i
.
一方面，
a
10
?a
1
?9
,a
10
?3a
1
,
3a
1
?a
1?9
,
a
1
?
9
，
a
1
为整 数，
a
1
?5
；另一方面，
2
a
10
?a
1
?2?9
,
a
10
?3a
1
,
3a
1
?a
1
?18
,
a
1
?9
.于是，
5?a
1
?9
.
由
a
2
?a< br>8
?2a
5
且
a
i?1
?{1?a
i
,2?a
i
}
，且
a
1
,a
2
,L,a
10
都是整数，得:
当
a
1
?5
时，
a
10
?15
,这时满足条件的数列共
3
个；
当
a
1
?6
时，
a
10
?18
,这时满足条件的数列共
28
个；
当
a
1
?7
时，
a
1 0
?21
,这时满足条件的数列共
36
个；
当
a
1
?8
时，
a
10
?24
,这时满足条件的数列共
12
个；
当
a
1
?9
时，
a
10
?27
,这时满足条件的数列共
1
个；
共计
80
个.