全国高中数学联合竞赛试题及答案

2003年全国高中数学联赛
第一试

一、选择题（每小题6分,满分36分）
1． 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003
项是
(A)2046 (B)2047 (C)2048 (D)2049
2． 设a, b?R, ab≠0，那么，直线 ax?y+b=0和曲线 bx
2
+ay
2
=ab 的图形是
y y
O
x x
y
y
O
O
x
O
x

(A) (B) (C) (D)
3． 过抛物线y
2
=8(x+2) 的焦点F作倾斜角为60?的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，
弦AB的中垂线与x轴交于P点 ，则线段PF的长等于
163
16
8
(B) (C) (D)8
3

3
3
3
5
??
2
?
??
4． 若x?[?,?]，则y= tan(x+)?tan(x+)+cos(x+)的最大值是
123366
(A)
(A)
12111112
2
(B)
2
(C)
3
(D)
3

5665
5． 已知x,y都在区间(?2,2)内，且xy＝?1，则函数u=
(A )
9
4
+的最小值是
4?x
2
9?y
2
812
2412
(B) (C) (D)
55
117
6． 在四面体ABCD中，设AB=1，CD=
3
，直线AB与CD的距离为2，夹角为
面体ABCD的体积等于
(A)
33
1
1
(B) (C) (D) < br>23
2
3
?
，则四
3
二、填空题(每小题9分,满分 54分)
7． 不等式|x|
3
?2x
2
?4|x|+3＜0的解 集是__________.
x
2
y
2
8． 设F
1,F
2
是椭圆
??1
的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF
1
|:|PF
2
|=2:1，则△PF
1
F
2
94< br>的面积等于__________.
9． 已知A={x|x
2
?4x+3＜0,x?R}, B={x|
2
1?x
?a
≤0, x
2
?2(a+7)x+5≤0,x?R}．若A?B, 则实数
a的取值范围是____________.

10． 已知a,b,c,d均为正整数，且log
a
b=
35
, log
c
d=，若a?c=9, 则b?d=________.
24
11． 将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球
相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.
12． 设 M
n
={
(十进制)
n位纯小数0.
a
1
a
2
?a
n
|a
i
只取0或1(i=1,2,…,n?1)，an
=1}，T
n
是
S
n
=_______.
n??
T
n
M
n
中元素的个数，S
n
是M
n
中所有元素的和，则
lim
三、解答题(每小题20分，满分60分)
1. 已知

2. 设A、B、C分别是复数
z
0
?ai< br>,
z
1
?
3
?x?5
,证
2x?1?2x? 3?15?3x?219

2
1

?bi
,
z2
?1?ci(a,b,c?R)
对应的不共线三点。
2
4224
证：曲线
z?z
0
cost?2z
1
costsint?z
2
sint(t?R)
与
?ABC
中平行于AC的中位线
只有一个 公共点，并求出此点。

3. 一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a， 折叠纸片，使圆周上某一点
A
?
刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线 折痕，当
A
?
取遍圆周上所有
点时，求所有折痕所在直线上点的集合。

第二试
1、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交 圆于C、D两点，
C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使
?DAQ??PBC
。求 证：
?DBQ??PAC



?
3
t
? ?
3
m
??
3
n
?
2、设三角形的三边长分别是整 数
l,m,n
且
l?m?n
,已知
?
4
?
?
?
4
?
?
?
4
?
，其中
?10
??
10
??
10
?
{x}?x?[x]
，求这种三角形周长的最小值。


3、由n个点和这些点之间的
l
条连线段组成一个空间图形，其中
n?q?q?1
，
2
l?
1q(q?1)
2
?1,q?2,q?N
，已知此图中任四点不共面，每点至少有一 条连线段，存
2
在一点至少有q+2条连线段。证明：图中必存在一个空间四边形（即由A,B ,C,D和AB、BC、
CD、DA组成的图形）。

一个处处像别人表明自己优秀的，恰恰证明了他（她）并不优秀，或者说缺什么，便炫耀什么。
真正的优秀，并不是指一个人完美无缺，偶像般的光芒四射。而是要真实地活着，真实地爱着。

对生活饱有热情，满足与一些小确幸，也要经得起诱惑，耐得住寂寞，内心始终如孩童般的纯真。
要知道，你走的每一步，都是为了遇见更好的自己，都是为了不辜负所有的好年华。
一个真实的人，一定也是个有担当的。
不论身处何地，居于何种逆境，他（她）们都不会畏惧坎坷 和暴风雨的袭击。因为知道活着的意义，就是真实的直面风浪。
生而为人，我们可以失败，却不能败的没有风骨，甚至连挑战的资格都不敢有。
人当如玉，无骨不去其身。生于尘，立于世，便该有一颗宽厚仁德之心，便有一份容天下之事的气度。
一个真实的人，但是又不会过于执着。
因为懂得，水至清则无鱼，人至察则无徒的道理。完美主义 者最大的悲哀，就是活得不真实，不知道审时度势，适可而止。
一扇窗，推开是艳阳天，关闭，也 要安暖向阳。不烦不忧，该来的就用心珍惜，坦然以对；要走的就随它去，无怨无悔。
人活着，就 是在修行，最大的乐趣，就是从痛苦中寻找快乐。以积极的状态，过好每一天，生活不完美，我们也要向美而生。
一个真实的人，一定是懂爱的。
时光的旅途中，大多数都是匆匆擦肩的过客。只有那 么微乎其微的人，才可以相遇，结伴同行。而这样的结伴一定又是基于志趣相投，心性相近的品性。
最好的爱，不是在于共富贵，而是可以共患难，就像一对翅膀，只有相互拥抱着才能飞翔。爱似琉璃，正是因为纯 粹干净，不沾染俗世的美。
懂爱的人，一定是真实的人。正是因为懂得真爱的不易，所以更是以真 面目面对彼此，十指紧扣，甘愿与爱的人把世间各种风景都看透，无论风雨，安暖相伴。
一个真实的人，定然是有着大智慧的。
人生在世，什么都追求好，追求完美，虽然这是一种积极的 思想，却会很累，不仅自己累，身边人也会因为你而累。到最后就会在疲于奔命中，丧失自我。
“ 兰居幽谷，虽孤独亦芬芳；梅开偏隅，虽寂静亦流香，”这便是一份淡泊和沉稳。一些事尽力了就好，无愧别人， 无愧己心，认真地活着，便是不辜负。
因为懂得，人生的风景，最终是回归到心灵的本源。和谐共生，平等友爱，才是对生命的尊重和对自己的珍视。