(完整版)高中数学易错题(含答案)

高中数学易错题

一．选择题（共6小题）
1．已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3，P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

2．在△ABC中，边AB=
A． 缺 条件，不能求出
，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（ ）
B．

C．

D．


3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5 ，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，则d的取值范围
是（ ）
A． 3 ＜d＜4 B． C． D．


4．在平面直角坐标系xoy中，已知△A BC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线
上，则
A．

5．（2009?闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量
A． 4 x﹣3y﹣10=0 B． 4x+3y+10=0

6．（2011?江西模拟）下面命题：
①当x＞0时，的最小值为2；
平行的直线的方程是（ ）
C． 3x+4y+5=0 D． 3x﹣4y+5=0

等于（ ）
B．

C．

D．

的左支
②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；
③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；
④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．
其中正确的命题是（ ）
②④ ②③
A．
①

②④
B． C．

二．填空题（共10小题）
7．Rt△ABC中，AB为斜边，?
③④
D．
=9，S
△ABC
=6，设P是△ABC（含边界）内一点，P到三边 AB，BC，AC的
距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是 _________ ．

8．（2011?武进区模拟）在△ABC中，

9．锐角三角形AB C中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程
，则c边的长是
的两个根，且
，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值= _________ ．

_________ ．

10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是 _________ ．

11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面 边长为2，则该三角形的
斜边长为
_________ ．

12．三角形ABC中，若2

13．△ABC中，AB=AC，
_________ ．

14．（2010?湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角 形内一点，它到三边的距离分别为x、y、z，则x、y、z
所满足的关系式为
_________ ．

15．（2013?东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O ，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A，若∠ABC=30°，
AC=2，则AD的长为 _________ ．
，则cosA的值是
，且b=2，一个内角为30
0
，则△ABC的面积为 _________ ．


16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b= _________ ．

三．解答题（共12小题）
17．在△ABC中，A C=b，BC=a，a＜b，D是△ABC内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边< br>形ABCD的面积最大，并求出最大值．

18．（2010?福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
（1 ）求sinC；
（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．

19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S满足条件：S=a
2< br>﹣（b﹣c）
2
和sinB+sinC=
（a，b，c为角A，B，C所对的边 ）
（1）求sinA；
（2）求△ABC面积的最大值．

20．（ 2010?东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已 知b
2
+c
2
﹣a
2
=bc．
（1）求角A的大小；
（2）若sin
2
B+sin
2
C =2sin
2
A，且a=1，求△ABC的面积．

21．小迪身高1. 6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部，
他又向 前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路灯的高度是一样< br>的）求：
（1）路灯的高度．
（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？
．

22．（2008?徐汇区二模）在△ABC中，已知
（1）求AB；（2）求△ABC的面积．

23．在△ABC中，已知．
（1）求出角C和A；
（2）求△ABC的面积S；
（3）将以上结果填入下表．
C A S
情况①
情况②

24．（2007?上海）通常用a、b 、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长，R表示△ABC外接圆半
径．
（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45° ，求弦AB
的长；
（2）在△ABC中，若∠C是钝角，求证：a
2
+b< br>2
＜4R
2
；
（3）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问： a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的△ABC
不存在，存在一个或两个（ 全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、b、R表示c．
．

25．（2010?郑州二模）在△ABC中，a、 b、c分别是角A、B、C的对边，=（2b﹣
且∥．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求2cos
2
B+sin（A﹣2B）的最小值．

26 ．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c是三内角对应的三边，已知
（1）求∠A；
（2）求△ABC的面积S．

27．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B 、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．

28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量
，且
（1）求∠C的大小；
（2）求△ABC面积的最大值．

．
，
，．
c，cosC），=（a，cosA），

高中数学易错题

参考答案与试题解析


一．选择题（共6小题）
1．已知在△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，AC=3， P是AB上一点，则点P到AC，BC的距离乘积的最大值是（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5

考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析： 设点P到AC，BC的距离分别是x和y，最上方小三角形和最大的那个三角形相似，它们对应 的边有此比
例关系，进而求得x和y的关系式，进而表示出xy的表达式，利用二次函数的性质求得xy 的最大值．
解答： 解：如图，设点P到AC，BC的距离分别是x和y，
最上方小三角形和最大的那个三角形相似，
它们对应的边有此比例关系，即=
所以4 x=12﹣3y，y=
xy=x?
4，
，求xy最大，也就是那个矩形面积最大．
=﹣?（x
2
﹣3x），
∴当x=时，xy有最大值3
故选B．

点评： 本题主要考查了三角函数的几何计算．解题的关键是通过题意建立数学模型，利用二 次函数的性质求得问
题的答案．

2．在△ABC中，边AB=
A． 缺 条件，不能求出
，它所对的角为15°，则此三角形的外接圆直径为（ ）
B．

C．

D．


考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析： 直接利用正弦定理，两角差的正弦函数，即可求出三角形的外接圆的直径即可．
解答：
解：由正弦定理可知：====．

故选D．
点评： 本题是基础题，考查三角形的外接圆的直径的求法，正弦定理与两角差的正弦函数的应用，考查计算能力．

3．在△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边 距离之和为d，则d的取值范围
是（ ）
A． 3 ＜d＜4 B． C． D．


考点： 三角形中的几何计算．
专题： 数形结合；转化思想．
分析： 画出图形，利用点到直线的距离之间的转化，三角形两边之和大于第三边，求出最小值与最大值．
解答： 解：由题意△ABC中，边a，b，c分别为3、4、5，P为△ABC内任一点，点P到三边距离之和为d，
在图（1）中，d=CE+PE+PF＞CD==，
在图（2）中，d=CE+EP+FP＜CE+EG＜AC=4；
∴d的取值范围是；

故选D．
点评： 本题是中档题，考查不等式的应用，转化思想，数形结合，逻辑 推理能力，注意，P为△ABC内任一点，
不包含边界．

4．在平面直角坐标系 xoy中，已知△ABC的顶点A（﹣6，0）和C（6，0），顶点B在双曲线
上，则
A．

等于（ ）
B．

C．

D．

的左支

考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析：
由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，利用正弦定理以及双曲线的定义化简即可得到答案．
解答： 解：由题意可知双曲线的焦点坐标就是A，B，由双曲线的定义可知BC﹣AB=2a=10， c=6，
===；
故选D．
点评： 本题是基础题，考查双曲线的定义，正弦定理的应用，考查计算能力，常考题型．

5．（2009?闸北区二模）过点A（1，﹣2），且与向量
A． 4 x﹣3y﹣10=0

平行的直线的方程是（ ）
C． 3x+4y+5=0 D． 3x﹣4y+5=0 B． 4x+3y+10=0

考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析： 通过向量求出直线的斜率，利用点斜式方程求出最新的方程即可．
解答：
解：过点A（1，﹣2），且与向量平行的直线的斜率为﹣，
所以所求直线的方程为：y+2=﹣（x﹣1），即：3x+4y+5=0．
故选C．
点评： 本题是基础题，考查直线方程的求法，注意直线的方向向量与直线的斜率的关系，考查计算能力．

6．（2011?江西模拟）下面命题：
①当x＞0时，的最小值为2；
②过定点P（2，3）的直线与两坐标轴围成的面积为13，这样的直线有四条；
③将函数y=cos2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y=sin（2x﹣）的图象；
④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12．
其中正确的命题是（ ）
②④ ②③ ③④
A．
①

②④
B． C． D．

考点： 三角形中的几何计算；恒过定点的直线．
专题： 应用题．
分析：
①由于基本不等式等号成立的条件不具备，故的最小值大于2，故①不正确．
②设过定点P（2，3）的直线的方程，求出它与两坐标轴的交点，根据条件可得4k
2
+1 4k+9=0，或
4k
2
﹣38k+9=0． 而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条．
③将函数y=c os2x的图象向右平移个单位，可以得到函数y﹣sin（2x﹣）的图象，故③不正确．
④若△ABC中，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可以为12，此时，三角形是等边三角形．
解答：
解：①∵
故①不正确．
②设过定点P（2，3）的直线的方程为 y﹣3=k（x﹣2），它与两坐标轴的交点分别为 （2﹣，0），（0，3
﹣2k），
根据直线与两坐标轴围成的面积为13=，化简可得 4k
2
+14k+9=0，或
≥2=2，（当且仅当 x=0时，等号成立），故当x＞0时，的最小值大于2，
4k
2
﹣38k+9=0． 而这两个方程的判别式都大于0，故每个方程都有两个解，故满足条件的直线有四条，故
②
正确．
③将函数y=cos2x的图象向右平移
=sin（ ）=﹣sin（2x﹣
个单位，可以得到函数y=cos2（ x﹣
）的图象，故③不正确．
）=sin[﹣（2x﹣ ）]
④已知△ABC，∠A=60°，a=4，则此三角形周长可 以为12，此时，三角形是等边三角形，故④正确．
故选B．
点评： 本题基本不等式取等 号的条件，过定点的直线，三角函数的图象变换，诱导公式的应用，检验基本不等式
等号成立的条件，是 解题的易错点．

二．填空题（共10小题） < br>7．Rt△ABC中，AB为斜边，?=9，S
△ABC
=6，设P是△ABC（含边界 ）内一点，P到三边AB，BC，AC的
，4] ． 距离分别为x，y，z，则x+y+z的取值范围是 [

考点： 向量在几何中的应用；三角形中的几何计算．
专题： 综合题．
分析： 设三边分别为a， b，c，利用正弦定理和余弦定理结合向量条件利用三角形面积公式即可求出三边长．欲求
x+y+z的 取值范围，利用坐标法，将三角形ABC放置在直角坐标系中，通过点到直线的距离将求x+y+z的
范 围转化为，然后结合线性规划的思想方法求出范围即可．
解答： 解：△ABC为Rt△ABC，且∠C=90°，
设三角形三内角A、B、C对应的三边分别为a，b，c，
∵
（1）÷（2），得
令a=4k，b=3k（k＞0）
则
，
∴三边长分别为3，4，5．
以C为坐标原点，射线CA为x轴正半轴建立直角坐标系，
则A、B坐标为（3，0），（0，4），直线AB方程为4x+3y﹣12=0．
设P点坐标为（m，n），则由P到三边AB、BC、AB的距离为x，y，z．可知 ，
且，
故，
令d=m+2n，由线性规划知识可知，如图：
当直线分别经过点A、O时，x+y+z取得最大、最小值．
故0≤d≤8，故x+y+z的取值范围是
故答案为：[]．
．

点评： 本题主要考查了解三角形中正弦定理、余弦定理、平面向 量数量积的运算、简单线性规划思想方法的应用，
综合性强，难度大，易出错．

8．（2011?武进区模拟）在△ABC中，，且△ABC的面积S=asinC，则a+c的值= 4 ．

考点： 二倍角的余弦；三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析： 首先根据三角形的面积公式求出b的值，然后将所给的式子写成
+
acosC +ccosA=b=2，即可求出答案．
解答：
解：∵S=absinC=asinC
∴b=2
∴acos
2
+ccos
2
=3
=3进而得到acosC+ccosA+a+c=6，再根据在三角形中
∴+=3
即a（cosC+1）+c（cosA+1）=6
∴acosC+ccosA+a+c=6
∵acosC+ccosA=b=2
∴2+a+c=6
∴a+c=4
故答案为：4．
点评： 本题考查了二倍角的余弦以及三角形中的几何运算，解题的关键是巧妙的将所给的式子写成
+

9．锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．边长a，b是方程
，则c 边的长是

=3的形式，属于中档题．
的两个根，且

．

考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析：
先根据求得sin（A+B）的值，进而求得sinC的值，根据同角三角函数的基本 关系
求得cosC，根据韦达定理求得a+b和ab的值，进而求得a
2
+b
2
，最后利用余弦定理求得c的值．
解答：
解：∵，
∴sin（A+B）=
∴sinC=sin（π﹣A﹣B）=sin（A+B）=
∴cosC=
∵a，b是方程
∴a+b=2，ab=2，
∴a
2
+b
2
=（a+b）
2
﹣2ab=8
∴c==
=
的两根
=
故答案为：
点评： 本题主要 考查了三角形中的几何计算，余弦定理的应用，韦达定理的应用．考查了考生综合运用基础知识
的能力．

10．已知在△ABC中，，M为BC边的中点，则|AM|的取值范围是 ．

考点： 三角形中的几何计算；正弦定理．
专题： 计算题；解三角形．
分析：
构造以BC为正三角形的外接圆，如图满足，即可观察推出|AM|的取值范围．
解答： 解：构造以BC为正三角形的外接圆，如图，
显然满足题意，由图可知红A处，|AM|值最大为
．
，
A与B（C）接近时|AM|最小，所以|AM|∈
故答案为：．

点评： 本题考查三角形中的几何计算，构造法的应用，也可以利用A的轨迹方程，两点减距离公式求解．

11．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧 棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的
斜边长为
2 ．

考点： 棱柱的结构特征；三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析： 由于 正三棱柱的底面ABC为等边三角形，我们把一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的
三 条侧棱上，结合图形的对称性可得，该三角形的斜边EF上的中线DG的长等于底面三角形的高，从而得
出等腰直角三角形DEF的中线长，最后得到该三角形的斜边长即可．
解答： 解：一个等腰直角三角形DEF的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，∠EDF=90°，
已知正三棱柱的底面边长为AB=2，
则该三角形的斜边EF上的中线DG=，
∴斜边EF的长为2．
故答案为：2．

点评： 本小题主要考查棱柱的结构特征、三角形中的几何计算等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．

12．三角形ABC中，若2，且b=2，一个内角为30
0
，则△ABC的面积为 1或 ．

考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析：
先利用2，转化得到2acosB=c；再借助于余弦定理得a=b=2；再分∠A=30°以及∠C= 30°两
种情况分别求出对应的面积．
解答：
解：因为2
所以有2acosB=c
可得：cosB==?a
2
=b
2
?a=b=2．
；
，转化为边长和角
当∠A=30°=∠B时，∠C=120°，此时S
△ABC=×2×2×sinC=
当∠C=30°时，∠A=∠B=75°，此时S
△ABC
=×2×2×sinC=1．
故答案为：
点评：
或1．
本题主要考查 余弦定理的应用以及三角形中的几何计算．解决本题的关键在于利用2
化得到2acosB=c；再借助 于余弦定理得a=b=2．
，转

13．△ABC中，AB=AC，
．
，则cosA的值是

考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析： 根据AB=AC可推断 出B=C，进而利用三角形内角和可知cosA=cos（π﹣2B）利用诱导公式和二倍角公式
化简整 理，把cosB的值代入即可．
解答： 解：∵AB=AC，
∴B=C
∴cosA=cos（π﹣2B）=cos2B=2cos
2
B﹣1=﹣1=﹣
故答案为：﹣
点评： 本题主要考查了三角形中的几何计算，二倍角公式的应用．考查了学生综合运用三角函数基础知识的能力．

14．（2010?湖南模拟）已知点P是边长为2的等边三角形内一点，它到三边的距离 分别为x、y、z，则x、y、z
所满足的关系式为
x+y+z=3 ．

考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析： 设等边三角形的边长为 a，高为h将P与三角形的各顶点连接，进而分别表示出三角形三部分的面积，相加
应等于总的面积建立 等式求得x+y+z的值．
解答： 解：设等边三角形的边长为a，高为h
将P与三角形的各顶点连接
根据面积
那么：ax+ay+az=ah
所以x+y+z=h
因为等边三角形的边长为2，所以高为h=3
所以x．y．z所满足的关系是为：x+y+z=3
故答案为：3
点评： 本题主要考查了三角形中的几何计算．考查了学生综合分析问题的能力和转化和化归的思想．
15．（2013?东莞二模）如图，已知△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，AD切⊙O于A， 若∠ABC=30°，
AC=2，则AD的长为 ．


考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析： 根据已知可得△AOC是等边三角形，从而得到OA=AC=2，则可以利用勾股定理求得AD的长．
解答： 解：（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，

∴△AOC是等边三角形，
∴OA=AC=2，
∵∠OAD=90°，∠D=30°，
∴AD=?AO=．
故答案为：．
点评： 本题考查和圆有关的比例线段，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，本题在数据运算中主要应用 含有30°
角的直角三角形的性质，本题是一个基础题．

16．三角形ABC中，三个内角B，A，C成等差数列，∠B=30°，三角形面积为，则b= ．

考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析：
先 利用三个内角成等差数列求得A，根据，∠B=30°求得C，然后利用tan30°=表示出a，代入三角形面 积
公式求得b．
解答： 解：三角形ABC中，三个内角A，B，C成等差数列
A+B+C=3A=180°
∴∠A=60°
∵∠A=30°，∴C=90
S=ab=
∵tan30°=
∴a=
∴b=
故答案为：
点评： 本题主要考查了三角形的几何计算．考查了学生基础知识综合运用的能力．

三．解答题（共12小题）
17．在△ABC中，AC=b，BC=a，a＜b，D是△AB C内一点，且AD=a，∠ADB+∠C=π，问∠C为何值时，四边
形ABCD的面积最大，并求出最 大值．

考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．

分析： 设出BD，利用余弦定理分别在△ABC，△ABD中表示出AB， 进而建立等式求得b﹣x=2acosC代入四边形
ABCD的面积表达式中，利用正弦函数的性质求得 问题的答案．
解答： 解：设BD=x，
则由余弦定理可知 b
2
+a< br>2
﹣2abcosC=AB
2
=a
2
+x
2
+2axcosC
∴b﹣x=2acosC．
∵S=（absinC）﹣（axsin C）=a（b﹣x）sinC=a
2
?sin2C，
∴当C=时，S有最大值．
点评： 本题主要考查了三角形的几何计算．注意灵活利用正弦定理和余弦定理以及其变形公式．

18．（2010?福建模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，．
（1）求sinC；
（2）若c=2，sinB=2sinA，求△ABC的面积．

考点： 三角形中的几何计算；二倍角的正弦．
专题： 计算题．
分析： （1）利用同角三角函数关系及三角形内角的范围可求；
（2）利用正弦定理可知b=2a，再利用余弦定理，从而求出a、b的值，进而可求面积．
解答：
解：（1）由题意，，∴
（2）由sinB=2sinA可知b=2a，又 2
2
=a
2
+b
2
﹣2abcosC，∴a=1，b=2， ∴
点评： 此题考查学生灵活运用三角形的面积公式，灵活运用正弦、余弦定理求值，是一道基础题题．


19．已知外接圆半径为6的△ABC的边长为a、b、c，角B、C和面积S 满足条件：S=a
2
﹣（b﹣c）
2
和sinB+sinC=
（a， b，c为角A，B，C所对的边）
（1）求sinA；
（2）求△ABC面积的最大值．

考点： 三角形中的几何计算；正弦定理的应用；余弦定理的应用．
专题： 计算题；综合题．
分析：
（1）由三角形的面积公式，结合余弦定理求出的值，进而有sinA=．
（2）利用
的最大值．
解答：
解：（1）
（2）∵
，结 合正弦定理，求出b+c的值，利用三角形的面积公式和基本不等式求出面积
得
，∴即

所以
进而有
故当b=c=8时，S
最大
=．
点评： 本题是中档题，考查三角函数的化简，正弦定理、余弦定理的应用，三角形的面积公式以及基本不等式的
应用，考查计算能力，逻辑推理能力．

20．（ 2010?东城区模拟）在△ABC中，A，B，C是三角形的三个内角，a，b，c是三个内角对应的三边，已 知b
2
+c
2
﹣a
2
=bc．
（1）求角A的大小；
（2）若sin
2
B+sin
2
C =2sin
2
A，且a=1，求△ABC的面积．

考点： 三角形中的几何计算；正弦定理．
专题： 计算题．
分析： （1）利用余弦定理和题设等式求得cosA的值，进而求得A．
（2）利用正弦定理把题设中的正弦 转化成边的关系，进而求得bc的值，最后利用三角形面积公式求得答
案．
解答：
解：（1）因为b
2
+c
2
﹣a
2
=2bccosA=bc
所以
所以

（2）因为sin
2
B+sin
2< br>C=2sin
2
A
所以b
2
+c
2
=2a
2
=2
因为b
2
+c
2
﹣a
2
=bc
所以bc=1
所以=
点评： 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．注意挖掘题设中关于边，角问题的联系．

2 1．小迪身高1.6m，一天晚上回家走到两路灯之间，如图所示，他发现自己的身影的顶部正好在A路灯的底部 ，
他又向前走了5m，又发现身影的顶部正好在B路灯的底部，已知两路灯之间的距离为10m，（两路 灯的高度是一样
的）求：
（1）路灯的高度．
（2）当小迪走到B路灯下，他在A路灯下的身影有多长？


考点： 三角形中的几何计算．
专题： 综合题．
分析： （1）由题意画出简图，设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h，利用三角形相似建立方程解德； （2）由题意当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E，则DE长即为所求的影长，利用
三角形相似建立方程求解即可．
解答： 解：如图所示，设A、B为两路灯，小迪从MN移到PQ，并设C、D分别为A、B灯的底部．
由题中已知得MN=PQ=1.6m，
NQ=5m，CD=10m
（1）设CN=x，则QD=5﹣x，路灯高BD为h
∵△CMN∽△CBD，
即?
又△PQD∽△ACD

即?
由①②式得
x=2.5m，h=6.4m，
即路灯高为6.4m．
（2）当小迪移到BD所在线上（设为DH），连接AH交地面于E．
则DE长即为所求的影长．
∵△DEH∽△CEA?
解得DE=
?
m． m，即他在A路灯下的身影长为

点评： 此题考查了学生理解题意的能力，还考查了利用三角形相似及方程思想求解变量及学生的计算能力．

22．（2008?徐汇区二模）在△ABC中，已知
（1）求AB；（2）求△ABC的面积 ．

考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析： （1）求AB长，关键是求sinB，sinC，利用已知条件可求；
．
（2）根据三角形的面积公式
=sinBcosC+cosBsinC可求
解答：
，故关键是求sinA的值，利用sinA=sin（B+C）
解：（1）设AB、BC、CA 的长分别为c、a、b，，∴，
∴．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
﹣﹣﹣﹣﹣（6分）
（2）因为
（12分）
故所求面积﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14分）
．∴sinA=sin （B+C）=sinBcosC+cosBsinC=﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
点评： 本题的考点是三角形的几 何计算，主要考查正弦定理得应用，考查三角形的面积公式，关键是正确记忆公
式，合理化简．

23．在△ABC中，已知
（1）求出角C和A；
（2）求△ABC的面积S；
（3）将以上结果填入下表．

．

C A S
情况①
情况②

考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题；分类讨论．
分析： （1）先根据正弦定理以及大角对大边求出角C，再根据三角形内角和为180°即可求出角A．
（2）分情况分别代入三角形的面积计算公式即可得到答案；
（3）直接根据前两问的结论填写即可．
解答：
解：（1）∵，…（2分）
∵c＞b，C＞B，∴C=60°，此时A=90°，
或者C=120°，此时A=30°…（2分）
（2）∵S=bcsinA
∴A=90°，S=bcsinA=
A=30°，S=bcsinA=
；
．…（2分）
（3）
点评： 本题主要考查三角形中的几何计算．解决本题的关键在于根据正弦定理以及大角对大边求出角C．

24．（2007?上海）通常用a、b、c表示△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C所对边的边长， R表示△ABC外接圆半
径．
（1）如图所示，在以O为圆心，半径为2的⊙O中，BC和B A是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°，求弦AB
的长；
（2）在△ABC中，若 ∠C是钝角，求证：a
2
+b
2
＜4R
2
；
（3 ）给定三个正实数a、b、R，其中b≤a，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半 径的△ABC
不存在，存在一个或两个（全等的三角形算作同一个）？在△ABC存在的情况下，用a、 b、R表示c．


考点： 三角形中的几何计算；解三角形．
专题： 计算题；数形结合．
分析：
（1）由正弦定理知===2R，根据题目中所给的条件，不难得出弦AB的长；
（2）若∠ C是钝角，故其余弦值小于0，由余弦定理得到a
2
+b
2
＜c
2< br>＜（2R）
2
，即可证得结果；
（3）根据图形进行分类讨论判断三角形的形 状与两边a，b的关系，以及与直径的大小的比较，分成三类
讨论即可．

解答：
解：（1）在△ABC中，BC=2，∠ABC=45°< br>sinA=∵A为锐角∴A=30°，B=45°
∴C=75°∴AB=2Rsin75°=4sin75°=；
（2）∠C为钝角，∴cosC＜0，且cosC≠1
cosC=＜0∴a
2
+b
2
＜c
2
＜（2R）
2

===2R?b=2
即a
2
+b
2
＜4R
2
（8分）
（3）a＞2R或a=b=2R时，△ABC不存在
当
∴c=
当
时，A=90，△ABC存在且只有一个

时，∠A=∠B且都是锐角sinA=sinB=

时，△ABC存在且只有一个 < br>∴c=2RsinC=2Rsin
2
AC=
当时，∠B总是锐角，∠A可以是钝 角，可是锐角
∴△ABC存在两个
∠A＜90°时，
c=
∠A＞90°时，
c=

点评： 本题考查三角形中的几何 计算，综合考查了三角形形状的判断，解三角形，三角形的外接圆等知识，综合
性很强，尤其是第三问需 要根据a，b两边以及直径的大小比较确定三角形的形状．再在这种情况下求第三
边的表达式，本解法主 观性较强．难度较大．

25．（2010?郑州二模）在△ABC中，a、b、c分别是 角A、B、C的对边，=（2b﹣
且∥．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）求2cos
2
B+sin（A﹣2B）的最小值．

考点： 三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析：
（Ⅰ）根据∥和两向量的坐标可 求得
c，cosC），=（a，cosA），
，利用正弦定理把边转化成
角的正弦，然 后利用两角和公式化简整理求得cosA的值，进而求得A
（Ⅱ）把A的值代入，利用两角和公式整理 后，利用正弦函数的性质求得2cos
2
B+sin（A﹣2B）的最小值．

解答：
解：（Ⅰ）由得
．
，
．
，． 由正弦定理得
∴
∵A，B∈（0，π），
∴sinB≠0，
∴

（Ⅱ）解：∵

．
∴2cos
2
B+sin（A﹣2B）=
=，
．
2cos
2
B+sin（A﹣2B）的最小值为
点评： 本题主要考查了三 角形中的几何计算，正弦定理的应用和两角和公式的化简求值．注意综合运用三角函数
的基础公式，灵活 解决三角形的计算问题．

26．在△ABC中，A、B、C是三角形的内角，a、b、c 是三内角对应的三边，已知
（1）求∠A；
（2）求△ABC的面积S．

考点： 正弦定理的应用；三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析：
，．
（1）由已知结合正弦与余弦定理=化简可求b，由余弦定理可得，
cosA= 代入可求cosA，及A
可求 （2）代入三角形的面积公式
解答：
解：（1）∵
∵

∴=
化简可得，b
2
﹣2b﹣8=0
∴b=4

由余弦定理可得，cosA=
∴
（2）
；
==
=
点评： 本题主要考查了解三角形的基本工具：正弦定理与余弦定理的应用 ，解题的关键是具备综合应用知识解决
问题的能力

27．在△ABC中，a、b 、c分别是角A、B、C的对边，且（2a+c）cosB+bcosC=0．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）若a+c=4，求△ABC面积S的最大值．

考点： 三角函数中的恒等变换应用；三角形中的几何计算．
专题： 计算题．
分析： （Ⅰ）利用 正弦定理化简（2a+c）cosB+bcosC=0，得到三角形的角的关系，通过两角和与三角形的内角和，
求出B的值；
（Ⅱ）通过S=，利用B=以及a+c=4，推出△ABC面积S的表达式，通 过平方法结合a的范
围求出面积的最大值．
解答： 解 （Ⅰ）由正弦定理得（2sinA+sinC）cosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB=0
得2sinACcosB+sin（C+B）=0，
因为A+B+C=π，所以sin（B+ C）=sinA，得2sinAcosB+sinA=0，因为sinA≠0，
所以cosB=﹣，又 B为三角形的内角，所以B=
（Ⅱ）因为S=
S=
，由B=
=
及a+ c=4得
=，
．
又0＜a＜4，所以当a=2时，S取最大值 …（3分）
点评： 本题是中档题，考查三角形面积的最值，三角形的边角关系，三角函数的公式的灵活应用，考查计算能力．

28．已知△ABC的外接圆半径，a、b、C分别为∠A、∠B、∠C的对边，向量
，且 ．
，
（1）求∠C的大小；
（2）求△ABC面积的最大值．

考点： 三角函数的恒等变换及化简求值；三角形中的几何计算．
专题： 综合题．
分析：
（1）由 ，推出 ，利用坐标表示化简表达式，结合余弦定理求角C；
（ 2）利用（1）中c
2
=a
2
+b
2
﹣ab，应用正弦定理 和基本不等式，求三角形ABC的面积S的最大值．
解答：
解答：解：（1）∵

∴
且 ，由正弦定理得：


化简得：c
2
=a
2
+b
2
﹣ab
由余 弦定理：c
2
=a
2
+b
2
﹣2abcosC∴
∵ 0＜C＜π，∴
，
（2）∵a
2
+b
2
﹣ab=c2
=（2RsinC）
2
=6，
∴6=a
2
+b2
﹣ab≥2ab﹣ab=ab（当且仅当a=b时取“=”），

所以，．
点评： 本题考查数量积判断两个平面向量的垂直关系，正弦定理，余弦定理的应用，考查学生分析问题 解决问题
的能力，是中档题．