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历年全国高中数学联赛试题及答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 02:28
tags:高中数学题

微积分对高中数学有用吗-高中数学必修5归纳


1988年全国高中数学联赛试题
第一试(10月16日上午8∶00——9∶30)
一.选择题(本大题共5小题,每小题有一个正确答案,选对得7分,选错、不选或多选均得0分):
1.设有三个函数,第一个是y=φ(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象及第二个函 数的
图象关于x+y=0对称,那么,第三个函数是( )
--
A.y=-φ(x) B.y=-φ(-x) C.y=-φ
1
(x) D.y=-φ
1
(-x) < br>2.已知原点在椭圆k
2
x
2
+y
2
-4kx+2k y+k
2
-1=0的内部,那么参数k的取值范围是( )
A.|k|>1 B.|k|≠1 C.-13.平面上有三个点集M,N,P:
M={(x,y)| |x|+|y|<1},
N={(x,y)|
11
(x-)
2+(y+)
2
+
22
11
(x+)
2
+(y- )
2
<22},
22
P={(x,y)| |x+y|<1,|x|<1,|y|<1}.则
A.MPN B.MNP C.PNM D.A、B、C都不成立
4.已知三个平面α、β、γ,每两个之 间的夹角都是θ,且α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c.若有
π
命题甲:θ>;
3
命题乙:a、b、c相交于一点.

A.甲是乙的充分条件但不必要 B.甲是乙的必要条件但不充分
C.甲是乙的充分必要条件 D.A、B、C都不对
5.在坐标 平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用I表示所有直线的集合,M表示恰好通过
1个整点的集 合,N表示不通过任何整点的直线的集合,P表示通过无穷多个整点的直线的集合.那么表达
式 ⑴ M∪N∪P=I; ⑵ N≠?. ⑶ M≠?. ⑷ P≠?中,正确的表达式的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题(本大题共4小题,每小题10分):
b
4
-b
31.设x≠y,且两数列x,a
1
,a
2
,a
3
,y和 b
1
,x,b
2
,b
3
,y,b
4
均为等 差数列,那么= .
a
2
-a
1
2.(x+2)
2
n
+1
的展开式中,x的整数次幂的各项系数之和为 .
DE
3.在△ABC中,已知∠A=α,CD、BE分别是AB、AC上的高,则= .
BC
4.甲乙两队各出7名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1号队员 比赛,负者被淘
汰,胜者再及负方2号队员比赛,……直至一方队员全部淘汰为止,另一方获得胜利,形 成一种比赛过程.那
么所有可能出现的比赛过程的种数为 .
三.( 15分)长为2,宽为1的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体的体积.
四.(15分) 复平面上动点Z
1
的轨迹方程为|Z
1
-Z
0
|=|Z
1
|,Z
0
为定点,Z
0
≠0,另一 个动点Z满足Z
1
Z=-1,
求点Z的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置. 11
五.(15分)已知a、b为正实数,且+=1,试证:对每一个n∈N
*

ab
(a+b)
n
-a
n
-b
n< br>≥2
2
n
-2
n
+1

1 2391 239


1988年全国高中数学联赛二试题
一.已知数列{a
n< br>},其中a
1
=1,a
2
=2,
?
5a
n +1
-3a
n
(a
n
·a
n+1
为偶数),
a
n+2
=
?

a
n+1
为奇数).
?
a
n+1
-a
n
(a
n
·
试证:对一切n ∈N*,a
n
≠0.











S
二.如图,在△ABC中,P、Q、 R将其周长三等分,且P、Q在AB边上,求证:
S
A
PQR
2
>.
ABC
9
P
H
N
Q
B
R
C













三.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线l
1
,l
2
,……,l
n
,…的直线族,它满足条件:
⑴ 点(1,1)∈l
n
,(n=1,2,3,……);
⑵ k
n+1=a
n
-b
n
,其中k
n+1
是l
n+1的斜率,a
n
和b
n
分别是l
n
在x轴和y轴上的截距 ,(n=1,2,3,……);
⑶ k
n
k
n+1
≥0,(n=1,2,3,……).
并证明你的结论.


2 2392 239


1988年全国高中数学联赛解答
一试题
一.选择题(本大题共5小题,每小题有一个正确答案,选对得7分,选错、不选或多选均得0分):
1.设有三个函数,第一个是y=φ(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象及第二个函 数的
图象关于x+y=0对称,那么,第三个函数是( )
--
A.y=-φ(x) B.y=-φ(-x) C.y=-φ
1
(x) D.y=-φ
1
(-x) < br>--
解:第二个函数是y=φ
1
(x).第三个函数是-x=φ
1(-y),即y=-φ(-x).选B.
2.已知原点在椭圆k
2
x
2
+y
2
-4kx+2ky+k
2
-1=0的内部,那么参数k的取值 范围是( )
A.|k|>1 B.|k|≠1 C.-1解:因是椭圆,故k≠0,以(0,0)代入方程,得k
2
-1<0,选D.
3.平面上有三个点集M,N,P:
M={(x,y)| |x|+|y|<1},
N={(x,y)|
11
(x-)
2
+(y+)
2
+
22
11
(x+)
2
+(y-)
2
<2 2},
22
P={(x,y)| |x+y|<1,|x|<1,|y|<1}.则
A.MPN B.MNP C.PNM D.A、B、C都不成立
解:M表示以(1,0),(0.1),(-1,0),(0,-1) 为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界);N表
1111
示焦点为(,-),(-,), 长轴为22的椭圆内部的点的集合,P表示由x+y=±1,x=±1,y=±1围成
2222
的六边形内部的点的集合.故选A.
4.已知三个平面α、β、γ,每两个之间的夹角都是θ,且α∩ β=a,β∩γ=b,γ∩α=c.若有
π
命题甲:θ>;
3
命题乙:a、b、c相交于一点.

A.甲是乙的充分条件但不必要 B.甲是乙的必要条件但不充分
C.甲是乙的充分必要条件 D.A、B、C都不对
ππ
解:a,b,c或平行,或交于一点.但当a∥b∥c时, θ=.当它们交于一点时,<θ<π.选C.
33
5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点 叫做整点,我们用I表示所有直线的集合,M表示恰好通过
1个整点的集合,N表示不通过任何整点的直 线的集合,P表示通过无穷多个整点的直线的集合.那么表达
式 ⑴ M∪N∪P=I; ⑵ N≠?. ⑶ M≠?. ⑷ P≠?中,正确的表达式的个数是
A.1 B.2 C.3 D.4
解:均正确,选D.
二.填空题(本大题共4小题,每小题10分):
b
4
-b
31.设x≠y,且两数列x,a
1
,a
2
,a
3
,y和 b
1
,x,b
2
,b
3
,y,b
4
均为等 差数列,那么= .
a
2
-a
1
b
4
-b
3
812
解:a
2
-a
1
=(y-x),b< br>4
-b
3
=(y-x),=.
43
a
2
- a
1
3
2.(x+2)
2
n
+1
的展开式中,x的 整数次幂的各项系数之和为 .
解:(x+2)
2
n
+ 1
-(x-2)
2
n
+1
=2(C
2
n
+ 1
2x
n
+C
2
n
+1
2
3
x< br>n
1
+C
2
n
+1
2
5
x
n
2
+…+C
2
n
+1
2
2
n
+ 1
).
1
令x=1,得所求系数和=(3
2
n
+1
+1).
2
3 2393 239
13

5

2n+ 1


DE
3.在△ABC中,已知∠A=α,CD、BE分别是AB、AC上的高 ,则= .
BC
DEAD
解:△AED∽△ABC,==|cosα|.
BCAC4.甲乙两队各出7名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由1号队员比赛,负者被淘
汰,胜者再及负方2号队员比赛,……直至一方队员全部淘汰为止,另一方获得胜利,形成一种比赛过程.那< br>么所有可能出现的比赛过程的种数为 .
解 画1行14个格子,每个 格子依次代表一场比赛,如果某场比赛某人输了,就在相应的格子中写上
他的顺序号(两方的人各用一种 颜色写以示区别).如果某一方7人都已失败则在后面的格子中依次填入另一
方未出场的队员的顺序号. 于是每一种比赛结果都对应一种填表方法,每一种填表方法对应一种比赛结
果.这是一一对应关系.故所 求方法数等于在14个格子中任选7个写入某一方的号码的方法数.
∴共有C
14
种比赛方式.
三.(15分)长为2,宽为1的矩形,以它的 一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体的
体积.
D
解:过轴所在对角 线BD中点O作MN⊥BD交边AD、BC于M、N,作
AE⊥BD于E,
则△ABD旋转所 得旋转体为两个有公共底面的圆锥,底面半径AE=
=
6
π
623
. 其体积V=()
2
·3=
π.同样,
3339
23
△BCD旋转所得旋转体的体积=
π.
9
其 重叠部分也是两个圆锥,由△DOM∽△DAB,DO=
1633
∴其体积=2·
π· (
)
2
·=
π.
3428
23323
∴ 所求体积=2·
π-π=
3π.
9872
四.(15分) 复平面上动点Z
1
的轨迹方程为|Z
1
-Z
0
|=|Z
1
|,Z
0
为定点,Z
0
≠0,另一个动点Z满足Z
1
Z=-
1,求点Z的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置.
1111111
解:Z
1
=-,故得|--Z
0
|=||,即|ZZ
0
+1|=1.|Z +|=||.即以-为圆心||为半径的圆.
ZZZZ
0
Z
0
Z< br>0
Z
0
11
五.(15分)已知a、b为正实数,且+=1.试证:对 每一个n∈N
*

ab
(a+b)
n
-a
n
-b
n
≥2
2
n
-2
n
+1< br>.
证明:由已知得a+b=ab.又a+b≥2ab,∴ ab≥2ab,故a+b=ab≥4 .于是(a+b)
k
=(ab)
k
≥2
2
k

又 a
k
+b
k
≥2a
k
b
k
= 2(a+b)
k
≥2
k
+1
.下面用数学归纳法证明:
1° 当n=1时,左=右=0.左≥右成立.
2° 设当n=k(k≥1,k∈N)时结论 成立,即(a+b)
k
-a
k
-b
k
≥2
2
k
-2
k
+1
成立.
--
则(a+b)
k+1
-a
k
+1
-b
k
+1
=(a+b)(a +b)
k
-(a
k
+b
k
)(a+b)+ab(a
k
1
+b
k
1
)
--
=(a+b)[(a+b)
k
-a
k
-b
k
]+ ab(a
k
1+b
k
1
)≥4?(2
2
k
-2
k
+ 1
)+4?2
k
=2
2(
k
+1)
-4?2
k
+1
+4?2
k
=2
2(
k
+1)
- 2
(
k
+1)+1
.即命题
对于n=k+1也成立.
故对于一切n∈N
*
,命题成立.

二试题
4 2394 239
3DO·AB6
,OM==.
2DA4
2
3
A
M
O
E
N
C
7
B


一.已知数列{a
n
},其中a
1
=1,a
2
=2, < br>?
5a
n+1
-3a
n
(a
n
·a
n+1
为偶数),
a
n+2
=
?

a
n+ 1
为奇数).
?
a
n+1
-a
n
(a
n< br>·
试证:对一切n∈N*,a
n
≠0.(1988年全国高中竞赛试题)
分析:改证a
n
?
0(mod 4)或a
n
?
0(mod 3).
证明:由a
1
=1,a
2
=2

得a
3
=7,a
4
=29,……

∴ a
1
≡1,a
2
≡2,a
3
≡3(mod 4).
设a
3k

2
≡1,a
3k

1
≡2, a
3k
≡3(mod 4).
则 a
3k+1
≡5×3-3×2=9≡1(mod 4);a
3k+2
≡1-3=-2≡2(mod 4);a
3k+3
≡5×2-3×1=7≡3(mod 4).
根据归纳原理知,对 于一切n∈N,a
3n

2
≡1,a
3n

1≡2,a
3n
≡3(mod 4)恒成立,故a
n
?0(mod 4)成立,从
而a
n
≠0.
又证:a
1
≡1,a
2
≡2(mod 3).
设a
2k

1
≡1,a
2k
≡2(mod 3)成立,则
当a
2k

1
?a
2k
为偶数时a
2k+1
≡5×2-3×1≡1(mod 3),当a
2k

1?a
2k
为奇数时a
2k+1
≡2-1≡1(mod 3),总之
a
2k+1
≡1(mod 3).
当a
2k
? a
2k+1
为偶数时a
2k+2
≡5×1-3×2≡2(mod 3),当a
2k
?a
2k+1
为奇数时a
2k+2
≡1-2≡2(mo d 3),总之,
a
2k+2
≡2(mod 3).于是a
n
?
0(mod 3).故a
n
≠0.
S< br>二.如图,在△ABC中,P、Q、R将其周长三等分,且P、Q在AB边上,求证:
S
A
PQR
2
>.
ABC
9
P
H
N
Q
B
R
C
1
证明:作△ABC及△PQR的高CN、RH.设△A BC的周长为1.则PQ=.
3

S
S
PQR
PQ·RH PQAR1PQ2
==·,但AB<,于是>,
CNABAC2AB3
ABC
AB·
PQR
S
111111AR1
AP≤AB-PQ<-=,∴ AR=-AP>,AC<,故>,从而
236362AC3
S
2
>.
ABC
9
三.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线l
1
,l
2
,……,l
n
,…的直线
族,它满足条件:
⑴ 点(1,1)∈l
n
,(n=1,2,3,……);
⑵ k
n+1=a
n
-b
n
,其中k
n+1
是l
n+1的斜率,a
n
和b
n
分别是l
n
在x轴和y轴上的截距 ,(n=1,2,3,……);
⑶ k
n
k
n+1
≥0,(n=1,2,3,……).
并证明你的结论.
证明:设a
n
=b
n
≠0,即k
n

1
=-1,或a
n
=b
n
=0,即k
n
=1,就有k
n+1
=0,此时a
n+1
不存在,故k
n
≠±1.
11
现设k
n
≠0,1,则y=k
n
(x-1)+1,得b
n
=1-k
n
,a
n
=1-,∴ k
n+1
=k
n
-.此时k
n
k
n+1
=k
n
2
-1.
k
n
k
n
∴ k
n
>1或k
n
<-1.从而k
1
>1或k
1
<-1.
11
⑴ 当k
1
>1时,由于0<<1,故k
1
>k
2
=k
1
->0,若k
2
>1,则又有k
1
>k
2
>k
3
>0,依此类推,知当k
m
>1
k
1
k
1
111
时,有k
1
>k
2
>k< br>3
>?…>k
m
>k
m+1
>0,且0<<<…<<1, < br>k
1
k
2
k
m
11112m
k
m+ 1
=k
m
m
-=k
m

1
--m

1
-<…1
-.
k
m
k
1
k
1
k
1
k
m

1
k
1
mm
0
由于k
1
-随m的增大而线性减小,故 必存在一个m值,m=m
0
,使k
1
-≤1,从而必存在一个m值
k
1
k
1
m=m
1
≤m
0
,使k
m
1
-1
≥1,而1>k
m
1
=k
m
1-1

即此时不存在这样的直线族.
5 2395 239
>0,此时k
m
1
·k
m
1
+1
<0.
k
m
1
-1
1


11
⑵ 当k
1
<-1时,同样有-1<<0,得k
1
2
=k
1< br>-<0.若k
2
<-1,又有k
1
2
3
<0,依此类推,知当
k
1
k
1
111
km
<-1时,有k
1
2
3
m
m+1
<0,且0>>>…>>-1,
k
1
k
2
k
m
11112m
k
m+1
=k
m
->k
m
-=k
m

1
-->k
m

1
->…>k
1
-.
k
m
k
1k
1
k
1
k
m

1
k
1mm
0
由于k
1
-随m的增大而线性增大,故必存在一个m值,m=m< br>0
,使k
1
-≥-1,从而必存在一个m
k
m
k1
值,m=m
1
(m
1
≤m
0
),使k
m
1
-1
≤-1,而-1m
1
=k
m
1

即此时不存在这样的直线族.
综上可知这样的直线族不存在.



<0,此时k
m
1
·k
m
1
+1
<0.
k
m
1
-1
1
厦门市参加2010年福建省高中数学竞赛
暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知

贵校教务处转数学教研组:
根据闽科协发【2010】39号文件《关于举办2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知》, 以及省
数学会《关于2010年福建省高中数学竞赛暨2010年全国高中数学联赛福建赛区竞赛的通知 》,根据我市情
况,有关竞赛工作通知如下:

一、赛制、竞赛时间和命题范围
竞赛分预赛和复赛两个阶段。
1.预赛:
(1)时间:2010年
9月1 1日(星期六)
9:00——11:30,在本市考点进行。
(2)试题来源:预赛试题由福 建省数学学会组织命题,同时也作为《2010年福建省高中数学竞赛》的
试题,试题类型以全国联赛类 型为主,适当补充少量全国联赛加试部分的内容。
(3)试卷结构:填空题10题,每题6分,满分6 0分;解答题5题,每题20分,满分100分。全卷
满分160分。考试时间150分钟。
2.复赛
(1)时间及地点:2010年10月17日(星期日)8:00——12:10, 集中在福州一中旧校区进行考试。
其中联赛时间为8:00—9:20,加试时间为9:40—12:1 0。
(2)试题来源及命题要求:复赛试题是由中国数学会统一命题的全国联赛试题和加试试题。命题 范围
以现行高中数学教学大纲为准,加试试题的命题范围以数学竞赛大纲为准。
根据现行“高 中数学竞赛大纲”的要求,全国高中数学联赛(一试)所涉及的知识范围不超过教育部
2000年《全日 制普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容,但方法的要求上有所提高。主
要考查学生对 基础知识和基本技能的掌握情况,以及综合、灵活运用知识的能力。
全国高中数学联赛加试(二试)及 中国数学奥林匹克(冬令营)、国际数学奥林匹克接轨,在知识方面
有所扩展,适当增加一些教学大纲之 外的内容。
(3)试卷结构:
全国高中数学联赛(一试)试卷结构为:填空题8题,每题8 分,满分64分;解答题3题,分别为16
分、20分、20分,满分56分。全卷满分120分。考试 时间80分钟;
6 2396 239


全国高中数学联赛加试(二试) 试卷结构为:4道解答题,涉及平面几何、代数、数论、组合四个方面。
每题50分。满分200分。考 试时间150分钟。

二、参赛对象
本学年度的在校高中学生均可报名,自愿参加,不影响学校的正常教学秩序。

三、报名、报名费和准考证
采用网上报名。在各校教务处的指导下,由高二年数学备课组长具 体负责,组织学生报名参加竞赛。
报名表请参照样表、统一用Excel文档并
按要求认真填写
,根据省数学会要求,报名时需将所有参加考试
的考生的花名册上交,为最后评奖、颁发获奖学 生证书以及制作指导教师证书的依据,务必请各校认真填
写报名表,指导教师以报名表上登记的为准(每 名学生只能上报1名指导教师),赛后不得更改。报名费(按
省数学会通知)统一收取每生18元。 < br>各参赛学校请将报名表的电子文本用E.;报名费请直接汇入建设银行活期存折,存折户名:陈智猛,ATM卡号:436742193。
报名截止时间是6月25日,逾期不予受理。
请保留 汇款的凭单备查,将本校报名人数以及汇款的金额数用手机短信形式发送至,短信联系进行报
名的确认。 9月初召开考务会同时领取准考证,准考证请各校自行填写,由备课组长保管,考前30分钟再
发给考生 。

四、考号安排
7 2397 239


学 校
厦门一中
双十中学
厦门六中
外国语学校
科技中学
厦门二中
湖滨中学

集美中学
英才学校
灌口中学
乐安中学

同安一中
启悟中学
第二外国语学校
翔安一中
新店中学
内厝中学
诗扳中学
考号安排
10001——10600
10601——11200
11201——11800
11801——12400
12401——13000
13001——13200
13201——13400
20001——20400
20401——20600
20601——28000
20801——21000
30001——30600
30601——30800
30801——31000
40001——40400
40401——40600
40601——40800
40801——41000
学 校 考号安排
松柏中学 13401——13600
厦门三中 13601——13800
华侨中学 13801——14000
禾山中学 14001——14200
大同中学 14201——14400
康桥中学 14401——14600


厦门十中 21001——21400
杏南中学 21401——21600
海沧中学 21601——21800
海沧实验中学 21801——22000

东山中学 31001——31200
五显中学 31201——31400
国祺中学 31401——31600
8 2398 239



五、考务:
有关考场的设置、监考等考务工作另行安排布置。

六、奖项:
按参赛人数的5%从高分到低分确定复赛入围者;预赛成绩为本区第一 名经省数学会审核无误后也可以
直接参加复赛。
另外,符合下列条件之一者可直接进入复赛:
(1)2008年、2009年全国高中数学联赛(福建赛区)一、二等奖获得者;
(2)2010年东南地区数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者;
(3)2010年福建省高一数学竞赛(省)前十五名获得者;
(4)2010年中国女子数学奥林匹克竞赛一、二等奖获得者。
复赛试卷经省数学会评定后 ,评出(省级)全国一、二、三等奖的获奖名单报省科协、省教育厅审定,
获得(省级)全国一、二、三 等奖的选手及指导教师由省科协和省教育厅联合颁发获奖证书。
注意:一等
奖、二等奖和三等奖 均按联赛及加试的总分评定。

省数学会评出《2009年福建省高中数学竞赛》一、二、三等 奖后,我市在省奖之外再评出市一等奖、
二等奖、三等奖,以及表扬奖若干名。为了鼓励各校参加高中数 学联赛的积极性,研究决定:按报名人数
给学校不低于10%的市级(以上)获奖名额,鼓励学生。


厦门市教育科学研究院 基础教育研究室
厦门市教育学会 数学教学专业委员会
2010年5月13日

附:2010年全国高中数学联赛福建赛区(厦门)竞赛报名表
考号








学生姓名








性别








年级








所在学校








指导教师








考生总数 (人) 应交金额 (元)
(注:报名表的指导教师栏请认真填写,赛后不得更改)

1992年全国高中数学联赛试卷
第一试
一.选择题(每小题5分,共30分)
1. 对于每个自然数
n
,抛物线
y
?
(
n

n
)
x
?(2
n
+1)
x
+1及x
轴交于
A
n

B
n
两点,以|
A< br>n
B
n
|表示该两点的距离,则|
A
1
B
1
|
22
+|
A
2
B
2
|+?+|
A
1992
B
1992
|的值是( )
y
1
?1
O
?1
1
x
9 2399 239


1991
(A)
1992
1992
(B)
1993
1991
(C)
1993
1993
(D)
1992

2. 已知如图的曲线是以原点为圆心,1为半径的圆的一部分,则这一曲线的方程是( )
(A)(
x

(C)(x+
1?y
2
)(y+
1?x
2
)=0 (B)(x?
1?y
2
)(y?
1?x
2
)=0
1?y
2
)(y?
1?x
2
)=0 (D)(x?
1?y
2
)(y+
1?x
2
)=0
(
?
S
i
)
i?1
4
3. 设四面体四个 面的面积分别为
S
1

S
2

S
3

S
4
,它们的最大值为
S
,记
?
=
( A)2<
?
≤4 (B)3<
?
<4 (C)2.5<
?
≤4.5 (D)3.5<
?
<5.5

S
,则
?
一定满足( )
C
,
sinB
log
4. 在△
ABC
中,角A

B

C
的对边分别记为
a

b< br>,
c
(
b
?1),且
AsinA
都是方程
( C)是等腰直角三角形 (D)不是等腰三角形,也不是直角三角形
b
x
=log(4
x
?4)的根,则△
ABC
( )
b
(A)是等腰三角形,但不是直角三角形 (B)是直角三角形,但不是等腰三角形
5. 设复数
z
1

z
2
在复平面上对应的点分别 为
A

B
,且|
z
1
|=4,4
z
1
?2
z
1
z
2

z
2
=0,
O
为坐标原点,则△
OAB
的面积为( )
(A)8
22
3
(B)4
3
(C)6
3
(D)12
3

6. 设
f
(
x
)是定义在实数集
R
上的函数,且满足下列关系
f
( 10+
x
)
?
f
(10?
x
),
f(20?
x
)
?
?
f
(20+
x
), 则
f
(
x
)是
(A)偶函数,又是周期函数 (B)偶函数,但不是周期函数
(C)奇函数,又是周期函数 (D)奇函数,但不是周期函数
二.填空题(每小题5分共30分)
1
,
1
,
1
x
?
z
xyz
成等差数列,则
zx
1. 设
x

y

z
是实数,3
x
,4
y
,5
z
成等比数列,且
2. 在区间[0,
?]中,三角方程cos7
x
?
cos5
x
的解的个数是____ __.
的值是______.
3. 从正方体的棱和各个面上的对角线中选出
k< br>条,使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线,则
k
的最大值是
____ _.
z
2
z
4. 设
z

z
都是复数, 且|
z
|=3,|
z
|=5|
z

z
|= 7,则arg(
1
)的值是______.
3
121212
5. 设数列
a
1

a
2
,?,
a
n
, ?满足
a
1
?
a
2
?
1,
a
3< br>?
2,且对任何自然数
n
, 都有
a
n
a
n
+1
a
n
+2
?1,又
a
n
a
n
+1
a
n
+2
a
n
+3
?
an

a
n
+1

a
n
+2

a
n
+3
,则
a
1

a
2
+?+
a
100
的值是__ __.
6. 函数
f
(
x
)=
x
4
?3x
2
?6x?13
8 0
?
x
4
?x
2
?1
的最大值是_____. < br>16?
?
1
?17
k
k?1
三、(20分)求证:.
10 23910 239


四、(20分)设
l
m
是两条异面直线,在
l
上有
A

B

C
三点,且
AB
=
BC
,过
A

B
C
分别作
m
的垂线
AD

BE
,< br>CF
,垂足依
次是
D

E

F
,已 知
AD
=
7
15

BE
=
2
CF
=
10
,求
l

m
的距离.
x
n?1
?x
?n?1
x?x
?1
五、(20分)设
n
是自然数,
f(x)
?
n
1
(
x
?0,
?
1),令
y
=
x

x
.
1.求证 :
f
n+
1
(x)=yf
n
(x)?f
n-
1
(x),
(
n>
1)
2.用数学归纳法证明:
f
n
(
x
)=
?
y?Cy?
?
?(?1) Cy?
?
?(?1),(i?1,2,
?
,
n
,n为偶数)
?
2
n?1n?1
?
n1n?2iin?2i
n?1
,n为奇数)
22
y?Cy?
?
?(?1)Cy?
?
?( ?1)C,(i?1,2,
?
,
?
n?1n?in?1
?
2
2
n1n?2
n?1
ii
n?i
n?2i
n
2








1993年全国高中数学联合竞赛试卷
第 一 试
一.选择题(每小题5分,共30分)
1. 若
M
={(
x

y
)| |
tg?y
|+
sin?x
?
0},
N
={(
x

y)|
x
+
y
≤2},则
M
?
N
的元素个数是( )
222
(A)4 (
B
)5 (
C
)8 (
D
)9
2. 已知
f
(
x
)=
asinx
+
b
+4 (
a

b
为实数),且
f
(
lglog3
10)
?
5,则
f
(
lglg
3)的值是( )
(A)?5 (
B
)?3 (
C
)3 (
D
)随
a

b
取不同值而取不同值
3. 集合
A

B
的并集
A
?
B
={
a1

a
2

a
3
},当
A
?
B
时,(
A

B
)及(
B

A< br>)视为不同的对,则这样的(
A

B
)对的个数是( )

A
)8 (
B
)9 (
C
)26 (
D
)27
?
4. 若直线x

4
被曲线
C
:(
x

arcsi na
)(
x-arccosa
)+(
y

arcsina< br>)(
y

arccosa
)=0所截的弦长为
d
,当
a
变化时
d
的最小值是( )
?
?
?
(A)
4
(
B
)
3
(
C
)
2
(
D
)
?

sin
C?A
?cos
C?A
22
的值5. 在△
ABC
中,角
A

B

C
的对边长分别为
a

b

c
,若
c
?
a
等于AC
边上的高
h
,则
是( )
1
1
(A)1 (
B
)
2
(
C
)
3
(
D
)?1
11 23911 239


y
F
2
F
1
y
o
F
2
F
1
y
x
F
2
F
1
y
o
F
2
x
o
x
F
1
O
(A)
x
(B)(C)( D)
6. 设
m

n
为非零复数,
i
为虚数单位,
z
?
C
,则方程|
z

ni
|+|
z

mi
|=
n
及|
z

ni
|-|
z

mi
|=-
m
在同一复平
面内 的图形(
F
1

F
2
为焦点)是( )
二.填空题(每小题5分,共30分)
1. 二次方程(1-
i
)
x
+(
?

i
)
x
+(1+
i?
)=0(
i
为虚数单位,
?
?
R
)有两个虚根的充分必要条 件是
?
的取值范围为
________.
2
1
?
1
?
SS
min
_____ __. 2. 实数
x

y
满足4
x
-5
xy+4
y
=5,设
S

x

y
,则< br>max
2222
5
?
3. 若
z
?
C

arg
(
z
?4)=
6
2
?

arg
(
z
+4)=
3
,则
z
的值是_ _______.
2
?
10
93
?
?
31
?
4. 整数
?
10?3
?
的末两位数是_______.
log
x
0
1993?log
x
1
1993?log
x
2
1993
k?log
x
0
1993
5. 设任意实数
x
0

x
1

x
2

x
3
>0,要使
最大值是_____ __.
6. 三位数(100,101 ,?,999)共900个,在卡片上打印这些三位数,每张卡片上打印一个三位数,有的卡片所印的,
倒过来看仍为三位数,如198倒过来看是861;有的卡片则不然,如531倒过来看是 ,因此,有些卡片可以一卡
二用,于是至多可以少打印__ ___张卡片.
三.(本题满分20分)
三棱锥
S

ABC
中, 侧棱
SA

SB

SC
两两互相垂直,
M
为三角形
ABC
的重心,
D

AB
的中点,作及
S C
平行的直线
DP
.证
明:(1)
DP

SM相交;(2)设
DP

SM
的交点为
D
?
,则
D
?
为三棱锥
S

ABC
的外接球球心.
四.(本题满分20分)
设0<
a

b
,过两定 点
A
(
a
,0)和
B
(
b
,0)分别引直 线
l

m
,使及抛物线
y

x
有四个不同 的交点,当这四点共圆时,
求这种直线
l

m
的交点
P的轨迹.
2
x
1
x
2
x
3

x
3
恒成立,则
k

12 23912 239


五.(本题满分20分)
设正数列
a
0

a
1

a
2
,?,
a
n
,?满足
a
n
a
n?2
?a
n?1
a
n?2
?2a
n?1
(
n
≥2)且
a

a
=1 .求{
a
}的通项公式.
01
n


1994年全国高中数学联赛试题
第 一 试

一.选择题(每小题6分,共36分)
1.设
a

b
,< br>c
是实数,那么对任何实数
x


不等式
asinx?bcosx?c?0
都成立的充要条件是
(A)
a,b
同时为0,且
c
>0 (B)
a
2
?b
2
?c

(C)
a
2
?b
2
?c
(D)
a
2
?b
2
?c

2.给出下列两个命题:
(1)设
a

b

c
都是复数,如果
a< br>2
?b
2
?c
2
,则
a
2
?b2
?c
2
?0

?b
2
?c
2?0
,则
a
2
?b
2
?c
2
. (2 )设
a

b

c
都是复数,如果
a
那么下 述说法正确的是
2
(A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误
(C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确
3.已知数列
{a
n
}
满 足
3a
n?1
的最小整数
n

?a
n
? 4(n?1)
,且
a
1
?9
,其前n项之和为
S
n
,则满足不等式
|S
n
?n?6|?
1
125
(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
0?b?1,0?a?
4.已知
小关系是
?
logb
sina
y?(cosa)
log
b
cosa
, < br>z?(sina)
log
b
cosa
的大
4
,则下列 三数:
x?(sina)

(A)
x

z (B)
y

z

x
(C)
z

x

y
(D)
x

y

z

5.在正
n
棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是
(
(A)
n?1
n?2
?
n?2n?1
(
?
,
?
)
?
,
?
)(0,)(
?
,
?
)
n
n2
(D)
nn
(B) (C)
13 23913 239


|x?y||x?y|
??1
2a2b
6.在平面直角坐标系中,方程(
a,b
是不相等的两个正数)所代表的曲 线是
(A)三角形 (B)正方形
(C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形



二、填空题(每小题9分,共54分)
1.已知有向线段
PQ
的 起点P和终点
Q
的坐标分别为(?1,1)和(2,2),若直线
l

x

my

m
=0及
PQ
的延长线相交,则m
的取值范围是__ ____.
?
x
3?sinx?2a?0
x,y?[?,],a?R
?
3
4y?sinyc osy?a?0
,则
cos(x?2y)
=_____.
44
2. 已知且
?
??
55
A?{(x,y)|(x?3)
2
?(y ?4)
2
?()
2
}B?{(x,y)|(x?4)
2
?( y?5)
2
?()
2
}
22
3.已知点集,,则点集
A
?
B
中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____.
s in(1?cos
?
)
0?
?
?
?
2
4. 设,则的最大值是______.
5.已知一平面及一正方体的12条棱的夹角都等于
?,则
sin
?
=___
?
6.已知95个数
a
1
,a
2
,a
3
,?,a
95
, 每个都只能取 +1或
?1
两个值之一,那么它们的两两之积的和
a
1
a
2
?a
1
a
3
???a
94
a
95
的最小值是_ __.


1995年全国高中数学联赛
第 一 试

一.选择题(每小题6分,共36分)
1. 设等差数列
{a
n
}
满足
3a
8
?5a
13

a
1
?0

S
n
为其前项之和,则
S
n
中最大的是( )
(A)
S
10
(B)
S
11
(C)
S
20
(D)
S
21

14 23914 239


2. 设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为
Z< br>1
,Z
2
,?,Z
20
,则复数
Z
1
对应的不同的点的个数是( )
(A)4 (B)5 (C)10 (D)20
1995

Z
2
1995

1995
?,Z
20

3. 如果甲的身高数或体重数至 少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在100个小伙子中,如果某人不亚于其他99人,就称
他为棒小伙 子,那么,100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )
(A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个
4. 已知方程
|x ?2n|?kx(n?N)
在区间(2
n
-1,2
n
+1]上有两个 不相等的实根,则
k
的取值范围是( )
(A)
k?0
(B)
0?k?
1
2n?1

1
?k?
2n?1
(C)
1
2n?1
(D)以上都不是
5.
log
sin1
cos1,log
sin 1
tg1,log
cos1
sin1,log
cos1
tg1
的大小关系是( )
log
sin1
cos1?log
cos1< br>sin1?log
sin1
tg1?log
cos1
tg1

log
cos1
sin1?log
cos1
tg1?log
sin1
cos1?log
sin1
tg1

log
sin 1
tg1?log
cos1
tg1?log
cos1
sin1?lo g
sin1
cos1

log
cos1
tg1?logsin1
tg1?log
sin1
cos1?log
cos1
s in1

(A)
(B)
(C)
(D)
6. 设
O
是正三棱锥
P
-
ABC
底面三角形
ABC的中心,过
O
的动平面及
PC
交于
S
,及
PA

PB
的延长线分别交于
Q

R
,则和

111
??
PQPRPS

(A)有最大值而无最小值 (
B
有最小值而无最大值
(C)既有最大值又有最小值,两者不等 (D)是一个及面
QPS
无关的常数
二、填空题(每小题9分,共54分)
1. 设
?
,
?
为一对共轭复数,若
|
?
?
?
|?23
,且
?
?
2
为实数,则
|< br>?
|?
_____.
2. 一个球的内接圆锥的最大体积及这个球的体积之比为_______.
15 23915 239


3. 用[
x
]表示不大于实数
x
的最大整数, 方程
lg
2
x?[lgx]?2?0
的实根个数是______.
?
y?3x
?
x
y?
?
3
?
x?y?10 0
4. 直角坐标平面上,满足不等式组
?
的整点个数是______.
5. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,如果只有5种颜色可使用, 那么不同的染色方
法的总数是______.
6. 设
M
={1,2,3, …,1995},
A

M
的子集且满足条件:当
x?A
时,
15x?A
,则
A
中元素的个数最多是______.
一九九六年全国高中数学联合竞赛

一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)
222 2
1. 把圆x+ (y –1 ) =1及椭圆9x+ (y + 1)= 9的公共点, 用线段连接起来的图形是_________.
(A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形
2. 等比数列{a
n
}的首项
a
1
=1536, 公比是q=
(A) T
9
(B) T
11
(C) T
12
(D) T
13
?
1
2
. 用
T
n
表示它的前
n
项之积,则
T
n
(
n
?
N
)最大的是______ ______
3.存在在整数
n
,使是整数的质数
p

(A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个
p?n?n
1
4设x?(–
2
,0),以下三个数: ?
1
=cos(sinx?), ?
2
=sin(cosx?), ?
3
=cos(x+1)?的大小关系是 __________.
(A) ?
3
< ?
2
< ?
1
(B) ?
1
< ?
3
< ?
2
(C) ?
3
< ?
1
< ?
2
(D) ?
2
< ?
3
< ?
1
2 2
5.如果在区间[1, 2 ]上, 函数f(x) = x+ px + q及g(x) = x + ()在同一点取相同的最小值,
那么
f
(
x
)在该区间上的最大值是__________.
4?
(A)
6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O
1
, 球心O
1
在圆台的轴上. 球O
1
及圆台上底面、侧面都相切. 圆台内可再放入一
个半径为3的球O
2
, 使得球O
2
及球O
1
、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O
2
, 圆台内最多还能放入半径为3
的球的个数是_____________.
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)
1. 集合{x| –1? log
()
10 <– , x?N}的真子集的个数是_____________________.
11
3
51
2?
3
44?
3
2?
3
41?
32?
3
4
422
(B) (C) (D)以上答案都不对
1
?
2. 复平面上非零复数
z
1

z
2
在以
i
为圆心1为半径的圆上,
z
1
z
1
的实部为零,z
1
的辐角主值为
6
,则z
2
=
____________.
3.曲线C的极坐标方程是? = 1 + cos?, 点A的极坐标是(2, 0). 曲线C在它所在的平面内
绕A 旋转一周, 则它扫过的图形的面积是______________.

4.已知将给定的两个全等的三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六
面体, 并且该六面体的最短棱的长为2, 则最远的两个基本点顶点的距离是__________.
5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种
颜色, 每两个具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种.
(注: 如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应 面的染
色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).

6. 在直角坐标平面上,以(199,0)为圆心,以199为半径的圆周上,整点(即横、纵坐标皆为整数的点)的 个数为
16 23916 239


_______________.

1997年全国高中数学联合竞赛试卷
(10月5日上午8:00?10:00)

一、选择题(每小题6分,共36分)
1.已知数列{
x
n}满足
x
n?1
?x
n
?x
n?1
(
n
≥2),
x
?
a

x
?
b
, 记
S
?
x

x
+?+
x
,则下列结论正确 的是
nn
1212
(
A
)
x
100
=-
a

S
100
=2
b

a
(
B
)
x
100
=-
b

S
10 0
?2
b

a
(
C
)
x
100
=-
b

S
100

b

a (
D
)
x
100
=-
a

S
100

b-
?
a


2. 如图,正四面体
ABCD
中,
E
在棱
AB
上,
F< br>在棱
CD
上,使得
A
E
B
F
C
(
C
)
(
D
)

AE
?
CF
?
?
(0?
?
???)
EBFD


f(
?
)?
?
?
?
?
?
其中
?< br>?
表示
EF

AC
所成的角,
?
?
表示
EF

BD
所成的角,则
f(
?
)

(0,??)
单调增加
D
(
A
)
(
B
)
f(
?
)

(0,??)
单调减少
f(
?
)
在(0,1)单调增加,而在(1 ,+
?)
单调减少
f(
?
)
在(0,+
?
)为常数
2
3. 设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于3,且各项的和为97,则这样的数列共有
(
A
)2个 (
B
)3个 (
C
)4个 (
D
)5个

4.在 平面直角坐标系中,若方程
m(x
2
?y
2
?2y?1)?(x?2 y?3)
2
表示的曲线为椭圆,则
m
的取值范围为
(
A
)(0,1) (
B
)(1,+
?)
(
C
)(0,5) (
D
)(5,+
?)

5.设
(
A
)
(
C
)

1
?
?arctg
5
,
?
?arccos(?
1
) ,
?
?arcctg(?
5
)
f(x)?x?
?
x

?
?
arcsin
3

434
,则
2
f(
?
)?f(
?
)?f(
?
)?f(
?
)
(
B
)
f(
?
)?f(< br>?
)?f(
?
)?f(
?
)

f(
?
)?f(
?
)?f(
?
)?f(
?
)
(
D
)
f(
?
)?f(
?
)?f(
?)?f(
?
)

6.如果空间三条直线
a,b,c
两两 成异面直线,那么及
a,b,c
都相交的直线有
(
A
) 0条 (
B
) 1条 (
C
)多于1 的有限条 (
D
) 无穷多条

17 23917 239


二、 填空题(每小题9分,共54分)
?
(x?1)
3< br>?1997(x?1)??1
?
3
(y?1)?1997(y?1)?1
,则
x

y
? .
?

x,y< br>为实数,且满足
y
2
x??1
2
过双曲线的右焦点作直线l
交双曲线于
A

B
两点,若实数
?
使得|< br>AB
| ?
?
的直线
l
恰有3条,则
?
= .
2
|2z?
1
|?1
z
已知复数
z
满 足,则
z
的幅角主值范围是 .
已知三棱锥
S? ABC
的底面是以
AB
为斜边的等腰三角形,
SA

SB< br>=
SC
=2,
AB
=2,设
S、A、B、C
四点均在 以
O
为球心的某个
球面上,则点
O
到平面
ABC
的 距离为 .

ABCDEF
为正六边形,一只青蛙开始在顶点A
处,它每次可随意地跳到相邻两顶点之一.若在5次之内跳到
D
点,则停止跳< br>动;若5次之内不能到达
D
点,则跳完5次也停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可 能出现的不同跳法共 种.

a
?lg
z
+lg[< br>x
(
yz
)
?
+1],
b
?lg
x
?
+lg(
xyz
+1),
c
?lg< br>y
+lg[(
xyz
)
?
+1],记
a,b,c中最大数为
M
,则
M
的最小值为 .


一九九八年全国高中数学联合竞赛试卷
(10月11日上午8∶00—10∶00)

一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)
1. 若
a
>1 ,
b
>1且lg(
a
+
b
)=lg
a
+l g
b
,则lg(
a
?1)+lg(
b
?1)的值
(A) 等于lg2 (B)等于1 (C)等于0 (D)不是及
a
,
b
无关的常数
2. 若非空集合
A={
x
2
a
+1≤
x
≤3
a
?5},
B
={
x
|3≤
x
≤22},则能使
A
?
A
?
B
成立的所有
a
的集合是( )
(A){
a
|1≤
a
≤9} (B){
a
|6≤
a
≤9} (C){
a
|
a
≤9} (D)
?

3. 各项均为实数的等比数列{
a
n
}前
n
项和记为
S
n
,若
S
10
=10,
S
30
=70,则
S
40
等于( )
(A) 150 (B) ?200 (C) 150或?200 (D)400或?50
111
|
a
1< br>b
1
c
1
??
ab
2
c
2
4. 设命题
P
:关于
x
的不等式
ax
+
bx+
c
>0及
ax
+
bx
+
c
>0的解 集相同;命题
Q

2
22
111222
。则命题
Q

(A)是命题
P
的充分必要条件 (B)是命题
P
的充分条件但不是必要条件
(C)是命题
P
的必要条件但不是充分条件
(D)既不是命题
P
的充分条件也不是命题
P
的必要条件
5. 设
E
,
F
,
G
分别是正四面体
A BCD
的棱
AB
,
BC
,
CD
的中点,则二面角< br>C
?
FG
?
E
的大小是( )
A
(A)
arcsin
6
3
?
(B)
2
?arccos
3
3

2
2
E< br>B
F
C
G
D
?
(C)
2
(D)
6. 在正方体的8个顶点,12条棱的中点,6个面的中心及正方体的中心共27个点中,< br>共线的三点组的个数是( )
(A) 57 (B) 49 (C) 43 (D) 37
二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)
?arctg2
?
?arcctg
1. 若是以2为周期的偶函数,当
的排列是_________________.
f(x)(x ?R)x?[0,1]
时,
f(x)?x
1
1998
,则
9 8101104
f()f()f()
19
,
17
,
15由小到大
2. 设复数
z
=
cos
?
?isin
?
(
0?

?
≤18
0?
),复数
z< br>,(1+
i
)
z
,2
z
在复平面上对应的三个点分别 是
P
,
Q
,
R
,当
P
,
Q
,
R

共线时,以线段
PQ
,
PR
为两边的平行 四边形的第四个顶点为
S
,则点
S
到原点距离的最大值是_______.
3. 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数中取出3个数,使其和为不小于10的偶 数,不同的取法有________种.
4. 各项为实数的等差数列的公差为4,其首项的平方及其 余各项之和不超过100,这样的数列至多有___________项.
18 23918 239


5. 若椭圆
x
2
?4(y?a)
2
?4
及抛物线
x
2
?2y
有公共点,则实数
a
的 取值范围是_____________.
6. △
ABC
中,∠
C
=90°,∠
B
=30°,
AC
=2,
M

AB
的中点,将△
ACM
沿
CM

A
起,使
A
,
B
两点间的距离为
2
________.
2
, 此时三棱锥
A
?
BCM
的体积等于
C
M
B
三、 (本题满分20分)
?
已知复数
z
=1?sin
?
+
i
cos
?
(
2
?
?
?
?),求
z
的共轭复数
z
的辐
角主值。
四、 (本题满分20分)
设函数

f(x)?ax
2
?8x? 3
(
a
<0),对于给定的负数
a
,有一个最大的正数
l< br>(
a
),使得在整个区间[0,
l
(
a
)]上,不< br>等式|
f
(
x
)|≤5都成立。
问:
a< br>为何值时
l
(
a
)最大?求出这个最大的
l
(
a
),证明你的结论。
五、 (本题满分20分)
22
y?2px(a b?0,b?2pa)

M
是抛物线上的点,设直线
AM
,
BM
及抛物线
A(a,b)
已知抛物线及定点,
B
(?a
,0),
的另一交点分别为
M
1
,
M
2.
求证:当
M
点在抛物线上变动时(只要
M
1
,
M
2
存在且
M
1

M
2
), 直线
M
1
M
2
恒过一个定点,并求出这个定点的坐标。
1999年全国高中数学联合竞赛

一. 选择题(满分36分,每小题6分)
1. 给定公比为
q
(
q
≠1)的等比数列{
a
n
},设
b
1

a
1

a
2

a
3

b
2

a
4
a
5

a
6
,…,
b
n

a
3
n
?
2

a
3
n
?
1

a
3
n
,…,则数列{
b
n
}( )
(
A
)是等差数列 (
B
)是公比为
q
的等比数列
(
C
)是公比为
q
的等比数列 (
D
)既非等差数列也非等比数列
2. 平面直角坐标系中,纵、横坐标都是整数的点叫做整点,那么,满足不等式 (|
x
|-1)+(|
y
|?1)<2的整点(
x

22
3
y
)的个数是( )
(
A
)16 (
B
)17 (
C
)18 (
D
)25
3. 若(log
2
3)?(
log
5
3)≥(
log
2
3)
xx
?y
?(
log
5
3)
?y,则( )
(
A
)
x
?
y
≥0 (
B
)
x

y
≥0 (
C
)
x
?
y
≤0 (
D
)
x

y
≤0
4. 给定下列两个关于异面直线的命题:
命题Ⅰ:若平面
?
上的直线
a
及平面
?
上的直线
b
为异面直线,直线
c

?
?
的交线,那么,
c
至多及
a
,
b
中的一条
相交;
命题Ⅱ:不存在这样的无穷多条直线,它们中的任意两条都是异面直线。
19 23919 239


那么,( )
(
A
)命题Ⅰ正确,命题Ⅱ不正确 (
B
)命题Ⅱ正确,命题Ⅰ不正确
(
C
)两个命题都正确 (
D
)两个命题都不正确
5. 在某次乒乓球单打比赛中,原计划每两名选手恰比赛 一场,但有3名选手各比赛了2场之后就退出了,这样,全部
比赛只进行了50场。那么,在上述3名选 手之间比赛的场数是( )
(
A
)0 (
B
)1 (
C
)2 (
D
)3
6. 已知点
A
(1,2),过点(5,?2)的直线及 抛物线
y
=4
x
交于另外两点
B
,
C
,那 么,△
ABC
是( )
(
A
)锐角三角形 (
B
)钝角三角形 (
C
)直角三角形 (
D
)答案不确定
二. 填空题(满分54分,每小题9分)
1. 已知 正整数
n
不超过2000,并且能表示成不少于60个连续正整数之和,那么,这样的
n
的个数是___________.
2
cos2
?
?isin2
?
5
z?
239?i
2. 已知
?
=arctg
12
,那么,复数的辐角主值是______ ___.
ctgC
3. 在△
ABC
中,记
BC

a

CA

b

AB

c
,若 9
a
+9
b
?19
c
=0,则
ctgA?ctgB
=__________.
222
x
2
y
2
??1
169
4. 已知 点
P
在双曲线上,并且
P
到这条双曲线的右准线的距离恰是
P
到这条双曲线的两个焦点的距离的
等差中项,那么,
P
的横坐标是_____.
5. 已知直线
ax

by

c
=0中的
a

b

c
是取自集合{?3,?2,?1,0,1,2,,3}中 的3个不同的元素,并且该直线的
倾斜角为锐角,那么,这样的直线的条数是__ ____.
6. 已知三棱锥
S
?
ABC
的底面是正三角形,
A
点在侧面
SBC
上的射影
H
是△
SBC
的垂心,二面角< br>H
?
AB
?
C
的平面角等于30?,
SA
=2
3
。那么三棱锥
S
?
ABC
的体积为________ __.
22
xcos
?
?x(1?x)?(1?x)sin
??0
恒成立,试求的取值范围. 三、(满分20分)已知当
x
?[0,1]时, 不等式
5
x
2
y
2
??1
四、(满分20分)给定
A
(?2,2),已知
B
是椭圆
2516
上的动点,
F
是左焦点,当|
AB
|+
3
|
BF
|取最小值 时,求
B
的坐标.
22
a?a
1n?1

M的所有等差数列
a
,
a
,
a
,….,试求
S< br>=
a
五、(满分20分)给定正整数
n
和正数
M
,对 于满足条件
123
n
+1

a
n
+2
+… +
a
2
n
+1
的最大值.
20 23920 239




2000年全国高中数学联合竞赛试卷
(10月15日上午8:00-9:40)
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.设全集是实数,若A={x| ≤0},B={x|

= },则 是( )
(A){2} (B){-1} (C){x|x≤2} (D)
2.设sina>0,cosa<0,且sin >cos ,则 的取值范围是( )
(A)(2kp+ ,2kp+ ),k?Z (B)( + , + ),k?Z
(C)(2kp+ ,2kp+p),k?Z (D)(2kp+ ,2kp+ ) (2kp+ ,2kp+p),k?Z
3.已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点,点B和点C在双曲线的右 分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是( )
(A) (B) (C)3 (D)6
4.给定正数p,q,a,b,c,其中p1q,若p,a,q是等比数列,p,b,c,q是等差数列 ,则一元二次方程bx2-2ax+c=0( )
(A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根
5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线 的距离中的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
6.设 ,则以w,w3,w7,w9为根的方程是( )
(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B)x4-x3+x2-x+1=0
(C)x4-x3-x2+x+1=0 (D)x4+x3+x2-x-1=0
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.arcsin(sin2000°)=__________.
21 23921 239


8.设an是(3- 的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),则 )=________.
9.等比数列a+log23,a+log43,a+log83的公比是____________.
10.在椭圆
则∠ABF=_________.
(a>b>0)中,记左焦点为F,右顶点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是 ,
11.一个球及正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为a,则这个球的体积是________.
12.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};
(2)a1b,b1c,c1d,d1a;
(3)a是a,b,c,d中的最小值,
那么,可以组成的不同的四位数 的个数是_________.
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.设Sn=1+2+3+…+n,n?N,求f(n)= 的最大值.
14.若函数 在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b].
15.已知C0:x2+y2=1和C1: (a>b>0)。试问:当且仅当a,b满足什么条件时, 对C1上任意一点P,均存在以
P为项点,及C0外切,及C1内接的平行四边形?并证明你的结论。



2001年全国高中数学联合竞赛题
2
1、已知a 为给定的实数,那么集合M={x|x-3x-a+2=0,x∈R}的子集的个数为
(A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定
2、命题1:长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;
命题2:长方体中,必存在到各棱距离相等的点;
命题3:长方体中,必存在到各面距离相等的点;
以上三个命题中正确的有
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个
2
3、在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以
(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx|
4、如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的⊿ABC恰有一个,那么k的取值范围是
?
为周期、在(0,
2
)上单调递增的偶函数是
(A)k=8
3
?
?
(B)01
2?cos
?
的短轴长等
于 。
22 23922 239


3
8、若复数z,z满足|z|=2,|z|=3,3z-2z=2
-I,则zz= 。
12121212
9、正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1 ,则直线A
1
C
1
及BD
1
的距离是 。
13
?2?
log
1
x2
10、不等式
2的解集为 。
11、函数
y?x?x?3x?2
的值域为 。
12、在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一场块中种同一种植物,相邻的两 块
种不同的植物。现有4种不同的植物可供选择,则有 种栽种方案。
一、 解答题(本题满分60分,每小题20分)
2
F
A


D
B
C
E



< br>b?a
1
13、设{a}为等差数列,{b}为等比数列,且
1
nn< br>2
b?a
2

2
2
b?a
3
3
2
(a
1
2
),又
n???
lim(b
1
?b
2
???b
n
)?2?1
,试求 {a
n
}的首项及公差。
x
2
?y
2
?1
2
14、设曲线C:
a
(a为正常数)及C:y=2(x+m)在x轴上方公有一个 公共点P。
2
12
(1) 求实数m的取值范围(用a表示);
1
(2) O为原点,若C及x轴的负半轴交于点A,当02
时,试求 ⊿OAP的面积的最大值(用a表示)。
1
15、用电阻值分别为a
1
、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、a
6< br>、(a
1
>a
2
>a
3
>a
4
>a
5
>a
6
)的电阻组装成一个如图的组件,在组装中应如何选取电阻,
才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论。









2002年全国高中数学联赛试题及参考答案
试题
一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)
1、函数f (x)=log
12
(x-2x-3)的单调递增区间是( )。
(A)(-∞,-1) (B)(-∞,1) (C)(1,+∞) (D)(3, +∞)
2、若实数x,y满足(x+5)+(y-12)=14,则x+y的最小值为( )。
(A)2 (B)1 (C)√3 (D)√2
3、函数f(x)=x1-2-x2( )
(A)是偶函数但不是奇函数 (B)是奇函数但不是偶函数
(C)既是偶函数又是奇函数 (D)既不是偶函数也不是奇函数
4、直线x4+y3=1及椭圆x16+y9=1相交于A, B两点,该椭圆上点P,使得ΔPAB面积等于3,这样的点P共有( )。
22
x
22222
2
23 23923 239


(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
5、已知两个实数集合A={a
1
,a
2
,…,a
10 0
}及B={b
1
,b
2
,…,b
50
},若从A 到B的映射f使得B中每个元素都有原象,且
f(a
1
)≤f(a
2
)≤…≤f(a
100
)则这样的映射共有( )。
(A)C
50
100
(B)C
2
48
99
(C)C
49
100
(D)C
49
99

2222
6、由曲线x=4y,x=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周 所得旋转体的体积为V1;满足x+y≤16,x+(y-2)≥
22
4,x+(y+2)≥4 的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V
2
,则( )。
(A)V
1
=(12)V
2
(B)V
1
=(23)V
2
(C)V
1
=V
2
(D)V
1
=2V
2

2


二、 填空题(本题满分54分,每小题9分)





7、已知复数Z
1
,Z
2
满足∣Z
1
∣=2,∣Z
2
∣=3,若它们所对应向量的夹角为60°,则 ∣(Z
1
+Z
2)
(Z
1
+Z
2
)∣= 。
8、将二项式(√x+1(2√x))的展开式按x的降幂排列,若前三项系数成等差数列, 则该展开式中x的幂指数是整数
的项共有 个。
9、如图,点P
1< br>,P
2
,…,P
10
分别是四面体顶点或棱的中点,那么在同一平面上 的四点组(P
1
,P
i
,P
j
,P
k
)( 1<i<j<k
≤10)有 个。
10、已知f(x)是定义在R上的函数,f (1)=1且对任意x∈R都有f(x+5)≥f(x)+5,f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f( x)+1-x,
则g(2002)= 。
11、若log
4
( x+2y)+log
4
(x-2y)=1,则∣x∣-∣y∣的最小值是 。
12、使不等式sinx+acosx+a≥1+cosx对一切x∈R恒成立的负数a的取值范围是 。
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、已知点A(0,2)和抛物线y=x+4上两点B,C使得AB⊥BC,求点C的纵坐标的取值范围。
14、如图,有一列曲线P
0
,P
1
,P
2
… …,已知P
0
所围成的图形是面积为1的等边三角形,P
k+1
是对P
k
进行如下操作得到:
将P
k
的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边 ,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉(k=0,1,2,)。记S
n
为曲
2
22
4n
24 23924 239


线P
n
所围成图形的面积。
(1) 求数列{S
n
}的通项公式;
(2) 求limS
n
.
n→∞

















2003年全国高中数学联赛
第一试
一、 选择题(每小题6分,满分36分)
y
y y
y
2003项是 1. 删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数,得到一个新数列.这个新数列的第

(A)2046 (B)2047

(C)2048
2
(D)2049

2
2. 设
a
,
b
?
R
,
ab
≠0,那么,直线
ax
?
y
+
b
=0和曲线
bx
+
ay
=
ab
的图形是
O

O
O

x
x x
x


(A) (B) (C) (D)
2
3. 过抛物线
y
=8(
x
+2)的焦点
F
作倾斜角为60?的直线.若此直线及抛物线交于
A
,
B
两点,弦
AB
的中垂线及
x
轴交于
P
点,
则线段
PF
的长等于





15、设二次函数f(x)=ax+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件:
(1) 当x∈R时,f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;
2
(2) 当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)2);
(3) f(x)在R上的最小值为0.
求最大的m(m>1),使得存在t∈R,只要x∈[1,m],就有f(x+t)≤x。
2
163
8
(A) (B)
3
(C)
3
(D)8
3

5
?
?
2
?
??
4. 若
x
?[?
12
,?
3
],则
y
= ta n(
x
+
3
)?tan(
x
+
6
)+co s(
x
+
6
)的最大值是
1112
1211
23
23
65
56
(A) (B) (C) (D)
9
4
2
2
5. 已知x
,
y
都在区间(?2,2)内,且
xy
=?1,则函数
u
=
4?x
+
9?y
的最小值是
8
12
2412
(A)
5
(B)
11
(C)
7
(D)
5

?
6. 在四面体
ABCD
中,设
AB
=1,
CD
=
3
,直线
AB

CD
的距离为2,夹角为
3
,则四面体
ABCD
的体积等于
33
1
1
(A)
2
(B)
2
(C)
3
(D)
3

25 23925 239


二、 填空题(每小题9分,满分54分)
32
7. 不等式|x
|?2
x
?4|
x
|+3<0的解集是__________ .
x
2
y
2
??1
94
8. 设
F1
,
F
2
是椭圆的两个焦点,
P
是椭圆上的点,且|< br>PF
1
|:|
PF
2
|=2:1,则△
PF
1
F
2
的面积等于__________.
2
9. 已知
A
={
x
|
x
?4
x
+3<0,
x
?
R
},
B
={
x
|
2
____________.
1?x
?a
≤0,
x
2
?2(
a
+7)
x
+5≤0,
x
?
R
}.若
A
?
B
, 则实数
a
的取值范围是
35
10.已知
a
,
b
,
c
,
d
均为正整数,且log
a
b< br>=
2
, log
c
d
=
4
,若
a< br>?
c
=9, 则
b
?
d
=________. 11.将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内,并使得每个球和其相邻的四个球相切,且及圆柱的一 个底面及侧面都
相切,则此圆柱的高等于________.
12.设
M
n
={(十进制)
n
位纯小数0.
a
1
a
2
?a
n
|
a
只取0或1(
i
=1,2,…,
n?1),
a
=1},
T

M
中元素的个数,
S

M
中所有元
innnnn
S
n
n??
T
n
=_______. 素的和,则
lim
三、 解答题(每小题20分,满分60分)
1.

3
?x?5
已知< br>2
,证
2x?1?2x?3?15?3x?219

1
z?? bi
1
z?ai
z?1?ci(a,b,c?R)
对应的不共线三点。
0
2
2. 设A、B、C分别是复数,,
2
4224
z?z cost?2zcostsint?zsint(t?R)

?ABC
中平行于AC的 中位线只有一个公共点,并求出
012
证:曲线
此点。

3. 一 张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A,且OA=a,折叠纸片,使圆周上某一点
折法,都留下一条 直线折痕,当
A
?
刚好及A点重合,这样的每一种
A
?
取遍 圆周上所有点时,求所有折痕所在直线上点的集合。
1994年全国高中数学联赛试题
第 一 试

一、选择题(每小题6分,共36分)
1、设a,b,c是实数,那么对任何实数x, 不等式
asinx?bcosx?c?0.
都成立的充要条件是
22
(A)a,b同时为0,且c>0 (B)
a?b?c

2222
(C)
a?b?c
(D)
a?b?c

222222
2、给出下列两个命题:(1).设a,b ,c都是复数,如果
a?b?c
,则
a?b?c?0
.(2).设a,b,c
222222
都是复数,如果
a?b?c?0
,则
a?b?c
.那么下述说法正确的是
(A)命题(1)正确,命题(2)也正确 (B)命题(1)正确,命题(2)错误
(C)命题(1)错误,命题(2)也错误 (D)命题(1)错误,命题(2)正确
3、已知数列
{a
n
}
满 足
3a
n?1
?a
n
?4(n?1)
,且
a
1
?9
,其前n项之和为
S
n
,则满足不等式
|S
n
?n?6|?
1
125
的最小整数n是
26 23926 239


(A)5 (B)6 (C)7 (D)8
4、已知
0?b?1,0?a?
?
log
b
si nalog
b
cosalog
b
cosa
y?(cosa)z?(s ina)
4
,则下列三数:
x?(sina)
,, 的大小
关系是
(A)x5、在正n棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是
n?1
n?2
?
n?2n?1
(
?
,
?
)
?< br>,
?
)(0,)(
?
,
?
)
n
n2 nn
(A) (B) (C) (D)
(
|x?y||x?y|
??1
2b
6、在平面直角坐标系中,方程
2a
(a,b是不相等的 两个正数)所代表的曲线是
(A)三角形 (B)正方形
(C)非正方形的长方形 (D)非正方形的菱形

二、填空题(每小题9分,共54分)
1.已知有向线段PQ的起点P和终点Q的 坐标分别为(?1,1)和(2,2),若直线
l:x?my?m?0

PQ的延长线 相交,则m的取值范围是______.
3
?
x?sinx?2a?0
??
x,y?[?,],a?R
?
4y
3
?sinycosy?a?0< br>44
2.已知且
?

cos(x?2y)
=_____. < br>55
A?{(x,y)|(x?3)
2
?(y?4)
2
?()
2
}B?{(x,y)|(x?4)
2
?(y?5)
2
?( )
2
}
22
3.已知点集, ,则点集
A
?
B中的整点(即横、纵坐标均为整数的点)的个数为_____.
sin(1?cos
?< br>)
2
4.设
0?
?
?
?
,则的最大值是__ ____.
?
5.已知一平面及一正方体的12条棱的夹角都等于
?
,则< br>sin
?
=___
6.已知95个数
a
1
,a2
,a
3
,?,a
95
, 每个都只能取+1或
?1< br>两个值之一,那么它们的两两之积的和
a
1
a
2
?a
1
a
3
???a
94
a
95
的最小值是___.

1995年全国高中数学联赛试题

第一试
一、选择题(每小题6分,共36分)
27 23927 239


1. 设等差数列{a
n
}满足3a
8
=5a
13
且a
1
>0,S
n
为其前n项和,则S
n
中 最大的是( )
(A)S
10
(B)S
11
(C)S
20
(D)S
21


2. 设复平面上 单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z
1
,Z
2
,... ,Z
20
, 则复数
Z
1
1995
,Z
2
1995
,...,Z
20
1995
所对应的不同的点的个数是( )
(A)4 (B)5 (C)10 (D)20


3. 如果甲的身高或体重数至少有一项比乙大,则称甲不亚于乙,在100个小伙子中,如果某人不
亚于其他 99人,就称他为棒小伙子,那么,100个小伙子中的棒小伙子最多可能有( )
(A)1个 (B)2个 (C)50个 (D)100个


4. 已知方程 |x -2n|=k√x(n∈N)在区间(2n-1,2n+1]上有两个不相等的实根,则k的取值范围是
( )
(A)k>0 (B)0(C)1(2n+1)

5. log
si n1
cos1,log
sin1
tg1,log
cos1
sin1, log
cos1
tg1的大小关系是
(A)log
sin1
cos1< log
cos1
sin1sin1
tg1cos1
tg1
(B)log
cos1
sin1< log
cos1
tg1sin1
cos1 sin1
tg1
(C)log
sin1
tg1cos1
tg1cos1
sin1 sin1
cos 1
(D)log
cos1
tg1sin1
tg1sin1
cos1 cos1
sin 1


6. 设O是正三棱锥P-ABC 底面三角形ABC的中心,过O的动平面及PC交于S,及PA,PB的延长线
分别交于Q、R,则和式 1PQ + 1PR + 1PS ( )
(A)有最大值而无最小值 (B)有最小值而无最大值
(C)既有最大值又有最小值,两者不等 (D)是一个及面QPS无关的常数


二、填空题(每小题9分,共54分)
1. 设
α、β为一对共轭复数,若|α - β|=2 √3,且αβ
2
为实数,则|α|=
____。


2. 一个球的内接圆锥的最大体积及这个球的体积之比为____。


3. 用[x]表示不大于实数 x的最大整数,方程 lg
2
x -[lg x]-2=0的实根个数是____。


4. 直角坐标平面上,满足不等式组
y≤3x
y

≥x3
x+y≤100
5. 的整点个数是____。
6. 将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色, 如果只有5种颜色可使
用,那么不同的染色方法的总数是____。


7. 设M={1,2,...,1995},A是M的子集且满足条件:当x∈A时,15x就不属于A,则A中元素 的
个数最多是____。


{
28 23928 239


1996年全国高中数学联赛试题
【第一试】

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.把圆x
2
+ (y –1 )
2
=1及椭圆9x
2
+ (y + 1)
2
= 9的公共点, 用线段连接起来所得到的图形为
(A) 线段 (B) 不等边三角形 (C) 等边三角形 (D) 四边形
2.等比数列{a
n
}的首项a
1
=1536, 公比是q=
?
1
.用
π
n
表示它的前n项之积,则
π
n(n?N)最大的是
2
(A)
π
9
(B)
π
11
(C)
π
12
(D)
π
13
3.存在整数n使
p?n?n
是整数的质数p
(A) 不存在 (B) 只有一个 (C) 多于一个,但为有限个 (D)有无穷多个
1
4设x?(– , 0),以下三个数: ?
1
=cos(sinx?), ?
2
=sin(cosx?), ?
3
=cos(x+1)?的大小关系是
2
(A) ?
3
< ?
2
< ?
1
(B) ?
1
< ?
3
< ?
2
(C) ?
3
< ?
1
< ?
2
(D) ?
2
< ?
3
< ?
1
5.如果在区间[1, 2 ]上, 函数f (x) = x
2
+ px + q及g(x) = x +
区间上的最大值是
(A)4+
1
在同一点取相同的最小值,那么f (x)在该
x
2< br>11
3
51
2?
3
4
(B)4-
3
2?
3
4
(C)1-
3
2?
3
4
(D)以 上答案都不对
22
4
6.高为8的圆台内有一个半径为2的球O
1
, 球心O
1
在圆台的轴上. 球O
1
及圆台上底面、侧面都相切. 圆
台内可再放入一个半径为3的球O
2
, 使得球O
2
及球O
1
、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点, 除球O
2
, 圆
台内最多还能放入半径为3的球的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
1
3. 集合{x| –1?
log
1
10
<– , x?N}的真子集的个数是_____________________
2
x
1< br>2.复平面上非零复数z
1
,z
2
在以i为圆心,1为半径的圆上,< br>z
1
z
2
的实部为零,z
1
的辐角主值为 ? , 则
6
z
2
= ____________.
3.曲线C的极坐标方程是? = 1 + cos?, 点A的极坐标是(2, 0). 曲线C在它所在的平面内绕A 旋转一周,
则它扫过的图形的面积是______________.
4.已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起, 恰得到一个所有二面角都相等的六面体, 并且该
六面体的最短棱的长为2, 则最远的两顶点间的距离是__________.
5.从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色.将一个正方体的六个面染色, 每面恰染一种颜色, 每两个
具有公共棱的面染成不同颜色.则不同的染色方案共有_____________种.
(注:如果我们对两个相同的正方体染色后,可以通过适当的翻转,使得两个正方体的上、下、左、右、前、后
六个对应面的染色都相同,那么,我们就说这两个正方体的染色方案相同).
6.在直角坐标 平面上,以(199,0)为圆心,以199为半径的圆周上,整点(即横、纵坐标皆为整数的
点)的个 数为_______________.
【第二试】

一、(本题满分25分) < br>设数列{a
n
}的前
n
项和S
n
=2a
n< br>-1(n=1,2,…),数列{b
n
}满足b
1
=3,b
k+1
=a
k
+b
k
(k=1,2,…)。求数
列{bn
}的前n项和.
29 23929 239


二、(本题满分25分)
求实数a的取值范围,使得对任意实数x和任意
θ
∈[0,π2]恒有
(x +3+2sin
θ
cos
θ

2
+(x+asin
θ
+acos
θ

2
≥18.



三、(本题满分35分)
如图,圆O1和圆O2及△ABC的三边所在的三条直线都相切,E 、F、G、H为切点,并且EG、FH的
延长线交于P点。求证直线PA及BC垂直。

P



G

H

O
1


A


O
2



C
F
E
B


四、(本题满分35分)
有n(n≥6)个人聚会,已知:
(1)每人至少同其中
??
个人互相认识;
2
?
n
?
??
?
n
?
(2)对于其中任意
??
个人,或 者其中有2 人相识,或者余下的人中有2人相识。
?
2
?

2001年全国高中数学联赛试题
第 1 试
一、 选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.已知a为给定的实数,那么集合M={x|x
2
-3x-a
2
+2=0,x∈R}的子集的个数为( )
(A)1 (B)2 (C)4 (D)不确定
2.命题1 长方体中,必存在到各顶点距离相等的点;
命题2 长方体中,必存在到各棱距离相等的点;
命题3 长方体中,必存在到各面距离相等的点。
以上三个命题中正确的有 ( )
(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D) 3个
3. 在四个函数y=sin|x|, y=cos|x|, y=|ctgx|, y=lg|sinx|中以π为周期,在(0,π2)上单调递增的偶函数是( )
(A)y=sin|x| (B)y=cos|x| (C)y=|ctgx| (D)y=lg|sinx|
4. 如果满足∠ABC=60°, AC=12, BC=k的△ABC恰有一个, 那么k的取值范围是( )
30 23930 239


(A)k=8√3 (B)0<k≤12 (C)k≥12 (D)0<k≤12或k=8√3
5. 若(1+x+x
2
)
1000< br>的展开式为a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+…a
2000
x
2000
,则a
0
+a
3+a
6
+a
9
+…+a
1998
的值为( )
(A)3333 (B)3666 (C)3999 (D)32001
6. 已知6枝玫 瑰及3枝康乃馨的价格之和大于24元,而4枝玫瑰及5枝康乃馨的价格之和小于22元,
则2枝玫瑰的 价格和3枝康乃馨的价格比较结果是 ( )
(A)2枝玫瑰的价格高 (B)3枝康乃馨的价格高 (C)价格相同 (D)不确定
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7. 椭圆ρ=1(2-cosθ)的短轴长等于________.
8.若复数z
1
, z
2
满足|z
1
|=2,|z
2
|=3,3z
1< br>-2z
2
=32-i,则z
1
·z
2
=______ ___.
9.正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1,则直线A
1
C
1
及BD
1
的距离是________.
10.不等式|1log
12
x+2|>32的解 集为__________________.
11.函数y=x+√(x
2
-3x+2)的值域为______________.
12.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图),要求同一块中种同一种植物,相邻的两块种不 同的
植物。现有4种不同的植物可供选择,则有________种栽种方案。
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.设{a
n
}为等差 数列,{b
n
}为等比数列,且b
1
=a
1
2
, b
2
=a
2
2
, b
3
=a
3
2
(a
1
<a
2
), 又(b
1
+b
2
+…+b
n
)的极限=√2+1。 试
求{a
n
}的首项和公差。[注意:√2+1和√(2+1)表示的数字不相同]
14.设曲线C
1
:x
2
a
2
+y
2=1(a为正常数)及C
2
:y
2
=2(x+m)在x轴上方仅有一个公 共点P。
(1)求实数m的取值范围(用a表示); (2)O为原点,若C
1
及x 轴的负半轴交于点A,当0<a<12时,试求△
OAP的面积的最大值(用a表示)。
15 .用电阻值分别为a
1
、a
2
、a
3
、a
4
、a
5
、a
6
的电阻组成一个如图的组件,在组装的过程中如何选择电阻,
才能使该组件的电阻值最小?证明你的结论。


2001年全国高中数学联赛试题

【第一试】
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.已知a为给定的实数,那么集合M={x|x
-3x-a

+2=0,x∈R}的子集的个
数为( ).
A.1 B.2 C.4 D.不确定
31 23931 239


2.命题1:长方体中,必存在到各顶点距高相等的点.
命题2:长方体中,必存在到各条棱距离相等的点;
命题3:长方体中,必存在到各个面距离相等的点.
以上三个命题中正确的有( ).
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
3.在四个函数y=sin|x|、y=cos| x|、y=|ctgx|、y=lg|s
inx|中,以π为周期、在(0,π/2)上单调递增的偶函 数是( ).
A.y=sin|x| B.y=cos|x|
C.y=|ctgx| D.y=lg|sinx|
4.如果满足∠ABC=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,那么k的取值范
围是( ).
A. B.0<k≤12
C.k≥12 D.0<k≤12或
5.若(1+x+x
2

1000
的展开式为 a

+a

x+a



+…+a
2000

2000
,则a

+a
3
+a
6
+a
9
+…+a
1998
的值为( ).
A.3
333
B.3
666
C.3
999
D.3
2001

6.已知6枝玫瑰及3枝康乃馨的价格之和大于24,而4枝攻瑰 及5枝康乃馨的价格之和小
于22元,则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较,结果是( ).
A.2枝玫瑰价格高 B.3枝康乃馨价格高
C.价格相同 D.不确定
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7.椭圆ρ=1/(2-cosθ)的短轴长等于______________.
8.若 复数z

、z

满足|z

|=2,|z

|=3,3z

-2z

=(3/2)-i,则z

·z

=______________.

9.正方体ABCD-A


C1

的棱长为1,则直线A


及BD

的距离是______________.

10 .不等式|(1/log
1/2
x)+2|>3/2的解集为______________.
11.函数 的值域为______________.

32 23932 239


图3
12.在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物(如图3) ,要求同一块中种同一种植物,
相邻的两块种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择,则有____ __________种栽种方案.
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
1 3.设{a

}为等差数列,{b

}为等比数列,且b

=a


,b

=a


,b

=a


(a

<a

=.又 试求{a

}的首项及公差.
x
2
?y
2
?1
2
14.设曲线
C
1

a

a
为 正常数)及
C
2

y
2
=2(
x
+
m
) 在
x
轴上方仅有一个公共点
P


⑴ 求实数
m
的取值范围(用
a
表示);
1

O< br>为原点,若
C
1

x
轴的负半轴交于点
A
, 当0<
a
<
2
时,试求Δ
OAP
的面积的最大值(用
a
表示).
15.用电阻值分别为
a
1

a
2

a
3

a
4

a
5

a
6
(
a
1
>
a
2
>
a
3
>
a
4
>
a
5
>
a
6
) 的电阻组装成一个如图的组件,
在组装中应如何选取电阻,才能使该组件总电阻值最小?证明你的结论.







【第二试】
一.(本题满分50分)
33 23933 239


如图,△
ABC
中,
O
为外心,三条高
AD

BE

CF
交于点
H
,直线
ED

AB
交于点
M

FD

AC

于点
N

求证:(1)
OB

DF

OC

DE

(2)
OH

MN


A
O
F
H
D
E
C
N
B
M

二.(本题满分50分)

x
i?0

i
=1,2,…,
n
)且
?
x
i?1
n
2
i
?2
1?k?j?n
?
n
k
x
k
x
j
?1
x
i
?
j
,求
i?1
的最大值及最小值.
三.(本题满分50分)
将边长为正整数
m

n
的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形.每个正方形的边均平行于
矩形的相应边.试求这些正方形边长之和的最小值.
C
n
A
m
B

D
34 23934 239


参考答案

一.

选择题:
1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A
二.填空题:
23
3
?
7. 8.
6
6
3072
?i
1313

9.
2
7
10.
三.解答题:
(0,1)?(1,2)?(4,??)
[1,
11.
3
)?[2,??)
2
12. 732
1 3.设所求公差为
d
,∵
a
1

a
2
,∴
d
>0.由此得
22422
a(a?2d)?(a?d)
2a?4ad?d?0

111
11
化简得:
解得:
d?(?2?2)a
1
……………………………………………………… 5分

?2?2?0
,故
a
1
<0
q?
2
a
2

d?(?2?2)a
1
,则

d?(?2?2)a
1
,则

n???
a
1
2
2
a
2
?(2?1)
2

?(2?1)
2
q?
a
1
2
……………………………… 10分
2
存在,故|
q
|<1,于是
q?(2?1)
不可能.
lim(b
1
?b
2
???b
n
)?2?1
2
a
1
2
从而
1?(2?1)
2
?2?1?a
1
?(22?2)(2?1)? 2

所以
a
1
??2,d?(?2?2)a
1
?22?2
……………………………… 20分
35 23935 239


?< br>x
2
2
?
2
?y?1
?
a
?
y
2
?2(x?m)
2222
14.解:(1)由
?
消去
y
得:
x?2ax?2am?a?0

2222

f(x)?x?2ax?2am?a
,问题(1)化为方 程①在
x
∈(-
a

a
)上有唯一解或等根.
只需讨论以下三种情况:
a
2
?1
m?
2
,此时
x
p
=-
a
2
,当且仅当-
a
<-
a2

a
,即0<
a
<1时适合;
1°△=0得:

f
(
a
)
f
(-
a
)<0,当且仅当-
a

m

a


f
(-
a
)=0得
m

a
,此时
x
p

a
-2
a
2
,当且 仅当-
a

a
-2
a
2

a
,即 0<
a
<1时适
合.

f
(
a
)=0得
m
=-
a
,此时
x
p
=-
a-2
a
2
,由于-
a
-2
a
2
<-< br>a
,从而
m
≠-
a

a
2
?1< br>m?
2
或-
a

m

a

综上可知,当0<
a
<1时,
a
≥1时,-
a

m

a
.…………………… ………………………… 10

1
ay
p
2
(2)△
OAP
的面积
S?
1
22
∵0<
a

2
,故-
a

m

a
时,0 <
?a?aa?1?2m

a

由唯一性得
x
p
??a
2
?aa
2
?1?2m

1?
x
2
p
a
2
取值最大,此时
显然当
m

a
时,
x
p
取值最小.由于
x
p
>0,从而
y
p

y
p
?2a?a2
2
,∴
S?aa?a

1
a
2
? 1
S?a1?a
2
m?
2
2
2
时,
xp
=-
a

y
p

1?a
,此时2


1
a1?a
2
2
下面比较
aa?a

2
的大小:
36 23936 239



aa?a
2
?
11
a1?a2
a?
2
3

,得
1
11
a1?a< br>2
S
max
?a1?a
2
2
2
故当 0<
a

3
时,
aa?a

2
,此时.
111
?a?aa?a
2
?a1?a
2
2
S?aa ?a
2
32
max

时,,此时.……… 20分
15.解:设6个电阻的组件(如图3)的总电阻为
R
FG
,当
R
i

a
i

i
=3,4,5,6,
R< br>1

R
2

a
1

a
2< br>的任意排列时,
R
FG
最小 ……………………………………… 5分
证明如下:
111
??
1.设当两个电阻
R
1< br>、
R
2
并联时,所得组件阻值为
R
,则
RR
1
R
2
.故交换二电阻
的位置,不改变
R
值,且当
R
1

R
2
变小时,
R
也减小,因此不妨取
R
1

R
2

2.设3个电阻的组件(如图1)的总电阻为
R
AB


R
AB
?
RR?R
1
R
3
?R
2
R
3
R
1
R
2
?R
3
?
12
R
1
?R
2
R
1
?R
2

显然
R
1

R
2
越大,
R
AB
越小,所以为使
R
AB
最小必须取
R
3
为所 取三个电阻中阻值最小的—
个.
111
??
R
CD
RAB
R
4
?
3.设4个电阻的组件(如图2)的总电阻为
RCD

若记
S
1
?
R
1
R< br>2
?R
1
R
3
?R
1
R
4
?R
2
R
3
?R
2
R
4
R
1R
2
R
4
?R
1
R
3
R
4< br>?R
2
R
3
R
4

1?i?j?4
?
RR
ij
,

R
CD< br>?
S
2
?R
1
R
2
R
3
S
1
?R
3
R
4

S
2?
1?i?j?k?4
?
R
i
R
j
R
k
,则
S
1

S
2
为定值,于是
37 23937 239


只有当
R
3
R
4< br>最小,
R
1
R
2
R
3
最大时,
R< br>CD
最小,故应取
R
4

R
3

R
3

R
2

R
3

R
l
,即得总电阻
的阻值最小 …………………………………………………………………… 15分
4°对于图3把由
R
1

R
2

R
3
组成的组件用等效电阻
R
AB
代替.要使
R
F G
最小,由3°必需使
R
6

R
5
;且由1°应使
R
CE
最小.由2°知要使
R
CE
最小,必需使
R
5

R
4
,且应使
R
CD
最小.
而由3°,要使
R
CD
最小,应使
R
4

R
3

R
2

R
4

R
3

R
1

这就说明,要证结论成立………………………………………………………………20分


2001年全国高中数学联合竞赛
加试参考答案及评分标准

一.证明:( 1)∵
A

C

D

F
四点共圆
∴∠
BDF
=∠
BAC

1
又∠
OBC

2
(180°-∠
BOC
)=90°-∠
BAC


OB

DF

(2)∵
CF

MA


MC

2

MH

2

AC

2

AH

2


BE

NA


NB

2

NH

2

AB

2

AH

2


DA

BC


BD

2

CD

2

BA

2

AC

2


OB

DF


BN

2

BD

2

ON

2

OD

2

38 23938 239



OC

DE


CM

2

CD

2

OM

2

OD

2
⑤ …………………………………… 30分
①-②+③+④-⑤,得

NH

2

MH

2

ON

2

OM

2

MO

2

MH

2

NO

2

NH

2


OH

MN
…………………………………………………………………… 50分
另证:以
BC
所在直线为
x
轴,
D
为原点 建立直角坐标系,
k
AC
??
aa
,k
AB
??
cb

A
(0,
a
),
B
(< br>b
,0),
C
(
c
,0),则
y??
∴直线
AC
的方程为
ac
(x?c)y?(x?b)
ca
, 直线
BE
的方程为

c
?
y?(x?b)
?
?
a
?
222
a
ac?bcac?abc
?
y? ?(x?c)
,
22
?
c
a
2
?c
2) 由
?

E
点坐标为
E
(
a? c
a
2
b?b
2
cab
2
?abc
,22
a?ba
2
?b
2
) 同理可得
F
(
直线
AC
的垂直平分线方程为
y?< br>acc
?(x?)
2a2

b?c
2
直线
BC
的垂直平分线方程为
x?
acc
?
y??(x?)?
?
2a2
?
b?cbc?a
2
?
x?
b?c
,
?
2
?
22a
) 由 得
O
(
bc?a
2
bc?a
2
2a
??
b?c
ac?ab
?b
2
ab
2
?abcab?ac
?< br>2
?
22
ab?bca?bc
k
OB
,k
D F


k
OB
k
DF
??1

OB

DF

同理可证
OC

DE

39 23939 239


在直线
BE
的方程
y?
bc
c
?
( x?b)
a
中令
x
=0得
H
(0,
a
)
k
OH

bc?a
2
bc
?
a< br>2
?3bc
2aa
??
b?c
ab?ac
2

y?
ab?ac
x
a
2
?bc
直线DF
的方程为
ab?ac
?
y?x
2
?
?a?bc
?
a
2
c?bc
2
abc?ac
2< br>?
y??
a
(x?c)
,
222
?
c
?
a?2bc?ca?2bc?c
2
) 由 得
N
(
a
2
b?b
2
cabc?ab
2
,
222
a?2bc?ba?2bc?b
2
) 同理可得
M
(

k
MN
a(b
2
?c
2)(a
2
?bc)ab?ac
???
(c?b)(a
2
?bc)(a
2
?3bc)a
2
?3bc


k
OH
·
k
MN
=-1,∴
OH

MN

nn
(
二.解 :先求最小值,因为
?
x)?
?
2
i
i?1i?1
x
i
2
?2
1?k?j?n
?
k
x
kx
j
?1?
j
?
x
i?1
n
i
≥1
等号成立当且仅当存在
i
使得
x
i
=1,
x
j
=0,
j

i


?
x
i?1
n
i
最小值为1. …………………………………………………………… 10分
再求最大值,令
x
k
?ky
k


k?1
?
ky
n
2
k
?2
1?k?j?n
?
kyy
kj
?1

M?
?
x?
?
k
k?1k?1
nn
?
y
1
?y
2
?
?
?y
n
?a
1
?y
2
?
?
?y
n
?a
2
?
?
??
?
ky
k
?
y
n
?a
n, 令
?

222
a?a???a?1
…………………………………………………… 30分
12n
则①?
40 23940 239



a
n?1
=0,则
?
M?
?
k?1
n
k(a
k
?a
k?1
)
nn

k?1a
k
?

?
k?1
n
ka
k
?
?
k?1
n
kak?1
?
?
k?1
ka
k
?
?
k?1
?
(
k?1
n
k?k?1)a
k

由柯西不等式得:
M?[

?
k?1
n
(k?k? 1)](
2
1
2
?
k?1
n
2
a
k
)
1
2
?[
?
k?1
n
(k?k?1)
2
]
2
1

22
2
a
k
a
n
a
1
?
?
??
?
?
2
1
(k?k?1)(n?n?1)
2
等号成立?
222
a
1
?a
2
?
?
?a
n
2
ak

?
1?(2?1)
2
?
?
?(n? n?1)
2
k?k?1
[
?
(k?k?1)
2

?a
k
?

?
k?1
n
(k?k? 1)
2
]
2
1
(
k
=1,2,…,
n
)
y
k
?a
k< br>?a
k?1
?
2k?(k?1?k?1)
[
n
?0< br> 由于
a
1

a
2
≥…≥
a
n
,从而
[
?
(
k?1
k?k?1)
2
]
1
2
,即
x
k
≥0
所求最大值为
?
(
k?1
n
k?k?1)]
2
1
2
…………………………………………… 50分
三.解:记所求最小值为
f
(
m

n
),可义证明
f
(
m

n
)=
rn

n
-(
m

n
) (*)
其中(
m

n
) 表示
m

n
的最大公约数 ………………………………………… 10分
事实上,不妨没
m

n

(1)关于m
归纳,可以证明存在一种合乎题意的分法,使所得正方形边长之和恰为
rn
+< br>n
-(
m

n
)
当用
m
=1时,命题显然成立.
假设当,
m

k
时,结论成立(
k
≥1).当
m

k
+1时,若< br>n

k
+1,则命题显然成立.若
n

k
+ 1,从矩形
ABCD
中切去正方形
AA
1
D
1
D< br>(如图),由归纳假设矩形
A
1
BCD
1
有一种分法使得所< br>41 23941 239


得正方形边长之和恰为
m< br>—
n

n
—(
m

n

n
)=
m
-(
m

n
),于是原矩形
ABC D
有一种分法使得
所得正方形边长之和为
rn

n
-(m

n
) ………………………… 20分
(2)关于
m
归纳可以证明(*)成立.

m
=1时,由于
n
=1,显然
f
(
m

n
)=
rn

n
-(
m

n< br>)
假设当
m

k
时,对任意1≤
n

m

f
(
m

n
)=
rn

n
-(
m

n
)

m

k
+1,当
n

k
+1时显然
f (
m

n
)=
k
+1=
rn
n
-(
m

n
).
当1≤
n

k
时,设矩形
ABCD
按要求分成了
p
个正方形,其边长 分别为
a
l

a
2
,…,
a
p

不妨
a
1

a
2
≥…≥
a
p

显然
a
1

n

a
1

n


a
1

n
,则在
AD

BC
之间的及
AD
平行的任一直线至少穿过二个分成的正方
形 (或其边界).于是
a
1

a
2
+…+
a
p
不小于
AB

CD
之和.
所以
a
1

a
2
+…+
a
p
≥2
m

rn

n
-(
m

n
)

a
1

n
,则一个边长分别为
m

n

n
的矩形可按题目要求分成边长分别为
a
2
,…
a
p
的正方形,由归纳假设

a
2< br>+…+
a
p

m

n

n
-(
m

n

n
))=
rn
-(
m

n
)
从而
a
1

a
2
+…+
a
p

rn

n
-(
m

n
)
于是当
rn

k
+1时,
f
(
m
n
)≥
rn

n
-(
m

n
)
再由(1)可知
f
(
m

n
)=< br>rn

n
-(
m

n
). ………………………………………… 50分





42 23942 239



2001年全国高中数学联赛试题

第 2 试

一.(本题满分50分)
如图,△ABC中,O 为外心,三条高AD、BE、CF交于点H,直线ED
和AB交于点M,FD和AC交于点N 。
求证:(1) OB⊥DF,OC⊥DE
(2) OH⊥MN。
二、(本题满分50分)
设 x
i
≥ 0 ,i∈N
+
,且 ∑
1≤i≤n
(x
i
2
) + ∑
1≤k≤j≤n
( √(kj)×x
k
x
j
) = 1 。
求:∑
1≤i≤n
x
i
的最小值 。
三.(本题满分50分)
将边长为正整数m,n的矩形划分成若干边长均为正整数的正方形. 每个正方形的边均平行于矩形的相应边.试求这些
正方形边长之和的最小值.


2002年全国高中数学联赛试题及解答

一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.设全集是实数集,若A={x|
=10

},则A∩是( ).
A.{2}
B.{-1}
C.{x|x≤2} D.
43 23943 239
≤0},B={x|


2.设sinα>0,cosα<0,且sin>cos,
则的取值范围是( ).
A.(2kπ+π/6,2kπ+π/3),k∈Z
B.(2kπ/3+π/6,2kπ/3+π/3),k∈Z
C.(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z
D.(2kπ+π/4,2kπ+π/3)∪(2kπ+5π/6,2
kπ+π),k∈Z
3.已知点A为双曲线x
2
-y
2
=1的左顶点,点B和点C在双
曲 线的右分支上,△ABC是等边三角形,则△ABC的面积是
( ).
A.
/3
B.3/
2 C.3 D.6
4.给定正数p,q,a,b,c,其中p≠q.若p,a,
q是等比数列,p ,b,c,q是等差数列,则一元二次方程bx
2
-2ax+c=0( ).
A.无实根
B.有两个相等实根
C.有两个同号相异实根
D.有两个异号实根
5.平面上整点(纵、横坐标都是整数的点)到直线y=5/3
x+4/5的距离中的最小值是( ).
A.

170 B.
44 23944 239


85 C.120 D.130
6.设ω=cos+isin,则以ω,ω
3
,ω
7
,ω< br>9
为根的方程是( ).
A.x
4
+x
3
+x
2
+x+1=0
B.x
4
-x
3
+x
2
-x+1=0
C.x
4
-x
3
-x
2
+x+1=0
D.x
4
+x
3
+x
2
-x-1=0
二、填空题〖HTK〗(本题满分54分,每小题9分)
7.arcsin(sin2000°)=_______.
8.设a

是(3-


)的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…),
=_______.
9.等比数列a+log
2
3,a+log
4
3,a+log
83的公
比是______.
10.在椭圆x
2
/a
2
+y
2
/b
2
=1(a>b>0)中,记左焦点
为F,右顶 点为A,短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是
则∠ABF=______.
11.一个球及正四面体的六条棱都相切,若正四面体的棱长为
a,则这个球的体积是______.
12.如果:(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4};
(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a;
(3)a是a,b,c,d中的最小值,
45 23945 239

那么,可以组成的


不同的四位数的个数是______.
三、解答题〖HTK〗(本题满分60分,每小题20分)
13.设S

=1+2+3+…+n,n∈N,求f(n)=
的最大值.
14.若函数f(x)=-1/2x
2
+13/2在区间[a,b]上
的最小值为2a ,最大值为2b,求[a,b].
15.已知C
0
:x
2
+y
2
=1和C
1
:x
2
/a
2
+y2
/b
2
=1(a
>b>0),那么,当且仅当a,b满足什么条件时, 对C
1
上任意一
点P,均存在以P为顶点、及C
0
外切、及C
1
内接的平行四边形?并证
明你的结论.
参考答案或提示
一、1.D;2.D;3.C;4.A;5.B;6.B.
提示:1.易得A={2},B={-1,2},
则A∩=.
2.由2kπ+π/2<α<2kπ+π,
得2kπ/3+π6<α<2kπ/3+π/3(k∈Z).
又由sin>cos,
得2kπ+π/4<<2kπ+5π/4(k∈Z).
∴α∈(2kπ+π/4,2kπ+π/3)∪(2kπ+5π/6,
kπ+π)(k∈Z).
3.不妨设B点在x轴上方,则AB:y=
46 23946 239
/3x+/3,


代入x
2
-y
2
=1,得B(2,< br> 同理可得C(2,-
).
).故S△ABC=3.
4.由2b=p+c,2c=q+b,得b=2p+q3,c=p
+2p3.于是


从而Δ=4a
2
-4bc<0,方程无实根.
5.整点(x
0
,y
0
)到直线5x-3y+12=0的距离为d=|
25x
0
-15y
0
+12|/5

因25x
0
-15y
0
是5的倍数,所以|25

0
-15y
0
+12|≥2,当x
0
=-1、y
0
=-1时等号成立.故
即为所求.
6.由ω=cos

isin
/85
知,ω ,ω
2
,ω
3
,…,ω
10
(=1)是1的10个十次方根 ,则
(x-ω)(x-ω
2
)(x-ω
3
)…(x-ω< br>10
)=x
10

1. ①
又ω
2
,ω
4
,ω
6
,ω
8
,ω
10
是1的5个五次方根,则
(x-ω
2
)(x-ω
4< br>)(x-ω
6
)(x-ω
8
)(x-ω
10

=x
5
-1. ②
①÷②后,再两边同除以x-ω
5
(=x+1),得(x-ω)
(x-ω
3
)(x-ω
7
)(x-ω
9
)=x
4
-x
3
+x
2
-x+1.
二、7.-π/9;8.18;9.1/3;10.90°;11.
12.28.
47 23947 239

3


提示:7.原式=arcsin[sin(-π/9)]=-π
/9.
8.∵a

=C

2
·3
n-2

∴3

/a

=…=18(
∴原式=18
9.公比

10.由c/a=
).
=…=18.
,由
等比定理,得

,得c
2
+ac-a
2
=0.
又|AB|
2
=a
2
+b
2
,|BF|
2
=a
2< br>,
故|AB|
2
+|BF|
2
=…=3a
2
-c
2

而|AF|
2
=(a+c)
2
=…=3a
2
-c
2
=|AB|
2
+|B
F|
2
,故∠ABF=90°.
11.易知球心O为正四面体的中心,O点及棱的中点连线成为
球的半径r,则r=
12.按
同的数字时,组成
,故球的体积为V=…=.
中所含不同数字的个数分三类 :(1)恰有2个不
=6个数;(2)恰有3个不同数字时,组成
=16个数;(3)恰有4个不同数字时,组成
=6个数.故符合要求的四位数
三、13.
共有6+16+6=24(个).
48 23948 239





当且仅当n=64/n,即n=8时, 上式等号成立,故f(n)
max

1/50.
14.分三种情况 讨论:(1)当0≤a<b时,f(a)=2b,
f(b)=2a.解得[a,b]=[1,3].
(2)当a<0<b时,f(0)=2b,f(a)=2a或f(b)
=2a.解得[ a,b]=[-2-,13/4].
(3)当a<b≤0时,f(a)=2a,f(b)=2b.无
解.
综上,[a,b]=[1,3]或[-2-,13/4].
15.所求条件为1/a
2
+1/b
2
=1.证明如下:
必要性:易知,圆外切平行四边形一定是菱形,圆心即菱形中
心.
假设结论成立,则 对点(a,0),有(a,0)为顶点的棱形
及C
1
内接,及C
0
外 切.(a,0)的相对顶点为(-a,0),由于
菱形的对角线互相垂直平分,另外两个顶点必在y轴上 ,为(0,b)
和(0,-b).菱形一条边的方程为x/a+y/b=1,即bx+
,整理得 1/a
2
ay=ab.由于菱形及C
0
外切,故必有
+1/b
2
=1.必要性得证.
充分性:设1/a
2
+1/b
2
=1,P是C
1
上任意一点,过P、O
49 23949 239


作C
1
的弦PR,再过O作及PR垂直的弦QS,则PQRS为及C
1
内接
的菱形.设|OP|=r
1
,|OQ|=r
2
,则 点P的坐标为(r
1

osθ,r
1
sinθ),点Q的坐标为(r
2
cos(θ+),r
2
sin(θ+)),代入椭圆方程,得


又在Rt△POQ中,设点O到PQ的距离为h,则

同理,点O到QR,RS,SP的距离也为1,故菱形PQRS
及C
0
外切.充分性得 证.
说明:今年高中数学联赛第4题由陕西省永寿县中学安振平老
师提供,第6题和 第10题由西安市西光中学刘康宁老师提供.

50 23950 239


2004年全国高中数学联合竞赛试题(1试)
第 一 试

时间:10月16日
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
1、设锐角< br>?
使关于x的方程
x?4xcos
?
?cot
?
?0
有重根,则
?
的弧度数为( )
A.
2
?

6
B.
2
?
12
2
or
5
?

12
C.
?
6
or
5
?

12
D.
?

12
N??
,则b2、已知M?{(x,y)|x?2y?3},N?{(x,y)|y?mx?b}
。若对所有
m? R,均有M
的取值范围是( )
?
66
?
,
A.
?
?
?

22
??
?
66
?
B.
?
?
?
2
,
2
?
?

??
2323
,]
C.
(?
33
?
2323
?
,
D.
?
?
?

33
??
3、不等式
log
2
x?1?
A.
[2,3)

1
log
1
x
3
?2?0
的解集为( )
2
2
C.
[2,4)
D.
(2,4]
B.
(2,3]

4、设O点在
?ABC
内部,且有
OA ?2OB?3OC?0
,则
?ABC
的面积及
?AOC
的面积的比为 ( )
A. 2 B.
3

2
C. 3 D.
5

3
5、设三位数
n?abc
,若以a,b,c为 三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数
n有( )
A. 45个 B. 81个 C. 165个 D. 216个
6、顶点为P的圆锥的轴截面是 等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面圆的
圆心,
AB?OB< br>,垂足为B,
OH?PB
,垂足为H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O-H PC的
体积最大时,OB的长是( )
A.
5

3
B.
25

3
C.
6

3
D.
26

3
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
7、在平面直角坐标系xoy中,函 数
f(x)?asinax?cosax(a?0)
在一个最小正周期长的区间上的图像
及函数
g(x)?a
2
?1
的图像所围成的封闭图形的面积是______ __________。
8、设函数
f:R?R,满足f(0)?1
,且对任意x,y?R,都有

f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2
,则
f(x)
=_____________________。

9、如图、 正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1中,二面角
51 23951 239


A?BD
1
?A
1
的度数是____________。
10、设p是给定的奇质数,正整数k使得
k
2
?pk
也是
一个正整数,则k=____________。
11、已知数列
a
0,a
1
,a
2
,...,a
n
,...,
满足 关系式
(3?a
n?1
)(6?a
n
)?18,且a
0?3
,则
1
的值是
?
a
i?o
i
n< br>_________________________。
12、在平面直角坐标系XOY中, 给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在X轴上移动,当
?MPN

最大值时 ,点P的横坐标为___________________。
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)
13、一项“过关游戏”规则规定:在第n关 要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数之和大于
2
n

则算过关 。问:
(Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关?
(Ⅱ)他连过前三关的概率是多少? (注:骰子是一个在各面上分别有1,2,3,4,5,6点数的均匀正方体。抛掷骰子落地静止后,向上一 面
的点数为出现点数。)

14、在平面直角坐标系xoy中,给定三点
A (0,),B(?1,0),C(1,0)
,点P到直线BC的距离是该点到直线
AB,AC距 离的等比中项。
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若直线L经过
?ABC
的内心(设为D),且及P点的轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值
范围。
15、已 知
?
,
?
是方程
4x?4tx?1?0(t?R)
的两个不 等实根,函数
f(x)?
(Ⅰ)求
g(t)?maxf(x)?minf(x)

(Ⅱ)证明:对于
u
i
?(0,
2
4
32x?t
的定义域为
?
?
,
?
?

2
x?1
?
2
)(i?1,2,3)
,若
sinu
1
?sinu
2
?sinu
3
?1,


1113
???6

g(tanu
1
)g(t anu
2
)g(tanu
3
)4
二○○四年全国高中数学联合竞赛试 题
参考答案及评分标准
说明:
1、评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设 6分和0分两档,填空题只设9分和0分两档;其他各题
的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次 给分,不要再增加其他中间档次。
2、如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确, 在评卷时可参照本评分标准适当划分档
次评分,5分为一个档次,不要再增加其他中间档次。
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
52 23952 239


1、解:因方程
x?4xcos
?
?cot
?
?0
有重根,故
??16cos
22
?
?4cot
?
?0
0?
?
?
?2
?
?
?
2
, ?4cot
?
(2sin2
?
?1)?0

sin2
?
?
1

2
?
6
或2
?
?
5
?
?
5
?
,于是
?
?
。 故选B。

61212
22
2、解:
M

2b
2
66
?1,???b?

N??
相当于点(0,b)在椭圆
x?2y?3
上或它的内部
?
322
故选A。
331
?< br>logx?1?logx???0
?
22
3、解:原不等式等价于
?< br>
222
?
?
log
2
x?1?0
?
3
2
1
?
t?t??0

log
2
x? 1?t,则有
?
2

2
?
?
t?0
0?log
2
x?1?1,?2?x?4

解得
0?t?1

故选C。
A
4、解:如图,设D,E分别是AC,BC边的中点,

OA?OC?2 OD
2(OB?OC)?4OE
(1)
(2)

O
D
由(1)(2)得,
OA?2OB?3OC?2(OD?2OE)?0


OD与OE
共线,

|OD|?2|OE|
BE
C
?
S
?AEC
3
S
3?2
?,?
?A BC
??3
, 故选C。
S
?AOC
2S
?AOC
2
5、解:a,b,c要能构成三角形的边长,显然均不为0。即
a,b,c?{1,2,. ..,9}

1
(1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为
n
1
,由于三位数中三个数码都相同,所以,
n
1
?C
9
? 9

(2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为
n
2< br>,由于三位数中只有2个不同数码。设为
a、b,注意到三角形腰及底可以置换,所以可取的数码 组(a,b)共有
2C
9
。但当大数为底时,设a>b,必
须满足
b ?a?2b
。此时,不能构成三角形的数码是
a
b
共20种情况。
53 23953 239
9
4,3
2,1
8
4,3
2,1
7
3,2
1
6
3,2
1
5
1,2
4
1,2
3
1
2
1
1

2


同时,每个数码组(a, b)中的二个数码填上三个数位,有
C
3
种情况。
222

n
2
?C
3
(2C
9
?20)?6(C
9
?10)?156
。 综上,
n?n
1
?n
2
?165

2
6、解:
AB?OB,AB?OP,?AB?PB,又OH?PB

?面PAB?面POB,?OH?HC,OH?PA

C是PA中点,
?OC?PA

?当HO?HC时S
?HOC
最大,
也即
V
O?HPC
?V
P?HCO
最大。
此时,
126
HO?2,故HO=OP,??HPO?30
0
,?OB?OP?ta n30
0
?
,故选D。
23
二、填空题(本题满分54分,每小题9分)
2
?
1
2
7、解:
f(x)?a?1sin(ax?
?
),其中
?
?arctan
,它的最小正周期为,振幅为
a
2
?1
。由
f(x)
a
a
2
?
的图像及
g(x)
的图像围成的 封闭图形的对称性,可将这图形割补成长为、宽为
a
2
?1
的长方形,故a
2
?
a
2
?1
。 它的面积是
a
8 、解:
对?x,y?R,有f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2,

?有f(xy?1)?f(y)f(x)?f(x)?y?2


f(x)f (y)?f(y)?x?2
=
f(y)f(x)?f(x)?y?2


f(x)?y?f(y)?x,令y?0,得f(x)?x?1

9、解 :连结
D
1
C,作CE?BD
1
,垂足为E,延长CE交
A
1
B
于F,则
FE?BD
1
,连结AE,由对称性知
AE?BD
1
,??FEA
是二面角
A?BD
1
?A1
的平面角。
连结AC,设AB=1,

AC?AD
1
?2,BD
1
?3.

A 1
D1
C1
B1
F
E
在Rt?ABD
1
中 ,
AE?
AB?AD
1
2

?
BD
1< br>3
22222
D
C
A
4
?2
1

?AEC中,cos?AEC?
AE?CE?AC
?
2AE?AC
?
3
??
4
2AE?CE2AE
2
2
3
B< br>54 23954 239


??AEC?120
0
,而? FEA是?AEC
的补角,
??FEA?60
0

22
p ?p?4n
22
10、解:设
k
2
?pk?n,n?N
*< br>,则k
2
?pk?n
2
?0,k?
,从而
p?4n< br>是平方数,设
2

m,m?N,则(m?2n)(m?2n)?p

2*2

?
p
2
?1
m?
?
?< br>m?2n?1
?
2

p是质数,且p?3,?
?
,解 得
?
2
2
p?1
?
m?2n?p
?
n?< br>?
?4
p?m2p?(p
2
?1)(p?1)
2
?k ??,故k?
。(负值舍去)
244
11、解:设
b
n
?
111
,n?0,1,2,...,则(3?)(6?)?18,

a
n
b
n?1
b
n

3b
n ?1
?6b
n
?1?0.?b
n?1
?2b
n
?, b
n?1
?
1
3
11
?2(b
n
?)
33
故数列
{b
n
?}
是公比为2的等比数列, < br>1
3
b
n
?
n
111111
?2
n
(b
0
?)?2
n
(?)??2
n?1
?b
n
?(2
n?1
?1)

33a
0
333nn
?
1
n?2
11
i?1
1
?
2( 2
n?1
?1)
?b?(2?1)??(n?1)
???
i
?
2?1
?
?
3
?
2?n?3
?
a33
i?o
i
i?0i?0
??
12、解:经过M、N两点的 圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3-x上,设圆心为
S(a,3-a),则圆S的方程为:
(x?a)?(y?3?a)?2(1?a)

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当
?MPN取最大值时,
22
222
经过M,N,P三点的圆S必及X轴相切于点P,即圆S 的方程中的a值必须满足
2(1?a)?(a?3),
解得
a=1或a=-7。
即对应的切点分别为
P(1,0)和P(?7,0)
,而过点M,N,
p'
的圆的半径大于过点M,N,P的圆的半
'
径,所以
?MPN??MP'N< br>,故点P(1,0)为所求,所以点P的横坐标为1。
三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

13、解:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。
(Ⅰ)因骰 子出现的点数最大为6,而
6?4?2,6?5?2
,因此,当
n?5
时,n 次出现的点数之和大于
45
2
n
已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概 率为0。所以最多只能连过4关。
5分

55 23955 239


(Ⅱ)设事件
A
n
为“第n关过关失 败”,则对立事件
A
n
为“第n关过关成功”。
第n关游戏中,基本事件总数为
6
个。
第1关:事件
A
1
所含基本事件数为2(即出现点数为1和2这两种情况),
n
?
过此关的概率为:
P(A
1
)?1?P(A
1
)?1?
22
?

63
第2关:事件
A
2
所含基本事件数为方程
x?y?a
当a分别取2,3,4时的正整数解组数之和。即 有
111
C
1
?C
2
?C
3
?1?2?3 ?6
(个)。
?
过此关的概率为:
P(A
2
)?1?P( A
2
)?1?
65
?

2
66
10分
第3关:事件
A
3
所含基本 事件为方程
x?y?z?a
当a分别取3,4,5,6,7,8时的正整数解组数之和。
222222
即有
C
2
?C
3
?C
4
? C
5
?C
6
?C
7
?1?3?6?10?15?21?56
(个)。
5620

?
3
627
25 20100
故连过前三关的概率为:
P(A
1
)?P(A
2
)?P(A
3
)???

?
3627243
?
过此关的概率为:
P(A
3
)?1?P(A
3
)?1?
(说 明:第2,3关的基本事件数也可以列举出来)
14、解:(Ⅰ)直线AB、AC、BC的方程依次为
y?
BC的距离依次为
d
1
?
15分
20分
44
(x?1),y??(x?1),y?0
。点
P(x,y)
到A B、AC、
33
11
|4x?3y?4|,d
2
?|4x?3y?4 |,d
3
?|y|
。依设,
55
d
1
d
2
?d
3
2
,得|16x
2
?(3y?4)
2
|?25y
2
,即
16x
2
?(3y?4)
2
? 25y
2
?0,或16x
2
?(3y?4)
2
?25y2
?0

化简得点P的轨迹方程为
圆S:
2x?2y?3y?2?0与双曲线T:8x?17y?12y?8?0

(Ⅱ)由前知,点P的轨迹包含两部分
圆S:
2x?2y?3y?2?0

及双曲线T:
8x?17y?12y?8?0

22
2222
5分
22


因为B (-1,0)和C(1,0)是适合题设条件的点,所以点B和点C在点P的轨迹上,且点P的轨迹曲
线 S及T的公共点只有B、C两点。
1

d
1
?d
2
?d
3
,解得
D(0,)
,且知它在圆S上。直线L经过D,
?A BC
的内心D也是适合题设条件的点,
2
且及点P的轨迹有3个公共点,所以,L的斜 率存在,设L的方程为
1
y?kx?

2

(i)当k=0时,L及圆S相切,有唯一的公共点D;此时,直线
y?
56 23956 239
1
平行于x轴,表明L及双曲线有不
2


同于D的两个公共点,所以L恰好及点P的轨迹有3个公共点。 10分
(ii)当
k? 0
时,L及圆S有两个不同的交点。这时,L及点P的轨迹恰有3个公共点只能有两种情况:
情况1:直线L经过点B或点C,此时L的斜率
k??
1
,直线L的方程为
x ??(2y?1)
。代入方程
2
②得
y(3y?4)?0
,解得E(,)或F(-,)
。表明直线BD及曲线T有2个交点B、E;直线CD及曲
线T有2 个交点C、F。
故当
k??

54
33
54
33
1
时,L恰好及点P的轨迹有3个公共点。 15分
2
1
情况2:直线L不经过点B和C(即
k??
),因为L及S有两个不同的交点,所以L 及双曲线T有
2
?
8x
2
?17y
2
?12y?8 ?0
?
且只有一个公共点。即方程组
?
有且只有一组实数解,消去y并化简得
1
?
y?kx?
?2
(8?17k
2
)x
2
?5kx?
25
?0

4
2
该方程有唯一实数解的充要条件是
8?17k?0


(?5k)?4(8?17k)
22



25
?0

4

解方程④得
k??
2342
,解方程⑤得
k??

172
12342
,?,?}

2172
20分 综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集
{0,?
22
15、解:(Ⅰ)设
?
?x
1
?x
2
?
?
,则4x
1
?4tx
1
?1?0,4x
2
?4tx
2
?1?0,


2
?4(x
1
2
?x
2
)?4 t(x
1
?x
2
)?2?0,?2x
1
x
2
?t(x
1
?x
2
)?
1
?0

2
f(x
2
)?f(x
1
)?
2x
2
?t2x
1
?t
(x
2
?x
1
)
?
t(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
?2< br>?

?
2
?
222
x
2
?1x1
?1(x
2
?1)(x
1
?1)
1
?0?f (x
2
)?f(x
1
)?0

2
5分

t(x
1
?x
2
)?2x
1
x< br>2
?2?t(x
1
?x
2
)?2x
1
x2
?

f(x)
在区间
?
?
,
??
上是增函数。
?
?
?
?t,
??
??,

?g(t)? maxf(x)?minf(x)?f(
?
)?f(
?
)?
(
?
?
?
)
?
t(
?
?
?
)?2
??
?2
?
1
4
?
2
?
2
?
?
2
?
?
2
?1
57 23957 239


5
??
t
2
?1
?
t2
?
?
22
2
?
8t?1(2t?5)
???

2
25
16t?25
t
2
?
16
(Ⅱ)证:
10分
8216
(
2?3)?24cosu
i
cosu
i
cosu
i
cos u
i
216?24166
g(tanu
i
)????(i?1,2, 3)
222
16
16?9cosu16?9cosu16?9cosu
iii
?9
2
cosu
i
3
11
3
1
2
?
?
?(16?9cosu
i
)?(16?3?9?3?9)
?
sin
2
u
i
)
15分
?
1 66
i?1
166
i?1
g(tanu
i
)
i?1
3
?
sinu
i?1
3
i
?1,且u
i< br>?(0,),i?1,2,3
2
?
?3
?
sinu
i
?(
?
sinu
i
)
2
?1
,而均值不等 式及柯西不等式中,
2
i?1i?1
33
等号不能同时成立,
?
111113
???(75?9?)?6

g(tanu
1
)g(tanu
2
)g(tanu
3
)
166
3 4
20分
2004年全国高中数学联赛加试试卷
一、(50分 )在锐角三角形ABC中,AB上的高CE及AC上的高BD相交于点H,以DE为直径的圆分别
交AB 、AC于F、G两点,FG及AH相交于点K。已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长。
解:由题设可知:
?ADB??AEC?90?,??ADB?AEC

?
ADBDAB
① …………………10分
??
A ECEAC
又BC=25,BD=20,BE=7,故CD=15,CE=24.
由①可解得:AD=15,AE=18. ………………20分
于是点D是
Rt?AEC
的斜边AC的中点,DE=15.
连接DF,因为点F在以DE为直径的圆上,
?DFE?90?

故点F为线段AE中点,AF=9. ………………30分
因为G、F、E、D四点共圆,D、E、B、C四点共圆,
所以
?AFG??ADE ??ABC
,于是
FGBC
,延长AH交BC于P,
故:
P
AKAF
?
② ……………………………………40分
APAB
又H为
?ABC
的垂心,故
AP?BC

BA?BC?25,??ABP??CBE
,AP=CE=24 ,
于是
AK?
AF?AP9?24216
??
……………………………………50分
AB2525
二、(50分)在平面直角坐标系XOY 中,
y
轴正半轴上的点列
?
A
n
?
及曲线
y?2x
?
x?0
?
上的点列
?
B
n
?< br>58 23958 239


满足
OA
n
?OB< br>n
?
1
*
,直线
A
n
B
n

x
轴上的截距为
a
n
,点
B
n
的横坐标 为
b
n
,n?N

n
*
(Ⅰ)证明
a< br>n
?a
n?1
?4,n?N

(Ⅱ)证明有
n0
?N
,使得对
?n?n
0
都有
*
b
2
b
3
??
b
1
b
2
?
b
n
b
n?1
??n?2004

b
n?1
b< br>n
(Ⅰ)证明:依题设有:
A
n
?
0,
?
?
1
?
1
,Bb,2b,b?0
,由得:
OB?
? ?
nn
?
nn
n
n
?
n
??

b
n
?2b
n
?
2
1
,?b
n< br>?
n
2
1
?1?1,n?N
*

2
n
又直线
A
n
B
n

x
轴上的截距为< br>a
n
满足
?
a
n
?0
?
?
2b
n
?
?
?
1
??
1
?
?0?
???
?
b
n
?0
?

n
??< br>n
?
a
n
?
b
n
1?n2b
n ………………………………………10分
2n< br>2
b
n
?1?n
2
b
n
2
?0,b
n
?2?
1

2
nb
n
b
n1?n2b
n
b
n
12
?a
n
?????b< br>n
?2?2b
n
?4
……20分
22
1?2 nb
n
nb
n
nb
n
1?n2b
n
?a< br>n
?
11
?1?1?2?2?1

n
2
n
2
11
??0
,有
a
n
?a
n?1
?4,n?N
*
…………………30分
nn?1
b
n?1
,n?N
*
,则
b
n
??
显然,对于
(Ⅱ)证明:设
c
n
?1?
cn
?
1
?1?
2
n
1
?
n?1
?
2
?1
1
?1?1
n
2
?
11
?
?n
?
2
?
?
?
n
?
n?1
?
2
?
??
2
1
?1?1
n
2< br>11
?1??1
2
n
2
?
n?1
?

??
1
?1?1
?
2n?1
n
2
2n?1
?
112n?1
??
????
222
?
n?1?
2
1
?1
?
n?1
?
?
2
2
1
?1
?
2
?
n?1
?
??
n
2
n
2
??
?
2n?1
??
n?2
?
?2
?
n?1
?
2
?n?0,?c
n
?
1
,n?N
*
………………40分
n?2
59 23959 239



S
n?c
1
?c
2
??c
n
,n?N
*
, 则当
n?2
k
?2?1k?N
*
时,
??
11< br>S
n
???
34
?
11
?
11
??
1
??
?
?
?
?
?
2
?
kk
2?12
?
34
??
2?1
?
1
??
1
?
?
k?1
?
3
?
2
??2?1
?
1
2
k
?
?

?
? 2?
1
2
1
?2?
3
?
2
22
? 2
k?1
?
1k?1

?
k
22
400 9
?2
,对
?n?n
0
都有: 所以,取
n
0?2
?
b
2
??
b
3
?
?
1 ?
?
?
?
1?
?
?
?
b
1
??
b
2
?
故有
?
b
?
4009?1< br>?
?
1?
n?1
?
?S
n
?S
n< br>0
??2004

b
n
?
2
?
b< br>2
b
3
??
b
1
b
2
?
b
n
b
n?1
??n?2004
成立。 ………………………50分
b
n?1
b
n
三、(50分)对于整数
n?4
,求出最小的整数
f
?
n
?
,使得对于任意 正整数
m
,集合
?
m,m?1,,m?n?1
?
的任一个
f
?
n
?
元子集中,均有至少3个两两互素的元素。
,m?n?1
?
: 解:当
n?4
时,对集合
M?
?
m,m?1,

2m
,则
m?1,m?2,m?3
两两互 素;若
2m
,则
m,m?1,m?2
两两互素。于是M的所有
n元子
集中,均有至少3个两两互素的元素,于是
f
?
n
?
存在且
f
?
n
?
?n
。……10分

T
n
?tt?n?1,且2t,或3t
,则
T
n
是集合?
2,3,
能两两互素,因此
f
?
n
?
?T< br>n
?1

??
,n?1
?
的子集,且该集合中任意 3个元素均不
?
?
?
?
由容斥原理知:
T
n
?
?
,从而必有:
???
?
2
??
3
??
6
?
?
n?1
??
n?1
??
n?1
?
f
?
n
?
?
?
?
?
?
?
?1
…………………………20分
???
236
??????
因此,
f
?
4
?
?4,f
?
5
?
?5,f
?
6
?
?5, f
?
7
?
?6,f
?
8
?
?7,f
?
9
?
?8
。下证
f
?
6
?
? 5


x
1
,x
2
,x
3
,x< br>4
,x
5

?
m,m?1,
若这5个数中有3个奇数 ,则它们两两互素;
,m?5
?
中的5个数元素,
?
n?1
??
n?1
??
n?1
?
若这5个数中有两个奇数,则必有3个偶数 ,不妨设
x
1
,x
2
,x
3
为偶数,
x< br>4
,x
5
为奇数,当
1?i?j?3
时,
x
i
?x
j
?
?
2,4
?
,所以
x
1
,x
2
,x
3
中至多有一个能被3整除,至多有一个能被5整除, 即至少有一个既不能
被3整除又不能被5整除,不妨设此数为
x
3
,则
x
3

x
4
,x
5
两两互素,这就是说这5个数 中有3个数是两
60 23960 239


两互素,即
f
?
6
?
?5
。 …………30分
又由
?
m,m?1,,m?n
?
?
?m,m?1,,m?n?1
??
m?n
?

知:
f?
n?1
?
?f
?
n
?
?1
,所以< br>因此,当
f
?
4
?
?4,f
?
5
?
?5,f
?
6
?
?5,f
?
7
?
?6,f
?
8
?
?7,f
?
9
?
?84?n?9
时,
?
n?1
??
n?1
??
n? 1
?
f
?
n
?
?
?
?
?
?
?
?1
。 ② ……………………………………40分
? ??
236
??????
假设当
n?k
?
k?9
?
时②式成立,那么当
n?k?1
时:
?
m,m?1,,m?k?
?
?
m,m?1,,m?k?6
??
m?k?5,,m?k? 5?5
?

由归纳假设知
n?6,n?k?5
时②式成立,故: < br>?
k?2
??
k?2
??
k?2
?
f
?
k?1
?
?f
?
6
?
?f
?
k?5
?
?1?
?
?
?
?
?
?1

???
?
2
??
3
??
6
?
由①③知,当
n?k?1
时也成立。
综上可知,对于任意整数
n?4
,都有
f
?
n
?
?
?
?
n?1
??
n?1
??
n?1
?
?
?
?
?
?1

???
236
??????
2004年全国高中数学联赛河南省预赛试卷
高中一年级
(2004年5月23日上午9:00---11:00)
考生注意:本试卷共六道大题,满分140分.
一、选择题(本题满分30分,每小题5分) 本题共有六个小题,每小题后面给出了A、B、C、D四个
结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论 的代表字母写在题后括号内,选对一个得5分,错选、漏选
或多选,一律得零分.
1.定义在 R上的函数
y?f(x)
的值域为[m,n],则
y?f(x?1)
的值域为 ( )
A.[m,n]



B.[m-1,n-1]
C.[
f(m?1),f(n?1)
] D.无法确定
?
2.设等差数列{
a
n
}满足
3a
8
?5a
13
,且
a
1
?0,S
n
为其 前n项和,则
S
n
(n?N)
中最大的是( )
A.
S
10
B.
S
11
C.
S
20
D.
S
21

3.方程log
2
x=3cosx共有( )组解.
A.1 B.2 C.3 D.4
4.已知关于x的一元二次方 程
x
2
?a
2
?1x?a?2?0
的一个根比1大,另一个 根比1小,则(

A.
?1?a?1

??
B.
a??1

a?1

61 23961 239


C.
?2?a?1
D.
a??2

a?1

5.已知
?
,
?
为锐角,
sin
?
?x,cos
?
?y,
co s(???)??
,则y及x的函数关系为( )
3
5
3
53
B.
y??
5
3
C.
y??
5
3< br>D.
y??
5
A.
y??
43
x (?x?1)

55
4
1?x
2
?x (0?x?1)

5
43
1?x
2
?x (0?x?)

55
4
1?x
2
?x (0?x?1)

5
1?x
2
?
6.函数
y?si nx
的定义域为
?
a,b
?
,值域为
?
?1,?
,则
b?a
的最大值是( )
2
?
?
1
?
?
A.
?
B.
2
?
C.
5
?
4
?
D.
3
3
二、填空题:本题满分30分,每小题5分.本题要求直接把结果写在横线上.
1.f(x)是定义在R上的奇函数,它的最小正周期为2,则f(-1)的值为__________ _____.
2.集
M?{x|x?2?2,
其中n, k∈N, 且n>k}, 集P={x|1912≤x≤2004且x∈N},则集合M∩P
中所有元素的和等于_ _______.
3.已知
nk
f(x)
=
1
2
x
?2
1
99
,则
f(-2003)+f(-2002)+f(-2 001)+…+f(-1)+f(0)+f(1)+…
+f(2002)+f(2003)+f(200 4)=________.
4
.已知数列
{
a
n
}
,其中
a
1
?99
5.设函数
f(x)?

a< br>n
?(a
n?1
)
a
1

,则
a< br>n
为整数时最小的正整数
n

________


x?3
x?a
(a?R)
,若使
f(x)在(1,??)
上 为增函数,则a的取值范围为______________.
6.函数
f(x)?sinx sinx?cosxcosx
的值域是______________.
三、(本题满分20分)
?

a
n
?0(n?N),a< br>1
?5,
当n≥2时,
a
n
?a
n?1
?< br>7
?6
,求数列{
a
n
}的通项公式.
a
n
?a
n?1










62 23962 239



四、(本题满分20分)
已知函数
f(x)?4sinx sin(
2
?
x
?)?cos2x.

42
(1)设
?
>0为常数,若
y?f(
?
x)在区间[?
(2)设集合
A?{x|
?
2
?
2
,
3
]
上是增函数,求
?
的取值范围;
?
6
?x?
2< br>?
},B?{x||f(x)?m|?2},
若A
?
B,求实数m的取 值范围.
3































五、(本题满分20分)
锐角△
ABC
的 外心为
O
,线段
OA,BC
的中点分别为
M

N< br>,
?ABC?4?OMN

?ACB?6?OMN
.求
?OM N




63 23963 239
B
N
M
O
A
C













六、(本题满分20分)
是否存在定义在实数集R上的函数f(x),使得对任意
x?R
,有
f(f(x))?x

f(f(x)?1)?1?x
.
若存在,写出符合条件的一个函数;若不存在,请说明理由.
















2004年全国高中数学联赛河南省预赛参考答案
高中一年级
(2004年5月23日上午9:00---11:00)
考生注意:本试卷共六道大题,满分140分.
说明:
1.评阅试卷时, 请依据本评分标准,选择题、填空题只设5分和0分两档,其它各题的评阅,请严格
按照本评分标准规定 的档次给分,不要再增加其它中间档次.
2.如果考生的解答及本解答不同,只要思路合理,步骤正确 ,在评卷时请参照本评分标准划分的评分
档次,给予相应的分数.
一、选择题(本题满分30 分,每小题5分.本题共有六个小题,每小题后面给出了A、B、C、D四个
结论,其中只有一个是正确 的.请把正确结论的代表字母写在题后括号内,选对一个得5分,错选、漏选
或多选,一律的零分.
64 23964 239


1.定义在R上的函数
y?f(x)
的值域为[m,n],则
y?f(x?1)
的值域为( )
A.[m,n]



B.[m-1,n-1]
C.[
f(m?1),f(n?1)
] D.无法确定
解:当函数的图像左右平移时,不改变函数的值域.故应选A.
?
2.设等差数列{
a
n
}满足
3a
8
?5a
13
,且
a
1
?0,S
n
为其前n项之和,则
S
n
(n? N)
中最大的是( )
A.
S
10
B.
S
11
C.
S
20
D.
S
21

解:设等差数列的公差为d,由题意知3(
a
1
+7d)=5(
a
1
+12d),即d=-

a
n
=
a
1
+( n-1)d=
a
1
-
2
a
1
,
39
2412
a
1
(n-1)=
a
1
( -n),欲使
S
n
(n?N
?
)
最大,只须
an
≥0,即n≤
393939
20.故应选C.
3.方程log
2
x=3cosx共有( )组解.
A.1 B.2 C.3 D.4
解:画 出函数y=log
2
x和y=3cosx的图像,研究其交点情况可知共有3组解.应选C.
4.已知关于x的一元二次方程
x
2
?a
2
?1x?a?2 ?0
的一个根比1大,另一个根比1小,则(

A.
?1?a?1

C.
?2?a?1

2
??


2
B.
a??1

a?1

D.
a??2

a?1



解:令f(x)=
x?a?1x?a?2
,其图像开口向上,由题意知f(1)<0,即

1?a?1?1?a?2
<0,
整理得
a
2
?a?2?0
,解之得
?2?a?1
,应选C.
5.已知
?
,
?
为锐角,
sin
?
?x,cos
?
?y,
cos (???)??
,则y及x的函数关系为( )
2
??
?
2?
3
5
3
5
3
B.
y??
5
3
C.
y??
5
3
D.
y??
5
A.y??
43
x (?x?1)

55
4
1?x
2
?x (0?x?1)

5
43
1?x
2
?x (0?x?)

55
4
1?x
2
?x (0?x?1)
< br>5
1?x
2
?
解:y?cos
?
?cos
?
(
?
?
?
)?
?
?
?cos(
?
?
?
)cos
?
?sin(
?
?
?
)?sin
?

34
???1?x
2
?x
55

y?(0,1)

?0??
34
3
?1?x
2
?x?1
, 得
x?(,1)
.故应选A.
5
55
65 23965 239


6.函数
y?sinx
的定义域为
?
a,b
?
,值域为
?
?1,
?
,则
b?a
的最大 值是( )
2
?
?
1
?
?
A.
?
B.
2
?

4
C.
5
?
4
?
D.
3
3
-6-4-2
3
2
1
解:如右图,要使函数
y ?sinx
在定
域为
?
?1,
?
,则
b?a
的最大值是
2
2468
义域
?
a,b
?
上,值< br>-1
?
?
1
?
?
-2
-3
-4?
6
?(?
7
?
4
?
.故应选C.
)?
63
-5
二、填空题(本题满分30分,每小题5分)本题要求直接写出结果.
1.f(x)是定义在R上的奇函数,它的最小正周期2,则f(-1)的值为___________ ____.
解:
f(x?2)?f(x)

x??1

f(?1?2)?f(?1)
.

f(1)?f(?1)??f(1)< br>nk
?f(?1)?0
.应填0.
2.集
M?{x|x?2?2,
其中n, k∈N, 且n>k}, 集P={x| 1912≤x≤2004且x∈N},则集合M∩P
中所有元素的和等于________.
解:∵
2?1024
,2
11
=2048,∴集合M∩P中所有元素必为2< br>11
-2
k
(其中 k∈N)的形式,又1912≤2
11
- 2
k
≤2004,故44≤2
k
≤136,符合条件的k只能等于6和7,所 以集合M∩P中只有两个元素,即为2
11
-2
6
=1984
和2< br>11
-2
7
=1920,其和为1984+1920=3904.本题应填39 04.
3
.已知
f(x)
=
10
1
2?2x
,

f(-2003)+f(-2002)+f(-2001)+
…< br>+f(-1)+f(0)+f(1)+

+f(2002)+f(2003)+f(20 04)=________


解:利用
f(x)+f(1-x)
=
2
,可得结果为
10022
.应填
10022
.
2
1
99
4
.已知数列
{
a
n
}
,其中
a
1
?99

a
n
?(a
n?1< br>)
a
1

,则
a
n
为整数时最小的正整数< br>n

________


a
解:显然对任意的正整 数n,均有
a
n
>0,由
a
n
?(a
n?1
)
1
两边取对数得
lga
n
?a
1
lga
n?1

故{
lga
n
}是以
lga
1
为首项,
a
1
为公比的等比数列,所以
lga
n
?a1
a
1
n?1
1
1
(n?1)
99
9 9
99
n?1
lga
1


a
n
?a
1
?(99)
x?3
x?a
,欲使
a
n为整数,必有n-1=99k,(k为正整数),故所求的最小的正整
数n是100.应填100.
5.设函数
f(x)?(a?R)
,若使
f(x)在(1,??)
上 为增函数,则a的取值范围为______________.
66 23966 239


解:设
t?
t
2
?3?a3?a
x?a
,则原函数化为
f(t)??t?
,因为
f(x)在(1,??)
上为增函数 ,所
tt

f(t)

(1?a,??)
上为增函数.当< br>3?a?0

a??3
时显然符合;当
3?a?0
时,因为< br>f(t)

(3?a,??)
上为增函数,所以
3?a?1?a
,即
?3?a??1
,综上可知所求a的取值范围为
(??,?1]
.应填
(??,?1]
.
6.函数
f(x)?sinxsinx?cos xcosx
的值域是______________.
解:由函数
f(x)?sinxsinx?cosxcosx


x
的终边落在第一象限时,
f(x)?sinx?cosx?1;


x
的终边落在第二象限时,
f(x)?sinx?cosx??cos2x ?(?1,1);


x
的终边落在第三象限时,
f(x)??si nx?cosx??1;


x
的终边落在第四象限时,
f(x)? ?sinx?cosx?cos2x?(?1,1);


x
的终边落在两个坐标轴上时,
f(x)??1或1

综上所述
f(x)
的值域是 [-1,1] .应填[-1,1].
三、(本题满分20分)
?

a
n
?0(n?N),a< br>1
?5,
当n≥2时,
a
n
?a
n?1
?< br>22
22
22
22
7
?6
,求数列{
an
}的通项公式.
a
n
?a
n?1
解:∵条件可 化为
a
n
?a
n?1
?6a
n
?6a
n? 1
?7
,配方,得
22
(a
n
?3)
2
?(a
n?1
?3)
2
?7
.---------10分


22

(a
n
?3)?(a
1
?3)? 7(n?1)?7n?3,


a
n
?7n?3?3
. --------------20分
四、(本题满分20分)
已知函数
f(x) ?4sinxsin(
2
?
x
?)?cos2x.

42
[?
(1)设
?
>0为常数,若
y?f(
?
x)在区间
( 2)设集合
A?{x|
?
2
?
2
,
3
]< br>上是增函数,求
?
的取值范围;
?
6
?x?
1?c os(?x)
2
解:(1)
f(x)?4sinx??cos2x?2sinx(1? sinx)?1?2sin
2
x?2sinx?1.

2
-------------------------5分
2
?
},B?{x||f(x)?m|?2},
若A
?
B,求实数m的取值范围.
3
?
67 23967 239


?f(
?x)?2sin
?
x?1在[?]是增函数,
3

?
2
???
2
??
3
?[?,]?[?,]??,?
?
?(0,]???????10分
232
?
2
?
32
?4
2
(2)由|f(x)?m|?2??2?f(x)?m?2,即f(x)?2?m?f (x)?2
?
2
?
?A?B.?当?x?时,不等式f(x)?2?m?f( x)?2恒成立.
63

?[f(x)?2]
max
?m?[f (x)?2]
min
??????????15分
?
f(x)
min
?f()?2,f(x)
max
?f()?3.?m?(1,4)?????20分< br>62
五、(本题满分20分)
锐角△
ABC
的外心为
O,线段
OA,BC
的中点分别为
M

N

?A BC?4?OMN

?
2
?
,
??
?ACB?6? OMN
.求
?OMN

解:设
?OMN?
?
,则
?ABC?4
?

?ACB?6
?

?BAC?180??(?ABC??ACB)?180??10
?

---5分
M
O
A
1

?NOC??BOC?? BAC?180??10
?

2
?MOC??AOC?2?ABC?8
?

从而
?MON ?8
?
?(180??10
?
)?180??2
?
---- ------10分
B
N
C
?ONM?180??(?MON??OMN) ?180??(180??2
?
?
?
)?
?
??OMN

?OMN
为等腰三角形,
ON?OM?
11
OA? OC
-------15分
22

?ONC?90?
,∴
?NOC?60?

又∵
?NOC?180??10
?
,∴
?OMN?
?
?1 2?
---------------20分
六、(本题满分20分)
是否存在定义在实数集R上的函数f(x),使得对任意
x?R
,有
f(f(x))?x

f(f(x)?1)?1?x

若存在,写出符合条件的一个函数;若不存在,说明理由.
解:这样的函数不存在. --------------------------5分
下面用反证法证明:
若存在
f(x)
使得(1)、(2)均成立.先证
f(x)
是一一映射.
对于任意的
a,b?R
,若
f(a)?f(b)
,由(1)有
a?f (f(a))?f(f(b))?b
,即
f(x)
是一一映
射. -------------------10分

x?0
代入(1),则有
f(f(0))?0
--------------- (3)

x?1代入(2),得
f(f(1)?1)?0
---------------------- (4)
68 23968 239


由(3)、(4)得:
f( f(0))?f(f(1)?1)
------------------------------- ---15分
因为
f(x)
是一一映射,所以
f(0)?f(1)?1---------------------(5)
同理,分别将
x?1
及< br>x?0
代入(1)、(2),得
f(f(1))?f(f(0)?1)

所以
f(1)?f(0)?1
----------------------- -------------------(6)
将(5)及(6)相加得0=2,矛盾. --------------------------------------20分


2004年全国高中数学联赛模拟试卷

试题
第一试
一、选择题(满分36分,每小题6分)

二、填空题(满分54分,每小题9分)
69 23969 239



三、解答题(满分60分,每小题20分)

加试题
70 23970 239



答案或提示
第一试
71 23971 239


72 23972 239


73 23973 239



74 23974 239



加试题答案
75 23975 239


76 23976 239





2004年全国高中数学联赛试卷
第一试
一.选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.设锐角使关于x的方程x
2
+4xcos+cos=0有重根,则的弧度数为 ( )
55
A. B.或 C.或 D.
6121261212
2.已知M={(x,y)| x
2
+2y
2
=3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对于所有的m ∈R,均有M∩N
取值范围
( )
A.[-
,则b的

666623232323
,] B.(-,) C.(-,] D.[-,]
22223333
1
3.不等式log
2
x-1+log
1

x
3
+2>0的解集为
2
2
A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4] < br>4.设点O在
→→→→
ABC的内部,且有OA+2OB+3OC=0,则ABC的面积 及AOC的面积的比为( )
35
A.2 B. C.3 D.
23
5.设三位数n=
???< br>abc,若以a,b,c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n
有( )
77 23977 239


A.45个 B.81个 C.165个 D.216个
6. 顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面
P
圆内的点,O为 底面圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C
为PA的中点,则当三棱 锥O

HPC的体积最大时,OB的长为
C
( )
H
525626
A. B. C. D.
3333
O
B
A
二.填空题(本题满分54分,每小题9分) 7.在平面直角坐标系xOy中,函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长 的区间上的图像及函数
g(x)= a
2
+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ;
8.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都有f(xy+1)=f(x) f(y)-f(y)-x+2,则f(x)= ;
9.如图,正方体ABCD

A
1
B
1
C
1
D
1
中,二面 角A

BD
1
—A
1
的度数
是 ;
D
1
10.设p是给定的奇质数,正整数k使得
k= ;
11.已知数列a
0
,a
1
,a
2
,…,a< br>n
,…满足关系式(3-a
n+1
)(6+a
n
)=18,且 a
0
=3,
1


的值是 ;
a
i
i=
0
n
k
2
-pk也是一个正整数,则C
1
A
1
B
1
D
A
B
C12.在平面直角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在x
轴上移动, 当∠MPN取最大值时,点P的横坐标为 ;
三.解答题(本题满分60分,每小题20分)
13.一项“过关游戏”规则规定:在第n关 要抛掷一颗骰子n次,如果这n次抛掷所出现的点数的和
大于2
n
,则算过关.问:
⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关?
⑵ 他连过前三关的概率是多少?
4
14.在平面直角坐标系xOy中,给定三点A(0,),B(-1,0),C(1,0),点P到直线BC的 距离是该
3
点到直线AB、AC距离的等比中项.
⑴ 求点P的轨迹方程;
⑵ 若直线L经过ABC的内心(设为D),且及P点轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范
围.
2x-t
15.已知,是方程4x
2
-4tx-1=0(t∈R)的两个不等 实根,函数f(x)=
2
的定义域为[,].
x+1
⑴ 求g(t)=maxf(x)-minf(x);
11136
⑵ 证明:对于u
i
∈(0,)(i=1,2,3),若sinu
1
+sinu
2
+si nu
3
=1,则++<.
2g(tanu
1
)g(tanu
2
)g(tanu
3
)4


二试题
一.(本 题满分50分)在锐角三角形ABC中,AB上的高CE及AC上的
高BD相交于点H,以DE为直径的 圆分别交AB、AC于F、G两点,FG及
AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7, 求AK的长.
二.(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中,y轴正半轴上的点列
1< br>{A
n
}及曲线y=2x(x≥0)上的点列{B
n
}满足|OAn
|=|OB
n
|=,直线A
n
B
n
在x轴< br>n
78 23978 239
A
G
K
F
EB
C
D
H


上的截距为a
n
,点B
n
的横坐标为b
n
,n∈N*.
⑴ 证明a
n
>a
n+1
>4,n∈N*;
b
2
b
3
b
n
b
n+1
⑵ 证明有n
0
∈N*,使得对?n>n
0
,都有++…++b
1
b
2
b
n

1
b
n
三.(本题满分50分)对于整数n≥4,求出最小的整数f(n),使得对于任何正整数m,集合{m

m+1,…,
m+n

1}的任一个f(n)元子集中,均至少有 3个两两互素的元素.
79 23979 239


2004年全国高中数学联赛试卷
第一试
一.选择题(本题满分36分,每小题6分)
1.设锐角使关于x的方程x
2
+4xcos+cot=0有重根,则的弧度数为 ( )
55
A. B.或 C.或 D.
6121261212
1
解:由方程有重根,故
4
∵ 0<<,
2
2sin2
=4cos
2
=1,
-cot=0,
5
=或.选B.
1212
2.已知M={(x,y)|x
2
+2y
2
=3},N={(x,y)|y=mx+b}.若对于所有的m∈R,均有M∩N< br>取值范围
( )
A.[-
,则b的

666623232323
,] B.(-,) C.(-,] D.[-,]
22223333
2b
2
≤3,b∈[-
66
,].选A.
22
解:点(0,b)在椭圆内或椭圆上,
1
3.不等式log
2< br>x-1+log
1
x
3
+2>0的解集为
2
2
A.[2,3) B.(2,3] C.[2,4) D.(2,4]
3
解:令log
2
x=t≥1时,t-1>t-2.t∈[1,2),
2
4.设点O在
x∈[ 2,4),选C.
ABC的面积及AOC的面积的比为( )
A
→→→→
ABC的内部,且有OA+2OB+3OC=0,则
35
A.2 B. C.3 D.
23
解:如图,设AOC=S,则OC
1
D=3S,OB
1
D=
OBD=1.5S

OBC=0.5S,ABC=3S.选C.
OB
1
C
1
=3S,AOB=
B
B
1
O
S
C
5.设三位数n=
???
abc,若以a,b,c为三条边长可 以构成一个等腰(含等边)三角形,
C
1
D
则这样的三位数n有( )
A.45个 B.81个 C.165个 D.216个
解:⑴等边三角形共9个;
⑵ 等腰但不等边三角形:取两个不同数码(设为 a

b),有36种取法,以小数为底时总能构成等腰三
角形,而以大数为底时,b< a<2b.a=9或8时,b=4,3,2,1,(8种);a=7,6时,b=3,2,1(6种);a=5,
4时,b=2,1(4种);a=3,2时,b=1(2种),共有20种不能取的值.共有236-2 0=52种方法,而每取一
组数,可有3种方法构成三位数,故共有523=156个三位数
即可取156+9=165种数.选C.
6.顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形,A 是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,O为底面
圆圆心,AB⊥OB,垂足为B,OH⊥PB,垂足为 H,且PA=4,C为PA的中点,则当三棱锥O

HPC的体
积最大时,OB的长为 ( )
A.
525626
B. C. D.
3333
PB⊥AB,AB⊥面POB,面PAB⊥面POB.
80 23980 239
解:AB⊥OB,


OH⊥PB,OH⊥面PAB,OH⊥HC,OH⊥PC,
又,PC⊥OC,PC⊥面OCH.PC是三棱锥P-OCH的高.PC=OC=2.
而OCH的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形).
,OB=POtan30
26
=.
3
C
O
AH
B
P
当OH=2时,由PO=22,知∠OPB=30
1
又解 :连线如图,由C为PA中点,故V
O

PBC
=V
B
-< br>AOP

2
PHPO
2
而V
O

PHC
∶V
O

PBC
==
2
(PO
2< br>=PH·PB).
PBPB
记PO=OA=22=R,∠AOB=,则
1< br>V
P

AOB
=R
3
sin
6
co s
1
=R
3
sin2
12
,V
B

PCO
=
1
3
Rsin2
24

PO
2
R
2
12
==.
2
=
2222
PBR+Rcos1+cos3+cos2
sin2
∴ 令y=,y
3+cos2
26
∴ OB=,选D.
3
sin21
V
O

PHC
=?R
3

12< br>3+cos2
)sin2
=0,得cos2
1
=-,
3
cos=
3

3
2cos2(3+cos2)-(-2sin2
=
(3+cos2)
2

二.填空题(本题满分54分,每小题9分) 7.在平面直角坐标系xOy中,函数f(x)=asinax+cosax(a>0)在一个最小正周期长 的区间上的图像及函数
g(x)= a
2
+1的图像所围成的封闭图形的面积是 ;
解:f(x)= a
2
+1sin(ax+
2
所求.故填
a
1
0
22
),周期=,取长为,宽为2a
2
+1的矩形 ,由对称性知,面积之半即为
aa
a
2
+1.
a
2
+1
2
2p
2
)]dx=a+1.
(1-sint)dt=
aa
0
又解:

a
2
+1 [1-sin(ax+

8.设函数f:R→R,满足f(0)=1,且对任意x,y∈R,都 有f(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,则f(x)= ;
解:令x=y=0,得,f(1)=1-1-0+2,f(1)=2.
令y=1,得f(x+1)=2f(x)-2-x+2,即f(x+1)=2f(x)-x.①
又,f(yx+1)=f(y)f(x)-f(x)-y+2,令y=1代入,得f(x+1)=2f(x)- f(x)-1+2,即f(x+1)=f(x)+1.②
比较①、②得,f(x)=x+1.
D
1
9.如图,正方体ABCD

A
1
B
1C
1
D
1
中,二面角A

BD
1
—A
1
的度数是 ;
A
1
C
1
解:设AB=1,作A
1
M⊥BD
1
,AN⊥BD
1
,则 BN·BD
1
=AB
2

6
A
1
M=AN =.
3
∴ AA
1
2
=A
1
M
2
+MN
2
+NA
2
-2A
1
M·NAcos
=6 0.
221
,1
2
=++-2
333
BN=D
1
M=NM=
3

3
D
A
M
B
1
N
C
B
2
cos
3
,cos
1
= .
2
10.设p是给定的奇质数,正整数k使得k
2
-pk也是一个正整数 ,则k= ;
p
22
p
2
1
2
解:设k-pk=n,则(k-)-n=,(2k-p+2n)(2k-p-2n)=p
2,k=(p+1)
2

244
81 23981 239


1
11.已知数列a
0
,a
1
,a
2,…,a
n
,…满足关系式(3-a
n+1
)(6+a
n
)=18,且a
0
=3,则

的值是 ;
a
i
i=
0
n
21112
解:=+,令b
n
=+, 得b
0
=,b
n
=2b
n

1

a
n+1
a
n
3a
n
33
12
n
1
2
n
+1
-1
b
n
=?2.即=,
3a
n
3
n


a
i
=
3
( 2
n
+2
-n-3).
i=
0
11
12.在平面直 角坐标系xOy中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在x轴上移动,当∠MPN取最大
值 时,点P的横坐标为 ;
y
解:当∠MPN最大时,⊙MN P及x轴相切于点P(否则⊙MNP及
N
x轴交于PQ,则线段PQ上的点P使∠MPN更大) .于是,延长
M
NM交x轴于K(-3,0),有KM·KN=KP
2
,KP =4.P(1,0),(-7,
0),但(1,0)处⊙MNP的半径小,从而点P的横坐标=1.
O
x
P
三.解答题(本题满分60分,每小题20分)
K
13.一项“过关游戏”规则规定:在第n关要抛掷一颗骰子n次,
如果这n次抛掷所出现的点数的和大 于2
n
,则算过关.问:
⑴ 某人在这项游戏中最多能过几关?
⑵ 他连过前三关的概率是多少?
解:⑴ 设他能过n关,则第n关掷n次,至多得6n点,
由6n>2
n
,知,n≤4.即最多能过4关.
⑵ 要求他第一关时掷1次的点数>2,第二关时掷2次的点数和>4,第三关时掷3次的点数和>8.
42
第一关过关的概率==;
63
第二关过关的基本事件有6
2< br>种,不能过关的基本事件有为不等式x+y≤4的正整数解的个数,有C
4
个 (亦65
可枚举计数:1+1,1+2,1+3,2+1,2+2,3+1)计6种,过关的概率=1-
2
=;
66
第三关的基本事件有6
3
种,不能过关的基本 事件为方程x+y+z≤8的正整数解的总数,可连写8个1,
3
8
从8个空档中选3 个空档的方法为C
8
=
3
2
76
56720
=56 种,不能过关的概率=
3
=,能过关的概率=;
62727
21
2520100
∴连过三关的概率=??=.
36 27243
4
14.在平面直角坐标系xOy中,给定三点A(0,),B(-1,0),C( 1,0),点P到直线BC的距离是该
3
点到直线AB、AC距离的等比中项.
⑴ 求点P的轨迹方程;
⑵ 若直线L经过ABC的内心(设为D),且及P点轨迹恰好有3个公共点,求L的斜率k的取值范
围.
解:⑴ 设点P的坐标为(x,y),
x3y
AB方程:+=1,4x-3y+4=0, ①
-1
4
y
BC方程:y=0, ②
AC方程:4x+3y-4=0, ③
∴ 25|y|
2
=|(4x-3y+4)(4x+3y-4)|,
25y
2
+16x
2
-(3y-4)
2
=0,16x
2< br>+16y
2
+24y-16=0,
2x
2
+2y
2
+3y-2=0.
或25y
2< br>-16x
2
+(3y-4)
2
=0,16x
2
-34 y
2
+24y-16=0,
82 23982 239
P
B
K
-1
A
1
D
C
O1
x

< br>8x
2
-17y
2
+12y-8=0.
∴ 所求轨迹为圆:2x
2
+2y
2
+3y-2=0, ④
或双曲线:8x
2
-17y
2
+12y-8=0. ⑤
但应去掉点(-1,0)及(1,0).

11
ABC的内心D(0,):经过D的直线为x=0或y=kx+. ⑥
22
(a) 直线x=0及圆④有两个交点,及双曲线⑤没有交点;
1151
(b) k=0时,直线y=及圆④切于点(0,),及双曲线⑤交于(±2,),即k=0满足要求.
2282
1
(c) k=±时,直线⑥及圆只有1个公共点,及双曲线⑤也至多有1个公共点,故舍去.
2
(c) k0时,k
125
时,直线⑥及圆有2个公共点,以⑥代入⑤得:(8-17k
2)x
2
-5kx-=0.
24
2342
当8-17k
2
=0或(5k)
2
-25(8-17k
2
)=0,即得k=±及k =±.
172
2342
∴ 所求k值的取值范围为{0,±,±}.
17 2
15.已知,是方程4x
2
-4tx-1=0(t∈R)的两个不等实根,函数f( x)=
⑴ 求g(t)=maxf(x)-minf(x);
11136
⑵ 证明:对于u
i
∈(0,)(i=1,2,3),若sinu
1
+sinu< br>2
+sinu
3
=1,则++<.
2g(tanu
1
)g(tanu
2
)g(tanu
3
)4
解:⑴
∴ f
+=t,
1
=-.故<0,>0.当x
1
,x
2
∈ [,]时,
4
(x)>0,即f(x)
2x-t
的定义域为[,]. x
2
+1
2(x
2
+1)-2x(2x-t)-2(x
2
-xt)+2
(x)= =.而当x∈[
?

?
]时,x
2
-xt<0,于是f < br>(x
2
+1)
2
(x
2
+1)
2
2 -t2
2
+1

-t(2
2
+1
=
-t) (-t)(
(
2
+1)(
2
+1)
2
+1)-(2
2
+1)
在[,]上单调增.
∴ g(t)=
(
)[t(+)-2
=
22
+
2
+
2
+1
+2]

5
t
2
+1(t
2
+)
28t
2
+1(2t
2
+5)
==
251 6t
2
+25
2
t+
16
8secu(2sec
2
u+3)16+24cos
2
u166
⑵ g(tanu)= =≥, 23
16secu+916cosu+9cosu16+9cos
2
u

1111
++≤[16
g(tanu
1
)g(tanu
2< br>)g(tanu
3
)
166
3+9(cos
2
u1
+cos
2
u
2
+cos
2
u
3< br>)]=
1
[75-
166
9(sin
2
u
1
+sin
2
u
2
+sin
2
u
3
)]
1sinu
1
+sinu
2
+sinu
3
2
而(sin
2
u
1
+sin
2
u
2+sin
2
u
3
)≥(),即9(sin
2
u
1
+sin
2
u
2
+sin
2
u
3
)≥3.
33


111136
++≤(75-3)= .由于等号不能同时成立,故得证.
g(tanu
1
)g(tanu
2)g(tanu
3
)
166
4
83 23983 239



二试题
一.(本题满分50分)在锐角三角形ABC中,AB上的 高CE及AC上的高BD相交于点H,以DE为直
径的圆分别交AB、AC于F、G两点,FG及AH相 交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求AK的长.
解:∵ BC=25,BD=20,BE=7,
C
∴ CE=24,CD=15.
6
∵ AC·BD=CE·AB,? AC=AB, ①
5
∵ BD⊥AC,CE⊥AB,B、E、D、C共圆,
G
K
A< br>F
18
15
24
20
D
25
66
A C(AC-15)=AB(AB-7),AB(AB-15)=AB(AB-18),
55
∴ AB=25,AC=30.
1
∴ DE=AC=15.
2
延长AH交BC于P, 则AP⊥BC.
∴ AP·BC=AC·BD,?AP=24.
连DF,则DF⊥AB,
∵ AE=DE,DF⊥AB.
1
AF=AE=9.
2
AFG∽ABC,
AE=18,AD=15.
H
P
E
7
B
∵ D、E、F、G共圆,∠AFG=∠ADE=∠ABC,


AKAF
=,
APAB
924
216
AK==.
2525
二.(本题满分50分)在平面直角坐标系XOY中,y轴正半轴上的点列{A
n}及曲线y=2x(x≥0)上的点列
1
{B
n
}满足|OA
n
|=|OB
n
|=,直线A
n
B
n
在x轴上的截距 为a
n
,点B
n
的横坐标为b
n
,n∈N*.
n
⑴ 证明a
n
>a
n+1
>4,n∈N*;
b
2
b
3
b
n
b
n+1
⑵ 证明有n
0
∈N*,使得对?n>n
0
,都有++…++b
1
b
2
b
n

1
b
n
1
解:⑴ 点A
n
(0,),B
n
(b
n
,2b
n
)由|OA
n
|=|OB
n
|,
n
1
∴ 0n
<
2
.且b
n
递减,
2 n
n
2
b
n
=n(n
2
+1-n)=
1
b
n
2
+2b
n
=()
2

n< br>1
b
n
=
1
1+()
2
-1(b
n
>0).
n
n
=
n
2
+1+n
单调增.
1
2
1+()+1
n
∴ 0n
<
1 1
.令t
n
=>2且t
n
单调减.
2nb
nb
n
2b
n
由截距式方程知,+=1,(1-2n
2
b
n
=n
2
b
n
2
)
a
n
1
n
b
n
b
n
(1+n2b
n
)1+n 2b
n
1
2
12121
∴ a
n
===
2
=()+2()=t
n
2
+2t
n
=(t
n
+)
2
-≥(2+)
2
-=4.
2
nb
n2222
1-n2b
n
1-2nb
n
nb
n
n b
n
且由于t
n
单调减,知a
n
单调减,即a
n< br>>a
n+1
>4成立.
11
亦可由
2
=b
n
+2.=b
n
+2,得 a
n
=b
n
+2+2b
n
+2,.
nb
n
nb
n
∴ 由b
n
递减知a
n
递减,且a
n
>0+2+2?2=4.

84 23984 239


b
k+1
⑵ 即证

(1-)>2004.
b
k
k=
1
nb
k+1
b
k
-b
k+1
1-==
b
k
b
k
1
1+()
2

k
1
1+ ()
2
k+1
1
1+()
2
-1
k
11< br>=k
2
(()
2
-()
2
)
kk+1
1
1+()
2
+1
k
1
1+()
2
+< br>k
1
1+()
2
k+1

1
1+()
2
+1
k
2k+12k+111
≥>>.
(k+1)
2
1
2
(k+1)
2
2k+ 2
21+()
k
b
k+1
1111111111


(1-)>

>(+)+(+++)+…+>+++….
b
k< br>k=
k+2345678222
k=
11
nn
b
k+ 1
只要n足够大,就有

(1-)>2004成立.
b
k
k=
1

三.(本题满分50分)对于整数n≥4,求 出最小的整数f(n),使得对于任何正整数m,集合{m,m+1,…,
m+n

1 }的任一个f(n)元子集中,均至少有3个两两互素的元素.
解:⑴ 当n≥4时,对集合M
(m

n)
={m,m+1,…,m+n

1},
当m 为奇数时,m,m+1,m+2互质,当m为偶数时,m+1,m+2,m+3互质.即M的子集M中存在
3个两两互质的元素,故f(n)存在且f(n)≤n. ①
取集合T
n
={t|2|t或3|t,t≤n+1},则T为M
(2
n)
={2,3,…,n+1}的一个子集,且其中任3个数无不能
两两互质. 故f(n)≥card(T)+1.
n+1n+1n+1n+1n+1n+1
但card(T )=[]+[]-[].故f(n)≥[]+[]-[]+1. ②
2 36236
由①及②得,f(4)=4,f(5)=5.5≤f(6)≤6,6≤f(7)≤7,7≤f (8)≤8,8≤f(9)≤9.
现计算f(6),取M={m,m+1,…,m+5},若取其中任 意5个数,当这5个数中有3个奇数时,这3个
奇数互质;当这3个数中有3个偶数k,k+2,k+4 (k0(mod 2))时,其中至多有1个被5整除,必有1个
被3整除,故至少有1个不能被3及5 整除,此数及另两个奇数两两互质.故f(6)=5.
而M
(m

n+1)
=M
(m

n)
∪{m+n},故f(n+1)≤f(n)+1. ③
∴ f(7)=6,f(8)=7,f(9)=8.
n+1n+1n+1
∴ 对于4≤n≤9,f(n)= []+[]-[]+1成立. ④
236
设对于n≤k,④成立,当n=k+1时,由于
M
(m

k+1)
=M
(m

k

5)
∪{m+ k-5,m+k-4,…,m+k}.
在{m+k-5,m+k-4,…,m+k}中,能被2或3整 除的数恰有4个,即使这4个数全部取出,只要在
前面的M
(m

k

5)
中取出f(n)个数就必有3个两两互质的数.于是
当n≥4时,f(n+6)≤f(n)+4=f(n)+f(6)-1.
k+2k+2k+2
故f(k+1)≤f(k-5)+f(6)-1=[]+[]-[]+1,
236
比较②,知对于n=k+1,命题成立.
n+1n+1n+1
∴对于任意n∈N*,n≥4,f(n)= []+[]-[]+1成立.
236
又可分段写出结果:
85 23985 239
n


4k+1,(n=6k, k∈N*),
4k+2,(n=6k+ 1,k∈N*),
4k+3,(n=6k+2,k∈N*),
f(n)=
4k +4,(n=6k+3,k∈N*),
4k+4,(n=6k+4,k∈N*),
4k+5,( n=6k+5,k∈N*).
2004年全国高中数学联赛试题

【第一试】


一、选择题(本题满分36分,每小题6分)

2
1、设锐角q使关于x的方程
x?4xcos
?
?cot
?
?0
有重根,则q的弧度数为

?
?
5
?
?5
?
?


A.
6
B。
1212
C。
612
D。
12
答:[ ]

2、已知M=
?
(x,y)|x
2
?2y< br>2
?3
,N=
?
(x,y)|y?mx?b
?
,若对 于所有的
m?R
,均有
?
M?N?
?
,

b
的取值范围是

?
6666
23232323
,?,?,?,
22
] B。(
22
)C。(
33
) D。[
33
]

A.[
答:[ ]

3、不 等式
1
log
2
x?1?log
1
x
3
? 2
2
2
>0的解集是

A.[2,3] B。(2,3) C。[2,4] D。(2,4) 答:
[ ]

4、设O 点在△ABC内部,且有
OA?2OB?3OC?0
,则△ABC的面积及△AOC的面积之比


5
3
A.2 B。
2
C。3 D。
3
答:[ ]

5、设三位数
n?abc
,若以
a,b,c
为三条边的长可以构成一个

等腰(含等边)三角形,则这样的三位数有

A.45个 B。81个 C。165个 D。216个 答:[ ]

6、顶点为P的圆锥的轴截面是 等腰直角三角形,A是底面圆周上的点,B是底面圆内的点,
O为底面圆的圆心,AB⊥OB,垂足为B ,OH⊥PB,垂足为H,且PA=4,C是PA的中点,则当三
棱锥O—HPC的体积最大时,OB的 长是

525626
A.
3
B。
3
C。
3
D。
3
答:[ ]

86 23986 239








二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

7、在平面直角坐标系
xoy
中,函数
f(x)?asinax?cosax(a?0)
在一个最小正周期长的区间
2
g(x)?a?1
的图像所围成的封闭图形的面积是_____________。

上的图像及函数
8、设函数
f:R?R,
满足
f(0)? 1
,且对任意的
x,y?R
,都有
f(xy?1)
=
f(x)f(y)?f(y)?x?2
,则
f(x)?________________


9、如图,正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,二面角
A?BD
1
?A< br>1
的度数是______________。

2
k?pk


p
k
10、设是给定的奇 质数,正整数使得
是一个正整数,则
k
=________________。

11、已知数列
a
0
,a
1
,a
2< br>,...,a
n
...,
n
满足关系式

1
?
(3?a
n?1
)(6?a
n
)?18a
0
?3
且,则
i?0
a
i
的值是______。

12、在平面直角坐标系
xoy
中,给定两点M(-1,2)和N(1,4),点P在X轴上移
动,当∠MPN取最大值时,点P的横坐标是___________。



三、解答题(本题满分60分,每小题20分)

13、 一项“过关游戏”规则规定:在第
n
关要抛掷一颗骰子
n
次,如果这
n
次抛掷所出
现的点数之和大于
2
,则算过关。问:

(Ⅰ)某人在这项游戏中最多能过几关?

(Ⅱ)他连过前三关的概率是多少?

(注:骰子是一个在各面上分别有1,2,3, 4,5,6点数的均匀正方体。抛掷骰子落
地静止后,向上一面的点数为出现点数。)

4
14、在平面直角坐标系
xoy
中,给定三点A(0,
3
),B(-1,0),C(1,0)。点P
n
到直线BC的距离是该点到直线AB、A C距离的等比中顶。

(Ⅰ)求点P的轨迹方程;

(Ⅱ) 若直线L经过△ABC的内心(设为D),且及P点的轨迹恰好有3个公共点,求
L的斜率
k< br>的取值范围。

2
15、已知
?

?
是方程
4x?4tx?1?0

t?R
)的两个不等实根,函数
f (x)?

87 23987 239


2x?t
x2
?1
的定义域为[
?

?
]。

(Ⅰ)求
g(t)?maxf(x)?minf(x);

u
i
?( 0,)
2
(i?1,2,3)
,若
sinu
1
?sinu< br>2
?sinu
3
?1
,则

(Ⅱ)证明:对 于
1113
???6
g(tanu
1
)g(tanu
2)g(tanu
3
)4




?
【第二试】



一、(本题满分50分)

在锐角△ABC中,AB上的高CE及AC上的高BD相

交于点H,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点,

FG及AH相交于点K,已知BC=25,BD=20,BE=7,求

AK的长。











二、(本题满分50分)

在平面直角坐标系
xoy
中,
y
轴正半轴上的点列
?
A< br>n
?
及曲线
y?2x

x
≥0)上的点
列< br>?
B
n
?
满足
OA
n
?OB
n?
1
n
,直线
A
n
B
n
在X轴上的截 距为
a
n
,点
B
n
的横坐标为
b
n


n?N
?


(Ⅰ)证明
?
a
n
a
n?1
>>4,
n?N


b< br>n
b
n?1
b
2
b
3
??...??
n
0
?N
?
?n?n
0
bb
2
b
n?1
b
n
n?2004
(Ⅱ)证明有,使得对都有
1
<。





三、(本题满分50分)

对于整数
n
≥4,求出最小的整数
f(n)
,使得对于任何正整数
m
,集合

?
m,m?1 ,...,m?n?1
?
的任一个
f(n)
元子集中,均有至少3个两两互素 的元素。

88 23988 239













第一试



一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
参考答案


2
2
1、解:因方程
x?4xcos
?
?cot
?
?0有重根,故
??16cos
?
?4cot
?
?0
0?
?
?
?
2
,?4cot
?
(2sin2< br>?
?1)?0

sin2
?
?
1
2

?2
?
?
?
6
或2
?
?
5
?
?
5
?
?
?或
6
,于是
1212
。 故选B。



2、解:
M
22
N??
相当于点(0,b)在 椭圆
x?2y?3
上或它的内部
2b
2
66
??1,??? b?
322
。 故选A。

331
?
logx? 1?logx???0
?
22
222
?
?
logx?1?0
3、解:原不等式等价于
?
2

?
3
2
1
?
t?t??0
log
2
x?1?t,则有
?
22
?
?
t?0
设 解得
0?t?1



0?log
2
x?1?1,?2?x?4
。 故选C。

A


4、解:如图,设D,E分别是AC,BC边的中点,

OA?OC?2OD(1)
(2)


2(OB?OC)?4OE
由(1)(2)得,

D
OA?2OB?3OC?2(OD?2OE)?0


O

OD与OE
共线,

BE
C
89 23989 239


|OD|?2|OE|?


S
?AEC
3
S
3?2
?,?
?ABC
??3
S
?AOC
2S
?AOC
2
, 故选C。

5、解:a,b,c要能构成三角形的边长,显然均不为0。即
a,b,c?{1,2,...,9}

(1)若构成等边三角形,设这样的三位数的个数为
1
n
1
?C
9
?9
n
1
,由于三位数中三个数码都相同,所以,


n
2
(2)若构成等腰(非等边)三角形,设这样的三位数的个数为,由 于三位数中只有2个不
2C
9
2
同数码。设为a、b,注意到三角形腰及底可 以置换,所以可取的数码组(a,b)共有
当大数为底时,设a>b,必须满足
b?a?2b< br>。此时,不能构成三角形的数码是

a

b

共20种情况。

同时,每个数码组(a,b)中的二个数码填上三个数位,有

n
2
?C
3
2
(2C
9
2
? 20)?6(C
9
2
?10)?156
C
3
2
。但
9

4,3

2,1

8

4,3

2,1

7

3,2

1

6

3,2

1

5

1,2

4

1,2

3

1

2

1

1



种情况。



。 综上,
n?n
1
?n
2
?165


6、解:
AB?OB,AB?OP,?AB?PB,又OH?PB

?面PA B?面POB,?OH?HC,OH?PA
。C是PA中点,
?OC?PA

?当HO?HC时S
?HOC
最大,

也即
V
O?HPC
?V
P?HCO
最大。

此时,

1
HO?2,故HO=OP,??HPO?30
0
2
26
?OB?OP?tan30
0
?
3


故选D。







二、填空题(本题满分54分,每小题9分)

90 23990 239


7、解:
f(x)?a
2
?1sin(ax?
?
),其中
?
?arctan
2
?
1
2
a
, 它的最小正周期为
a
,振幅为
a?1

2
?
f(x)
的图像及
g(x)
的图像围成的封闭图形的对称性,可将这图形割补成长 为
a
、宽为
2
?
a
2
?1
的长方形,故它 的面积是
a
a
2
?1




8 、解:
对?x,y?R,有f(xy?1)?f(x)f(y)?f(y)?x?2,

?有f(xy?1)?f(y)f(x)?f(x)?y?2

?
f(x)f (y)?f(y)?x?2
=
f(y)f(x)?f(x)?y?2


f(x)?y?f(y)?x,令y?0,得f(x)?x?1




9、解:连结
性知
D
1
C,作CE?BD1
A
1
BFE?BD
1
,垂足为E,延长CE交
A?B D
1
?A
1
于F,则,连结AE,由对称
AE?BD
1,??FEA
是二面角的平面角。

D1
A1
F
ED
B1
C1
连结AC,设AB=1,


AC?AD
1
?2,BD
1
?3.

A B?AD
1
2
AE??
在Rt?ABD
1
BD
1< br>3


中,


4
?2
AE?CE ?AC2AE?AC1
3
?AEC中,cos?AEC?????
4
2AE? CE2AE
2
2
3


A
22222
C< br>B
??AEC?120
0
,而?FEA是?AEC
的补角,
? ?FEA?60
0




p?p
2
?4 n
2
k?pk?n,n?N,则k?pk?n?0,k?
22
p?4n
2
10、解:设,从而是平方数,
2*22
2*2
m,m?N,则(m?2 n)(m?2n)?p
设为

91 23991 239



?
p
2
?1
m?
?
?
m?2n?1
?
2
p是质数,且p?3,?
?
,解得< br>?
2
2
?
m?2n?p
?
n?
p?1
?
?4

p?m2p?(p
2
?1)(p?1)
2
?k??,故k?
244
。(负值舍去)



b
n
?
11、解:设
111
,n?0,1,2,...,则(3?)(6?) ?18,
a
n
b
n?1
b
n

1113b
n?1
?6b
n
?1?0.?b
n?1
?2bn
?,b
n?1
??2(b
n
?)
333


1
{b
n
?}
3
是公比为2的等比数列,
故数列
b
n
?
n
111111
?2
n
(b
0
?)?2
n
(?)??2
n?1
?b
n?(2
n?1
?1)
33a
0
333

nn
?
1
n?2
11
i?1
1
?
2( 2
n?1
?1)
?b?(2?1)??(n?1)
???
i
?
2?1
?
?
3
?
2?n?3
?
a33< br>i?o
i
i?0i?0
??




12、解:经过M、N两点的圆的圆心在线段MN的垂直平分线y=3-x上,设圆心为
222
S(a,3-a),则圆S的方程为:
(x?a)?(y?3?a)?2(1?a)

对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当?MPN
取最大值时,经过M,N,P三点的圆S必及X轴相切于点P,即圆S的方程中的a值必< br>22
2(1?a)?(a?3),
解得 a=1或a=-7。

须满 足
'
P(1,0)和P(?7,0)
,而过点M,N,
p'
的圆的半 径大于过点M,N,P 即对应的切点分别为
的圆的半径,所以
?MPN??MP'N< br>,故点P(1,0)为所求,所以点P的横坐标为1。



三、解答题(本题满分60分,每小题20分)



13、解:由于骰子是均匀的正方体,所以抛掷后各点数出现的可能性是相等的。

4 5
6?4?2,6?5?2
(Ⅰ)因骰子出现的点数最大为6,而,因此,当
n?5< br>时,n次出现的点数
之和大于
2
已不可能。即这是一个不可能事件,过关的概率 为0。所以最多只能连过4
n
92 23992 239


关。
.......5分

(Ⅱ) 设事件
A
n
为“第n关过关失败”,则对立事件
A
n
为“第 n关过关成功”。

n
第n关游戏中,基本事件总数为
6
个。

第1关:事件< br>A
1
所含基本事件数为2(即出现点数为1和2这两种情况),

P( A
1
)?1?P(A
1
)?1?
22
?
63


?
过此关的概率为:
第2关:事件
即有
A
2
所含基本事件数为方程
x?y?a
当a分别取2,3,4时的正整数解组数之和。(个)。

111
C
1
?C
2
?C
3
?1?2?3?6
?
过此关的概率为:
P(A
2
)?1?P (A
2
)?1?
65
?
6
2
6
。 ........
10分

第3关:事件
A
3
所含基本事件 为方程
x?y?z?a
当a分别取3,4,5,6,7,8时的正整数解
22
C
2
?C
3
2
?C
4
?C
5
2< br>?C
6
2
?C
7
2
?1?3?6?10?15?21 ?56
组数之和。即有(个)。

?
过此关的概率为:
P(A
3
)?1?P(A
3
)?1?
5620
?
3
62 7
。 .........15分

2520 100
P(A
1
)?P(A
2
)?P(A
3
)?? ??
3627243
。 ........20分

故连过前三关的概率为:
(说明:第2,3关的基本事件数也可以列举出来)



44
y?(x?1),y??(x?1),y?0
33
14、解:(Ⅰ)直线AB、AC、BC的方程依次为。点
P(x,y)

11
d
1
?|4x?3y?4|,d
2
?|4x?3y?4|,d
3< br>?|y|
55
AB、AC、BC的距离依次为。依设,
d
1
d
2
?d
3
2
,得|16x
2
?(3y?4)
2
|?25y
2
222222
16x?(3y?4)?25y?0,或16 x?(3y?4)?25y?0
,,即
化简得点P的轨迹方程为

2222
2x?2y?3y?2?0与双曲线T:8x?17y?12y?8?0
......5分

圆S:
(Ⅱ)由前知,点P的轨迹包含两部分

93 23993 239


22
2x?2y?3y?2?0


圆S:
22
8x?17y?12y?8?0


及双曲线T:
因为B(-1,0)和C(1,0)是适合题设条件的点,所以点B 和点C在点P的轨迹上,且点
P的轨迹曲线S及T的公共点只有B、C两点。

1D(0,)
d?d?d
23
,解得
?ABC
的内心D也是适合题 设条件的点,由
1
2
,且知它在圆S上。直线
L经过D,且及点P的轨迹有3 个公共点,所以,L的斜率存在,设L的方程为

y?kx?
1
2


(i)当k=0时,L及圆S相切,有唯一的公共点D;此时,直线
y?
1
2
平行于x轴,表明L及
双曲线有不同于D的两个公共点,所以L恰好及点P的轨迹 有3个公共点。......10分

(ii)当
k?0
时,L及圆S有两个 不同的交点。这时,L及点P的轨迹恰有3个公共点只能有
两种情况:

情况 1:直线L经过点B或点C,此时L的斜率
k??
1
2
,直线L的方程为x??(2y?1)

5454
E(,)或F(-,)
33
。表 明直线BD及曲线T有2个交点B、E;代入方程②得
y(3y?4)?0
,解得
33
直线CD及曲线T有2个交点C、F。

故当
k??
1
2
时,L恰好及点P的轨迹有3个公共
点。 ......15分

情况2:直线L不经过点B和C(即
k??
1
2
),因为L及S有两个不同的交点,所以L
?
8x
2
?1 7y
2
?12y?8?0
?
?
1
y?kx?
?2
及双曲线T有且只有一个公共点。即方程组
?
有且只有一组实数解,消
(8?17k
2
)x
2
?5kx?
25
?0
4
去y并化简得
2
该方程有唯一实数解的充要条件是
8?17k?0



(?5k)
2
?4(8?17k
2
)
25
?0
4


94 23994 239


解方程④得
k??
2
234
k??
2


17
,解方程⑤得
12342
{0, ?,?,?}
2172
。 ......20综合得直线L的斜率k的取值范围是有限集




15、解:(Ⅰ)设
2
?
?x
1
?x
2
?
?
,则4x
1
2
?4tx
1
?1?0,4x
2< br>?4tx
2
?1?0,


2
?4(x
1
2
?x
2
)?4t(x
1
?x
2
)?2?0,?2x
1
x
2
?t(x
1
?x< br>2
)?
1
?0
2


f(x
2)?f(x
1
)?
2x
2
?t2x
1
?t(x
2
?x
1
)
?
t(x
1
?x2
)?2x
1
x
2
?2
?
?
2
?
22
x
2
?1x
1
?1(x
2
?1) (x
1
2
?1)

1
?0?f(x
2
)?f(x
1
)?0
2


t(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
?2?t(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
?
?
,
?
?

f(x)
在区间
?
上是增函
数。 .......5分

1
?
?
?
?t,
??
??,
4

?g(t)?maxf(x)?minf(x)?f(
?
)?f(
?
)?
(
?
?
?
)
?
t(
?
??
)?2
??
?2
?
?
2
?
2
?
?
2
?
?
2
?1
5
??
t< br>2
?1
?
t
2
?
?
22
2
?
8t?1(2t?5)
?
??
2
25
16t?25
2
t?
16

......10分



(Ⅱ)证:
8216
(
2
?3)?24cosu
i
cosu
i
cosu
i
cosu
i
g(tanu
i
)??
2
166
16< br>16?9cosu
i
?
216?24
?(i?1,2,3)
? 9
2
22
cosu
i
16?9cosu
i
16?9 cosu
i



3
11
3
12
?
?
?(16?9cosu
i
)?(16?3?9?3?9)
?
sin
2
u
i
)
?
166
i? 1
166
i?1
g(tanu
i
)
i?1
.... 15分

3
95 23995 239


?
si nu
i?1
3
i
?1,且u
i
?(0,),i?1,2,3
2
?
?3
?
sinu
i
?(
?
s inu
i
)
2
?1
2
i?1i?1
33
, 而均值不等式及柯西不等
式中,等号不能同时成立,

?





111113
???(75?9?)?6
g(tan u
1
)g(tanu
2
)g(tanu
3
)
166
34
......20分





2005年高中数学联赛第13题的背景及解法讨论

广东深圳市育才中学 王 扬

探讨一些竞赛试题的背景和演变是一件十分有 意义的工作,它即可挖掘知识之间的纵横联系,又可以
培养学生发现问题、解决问题的能力,同时可激发 学生学习数学的兴趣,还可以揭示命题人的思维方法,
为学生发现问题的本质提供思路和供借鉴的模式, 让他们也能享受到做科学研究的乐趣,使他们以后在科
学研究的道路上走的更好些,更远些。
下面我们对2005年的一道全国高中数学联赛13题的解法及来历作以探讨,供感兴趣的读者参考。
一.题目。2005年全国高中数学联赛13题为:
数列
?
a
n
?
满足:
a
0
?1,a
n?1
?
1
2
(1)对任意n∈N,a
n
为整数。(2)
(7a
n
? 45a
n
?36),n?N,
证明:
2
对任意n∈N,a
n +1
a
n
-1为一个完全平方数。
二.先看本题的解法。
(1) 一般有三种解法。
解法一:递推并利用根及系数关系。
22
对原递推式移项,再两边平方整理便得
a
n?1
?7an?1
a
n
?a
n
?9?0 ①

22
再递推得
a
n
?7a
n
a
n?1
?a
n?1
?9?0

22
改换一种叙述方式得
a
n?1
?7a
n?1
a
n
?a
n
?9?0 ②

22
可以看出,
a
n?1
,a
n?1

为下面关于x的一元二次方程:
x?7xa
n
?a
n
?9? 0
的两个根,所以
a
n?1
?a
n?1
?7a
n

, 即
a
n?1
?7a
n
-a
n-1


a
0
?1
及原递推式知
a
1
?5
,再结合数学归纳法知对于任意
n?N,a
n
都是整数。
解法二:递推并分解因式。
22
对原递推式移项,再两边平方整理便得
a
n?1
?7an?1
a
n
?a
n
?9?0

96 23996 239


22
再递推得
a
n
?7a
n
a
n?1
?a
n?1
?9?0
,这两式作差并分解因式,得
(a
n?1
?a
n?1
)(a
n?1
?a
n?1
?7a
n
)?0

但据原递推式
a
n?1
?
以下同解法一 。
解法三:解方程法
22
对原递推式移项,再两边平方整理便得
a
n?1
?7a
n?1
a
n
?a
n
?9?0

22
再递推得
a
n
?7a
n
a
n?1
?a
n?1
?9?0
,视为a
n-1
的方程,求出a
n-1
得到
7
a
n
?a
n
?a
n?1
,∴ 由(4)知
a
n?1
?a
n?1
?7a
n
?0
, < br>2
a
n?1
?
1
2
(7a
n
?45 a
n
?36),
(a
n-1
< a
n
由条件知求根公式取负号) ⑤
2
联立原递推式及⑤,知
a
n?1
?a
n?1
?7a
n

,……。
(2) 有两种方法。
22
解法一:由(1)的解法一的①知
7a
n?1
a< br>n
?a
n?1
?a
n
?9

2
再配方得
9(a
n?1
a
n
?1)?( a
n?1
?a
n
)
,即
a
n?1
a
n
?1?(
a
n?1
?a
n
2
)

3
据(1)的结论知: 对任意
n?N,a
n
都是整数,所以 ⑥的左端为整数,从而右端也是整数,即3│(a
n+1
+a
n
),

a
n?1
a
n
?1
是一个完全平方数。
解法二:由①知对于任意n∈N,有
1?a
n?1
a
n
?(
a
n?1
?a
n
2
)
,所以递推得
3
a
n?1
?a
n
2
)
3
a ?a
n?1
2
?a
n
a
n?1
?(
n)
3

a
1
?a
0
2
????? a
1
a
0
?()
3
1?5
2
?5?()< br>3
1?a
n?1
a
n
?(
这表明a
n+1< br>a
n
-1为一个完全平方数。
说明:找到数列相邻几项的递推式是解决第一小 题的关键,而配方是完成第二小题的根本,值得我们
记取。
三.本题的背景探索
1.(第9届全俄中学生数学竞赛题之一)已知
2
x
0
?1,x< br>n?1
?5x
n
?24x
n
?1(n?0,1,2,.... )
,证明:对一切自然数n,x
n
均为整数。
2.(英国2001年数学奥林匹克(第二轮))证明:数列
97 23997 239


y
0
?1,y
n?1
?
1
2
(3y
n
?5y
n
?41)(n?0,1,2,....)
(n≥ 0)是整数数列。
2
3.(第19届巴尔干地区数学奥林匹克)已知数列:
a1
?20,a
2
?30,a
n?2
?3a
n?1
?a
n
,n?1,
求所有正整数n,使得1+5a
n
a
n +1
为一个完全平方数。
4.(2002年,罗马尼亚为IMO和巴尔干地区数学奥林匹克选 拔考试供题(第一轮))设数列
?
a
n
?
(n?0)
如下 定义:
a
0
?a
1
?1,a
n?1
?14a
n
?a
n?1
(n?1)
,证明:对所有的正整数n,
2a
n
?1
是完全平方数。
本题可以看做是今年这道竞赛题经过转化得到递推式后的情 形。反过来,今年的这道竞赛题便可以看
作是上述题2、3的合成(串联)。
5.(26届IMO备选题)

a
0
?20,a
n?1< br>?(k?1)a
n
?k(a
n
?1)?2k(k?1)(a
n
?1),n?1
(n∈N,k∈N),证明对于一切自
然数n,a
n
均为整数。
四.几个类似题
1. (22届IMO侯选题)已知数列
?
a
n
?
满足
x
1
?1,


x
n?1
?
1
(1?4x
n
?1?24x
n
)
(n≥1),求数列{x
n
}的通项公式。
16
2< br>2a
n?1
?3a
n?1
?9
2.试证由
a
n
?,a
0
?1,a
1
?5
所确定的数列各项都是整数。
2a
n?2
3.设
a
1
?a
2
?a
3
?1,a
n?2
?
1?a
n?1
a
n
(n?2)
,求证:对于任意的
n?N,a
n
均为整数。
a
n?1
以上几道题目都可以用前面解竞赛题的方法求解,供感兴趣的读者练习。
2005年全国高中数学联赛
报 名 通 知
各县(市)教研室:
市本级各有关学校:
接省数学会通知,2005年全国高中数学联赛定于1 0月份进行。从2005
年起,因浙江省举办全国高中数学联赛预赛,只有取得决赛资格的学生才能参加
全国联赛加试,并由省数学会确定集中竞赛地点。嘉兴市考点只设全国联赛一试
考试。现将具体 事项通知如下:
1.竞赛时间
98 23998 239


高中数学联赛一试:2005年10月16日(星期日)8:00—9:40
(高中数学联赛加试:2005年10月16日(星期日)10:00—12:00)
2.命题范围及竞赛办法
全国高中数学联赛一试的命题范围,完全按照全日制中学《数学教学 大纲》
(02年版)中所规定的教学要求和内容,即高考所规定的知识范围和方法,在方
法的要 求上略有提高,其中概率和微积分初步不考。试题包括6道选择题,6道
填空题和3道解答题,全卷15 0分.
(“全国高中数学联赛加试”命题范围以现行《高中数学竞赛大纲》为准,试卷
包括3 道解答题,其中一道是平面几何题,全卷150分.)
3.设奖办法
2005年团体成绩及 个人一等奖成绩根据考生一、二试成绩总和划定。只参加
全国联赛一试的考生可以获全国二等奖和浙江省 一、二等奖以及嘉兴市一、二等
奖。
4.报名办法
所有准备参加全国联赛的学生均 需向所在学校报名。各学校报名工作在5月
20日前完成,并将参赛人数电话上报所在县(市)教研室, 数字要确切,不要事
后更动,请同时收取报名费,收费标准:10元人。各县(市)教研室于5月25< br>日前将参赛人数报嘉兴市数学会。
嘉 兴 市 数 学 会
2005年5月11日
2005年全国高中数学联赛福建赛区预赛试卷
考试时间:2005年9月11日上午8:00~10:30
一、选择题:每题6分,满分36分
1、设函数
f(x)
的定义域为R,且 对任意实数
x?(?
??
,)

f(tanx)?sin2x
,则
f(2sinx)
的最大值为
22
99 23999 239


( )A 0 B
2
1
C D 1
2
2
2
a?a
n?1
?2a
n
2、实数列
{a
n
}
定义为
a
n
?
n< br>,n?2,3,
?
,a
1
?1,a
9
?7,

a
5
的值为( )
a
n?1
?1
A 3 B -4 C 3或-4 D 8
3、正四面体ABCD的棱长为1,E是△ ABC内一点,点E到边AB,BC,CA的距离之和为x,点E到平面
DAB,DBC,DCA的距离 之和为y,则
x?y
等于( )
22
A 1 B
6
5
7
C D
2
3
124、数列
x
1
,x
2
,?,x
100
满足如下 条件:对于
k?1,2,?100,x
k
比其余99个数的和小k,已知
x< br>50
?
n是互质的正整数,则m+n等于( )
A 50 B 100 C 165 D 173
5、若
sinx?siny?
m
,m,
n
26
,cosx?cosy?
,则
sin(x? y)
等于( )
22
A
236
B C D 1
222
x
2
y
2
??1
在第一象限上的 动点,过点P引圆
x
2
?y
2
?9
的两条切线PA、PB, 切点分别为6、P为椭圆
169
A、B,直线AB及x轴、y轴分别交于点M、N,则
S
?MON
的最小值为( )
A
9
9
27
27
3
C
3
B D
24
24
222222
二、填空题:每小题9分,满分54分
7、实数
x,y,z
满足
x?2y?7,y?4z??7,z?6x??14,
x?y?z
= .
8、设S是集合{1,2,…,15}的一 个非空子集,若正整数n满足:
n?S,n?S?S
,则称n是子集S
的模范数,这里 |S|表示集合S中元素的个数。对集合{1,2,…,15}的所有非空子集S,模范数的个数之
和为 .
1
?x?1
,当
(1?x)
5
(1?x)(1?2x)
2
取得最大值时,x= .
2
f(x)f(y )?f(xy)
?x?y?2
,则
f(36)?
. 10、函数
f(x)
满足:对任意实数x,y,都有
3
11、正四面体ABC D的体积为1,O为为其中心. 正四面体
A
?
B
?
C
?< br>D
?
及正四面体ABCD关于点O对称,则
9、对于
这两个正四面体的 公共部分的体积为 .
12、在双曲线xy=1上,横坐标为
nn?1
的点为
A
n
,横坐标为的点为
B
n
(n?N
?
)
.记坐标为(1,1)
n?1n
100 239100 239

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