1985年全国高中数学联赛试题及解答

1985年全国高中数学联赛 冯惠愚
1985年全国高中数学联赛试题
第一试
1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分)
⑴ 假定有两个命题：
甲：
a
是大于0的实数；乙：
a
>
b
且
a
>
b
．那么( )

A
．甲是乙的充分而不必要条件
B
．甲是乙的必要而不充分条件

C
．甲是乙的充分必要条件
D
．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
⑵
PQ
为经 过抛物线
y=
2
px
焦点的任一弦，
MN
为
PQ< br>在准线
l
上的射影，
PQ
绕
l
一周所得的旋转面面< br>积为
S
1
，以
MN
为直径的球面积为
S
2< br>，则下面结论中，正确的是( )

A
．
S
1
>
S
2

B
．
S
1
<
S
2

C
．
S
1
≥
S
2
< br>D
．有时
S
1
>
S
2
，有时
S1
=S
2
，有时
S
1
<
S
2

44
⑶ 已知方程arccos－arccos(－)
=
arcsin
x
，则( )
55
2424

A
．
x=

B
．
x=
－
C
．
x=
0
D
．这样的
x
不存在．
2525
⑷ 在下面四个图 形中，已知有一个是方程
mx
+
ny=
0与
mx
+
ny=
1(
m
≠0，
n
≠0)在同一坐标系中的示意
图，它 应是( )
y
y
yy
222
2
－1－1
O
xO
x
O
x
O
1
x
y=-x
A.
B.C.
D.

－
⑸ 设
Z
、
W
、
λ
为复数，|
λ
|≠1，关于
Z
的方程
Z
－
λZ=W
有下面四个结论：
λW
+
W
Ⅰ．
Z=
2
是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解；
1－|
λ
|
Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( )

A
．只有Ⅰ、Ⅱ正确
B
．只有Ⅰ、Ⅲ正确
C
．只有Ⅰ、Ⅳ正确
D
．以上
A
、
B
、
C
都不正确
⑹ 设0<
a
<1，若
x
1
=a
，
x2
=a
，
x
3
=a
，…，
x
n
=a
x
1
x
2
x
n
－1
－－
， ……，则数列{
x
n
}( )

A
．是递增的
B
．是递减的
C
．奇数项递增，偶数项递减
D
．偶数项递增，奇数项递减
二．填空题(本题满分24分，每小题6分)
⑴ 在△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，若角
A
、< br>B
、
C
的大小成等比数列，且
b
－
a=ac
，
则角
B
的弧度为等于 ．
- 1 -
22

1985年全国高中数学联赛 冯惠愚
⑵ 方程2
x
1
+
x
2
+
x3
+
x
4
+
x
5
+
x
6+
x
7
+
x
8
+
x
9
+x
10
=
3的非负整数解共有 组．
⑶ 在 已知数列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共
有 ．
⑷ 对任意实数
x
，
y
，定义运算
x
*
y
为
x
*
y=ax
+by
+
cxy
，其中
a
、
b
、
c为常数，等式右端中的运算是
通常的实数加法、乘法运算．现已知1*2
=
3，2 *3
=
4，并且有一个非零实数
d
，使得对于任意实数都有
x
*
d=x
，
则
d=
．
- 2 -

1985年全国高中数学联赛 冯惠愚
第二试
(本试共有4题，每题满分15分)
1．在直角坐标系
x oy
中，点
A
(
x
1
，
y
1
)和 点
B
(
x
2
，
y
2
)的坐标均为一位的正 整数．
OA
与
x
轴正方向的夹
角大于45°，
OB
与
x
轴正方向的夹角小于45°，
B
在
x
轴上的射影为B
?，
A
在
y
轴上的射影为
A
?，△
OBB
?

32
的面积比△
OAA
?的面积大 33.5，由
x
1
，
y
1
，
x
2
，
y
2
组成的四位数
x
1
x
2
y
2
y
1
=x
1
?10+
x
2
?10+y
2
?10+
y
1
．试求出所
有这样的四位数，并写出 求解过程．







2．如图， 在正方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是
BC
中点，
F
在
AA
1
上，且
A
1
F
∶
FA=
1∶2．求 平面
B
1
EF
与底
面
A
1
B
1< br>C
1
D
1
所成的二面角．
D
A
D
1
B
1
E
B
C
F
A
1
C
1






3．某足球邀请赛有十六个城市参 加，每市派出甲、乙两个队，根据比赛规则，比赛若干天后进行统
计，发现除
A
市甲队 外，其它各队已比赛过的场数各不相同．问
A
市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．




- 3 -

1985年全国高中数学联赛 冯惠愚





4．平面上任给5个点，以
λ
表示这些点间最大的距离与最小的距离之比，证明：
λ
≥2sin54?．
- 4 -

1985年全国高中数学联赛 冯惠愚
1985年全国高中数学联赛试题
第一试
1．选择题(本题满分36分，每小题答对得6分答错得0分，不答得1分)
⑴ 假定有两个命题：
甲：
a
是大于0的实数；乙：
a
>
b
且
a
>
b
．那么( )

A
．甲是乙的充分而不必要条件
B
．甲是乙的必要而不充分条件

C
．甲是乙的充分必要条件
D
．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
解：由于
a
>b
且
a
>
b
成立时，必有
a
>0，
b
<0．故由乙可得甲，故选
B

⑵
PQ
为经过抛物线
y=
2
px
焦点的任一弦，
MN
为
PQ
在 准线
l
上的射影，
PQ
绕
l
一周所得的旋转面面
积 为
S
1
，以
MN
为直径的球面积为
S
2
， 则下面结论中，正确的是( )

A
．
S
1
>
S
2

B
．
S
1
<
S
2

C
．
S
1
≥
S
2
< br>D
．有时
S
1
>
S
2
，有时
S1
=S
2
，有时
S
1
<
S
2

解：设
PQ
与
x
轴夹角
=θ
，|
PF|
=ρ
1
，|
QF
|
=ρ
2
，则|< br>PM
|
=ρ
1
，|
QN
|
=ρ
2< br>．
则
S
1
=π
(
PM
+
QN)?
PQ=π
(
ρ
1
+
ρ
2
)，S
2
=π
|
MN
|
=π
(
ρ
1
+
ρ
2
)sin
θ
．
∴
S
1
≥
S
2
，当且仅当
θ=
90°时等号成立．选
C
．

44
⑶ 已知方程arccos－arccos(－)
=
arcsin
x
，则( )
55
2424

A
．
x=

B
．
x=
－
C
．
x=
0
D
．这样的
x
不存在．
2525
4443
解：即arcsin
x=
2 arccos－π
．设arccos
=θ
，则cos
θ=
，sin
θ=
．
5555
24
π
∴ sin2
θ=
2sin< br>θ
cos
θ=
．即2
θ
为锐角．∴2
θ
－< br>π
<－．故选
D
．
252
⑷ 在下面四个图形中，已知有一个是方程与 (
m
≠0，
n
≠0)在同一坐标系中的示意图，它应是( )
y
y
yy
2222
2
－1－1
－1－1
y
M
P
y
2
=2px
O
N
l
Q
x
O
xO
x
O
x
O
1
x
y=-x< br>A.
2
B.C.
22
D.

解：由
y=－
x
，若
m
、
n
均为正数，则此抛物线开口向左，且< br>mx
+
ny=
1表示椭圆，
m
<
n
，||< 1．
此时抛物线与直线
y=
－
x
的交点横坐标应>－1．故否定< br>B
、
D
．
若
m
、
n
符号 相反，则抛物线开口向右．且
mx
+
ny=
0图形是双曲线，
m<0，
n
>0，
m=
－
n
．故选
A
．
2
m
n
m
n
- 5 -

1985年全国高中数学联赛 冯惠愚
－
⑸ 设
Z
、
W
、
λ
为复数，|
λ
|≠1，关于
Z
的方程
Z
－
λZ=W
有 下面四个结论：
λW
+
W
Ⅰ．
Z=
2
是这个方程的解； Ⅱ．这个方程只有一解；
1－|
λ
|
Ⅲ．这个方程有两解； Ⅳ．这个方程有无穷多解．则( )

A
．只有Ⅰ、Ⅱ正确
B
．只有Ⅰ、Ⅲ正确
C
．只有Ⅰ、Ⅳ正确
D
．以上
A
、
B
、
C
都不正确

－－
2
解：原式两端取共轭：
Z
－
λ Z=W
，乘以
λ
再取共轭：
λZ
－|?|
Z=λW
，相加，由|?|≠1，得方程有
－－
λW
+
W
唯一解
Z=
2
．选
A
．
1－|
λ
|
⑹ 设0<a
<1，若
x
1
=a
，
x
2
=a，
x
3
=a
，…，
x
n
=a
x
1
x
2
x
n
－1
－－
，……，则数列{
x
n
}( )

A
．是递增的
B
．是递减的
C
．奇数项递增，偶数项
递减
D
．偶数项递增，奇数项递减
解：作
y=a
的图象，在图象 上取点
x
1
，
x
2
，
x
3
，x
4
，由0<
a
<1，
知
x
1
<x
3
<
x
2
，即
A
、
B
错，
C
正确．选
C
．
二．填空题(本题满分24分，每小题6分)
⑴ 在△
ABC
中，角
A
、
B
、
C
的对边分别为
a
、
b
、
c
，若角
A
、< br>x
y
1
x
2
x
4
x
3
x< br>1
(1,a)
O
a
x
1
x
3
x2
1
x
B
、
C
的大小成等比数列，且
b
2
－
a
2
=ac
，则角
B
的弧度为等
于 ．
解：由余弦定理，
b
－
a=c
－2
ac
cos
B
．故
ac=c
－2
ac
cos
B
．即< br>a=c
－2
a
cos
B
．?sin
A=
si n(
A
+
B
)－
2sin
A
cos
B.
=
sin(
B
－
A
)．
∴ 由
b
>
a
，得
B
>
A
．?
A=B
－< br>A
，?
B=
2
A
，
C=
4
A
．
或
A
+
B
－
A=π
(不可能)
2
∴
B=π
．
7
⑵ 方程2
x
1+
x
2
+
x
3
+
x
4
+x
5
+
x
6
+
x
7
+
x8
+
x
9
+
x
10
=
3的非负整数解 共有 组．
解：
x
1
=
1时，
x
2
+
x
3
+
x
4
+
x
5
+
x
6
+
x
7
+
x
8
+
x
9
+
x
10
=
1，共有9解；
22 22
x
1
=
0时，
x
2
+
x
3< br>+
x
4
+
x
5
+
x
6
+< br>x
7
+
x
8
+
x
9
+
x< br>10
=
3，共有9+
A
9
+
C
9
=
9+72+84
=
165解．
∴ 共有174解．
⑶ 在已知数 列1，4，8，10，16，19，21，25，30，43中，相邻若干个数之和能被11整除的数组共
有 ．
解：把这些数
mod
11得1，4，－3，－1，5，－3，－1，3，－3，－1．
- 6 -
23

1985年全国高中数学联赛 冯惠愚
依次累加，得：1，5，2，1，6，3，2，5，2，1．其中相等的和有7对(3对1，3 对2，1对5)，这
表示原数列中共有7组相邻数之和能被11整除．
⑷ 对任意实数
x
，
y
，定义运算
x
*
y
为
x
*
y=ax
+
by
+
cxy
，其中
a
、< br>b
、
c
为常数，等式右端中的运算是
通常的实数加法、乘法运算．现已 知1*2
=
3，2*3
=
4，并且有一个非零实数
d
，使得 对于任意实数都有
x
*
d=x
，
则
d=
．
解：
ax
+
bd
+
cxd=x
．取
x =
0，代入得，
bd=
0，但
d
≠0，故
b=
0
a
+2
b
+2
c=
3，2
a
+3
b
+6
c=
4．?
a=
5，
c=
－1．取
x=
1代入，得
d=
4．
经验算：
x
*
y=5
x
－
xy
，对于一切
x
，有
x
*4
=
5
x
－4
x=x
成立．故
d=
4．
- 7 -

1985年全国高中数学联赛 冯惠愚
第二试
(本试共有4题，每题满分15分)
1．在直角坐标系
x oy
中，点
A
(
x
1
，
y
1
)和 点
B
(
x
2
，
y
2
)的坐标均为一位的正 整数．
OA
与
x
轴正方向的夹
角大于45°，
OB
与
x
轴正方向的夹角小于45°，
B
在
x
轴上的射影为B
?，
A
在
y
轴上的射影为
A
?，△
OBB
?
的面积比△
OAA
?的面积大33.5，由
x
1< br>，
y
1
，
x
2
，
y
2
组成 的四位数
x
1
x
2
y
2
y
1
= x
1
?10
3
+
x
2
?10
2
+
y
2
?10+
y
1
．试求出所有这样的四位数，并写出求解 过
A'

y
A
程．
解：
x
2
y
2
－
x
1
y
1
=
67．
x
1
<
y
1
，
x
2
>
y
2
．且
x
1
，
y
1
，
x
2，
y
2
都是不超过10的正整数．
∴
x
2
y
2
>67，?
x
2
y
2
=
72或81．但
x
2
>
y
2
，故
x
2
y
2
=
91舍去．∴
x
2
y2
=
72．
x
2
=
9，
O
B
B'
x
y
2
=
8．

∴
x
1
y
1
=
72－67
=
5．?
x
1
=
1，
y
1
=
5，∴
x
1
x
2
y
2
y
1
=
1985．

2 ．如图，在正方体
ABCD
—
A
1
B
1
C
1
D
1
中，
E
是
BC
中点，
F
在
AA
1
上，且
A
1
F
∶
FA=
1 ∶2．求平面
B
1
EF
与底
面
A
1
B1
C
1
D
1
所成的二面角．
D
A
D
1
B
1
E
B
C
1151061
解：设AB=
1，则
BE=
，
A
1
F=
，故
B
1
E=
，
B
1
F=
，
EF=
．
23236
1
∴
S
?
BEF
=
·
2
1
5101510611
·－(+－)
=
46．
49 4493612
F
A
1
C
1
1
而△
B1
EF
在平面
A
1
C
1
上的射影面积
=
．
4
∴ cos
θ=
3
46
，即所求角
=
arc cos
3
46
．
A
G
D
B
D
1
B
1
E
C
又解：设平面
B
1
EF
与平面
AD
1
交于
FG
，(
G
在
AD上)，则由平面
AD
1
∥平面
BC
1
，
得FG
∥
B
1
E
．于是，延长
GF
、
D
1
A
1
交于
P
，则
P
为截面与平面
A
1
C
1
的公共点，故
PB
1
F
HA
1
P
K
C
1
1137
为所求二面角的棱．< br>AG=A
1
H=
，
A
1
P=
，
PB
1
=
．
366
作
GH
⊥
A
1< br>D
1
于
H
，则
GH
⊥平面
A
1C
1
．作
HK
⊥
PB
1
，连
GK．则∠
GKH
为所求二面
角的平面角．
∵
HK
?< br>PB
1
=A
1
B
1
?
HP
．∴
HK=

33737
，tan∠
GKH=
．即所求角
=
arc tan．
33
37
3．某足球邀请赛有十六个城市参加，每市派出甲、乙两个队，根 据比赛规则，比赛若干天后进行统
计，发现除
A
市甲队外，其它各队已比赛过的场数各 不相同．问
A
市乙队已赛过多少场？请证明你的结论．
- 8 -

1985年全国高中数学联赛 冯惠愚
证明：用32个点表示这32个队，如果某两队比赛了一场，则在表示这两个队的点间连一条线 ．否则
就不连线．
由于，这些队比赛场次最多30场，最少0场，共有31种情况，现除A
城甲队外还有31个队，这31
个队比赛场次互不相同，故这31个队比赛的场次恰好从 0到30都有．就在表示每个队的点旁注上这队的
比赛场次．
考虑比赛场次为30的队，这个 队除自己与同城的队外，与不同城有队都进行了比赛，于是，它只可
能与比赛0场的队同城；再考虑比赛 29场的队，这个队除与同城队及比赛0场、1场(只赛1场的队已经
与比赛30场的队赛过1场，故不 再与其它队比赛)的队不比赛外，与其余各队都比赛，故它与比赛1场的
队同城；依次类推，知比赛k
场的队与比赛30－
k
场的队同城，这样，把各城都配对后，只有比赛15场< br>的队没有与其余的队同城，故比赛15场的队就是
A
城乙队．即
A
城乙 队比赛了15场．

4．平面上任给5个点，以
λ
表示这些点间最大的距离 与最小的距离之比，证明：
λ
≥2sin54?．
证明 ⑴ 若此五点中有三点共 线，例如
A
、
B
、
C
三点共线，不妨设
B
在
A
、
C
之间，则
AB
与
BC
必有
一较大者．不妨设
AB
≥
BC
．则 ≥2>2sin54?．
A C
BC
D
A
E
B
C
A
B
A
C
E
D
C
B
A
D
E
C
D
B
B
A
E
C
⑵ 设此五点中无三点共线的情况．
① 若 此五点的凸包为正五边形．则其五个内角都
=
108?．五点的连线只有两种长度：正五边形的 边长
与对角线，而此对角线与边长之比为2sin54?．
② 若此五点的凸包为凸五边形． 则其五个内角中至少有一个内角≥108?．设∠
EAB
≥108?，且
EA
≥
AB
，
则∠
AEB
≤36?，
BE
sin(
B
+
E
)sin2
E
∴
=
≥
=
2cos
E
≥2cos36?
=
2sin54?．
AB
sin
E
sin
E
③ 若此五点的凸包为凸四边形ABCD
，点
E
在其内部，连
AC
，设点
E
在 △
ABC
内部，则∠
AEB
、∠
BEC
、
∠
CEA
中至少有一个角≥120?>108?，由上证可知，结论成立．
④ 若此五点的凸 包为三角形
ABC
，则形内有两点
D
、
E
，则∠
A DB
、∠
BDC
、∠
CDA
中必有一个角≥120?，
结论 成立．
综上可知，结论成立．

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1985年全国高中数学联赛 冯惠愚

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