2013年全国高中数学联赛试题及详细解析

2013年全国高中数学联合竞赛一试
试题参考答案及评分标准

说明：
1. 评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档；其他 各题的评阅，请严
格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.
2. 如果考 生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评
分标准适当划分档次评分， 解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为
一个档次，不要增加其他中间档次.

一、 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.
1. 设集合
A?
?
2,0,1,3
?
，集合
B?
?
x|?x? A,2?x
2
?A
?
.则集合
B
中所有元素的和为
.
答案 -5
,?3
时，
2?x
2
??2,?7
，解 易知
B?
?
?2,0,?1,?3
?
，当
x??2
有
2?x
2
?A
；而当
x?0,?1
时，
2?x
2
?2,1
，有
2?x
2
?A
.因此，根据
B
的定义 可知
B?
?
?2,?3
?
.
所以，集合
B
中所有元素的和为-5.
????????
2. 在 平面直角坐标系
xOy
中，点
A、B
在抛物线
y
2
?4x
上，满足
OA?OB??4
，
F
是抛物
线的焦点.则
S
?OFA
?s
?OFB
?
.
答案 2.
2
y
2
y
1
2
解 点
F
坐标为< br>?
1,0
?
.设
A
?
x
1
,y1
?
，
B
?
x
2
,y
2
?< br>，则
x
1
?
，
x
2
?
，故
4
4
????????
1
2
?4?OA?OB?x
1x
2
?y
1
y
2
?
?
y
1< br>y
2
?
?y
1
y
2
，
16
1
2
即
?
y
1
y
2
?8
??0
，故
y
1
y
2
??8
.
16< br>2
?
1
??
1
?
1
S
?OFA?S
?OFB
?
?
OF?y
1
?
?
?
OF?y
2
?
??OF?y
1
y
2
?2< br>.
?
2
??
2
?
4
3. 在
?A BC
中，已知
sinA?10sinBsinC
，
cosA?10cosBc osC
,则
tanA
的值为.
答案

11.
1

A?
解 由于
sincoAs?
?
10BsinC?sinBcCs??co
?
s
?
oB
?< br>?1C0?cos
，
A
所以
10cos
sinA?11cos A
，故
tanA?11
.
4. 已知正三棱锥
P?ABC
底面边长为1，高为
2
，则其内切球半径为.
答案
2

6
解 如图，设球心
O
在面
A BC
与面
ABP
内的射影分别为
H
和
K
，
AB
中点为
M
，内
切球半径为
r
，则
P、K、M< br>共线，
P、O、H
共线，
?PHM??PKO?
OH?OK?r
,
PO?PH?OH?2?r
，
?
2
P
，且
MH?
33
153
AB?
,
PM?MH
2
?PH< br>2
?
,
?2?
66
126

K
O
A
H
M
B
C
于是有

OKMH1
??sin?KPO??
，
PM5
2?r
PO
r
2
解得
r?
.
6
5. 设
a,b
为实数，函数
f
?
x
?
?ax?b
满足：对任意
x?
?
0,1
?
，有f
?
x
?
?1
.则
ab
的最大值
为.
答案
1
.
4
解 易知
a?f
?
1?
?f
?
0
?
，
b?f
?
0
?
，则
22
111
??
1
ab?f
?
0
?
?
?
f
?
1
?
?f
?
0
?
?
??
?
f
?
0
?
?f?
1
?
?
?
?
f
?
1
??
?
?
f
?
1
?
?
?
.
244
??
4
2

当
2f
?
0< br>?
?f
?
1
?
??1
，即
a?b??
1
11
时，
ab?
.故
ab
的最大值为.
4
24
6. 从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为.
答案
232

323
解 设
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
取自1,2，…，20，若
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
互不相邻，则
1?a
1
?a
2
?1?a
3
?2?a
4
?3?a
5
?4?16
，
由此知从1,2， …，20中取5个互不相邻的数的选法与从1,2，…，16中取5个不同的数的
5
选法相同， 即
C
16
种.所以，从1,2，…，20中任取5个不同的数，其中至少有两个是相邻 数
2

555
C
20
?C
1 6
C
16
232
的概率为.
?1??
55
C
20
C
20
323
7. 若实数
x,y
满足
x?4y?2x?y
，则
x
的取值范围是 .
答案
?
0
?
?
?
4,20
?
.
解 令
y?a
，
x?y?b
?
a,b?0
?
，此时x?y?
?
x?y
?
?a
2
?b
2
， 且条件中等式化为
a
2
?b
2
?4a?2b
，从而
a,b
满足方程



?
a?2
?
2
?
?
b?1
?
?5
?
a,b?0
?
.
2
b
4
2
O
B
C
如图所示，在aOb
平面内，点
?
a,b
?
的轨迹是以
?
1 ,2
?
为圆心，
5
为半径的圆在
a,b?0
的部分，即点
O
与弧
?
ACB
的并集.因此
?
，从而
x?a
2
?b
2
?
?
0
?
?
?< br>4,20
?
.
a?b?
?
0
?
?
?
2,25
??
22
1
A
a
8. 已知数列
?
a
n
?
共有9项，其中
a
1
?a
9< br>?1
，且对每个
i?
?
1,2,?,8
?
，均有则这样的数列的个数为.
答案 491
a
i?1
?
1?i? 8
?
，则对每个符合条件的数列
?
a
n
?
有 a
i
8
a
i?1
?
1
?
?
?
2,1,?
?
，
a
i
2
??
解 令
b
i
?
8
?
b
i
?
?
i?1i ?1
a
i?1
a
9
1
??

??1
，且
b
i
?
?
2,1,?
?
?
1?i? 8
?
.
2
?
a
i
a
1
?

1
○


1
的8项数列
?
b
?
可唯一确定一个符合题设条件的9项数列
?
a
?
. 反之，由符合条 件○
n
n
1
的数列
?
b
?
的个数为
N
.显然
b
?
1?i?8
?
中有偶数个
?
记符合条件○
ni
11
，即
2k
个
?
；
22
继而有
2k
个2，易见
k
的可能值只有0,1,2，
8 ?4k
个1.当给定
k
时，
?
b
n
?
的取 法有
C
8
2k
C
8
2
?
k
2k< br>种，
所以
24
N?1?C
8
2
C
6
?C
8
4
C
4
?1?28?15?70?1?491
.


因此，根据对应原理，符合条件的数列
?
a
n
?
的个数为491
二、

解答题：本大题共3个小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
3

骤.
9. （本题满分16分）给定正数数列
?
x
n
?
满足
S
n
?2S
n?1
，
n?2,3,?
，这里
S
n
?x
1
???x
n
.证明：存在常数
C?0
,使得
x
n
?C?2
n
，
n?1,2,?
.


解 当
n?2
时，
S
n
?2S
n?1
等价于

x
n
?x
1
???x
n?1
.
1
○
…………4分
对常数
C?

1
x
1
，用数学归纳法证明：
4

x
n
?C?2
n
，
n?1,2,?
.
2
○
…………8分
n?1
时结论显然成立.又
x
2
?x
1
?C?2
2
.
1
式知 对
n ?3
，假设
x
k
?C?2
k
，
k?1,2,?,n ?1
，则由○
x
n
?x
1
?
?
x
2
???x
n?1
?

?x
1
?
?
C?2
2
???C?2
n?1
?

?C
?
2
2
?2
2
?2
3
???2
n?1
?< br>?C?2
n
，
2
式成立. 所以，由数学归纳法知，○
…………16分
x
2
y
2
10. （本题满分20分）在平面直角坐标系
x Oy
中，椭圆的方程为
2
?
2
?1
?
a?b?0< br>?
，
ab
A
1
、A
2
分别为椭圆的左、右顶 点，
F
1
、F
2
分别为椭圆的左、右焦点，
P
为椭 圆上不同于
A
1
和
A
2
的任意一点.若平面中两个点
Q、R
满足
QA
1
?PA
1
，
QA
2< br>?PA
2
,
RF
1
?PF
1
,
RF
2
?PF
2
，
试确定线段
QR
的长度与
b
的大小关系，并给出证明.
解 令
c?a
2
?b
2
，则
A
1
?
?a,0
?
，
A
2
?
a,0
?
，
F
1
?
?c,0
?
，
F
2
?
c,0
?
.
22
x
0
y
0
设
P
?
x
0
,y
0
?
，
Q
?
x
1
,y
1
?
，
R
?
x
2
,y
2
?
，其中
2
?
2
?1
，
y
0
?0
.
ab
由< br>QA
1
?PA
1
，
QA
2
?PA
2
可知
4

?????????
AQ?A1
P?
?
x
1
?a
?
?
x
0
?a
?
?y
1
y
0
?0
，
1
??????????
A
2
Q?A
2
P?
?
x
1
?a
?
?
x
0
?a
?
?y
1
y
0
?0





1
○

2
○
…………5分

22< br>1
、○
2
相减，得
2a
?
x?x
?
?0
，即
x??x
，将其代入○
1
，得
?x?a?yy?0
， 将○
10
010
10
2
2
?
x
0
?a
2
x
0
?a
2
?
故
y< br>1
?
，于是
Q
?
?x
0
,
?
.
y
0
y
0
??
…………10分


2
?
x
0
?c
2
根据
RF1
?PF
1
,
RF
2
?PF
2
，同理 可得
R
?
?x
0
,
y
0
?
?
?
.
?
…………15分
因此
22
x< br>0
?a
2
x
0
?c
2
b
2
，
QR???
y
0
y
0
y
0
由于
y
0
?
?
0,b
?
，故
QR?b
（其中 等号成立的充分必要条件是
y
0
?b
，即点
P
为
?
0,?b
?
）.
…………20分
11. （本题满分20分）求 所有的正实数对
?
a,b
?
，使得函数
f
?
x?
?ax
2
?b
满足：对任意实
数
x,y
，有
f
?
xy
?
?f
?
x?y
?
?f
?
x
?
f
?
y< br>?
.
解 已知条件可转化为：对任意实数
x,y
，有
?
ax


2
y
2
?b
?
?a
?
x?y
?
?b?
?
ax
2
?b< br>??
ay
2
?b
?
.
2
??

1
○
先寻找
a,b
所满足的必要条件.
22
1
式中令
y?0
，得
b?
?
ax?b
?
?< br>?
ax?b
?
?b
，即对任意实数
x
，有 在○?
1?b
?
ax
2
?b
?
2?b
?< br>?0
.
由于
a?0
，故
ax
2
可取到任意 大的正值，因此必有
1?b?0
，即
0?b?1
.
…………5分

42
1
式中再令
y??x
，得
?
ax? b
?
?b?
?
ax?b
?
，即对任意实数
x
，有 在○
2
?
a?a
?
x
24
?2abx2
?
?
2b?b
2
?
?0
.
2
○


2
2
的左边记为
g
?
x
?
，显然
a?a?0
（否则，由
a?0
可知a?1
，此时将○
5

，于是
g
?
x
?
??2bx
2
?
?
2b?b
2?
，其中
b?0
，故
g
?
x
?
可取到 负值，矛盾）
?
ab
?
ab
??
g
?
x< br>?
?
?
a?a
2
?
?
x
2
???
?
2b?b
2
?

2
?
2
a?a
?
a?a
?
2
2
b
?
b
?
?
?
a?a
?
?
x
2
??
?2?2a?b
?
?0

?
1?a
?
1?a?
2
2
对一切实数
x
成立，从而必有
a?a
2
?0
，即
0?a?1
.


进一步，考虑到此时
…………10分
?
b
?
b
b
?
再根据
g
?
可得
2a?b?2
.
? 0
，
?
?
1?a
?
1?a
?
2?2a?b
?
?0
，
1?a
??
至此，求得
a,b
满 足的必要条件如下：
0?b?1
，
0?a?1
，
2a?b?2
.
3
○
…………15分

3
的任意实数对
?a,b
?
以及任意实数
x,y
，总有○
1
成立，即 下 面证明，对满足○
h
?
x,y
?
?
?
a?a
2
?
x
2
y
2
?a
?
1?b
?
?
x
2
?y
2
?
?2axy?
?
2b?b
2
?

对任意
x,y
取非负值.
2
3
成立时，有
a
?
1?b
?
?0
，
a?a?0
，事实上，在○
b
?
2?2a?b
?
? 0
，再结合
1?a
x
2
?y
2
??2xy
，可得
h
?
x,y
?
?
?
a?a
2?
x
2
y
2
?a
?
1?b
??
?2xy
?
?2axy?
?
2b?b
2
?
??
a?a
2
?
x
2
y
2
?2abxy ?
?
2b?b
2
?
b
?
b
?
?< br>?
a?a
?
?
xy?
?
2?2a?b
??0
?
?
1?a1?a
??
2
2

综 上所述，所求的正实数对
?
a,b
?
全体为
?
?
a ,b
?
|0?b?1,0?a?1,2a?b?2
?
.
…………20分

6