高中数学竞赛试题及解题答案

浙江省高中数学竞赛试题及答案
一、
选择题（本大题共有10小题，每题只有 一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不
选、错选均不得分，每题5分，共50 分）

1.集合
P?{xx?R,x?1?1
}，
Q?{xx?R, x?a?1},
且
P?Q??
,则实数
a
取值范围为（....）
A.
a?3
B.
a??1
. C.
a??1
或
a?3
D.
?1?a?3

2.若
?
,
?
?R,
则
?
?
?
?90
是
sin
?
?sin
?
?1
的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

3.已知等比数列{
a
n
}：a
1
?3,
且第一项至第八项的几何平均数为9，则第三项是（.....）
A.
3
9
81
B.
3
7
81
...C.
3
9
.D.
33

4. 已知复数
z?x?yi(x,y?R,i
为虚数单位） ，且
z?8i
，则
z?
（ ）
A.
z?2?2i
B.
z??2?2i
.
C.
z??2?2i,
或
z?2?2i
D.
z?2?2i,
或
z??2?2i

5. 已知直线
AB< br>与抛物线
y?4x
交于
A,B
两点，
M
为
A B
的中点，
C
为抛物线上一个动点，若
C
0
满足
。
C
0
A?C
0
B?min{CA?CB}
，则下列一定成立 的是（ ）
A.
C
0
M?AB
B.
C
0
M?l,
其中
l
是抛物线过
C
0
的切线
1
C.
C
0
A?C
0
B
D.
C
0
M?AB

2
6. 某程序框图如下，当E
?
0.96时，则输出的K=（ ）
A. 20 B. 22 ...C.
24
.D. 25
开 始
2
2
K=1，S=0
S=S+1（K(K+1)）
S>=E？
是
否
K=K+1
输出K
,
7. 若三位数
abc
被7整除，且
a,b,c
成公差非零的等差数列，则这样的整数共有（ ）个。
A.4 B. 6 ...C. 7 .D 8
8. 已知一个立体图形的三视图如下，则该立体的体积为（ ）。
A.
33

B.


339393
. ..
C.

.D.

224

9. 设函数
f(x) ?x(x?1)(x?2)(x?3)
，则函数
y?f(x)
的极大值点为（
2
）
1
A.
x?0

B.

x?1
.
C.

x?2


.D.

x?3

1
10. 已知
f(x),g(x),h(x)
为一次函数，若对实数
x
满足


3
2
2
234
3
正视图：上下两 个

?
?1,x??1
?
f(x)?g(x)?h(x)??
3x?2,?1?x?0
，则
h(x)
的表达式为（ ）。
?
?2x?2,x?0
?
11
A.
h(x)?x?

B.
h(x)??x?
.
22
11
C.
h(x)??x?

D.
h(x)?x?

22
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）
1
，则
x?y?
________________。
3
2
12. 已知
f(x)?x?(k?1)x?2
，若当
x?0
时
f(x)
恒大于零，则
k
的取值范围为_________ ____ 。
11. 若
tanxtany?2,sinxsiny?
13. 数列
{
n
n},n?1,2,
3
，则数列中最大项的值为_______ _______。
2222
14. 若
x,y?R
，满足
2x?2 xy?2y(x?x)?x?5
，则
x?
_______,
y?
________。
15. 设直线
l
与曲线
y?x ?x?1
有三个不同的交点
A,B,C
,且
AB?BC?5
,则直线
l
的方程为_________。
11
?
2
)}?
______________________。
2
ab
17. 某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含第一象限
x,y
轴上的整点），其运动规律为
(m,n)?(m?1,n?1)
或
(m ,n)?(m?1,n?1)
。若该动点从原点出发，经过6步运动到（6,2）点，则有
16 . 若
a?0,b?0,
则
min{max(a,b,
__________ ________种不同的运动轨迹。
三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）
2
18. 已知抛物线
y?4x
，过
x
轴上一点
K
的直线与抛物线交于点
P,Q,

两点。证明，存在唯一一点
K，使得
1
PK
2
?
1
KQ
2
为常数， 并确定
K
点的坐标。

2
22
19. 设二次函数
f(x)?ax?(2b?1)x?a?2(a,b?R,a?0)
在[3,4]上至少有一个零点， 求
a?b
的最小值。
?
1?x
?
20. 设
x? N
满足
??
?
x
?
数列
b
1
,b
2
,
2014
22012
?1
的等差数列；首项
a
1
?(x?1)x

.
数列
a
1
,a2
,,a
2013
是公差为
x
2013
，
20 13
1?x
,b
2013
是公比为
,
首项
b
1
?(x?1)x
2013
的等比数列，求证：
b
1
?a
1
?b
2
??a
2012
?b
2013
。
x
?
?
555322322322
2013

四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）
21. 设
a,b, c?R,ab?bc?ca?3,
证明
a?b?c?a(b?c)?b(c?a)?c(a?b )?9
。

22. 从0,1,2，…，10中挑选若干个不同的数字填满图中每一 个圆圈称为一种“填法”，若各条线段相连的两个圆
圈内的数字之差的绝对值各不相同，则称这样的填法 为“完美填法”。
试问：对图1和图2是否存在完美填法？若存在，请给出一种完美填法；若不存在，请说明理由。



A1 A2
10

6


A4

A3


5





A5



A7

7



A6

A8

1 9


（图 1 ）

浙江省高中数学竞赛答案

一、选择题（本大题共有 10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不
选、错选均不得分 ，每题5分，共50分）
1. 答案 C
P?{x0?x?2},Q?{xa?1?x? a?1},
要使
P?Q??
，则
a?1?2
或
a?1?0< br>。
解得
a??1
或
a?3
。
2. 答案 D 若
?
?0,
?
?90?sin
?
?sin
?
?1
。当
?
?
?
?60?sin
?
?sin?
?3?1
，但
?
?
?
?90
。
3. 答案 B 计算得
q?3,a
3
?
3
7
81
。
4. 答案 D
5. 答案 B
2
7
CA?CB?(CM?AM)?( CM?BM)?CM?CM(AM?BM)?AM?BM

?CM?AM?min{CA?CB}?CM
6. 答案 C
S?
22
min
2
?CM?l
。
11
? ?
1?22?3
?
11
?1??0.96?k?24.

k?(k?1)k?1
7. 答案 D 设三位数为
(b?d)b(b?d)?111 b?99d(0?b?9,?9?d?9,d?0),
由
7(111b?99d)?7(b? d)?b?1,d??1;b?2,d??2;b?3,d??3;
b?4,d?3,?4;

b?5,d?2;b?6,d?1;b?8,d??1
。所以，所有的三位数为
210 ,420,630,147,840,357,567,987

8. 答案 D 从图中可知，立体是由两个三棱柱组成。
9. 答案 B 由图象可知
x?1
为函 数极大值点，
x?3
是极小值点，
x?0,2
不是极值点。
10. 答案 C
h(x)?
?2x?2??(1)1
??x?
。
22
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后 的横线上，每空7分，共49分）
111
?
?cosxcosy??cos(x?y )?
，所以
x?y?
2k
?
?
。
3
362
22
2
12. 解答 由
x?(k?1)x?2? 0?k?1?x?,x??22
等号在
x?2
取得，即
k?22?1
。
xx
11. 解答：由
tanxtany?2,sinxsiny?
13. 解答
f(x)?x? e
1
x
1
lnx
x
?f

(x)?
x
(1?lnx)?x?e
为极大值点，所以数列最大项为第三项，其值为
3
3
。
2
x
1
x
14. 解答 把等式看成关于
x
的一元二次方程
2
??4(y?1)
2
?20(2y
2
?2y?1)?0?(3y?2)
2
?0?y??,x?3< br>。
3
15. 解答 曲线关于（0,1）点对称，设直线方程为
y?kx?1,A(x,y)
，
?
y?kx?1
?
?
3
?(k?2)(k
2
?k?2)?0 ?k?2
。所求直线方程为
y?2x?1
。 则
?
y?x?x?1< br>?
22
?
?
x?(y?1)?5
11112
16. 解答
max{a,b,
2
?
2
}?m?a?m,b?m,
2
?
2
?m?m?
2
?
m?
3
2
，
ababm

所以
min{max(a,b,
21
17. 解答
C
6
?C
6
?9
.
11
?
2
)}?
3
2
。
2
ab
三、
解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）

18. 解答 设
K
（
a,0
），过
K
点直线方程 为
y?k(x?a)
，交抛物线于
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
联立方程组
?
y
2
?4x
2(ak
2
?2)
222222
…5分
?kx?2(ak?2)x?ak?0?x
1
?x
2
?,xx?a
?
12
2
k
?
y?k(x?a)
2
………………… …………………7分
?PK
2
?(x
1
?a)
2
?y
1
2
,KQ
2
?(x
2
?a)
2?y
2
a
1?k
2
11
2
，…………………… ………………………………12分
???
22
22
a(1?k)
P KKQ
令
a?2
?
111
??,K(2,0)
。…………… ……………………………17分
22
4
PKKQ
2
19. 解法1 由已知得，设
t
为二次函数在[3,4]上的零点，则有
at?(2b?1)t?a? 2?0
，变形
(2?t)
2
?[a(t
2
?1)?2bt ]
2
?(a
2
?b
2
)((t
2
?1)< br>2
?t
2
)?(a
2
?b
2
)(1?t2
)
2
，……5分
t?2
2
11
22
于是
a?b?(
，……………………………12分
)??
2
5< br>1?t
(t?2??4)
2
100
t?2
523
22
因为
t?2?
时取等号，故
a?b
的最小值为
,t?[3, 4]
是减函数，上述式子在
t?3,a??,b??
t?22550
1
。………………………………………………………………17分
100
2
解法2 把等式看成关于
a,b
的直线方程
:(x?1)a?2xb?x?2?0
，利 用直线上一点（
a,b
）到原点的距离大
x?2
22
于原点到直线的 距离，即
a?b?
（以下同上）。
222
(x?1)?(2x)
2 2012
?1?(i?1)x
2013
， -----------------2分
20.
解：首先，
a
i?(x?1)x
1?x
i?1
b
i
?(x?1)x
20 13
()?(x?1)
i
x
2014?i
。----------- ------4分
x
1?x
i
b
i?1
?b
i< br>?x
2013
()
…………………………………………6分
x
2014?i
用归纳法证明
a
i
?b
i
?x
2013
,1?i?2013
。
2013
由于
a< br>1
?b
1
?x
2013
?x
2012
?1? x
2013
，即i=1成立。……………………8分
假设
1?i?2012
成立，
1?x
i
)?(a
i
?b
i
)
则
a
i?1
?b
i?1
?(a
i?1
?a
i
)?(b
i?1
?b
i
)?(a
i
?b
i
)?x
2013
?x
2013
(
x
1?x
203
1
?x
2013
?x
2013
()?(a
i
?b
i
)??x
2013
?(a
i
?b
i
)

x2013
12013?i?12014?(i?1)
。…………………14分 ??x
2013
?x
2013
?x
2013
2
所以，
a
i
?b
i
,i?1,2,?,2013
。
归纳证明
b
i?1
?
a
i
,i
?
1,2 ,
?
,2012
，首先
b
2
?a
1
?1?0
，假设
1?i?2011
成立，
1?x
i?1
则
b
i? 2
?a
i?1
?(b
i?2
?b
i?1
)?(a< br>i?1
?a
i
)?(b
i?1
?a
i
)?x
2013
()?x
2013
?(b
i?1
?ai
)?0
。……17分
x

故命题成立。
四、
附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）

21.
解答 原命题等价于
(a
3
?b
3
?c< br>3
)(a
2
?b
2
?c
2
)?9
， ………………………………10分
a
2
?b
2
?c
23
),
…………………………………………………20分 又
(a?b?c)?9 (
3
222
故只需要证明
a?b?c?3
成立。……………………… …………………………25分
利用已知条件，这是显然的。

3332
22. 解答 对图1，上述填法即为完美（答案不唯一）。………………………………10分
对于图2不存在完美填 法。因为图中一共有10条连线，因此各连线上两数之差的绝对值恰好为，1,2,3，……，
10， …………… ……………………………………………… 15分
其和
s?a
1?a
2
?a
1
?a
3
?a
2
?a3
??a
7
?a
8
?55
为奇数。……………… 20分
另一方面，图中每一个圆圈所连接的连线数都为偶数条。即每一个圆圈内德数在上述S的表达式 中出现偶数次。
因此S应为偶数，矛盾。………………………………………25分
所以，不存在完美填法。