高中数学经典例题、错题详解

高中数学经典例题、错题
详解

【例1】 设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N
的映射是（ ）
MNMNMNMN
1
2
3
A
e
g
h< br>1
2
3
B
e
g
h
1
2
3< br>C
e
g
h
1
2
3
D
e
g< br>h
映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合< br>A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B
为从 集合A到集合B的一个映射。
函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合
A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到
集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）
映射与函数的区别与联系：
函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊
对应；函数是 特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定
是函数，映射与函数都是特殊的 对应。
1
可以是“一对一”；
2
可以是“多对一”；映射与函数（特殊对应 ）的共同特点：○○
3
不能“一对多”；○
4
A中不能有剩余元素；○
5
B中可以有剩余元素。 ○
映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可 以是点集、数集或由
图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射 往往
不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B
中的 每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象
都是唯一的；（5）一 一映射是一种特殊的映射
方向性
上题答案应选 C
3
不能“一对多” ，所以A、B、D都错误；只有C完全满【分析】根据映射的特点○
足映射与函数（特殊对应）的全部5 个特点。
本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。

2
【例2】 已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx： →（x+1、x）,
（1）求
2
在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元 素
【分析】（1）将x=
2
代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（
2
+1、1）；
（2）由题意得：x+1=2,x=1 得出x=1， 即（2、1）在A中的对应元素为1

【例3】 设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（ ）；
（2）可建立从B到A的映射个数（ ）
【分析】 如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的
m n32
映射共有 n个；集合B到集合A的映射共有 m 个，所以答案为2=9；3=8
2

【例4】 若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（ ）
A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0
奇函数性质：
1、图象关于原点对称； 2、满足f(-x) = - f(x) ；3、关于原点对称的区间上单调
性一致； 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0； 5、定义域关于原点对称
（奇偶函数共有的）
偶函数性质：
1、 图象关于y轴对称； 2、满足f(-x) = f(x) ；3、关于原点对称的区间上单调性
相反； 4、如果一个函数既是奇函数有是偶函数,那么有f(x)=0；5、定义域关于原点
对称（奇偶函数共 有的）
基本性质：
唯一一个同时为奇函数及偶函数的函数为其值为0的常数函数(即对所有x，f(x)=0)。
2
通常，一个偶函数和一个奇函数的相加不会是奇函数也不会是偶函数；如x + x。
两个偶函数的相加为偶函数，且一个偶函数的任意常数倍亦为偶函数。
两个奇函数的相加为奇函数，且一个奇函数的任意常数倍亦为奇函数。
两个偶函数的乘积为一个偶函数。
两个奇函数的乘积为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的乘积为一个奇函数。
两个偶函数的商为一个偶函数。
两个奇函数的商为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的商为一个奇函数。
一个偶函数的导数为一个奇函数。
一个奇函数的导数为一个偶函数。
两个奇函数的复合为一个奇函数，而两个偶函数的复合为一个偶函数。
一个偶函数和一个奇函数的复合为一个偶函数
【分析】
f(x)为奇函数，则f(-x) = -f(x)，
当X﹤0时，f(x) = -f(-x) = -[-(-x) – 1] = -x+1>0,所以A正确，B错误；
f(x)·f(-x)=（x-1）（-x+1）﹤0，故C错误；
f(x)-f(-x)= （x-1）-（-x+1）﹤0,故D错误

【例5】 已知函数f(x)是偶函数，且x≤0时，f(x)=
1?x
，求：（1）f(5)的值；
1?x
（2）f(x)=0时x的值；（3）当x＞0时，f(x)的解析式
【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】计算题，函数的性质及应用
【分析及解答】
（1）根据题意，由偶函数的性质f(x)= f(-x)，可得f(5)= f(-5)=
1?（-5）2
=—
1（--5）3
（2）当x≤0时，f(x)=0 可求x，然后结合f(x)= f(-x)，即可求解满足条件的x，
即当x≤0时，
1?x
=0 可得x=—1；又f(1)= f(-1)，所以当f(x)=0时，x=±1
1?x

（3）当x＞0时，根据偶函数性质f(x)= f(-x)=
1?(?x)
1?x
=
1?(?x)
1?x
e
2
?1
【例6】 若f(x)=e+ae为偶函数，则f(x-1)＜的解集为（ ）
e
x-x
A.（2，+∞） B.（0,2） C.（-∞，2） D.（-∞，0）∪（2，+∞）
【考点】 函数奇偶性的性质 【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用
【分析及解答】
根据函数奇偶性的性质先求出a值，结合函数单调性的性质求解即可
x-x- xxx-x
∵f(x)=e+ae为偶函数，∴f(-x)=e+ae= f(x)= e+ae，∴a=1，
x-x
∴f(x)=e+e在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上单调递减，
1
e
2
?1
则由f(x-1)＜=e+， ∴ -1 ＜x-1＜1， 求得 0 ＜x ＜2 故B正确
e
e
【点评】 本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性的性质先求出a值是解题关键

【例7】 函数 f(x)=
ax?b2
1
是定义在(-1,1)上的奇函数，且f()=，（1）确定 函数
2
2
5
1?x
f(x)的解析式；（2）证明f(x)在(-1 ,1)上为增函数；（3）解不等式f(2x-1)+ f(x) ＜0
【考点】 函数奇偶性与单调性的综合 【专题】函数的性质及应用
【分析及解答】
（1） 因为f(x)为（-1,1）上的奇函数，所以f(0)=0，可得b=0，
1a
22x
2
1
由f(
2
)=，所以=，得出a=1，所 以f(x)=
2
1
2
55
1?x
1?()
2
（2） 根据函数单调性的定义即可证明
任取-1 ＜x
1
＜x
2
＜1，f (x
1
)—f(x
2
)=
x
1
1?x
1< br>2
—
x
2
1?x
2
2
=
(x
1
?x
2
)(1?x
1
x
2
)
(1?x
1
)(1?x
2
)
22

因为-1 ＜x
1
＜x
2
＜1，所以x
1
-x
2
＜0，1—x1
x
2
＞0，所以f(x
1
)—f(x
2
) ＜0，
得出f(x
1
) ＜f(x
2
)，即f(x)在(-1,1)上为增函数
（3） 根据函数的奇偶性、 单调性可去掉不等式中的符号“f”，再考虑到定义域可得
一不等式组，解出即可：f(2x-1)+ f(x)= ＜0，f(2x-1) ＜—f(x)，由于f(x)
为奇函数，所以f(2x-1) ＜f(—x)，因为f(x)在(-1,1)上为增函数，所以2x-1
1
， 因为-1 ＜2x-1＜1○
2
，-1 ＜x＜1○
3
，联立○
1
○
2
○
3
得 0 ＜ x＜＜—x○
1
，
3
所以解不等式f(2x-1)+ f(x) ＜0的解集为（0，
1
）
3
【点评】 本题考查函数的奇偶性、单调性及抽 象不等式的求解，定义是解决函数单调
性、奇偶性的常用方法，而抽象不等式常利用性质转化为具体不等 式处理。

【例8】 定义在R上的奇函数f(x)在（0，+∞）上是增函数， 又f(-3)=0，则不等

式x f(x) ＜0的解集为（ ）
【考点】 函数单调性的性质 【专题】综合题；函数的性质及应用
【分析及解答】 易判断f(x)在（-∞，0）上的单调性及f(x)图像所过特殊点，作出
f(x)草图，根据图像可解不等式。
解：∵ f(x)在R上是奇函数，且f(x)在（0，+∞）上是增函数，∴ f(x)在（-∞，0）
上也是增函数，由f(-3)=0，可得- f(3)=0，即f(3)=0，由f(-0)=-f(0)，得f(0)=0
作出f(x)的草图，如图所示：
y
-303
x

?
x?0
?
x?0
由图像得：x f(x) ＜0
?
?
或
?
?
0﹤x﹤3或-3﹤x﹤0，
f(x)?0f(x)?0
??
∴ x f(x) ＜0的解集为：（-3，0）∪（0，3），故答案为：（-3，0）∪（0，3）
【点评】 本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函
数的草图是解题关键。

【例9】 已知f（x+1）的定义域为[-2,3]，则f（2x+1）的定义域为（ ）
抽象函数定义域求法总结：（1）函数y=f[g(x)]的定义域是（a，b），求f（x）的定 义
域：利用a＜x＜b，求得g（x）的范围就是f（x）的定义域；（2）函数y=f（x）的定义域是（a，b），求y=f[g(x)]的定义域：利用a＜g(x)＜b，求得x的范围就是y=f[g (x)]
的定义域。
【考点】 函数定义域极其求法
【分析及解答】 由f（x+1）的定义域为[-2,3]，求出 f（x）的定义域，再由2x+1在
函数f（x）的定 义域内求解x的取值集合，得到函数f（2x+1）的定义域。
解：由f（x+1）的定义域是[-2,3]，得-1≤x+1≤4 ；再由-1≤2x+1≤4
?
0≤x ≤
∴ f（2x+1）的定义域是[0，
5

2
5
]，故选A
2
【点评】 本题考查了复合函数定义域的求法， 给出函数f[g(x)]的定义域是（a，b），
求函数f（x）的定义域，就是求x∈（a，b）内的 g(x)的值域；给出函数f（x）的定
义域是（a，b），只需由a＜g(x) ＜b，求解x的取值集合即可。

75
【例10】 已知函数f(x)=x+ax+bx-5，且f(-3)= 5，则f(3)= （ ）
A. -15 B. 15
【考点】 函数的值；奇函数

【分析及解答】 令g(x)= x+ax+bx，则g(-3)=
解法1：f(-3)= (-3)7+ a(-3)5+b(-3)-5=-（37+a35+3b-5）-10=- f(3)-10=5，∴
f(3)=-15
解法2：设g(x)= x7+ax5+bx，则g(x)为奇函数，f(-3)= g(-3)-5=- g(3)-5
∴g(3)=-10, ∴f(3)= g(3)-5=-15

2
【例11】 已知二次函数f（x）=x+x+a (a﹥0)，若f（m）﹤0，则f（m+1）的值为（ ）
A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a有关
解法1：因为f(m)<0 所以m2+m+a<0，因为a>0.所以m2+m<0，所以-175
3
2
1
)-+a.
24
3
2
1
因为-1， 所以f(m+1)>0 答案为A
24
f(m+1)=m2+3m+2+a=(m+
解法2： f(x)=x?+x+a=x(x+1)+a
∵ f(m)=m(m+1)+a＜0 ∴m(m+1) ＜-a ， ∵ a＞0，且m＜m+1 ∴m＜0,m+1＞0
∵(m+1)? ≥0 即：f(m+1)=(m+1)?+(m+1)+a＞0 ∴ f(m+1)＞0 选A
【例12】 函数f(x)= ︱x-2x︱—m有两个零点，m的取值范围（ ）
解：令f(x)= ︱x-2x︱—m=0，则︱x-2x︱=m，作y=︱x-2x︱和y= m的图像
要使f(x)= ︱x-2x︱—m有两个零点，则图像y=︱x-2x︱和y= m有两个交点



【例13】已知函数f(x)和g(x)均为奇函数，F(x)=a f(x)+b g(x)+2在区间（0，+∞）
上有最大值5，那么F(x)在区间（-∞，0）上的最小值为（ ）
解法1：根据题意，得 a·f(x)+b·g(x)在(0,+∞)上有最大值3, 所以，a ·f(x)+b·g(x)
在(-∞,0)上有最小值-3,故F(x)=a·f(x)+b·g(x) +2在(-∞,0)上有最小值-1.
解法2：F(x)=a f(x)+b g(x)+2是由G(x)=a f(x)+b g(x)向上平移2个单位得到，由题
意G(x)=a f(x)+b g(x)在（-∞，0），（0，+∞）上是奇函数，在（0，+∞）上有最大值
3，那 么在（-∞，0）上有最小值-3，那么F(x)=a·f(x)+b·g(x)+2在(-∞,0)上有最小值-1.
【例14】对于每个实数x，设f(x)取y=x+1，y=2x+1，y=-
22
222
2
1
x三个函数中的最大值，
2
用分段函数的 形式写出f(x)的解析式，求出f(x)的最小值为（ ）

【例15】已知函数f(x)=x+ax+3，（1）当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求 a的取值范围；
（2）当x∈[-2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围
解（2）函数f(x)=x^2+ax+3对称轴x=-a／2，依题意得
①当-a／2≤- 2时，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a即：f(-2)=4-2a+3≥a，无解
②当- 2＜-a／2＜2，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a即：f(-a／2)≥a，得-4＜a≤2 < br>③当-a／2≥2时，当x∈[-2,2]时，f(x)最小值≥a即：f(2)=4+2a+3≥a，得 -7≤a≤-4
综上所述得：-7≤a≤2
解法2：

【例16】下列各组函数表示相等函数的是（ ）
2
x
2
?9
A. y=与y=x+3 B. y=
x
2
?1
与y=x-1
x?3
C. y=x(x≠0)与y=1（x≠0） D. y=2x+1（x∈Z）与y=2x-1（x∈Z）
0
x
2
?9
解：A. y==x+3（x≠3）与y=x+3定义域不同，不是相等的函数；
x?3
B. y=
x
2
-1=|x|-1与 y=x-1对应关系不同，不是相等的函数；
C. y=x=1（x≠0）与y=1（x≠0）是相等函数；正确
D. y=2x+1，x∈Z 与y=2x-1，x∈Z对应关系不同，不是相等函数．
【例17】函数y =4x-mx+5在区间[-2,+∞）上时增函数，在区间（-∞，2]上是减函数，
则f(1)=（ ）
解：由已知中函数的单调区间，可得函数y=4x-m x+5的图像关于直线x=-2对称，因为
2
函数y=4x-mx+5在区间[-2,+∞）上 时增函数，在区间（-∞，2]上是减函数，故函数
y=4x-mx+5的图像关于直线x=-2对称， 故
2
2
2
0
m
??2
，m=-16，y=4x2
+16x+5，f(1)=25
8
【例18】判断下列各组中的两个函数是同一函数的为：_________
（1 ）、
f(x)?
(x?3)(x?5)
，
g(x)?x?5
（2）、
f(x)?x?1x?1

x?3
、
f(x)?
3
x
4
?x
3
，
g(x)?x
3
x?1
x
2
（4）（3）、
f(x)?x
，
g(x)?
2
（5）、
f(x)?(2x?5)
，
g(x)?2x? 5

【例19】函数
f(x)?ax?4(a?1)x?3
在区间[-2，+ ∞）上递增，则a的取值范围
______
2

【例20】函数
f(x)?x?2(a?1)x?2
在区间(-∞，4]上是减函数，则实数a的取值
范围是 （ ） ≤3 ≥3 C. a≥-3 D. a≤5 E. a≤-3
【例21】已知
f(x)
是定义在（-2,2）上的减函数，并且
f(m?1 )?f(1?2m)
>0，求
实数m 的取值范围
【例22】若集合
A?x x
2
?1,x?R
2
?
?
，
B?
?
y
则A∩B=（ ）
y
2
?x
2
,x?R?
，
A.{x∣-1≤x≤1} B. {x∣0≤x≤1} C. {x∣x≥0} D.Φ
设
f(x)
是定义在R上的奇函数，当x≤0时，< br>f(x)
=2x
2
-x,则
f(1)
=（ ）
B. -1 C. 1
函数
f(x)
=
?
?
1?x
2
,x?1
2
x?3,x
则
f
?
?
x??1
?
?
1
?
?
f (3)
?
?
?
的值为（ ）

【例23】已知< br>f(2x?1)?
1?x
2
x
2
(x?0)
,那么< br>f(0)
等于（ ）
【例24】已知集合
A?
?
x x
2
?2x?3?0
?
，
B?
?
，若B∩A=B， 实数a的值为（
B. 6 C. 8
【例25】函数
y?x(x?1)?x
的定义域为（ ）
A.{x∣x≥0} B. {x∣x≥1} C. {x∣x≥1}∪{0} D. {x∣0≤x≤1}
【例26】下列判断正确的是（ ）
A.函数
f(x)?
x
2
?2x
x?2
是奇函数 B.函数
f(x)?x?x
2
?1
是非奇函数
C.函数
f(x)?(1?x)
1?x
1?x
是偶函数 D.函数
f(x)
=1即是奇函数又是偶函数
【例27】
y??x
2
?3x?4
的单调区间是（ ）
A.(-∞，-
2
3
] B.[-
2
3
，+∞) C.[-4, -
22
3
] D. [ -
3
，1]
）

【例28 】设
f(x)
是奇函数，且在区间（0，+∞）内是增函数，又
f(?3)
= 0， 则
f(x)
﹤0的解集是（ ）A.{x∣-3﹤x﹤0或x>3} B.{x∣0﹤x﹤3或x﹤-3}
C. {x∣x﹤-3或x>3} D. {x∣-3﹤x﹤0或0﹤x﹤}
【例29】函数
f(x)?ax?bx?cx?3
，
f(?3)
=7，则
f(3)
=_________
【思考】
1、已知二次函数y=x-2x-3，试问x取哪些值时y=0？
代数法：求方程x-2x-3=0的根，x
1
=-1 x
2
=3
几何法：求函数函数y=x-2x-3的图象与x轴的交点的横坐标（-1 ，3），此时，-1与3
也称为函数y=x-2x-3的零点 [零点的定义：对于函数
y? f(x)
，我们把使
f(x)
=0
的实数x叫做函数
y?f(x)< br>的零点。] 注意：零点指的是一个实数！
(-1,0)
y
53
2
2
2
2
0
(3,0)
x
方程
ax?bx? c?0
（a﹥0）的根：
??b?4ac
﹥0时，有两个
22
不相< br>2
y?ax?bx?c
（a﹥0）的图象与x轴有两个交点（x1、0）等的实数根x1 、x2，函数，
2
??b?4ac
=0时，有两个相等的实数根x1=x2，（x2， 0），函数的零点为x1、x2；
2
y?ax?bx?c
（a﹥0）的图象与x轴有一 个交点（x
1
、0）函数，函数的零点为x
1
；
??b
2< br>?4ac
﹤0时，没有实数根，函数
y?ax
2
?bx?c
（ a﹥0）的图象与x轴没有
交点，函数没有零点。（即：函数
y?f(x)
的零点就是 方程
f(x)?0
的实数根，也就是
函数
y?f(x)
的图象与x轴 的交点的横坐标。方程
f(x)?0
有实根
?
函数
y?f(x)的图象x轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点）
※函数零点存在性定理：
如果函数
y?f(x)
在区间[a,b]上的图象 是连续不断的一条曲线，并且有
f(a)?f(b)
<0，那么，函数
y?f(x)< br>在区间(a,b)内有零点，即存在c∈（a,b），使得
?
y?f(x)连续
f(c)
=0，这个c也就是方程
f(x)?0
的根,即
?
（a，< br>?
函数
y?f(x)
在
?
f(a)?f(b)?0
b ）内有存在零点；

但是函数
y?f(x)
在区间（a，b）上有零点 ，则不一定有
f(a)?f(b)
<0；
同样，若函数
y?f(x)
在区间（a，b）上有零点，且有
f(a)?f(b)
<0，函数的零点个
数是否唯 一呢？答案是否定的，不一定唯一，零点个数唯一存在的条件：
?
y?f(x)连续
?
?
f(a)?f(b)?0?
函数
y?f(x)
在（a，b）内存在 唯一零点
?
y?f(x)单调
?
【例题】求函数
f(x)
=lnx+2x—6的零点个数。
解：用计算器或计算机作出x，f(x)的对应表值（下表）和图象
x
f(x)
1
-4
2

3

4

5

6

7
10
8
12
由上表上图可知，f(2)<0，f(3)>0即
f(2)·f( 3)<0，说明这个函数在区间（2,3）内有零点，由于函数f（x）在
定义域（0，+∞）内是增函 数，所以它仅有一个零点。

2、求函数
f(x)
=3x+2的零点
解：令
f(x)?0
，即3x+2=0，得x=
?
2
22< br>，所以
f(x)
=3x+2的零点是
?

33
3、已 知函数
f(x)
=x-2x+m有两个不同的零点，则m的取值范围是（ ）
<1 >1 >2 解：根据题意
??b?4ac
﹥0，即4—4m>0，得出m<1。
4、函数
f(x)
=x—x的图象与x轴有（ ）个交点
3
2
5、函数
f(x)?2?x?9
的零点所在的大致区间是（ ）
A.（1,2） B.（2，3） （3,4） D.（4,5）
x